Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Применим предыдущие соображения к разложению и приближенному вычислению простейших функций. Разложение e x . Прежде всего мы имеем f (x) = e x , f ′ (x) = e x , . . . , f (k) (x) = e x , . . . а потому f (0) = f ′ (0) = . . . = f (k) (0) = 1, Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями формула Маклорена с остаточным членом (14) дает f (x) = 1 + x 1! + x 2 2! + . . . + x n n! + x n+1 (n + 1)! e θx (0 < θ < Мы видели (пример [121]), что ряд есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях x, а потому при всяком x имеем x n+1 (n + 1)! → 0 при n → так как это выражение есть общий член сходящегося ряда. С другой стороны, множитель e θx в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит e при x > 0 и единицы при x < 0, а потому остаточный член стремится к нулю при всех значениях x, и мы получим разложение e x = 1 + x 1! + x 2 2! + . . . + x n n! + . . . которое имеет место при всех значениях В частности, при x = 1 получаем выражение для e, весьма удобное для вычисления e с любой степенью точности e = 1 + 1 1! + 1 2! + . . . + 1 n! + . . Пользуясь этой формулой, вычислим число e с шестью десятичными знаками. Если мы приближенно положим e ≈ 2 + 1 2! + . . . +См. также пример в [34]. 130] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 403 то ошибка будет + 1)! + 1 (n + 2)! + . . . = 1 (n + 1)! h 1 + 1 n + 2 + 1 (n + 2)(n + 3) + . . . i < < 1 (n + 1)! h 1 + 1 n + 1 + 1 (n + 1) 2 + . . . i = 1 (n + 1)! · 1 1 причем знак (<) поставлен потому, что в знаменателе дробей множители + 2), (n + 3), (n + 4), . . . заменены меньшим числом (n + 1), отчего все дроби увеличились. Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число e: 2 + 1 2! + . . . + 1 n! < e < 2 + 1 2! + . . . +Если желаем получить для e приближенное значение, отличающееся от истинного не более, чем на 0,000 001, положим n = 10; тогда e ≈ 2 + 1 2! + 1 3! + . . . + 1 и ошибка не превзойдет 10!10 < 3 · 10 −8 . В этой формуле первые два слагаемых вычисляются точно остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемого не больше 0,5 единицы седьмого знака, те, а вся ошибка не больше 0, 5 · 8 = 4 · те. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать 4, 3 · 10 −7 . Мы имеем Значение e с 12 знаками есть 2,718 281 828 459. 130. Разложение sin x и cos x. Мы имеем [53]: f (x) = sin x, f ′ (x) = sin x + π 2 , . . . , f (n) (x) = sin x + откуда f (0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = 0, f ′′′ (0) = −1, . . . , f (2m) (0) = 0, f (2m+1) (0) = (−1) m , Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [130 2 = 2, 000 000 0 (точно 2! = 1 2 = 0, 500 000 0 „ 1 3! = 1 2!3 = 0, 166 666 7 (по избытку 4! = 1 3!4 = 0, 041 666 7 „ „ 1 5! = 1 4!5 = 0, 008 333 3 (по недостатку 2, 7182818. 1 6! = 1 5!6 = 0, 001 388 9 (по избытку 7! = 1 6!7 = 0, 000 198 4 (по недостатку 8! = 1 7!8 = 0, 000 024 8 „ „ 1 9! = 1 8!9 = 0, 000 002 8 (по избытку 10! = 1 9!10 = 0, 000 000 3 „ после чего формула (13) дает sin x = x 1! − x 3 3! + x 5 5! − . . . + (−1) n x 2n+1 (2n + 1)! + x 2n+3 (2n + 3)! sin θx + (2n + В остаточном члене множитель x 2n+3 (2n+3)! , как мы видели выше, стремится к нулю при n → ∞, а абсолютное значение синуса не превышает единицы, и, следовательно, остаточный член стремится к нулю при всех конечных значениях x, те. разложение sin x = x − x 3 3! + x 5 5! − . . . + (−1) n x 2n+1 (2n + 1)! + . . имеет место при всех значениях Аналогичным образом мы можем доказать, что разложение cos x = 1 − x 2 2! + x 4 4! − . . . + (−1) n x 2n (2n)! + . . имеет место при всех значениях Ряды (19) и (20) весьма удобны для вычисления значений функций и cos x при малых значениях угла x. При всех значениях x, как положительных, таки отрицательных, они знакопеременные, так что если мы взяли такое число членов, что дальнейшие 131] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 405 идут убывая, то ошибка по абсолютному значению не превосходит первого из отброшенных членов При больших значениях x ряды (19) и (20) также сходятся, но медленно и для вычисления неудобны. На рис. 156 показано взаим- Рис. 156. ное расположение точной кривой sin x и первых трех приближений − x 3 6 , x − x 3 6 + x 5 Чем больше членов взято в приближенной формуле, тем в большем промежутке приближенная кривая близка к точной. Заметим, что во всех написанных формулах угол x выражается в дуговой мере, те. в радианах Пример. Вычислить sin с точностью до 10 −5 . Прежде всего переводим градусную меру в дуговую arc10 ◦ = 2π 360 · 10 = π 18 = 0, 17 . . Остановившись на приближенной формуле sin π 18 ≈ π 18 − 1 6 мы делаем ошибку, не превосходящую 120 · (0, 2) 5 < 4 · 10 −6 π 18 < 0, В правой части предыдущей формулы надлежит вычислять каждое слагаемое с шестью знаками, так как тогда полная ошибка будет не больше · 0, 5 · 10 −6 = 5 · С указанной точностью мы имеем 0, 174 533, 1 6 π 18 3 = 0, 000 886, sin π 18 = 0, 173 причем за первые четыре знака можно ручаться Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131 131. Бином Ньютона. Здесь мы имеем, считая x > −1, те. . (m − k