Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
= n − 1 n |x| → |x| при n → наверно расходящийся при |x| > 1 (следствие [121]), а потому нужно рассматривать только случай |x| < 1, x = ±1. При этом случай x = −1 также должен быть отброшен, ибо при x = −1 функция log(1 + x) обращается в бесконечность. Итак, остаются случаи 1) |x| < 1 и 2) x = 1. В случае 1), применяя к выражению (36) для R n (x) теорему о среднем [95] и принимая во внимание, что t не меняет знака при изменении t от 0 до x, имеем откуда, в силу условия |x| < 1, следует < 1 n + 1 1 1 + θx 132] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 415 Множитель 1 1+θx в правой части предыдущего неравенства остается ограниченным при всех значениях n, так как заключается между пределами 1 и 1+x , независящими от n, а потому при рассматриваемых значениях x R n (x) → 0 при n → Тот же результат мы получим ив случае 2), когда x = 1. Та же формула (37) при x = 1 показывает = 1 n + 1 1 1 + θ < 1 n + те. опять) → 0 при n → Итак, разложение log(1 + x) = x − x 3 2 + x 3 3 − . . . + (−1) n−1 x n n + . . имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих неравенствам +В частности, при x = 1 имеем равенство log 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − . . . + (−1) n−1 n + . . . о котором уже было упомянуто выше [123]. Формула (38) непосредственно для вычисления логарифмов не годится, так как в ней предполагается, что x удовлетворяет неравенствами, кроме того, ряд в правой части ее сходится недостаточно быстро. Ее можно преобразовать в более удобный для вычислений вид. Для этого подставим в равенство log(1 + x) = x − x 3 2 + x 3 3 − . . . (−x) вместо x, что дает log(1 − x) = −x − x 3 2 − x 3 3 − . . . (|x| < 1), Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями вычтем почленно. Мы получим log 1 + x 1 − x = 2 x + x 3 3 + x 5 5 + . . . (|x| < Положив здесь + x 1 − x = 1 + z a = a + z a , x = z 2a + мы имеем log a + z a = 2 z 2a + z + 1 3 · z 3 (2a + z) 3 + 1 5 z 5 (2a + z) 5 + . . или log(a + z) = log a + 2 z 2a + z + 1 3 z 3 (2a + z) 3 + . . Эта формула годится уже при всех положительных значениях a итак как при этом x = z 2a+z заключается между нулем и единицей. Она тем более удобна для вычисления, чем меньше дробь z 2a+z , или, что тоже, чем меньше z по сравнению с Формула (41) весьма полезна для вычисления логарифмов. Хотя фактически таблица логарифмов была вычислена нес помощью рядов, которые во времена Непера и Бригга были еще неизвестны, все же формула) может с успехом применяться для проверки и для быстрого вычисления таблицы логарифмов. Положим в (41) z = 1 и возьмем последовательно, мы получим log 16 − log 15 = 2 h 1 31 + 1 3 · 31 3 + . . . i = 2P, log 25 − log 24 = 2 h 1 49 + 1 3 · 49 3 + . . . i = 2Q, log 81 − log 80 = 2 h 1 161 + 1 3 · 161 3 + . . . i = где ряды, обозначенные через P , Q, R, сходятся весьма быстро. Эти равенства дают нам уравнения log 2 − log 3 − log 5 = 2P, −3 log 2 − log 3 + 2 log 5 = 2Q, 133] § 13. Формула Тейлора и ее приложения log 2 + 4 log 3 − log 5 = для определения чисел log 2, log 3, log 5, решая которые, найдем без труда log 2 = 14P + 10Q + 6R, log 3 = 22P + 16Q + 10R, log 5 = 32P + 24Q + Полученные таким путем логарифмы будет натуральными сих помощью мы находим модуль M десятичной системы логарифмов = 1 log 10 = 0, 434 294 4819 . . . зная который, можем от натуральных логарифмов переходить к десятичным по формуле log 10 x = M log Аналогичным путем, пользуясь разложениями на множители a = 2400 = 100 · 2 8 · 3, a + z = 2 401 = 7 4 , a = 9800 = 100 · 2 · 7 2 , a + z = 9 801 = 3 4 · 11 2 , a = 123 200 = 100 · 2 4 · 7 · 11, a + z = 123 201 = 3 6 · 13 2 , a = 2 600 = 100 · 2 · 13, a + z = 2601 = 3 2 · 17 2 , a = 28 899 = 3 2 · 13 2 · 19 a + z = 28 900 = 100 · 17 мы вычислим log 7, log 11, log 13, . . Определив логарифмы простых чисел, мы уже без помощи рядов, а только одними сложениями и умножениями на целые множители определим и логарифмы составных чисел, которые, как известно, всегда можно разложить на простые множители. Разложение arctg x. Здесь мы будем поступать так же, как и при разложении log(1 + x). Мы имеем d arctg t = dt 1 + Получаем, интегрируя + t 2 = arctg t x 0 = arctg x − arctg 0 = arctg x, Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям где arctg x, как ив примере из [98], имеет главное значение. Мы имеем, следовательно x = x Z 0 dt 1 + t 2 = x Z 0 1 − t 2 + t 4 − . . . + (−1) n−1 t 2n−2 + + (−1) n t 2n 1 + t 2 dt = x − x 3 3 + x 5 5 − . . . + (−1) n−1 x 2n−1 2n − 1 + где) = (−1) n x Z 0 t 2n dt 1 + Ряд x − x 3 3 + x 5 5 − . . . + (−1) n−1 x 2n−1 2n − 1 + . . . для которого отношение u n u n−1 = 2n − 3 2n − 1 x 2 → при n → наверно, расходится при x 2 > 1; нам поэтому достаточно ограничиться случаем x 2 6 1, те +Считая сначала 0 < x 6 1, из формулы (42), в силу VII получим = x Z 0 t 2n 1 + t 2 dt < x Z 0 t 2n dt = x 2n+1 2n + 1 6 1 2n + 1 → 0 (n → так как, очевидно + t 2 < t 2n 133] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 419 Если x < 0, то, вводя вместо t новую переменную, t = −τ, получим+ Здесь верхний предел (−x) уже положителен, а потому опять имеет место указанная выше оценка длят. е. разложение arctg x = x − x 3 3 + x 5 5 − . . . + (−1) n−1 x 2n−1 2n − 1 + . . имеет место при всех значениях x, не превосходящих единицу по абсолютному значению. В частности, при x = 1 получаем arctg 1 = π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − . . Ряд этот, ввиду весьма медленной сходимости, непригоден для вычисления числа π. Ряд (44) сходится тем быстрее, чем меньше x. Положим, например, x = 1 и = a rc tg 1 Мы имеем tg 2ϕ = 2 5 1 − 1 25 = 5 12 , tg 4ϕ = 5 6 1 − 25 144 = 120 Так как tg 4ϕ мало отличается от единицы, то угол 4ϕ мало отличается от. Введем эту малую разность = 4ϕ − π 4 , π 4 = 4ϕ − Отсюда выводим tg ψ = tg 4ϕ − π 4 = tg 4ϕ − tg π 4 1 + tg 4ϕ · tg π 4 = 120 119 − 1 1 + 120 119 = 1 что дает 4ϕ − ψ = 4 arctg 1 5 − arctg 1 239 = Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [133 = 4 h 1 5 − 1 3 · 1 5 3 + 1 5 · 1 5 5 − 1 7 · 1 5 7 + . . . i − h 1 239 − . . Оба ряда в скобках — знакопеременные [123], а потому, ограничившись в каждом из них лишь написанными членами, мы сделаем ошибку, не превосходящую 9 · 5 9 + 1 3 · 239 3 < 0, 5 · Желая получить π с точностью до 10 −5 , мы будем вычислять отдельные члены с семью знаками, так как тогда ошибка при определении π 4 не превзойдет · 4 · 0, 5 · 10 −7 + 0, 5 · 10 −7 + 0, 5 · 10 −6 < 2 · а ошибка при определении π не превзойдет 8 · Вычисление будем производить последующей схеме 5 = 0, 200 000 0 1 3 · 5 8 = 0, 002 666 7 1 5 · 5 5 = 0, 000 064 0 1 7 · 5 7 = 0, 000 001 8 +0, 200 064 0 −0, 002 668 5 0,197 395 5 × 4 − 1 239 = 0,789 582 0 −0, 004 184 1 0, 785 397 9 × 4 π ≈ 3,141 Значение числа π с восьмью знаками есть 3,141 591 Можно получить при |x| 6 1 разложение arc sin x = x 1 + 1 2 x 3 3 + 1 · 3 2 · 4 x 5 5 + . . . + + 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1) 2 · 4 · 6 . . . 2n x 2n+1 2n + 1 + . . . (45) 134] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 134. Приближенные формулы. Ряд Маклорена, в случае его сходимости, дает возможность приближенно вычислять функцию f (x), заменяя ее конечным числом членов разложения (0) + xf ′ (0) 1! + x 2 f ′′ (0) 2! + . . Чем меньше x, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f (x) с желаемой точностью. Если x весьма мало, то достаточно ограничиться только первыми двумя членами, отбросив все остальные. Таким образом получается весьма простая приближенная формула для f (x), которая при малых x вполне может заменить часто весьма сложное точное выражение для f (Приведем такие приближенные формулы для наиболее важных функций + x ≈ 1 + x n , sin x ≈ x, 1 n √ 1 + x ≈ 1 − x n , cos x ≈ 1 − x 2 2 , (1 + x) n ≈ 1 + nx, tg x ≈ x, a x ≈ 1 + x log a, log(1 + x) ≈ Пользуясь этими приближенными формулами при x, близких к нулю (положительных или отрицательных, можно значительно упрощать сложные выражения. ∗ П р им еры n x = 1 + Эти выражения принято называть соотношениями эквивалентности. Бесконечно малые величины стоящие слева и справа от знака приближенного равенства являются эквивалентными [36]. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [135 2. log r 1 − x 1 + x = 1 2 log(1 − x) − 1 2 log(1 + x) ≈ − 1 2 x − 1 2 x = Определить увеличение объема тела при нагревании (объемное расширение, когда известен коэффициент линейного расширения α. Если одни из линейных размеров тела при есть l 0 , то при нагревании до он будет l = l 0 (1 + αt). α, коэффициент расширения, для большинства тел — весьма малая величина. Так как объемы относятся, как кубы линейных размеров, можем писать v v 0 = (1 + αt) 3 1 ; v = v 0 (1 + αt) 3 ≈ v 0 (1 + те. число 3α дает нам коэффициент объемного расширения. Для плотности, которая обратно пропорциональна объему, найдем аналогичную зависимость + αt) 3 , ρ = ρ 0 (1 + αt) −3 ≈ ρ 0 (1 − Понятно, что все эти приближенные формулы годятся только при достаточно малых x, в противном же случае они оказываются уже неточными, и необходимо привлекать к рассмотрению дальнейшие члены разложения. Максимумы, минимумы и точки перегиба. Формула Тейлора позволяет сделать существенное дополнение к правилу нахождения максимума и минимума функций, изложенному в [58]. В дальнейшем мы считаем, что f (x) имеет непрерывные производные до порядка n в точке x = и ее окрестности. Если при x = обращаются в нуль (n−1) первых производных функции f (x): f ′ (x 0 ) = f ′′ (x 0 ) = . . . = f (n−1) (x 0 ) = причем я производная f (n) (x 0 ) отлична от нуля, значение соответствует вершине кривой, если n, те. порядок первой не обращающейся в нуль производной, есть число четное, и притом: максимум, если f (n) (x 0 ) < 0, 135] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 423 минимум, если f (n) (x 0 ) > если же n есть число нечетное, то значение соответствует не вершине, а точке перегиба. Для доказательства нужно рассмотреть разности f (x 0 + h) − f(x 0 ) и f (x 0 − h) − где h — достаточно малое положительное число. По самому определению максимума и минимума [58] в точке будет максимум, если обе эти разности меньше нуля, минимум, если обе они больше нуля. Если же эти разности при сколь угодно малых положительных h будут разных знаков, то при не будет ни максимума, ни минимума. Разности же эти могут быть вычислены по формуле Тейлора, если подставить туда вместо a и ±h вместо) h: f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h 1! f ′ (x 0 ) + . . . + h n−1 (n − 1)! f (n−1) (x 0 )+ + h n n! f (n) (x 0 + θh), f (x 0 − h) = f(x 0 ) − h 1! f ′ (x 0 ) + . . . + (−1) n−1 h n−1 (n − 1)! f (n−1) (x 0 )+ + (−1) n h h n! f (n) (x 0 − θ 1 h) (0 < θ < и 0 < θ 1 < По условию) = f ′′ (x 0 ) = . . . = f (n−1) (x 0 ) = 0, f (n) (x 0 ) 6= значит (x 0 + h) − f(x 0 ) = h n n! f (n) (x 0 + Остаточный член мы берем в форме Лагранжа число θ, лежащее между нулем и единицей, при (+h) и (−h) не одно и тоже, почему мы написали во второй формуле Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [136 f (x 0 − h) − f(x 0 ) = (−1) n h n n! f (n) (x 0 − При достаточно малом положительном h множители f (n) (x 0 + θh) ив силу предполагаемой непрерывности имеют одинаковый знака именно знак числа f (n) (x 0 ), отличного от нуля. Мы видели, что точка может быть вершиной тогда и только тогда, когда обе разности f (x 0 ± h) − f(x 0 ) одинакового знака, ив силу сказанного сейчас это может случиться только, если n число четное, ибо только тогда выражения f (x 0 ± h) − f(x 0 ) будут иметь одинаковые знаки в противном же случае, когда n нечетное, множители и (−1) n h n будут разных знаков, и исследуемые разности также будут разных знаков. Допустим теперь, что n четное тогда общий знак разностей f (x 0 ± h) − f(x 0 ) совпадает со знаком f (n) (x 0 ). Если f (n) (x 0 ) < 0, то f (x 0 ± h) − f(x 0 ) < 0, и мы имеем максимум если же f (n) (x 0 ) > то f (x 0 ± h) − f(x 0 ) > 0, и получаем минимум. Если n — число нечетное, то, во всяком случае, n > 3, для второй производной f ′′ (x) мы получаем из формулы Тейлора выражение+ h) = h n−2 (n − 2)! f (n) (x 0 + θ 2 h), f ′′ (x 0 − h) = (−1) n−2 h n−2 (n − 2)! f (n) (x 0 − откуда, рассуждая таким же образом, как и раньше, убеждаемся, что ввиду нечетности (n − 2) функция f ′′ (x), обращаясь в нуль применяет знак, те. значение соответствует точке перегиба, что и требовалось доказать. Раскрытие неопределенностей. Пусть имеем отношение функций ϕ(x) ψ(x) , которые при x = a обращаются в нуль. Для раскрытия неопреде- 136] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 425 ленного выражения при ϕ(a) = ψ(a) = 0 разлагаем числитель и знаменатель по формуле Тейлора) = (x − a)ϕ ′ (a) + (x − a) 2 ϕ ′′ (a) 2! + . . . + (x − a) n ϕ (n) (a) n! + + (x − a) n+1 ϕ (n+1) (ξ 1 ) (n + 1)! , ψ(x) = (x − a)ψ ′ (a) + (x − a) 2 ψ ′′ (a) 2! + . . . + (x − a) n ψ (n) (a) n! + + (x − a) (n+1) ψ (n+1) (ξ 1 ) (n + и, по сокращении рассматриваемого отношения на некоторую степень, полагаем x = Примеры. . . 1 + 3x + 9x 2 2 + 27 6 x 3 + . . . − 1 − 3x = = lim x→0 2 − 16 24 x 2 + . . . 9 2 + 27 6 x + . . . = 4 Тот же прием приносит пользу и при раскрытии неопределенностей других видов. Рассмотрим один пример x→∞ ( 3 √ x 3 − 5x 2 + 1 − Здесь мы имеем неопределенность вида (∞ − ∞). Мы имеем x 3 − 5x 2 + 1 − x = x h 3 r 1 − 5x 2 − 1 x 3 − 1 i = Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [137 = x nh 1 − 5 x − 1 x 3 i 1 / 3 − При достаточно больших, по абсолютному значению, x разность 5 x − 1 x 3 близка к нулю, и мы можем применить формулу бинома Ньютона) при m = 1 3 , заменяя x на − 5 x − 1 x 3 : 1 − 5 x − 1 x 3 1 / 3 = 1 − 1 3 5 x − 1 x 3 + 1 3 1 3 − 1 2! 5 x − 1 x 3 2 + . . Подставляя это в фигурную скобку и сокращая единицы, получим x 3 −5x 2 +1−x = x − 1 3 5 x − 1 x 3 + 1 3 1 3 − 1 2! 5 x − 1 x 3 2 + . . . = = − 5 3 + 1 3x 2 + . . . где все невыписанные члены содержат только отрицательные степени те. в пределе при x → ∞ обращаются в нуль, и, следовательно x→∞ ( 3 p x 3 − 5x 2 + 1 − x) = − 5 Возможность предельных переходов в бесконечных рядах, которые мы применяем в настоящем номере, легко может быть оправдана, на чем мы не останавливаемся 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Понятие об абсолютно сходящемся ряде было дано в [124]. Теперь мы установим важнейшие его свойства: Сумма абсолютно сходящегося ряда никак не зависит от порядка слагаемых. Докажем это предложение сперва для рядов с неотрицательными членами, которые, как мы знаем [120], могут быть только или сходящимися (а потому и абсолютно сходящимися, или собственно расходящимися. Дополнительные сведения из теории рядов 427 Итак, пусть дан сходящийся ряд с положительными (неотрицательными) членами u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . Обозначим через s сумму его n первых членов, через s — его сумму. Мы имеем, очевидно Переставив члены ряда (1) каким угодно образом, мы получим другое распределение членов, которому будет соответствовать ряд v 1 + v 2 + v 3 + . . . + v n + . . . состоящий из тех же членов, что и (1), нов другом порядке, так что каждый член из ряда (1) имеет определенный номер в ряде (2), и наоборот. Обозначим через σ n сумму n первых членов ряда (2). При любом значении n можно найти настолько большое число m, чтобы все члены, входящие в сумму σ n , вошли в s m , а потому Таким образом, показано существование постоянного числа s, независящего от n, такого, что при всех значениях n имеем σ n 6 s, откуда [120] вытекает сходимость ряда (2). Обозначим через σ его сумму. Очевидно, что = lim Переставив в предыдущих рассуждениях ряды (1) и (2), мы таким же путем покажем, что s 6 и из неравенств σ 6 s, s 6 σ вытекает s = Обратимся теперь к рядам с какими угодно членами. Так как по условию ряд (1) абсолютно сходящийся, то ряд с положительными членами + |u |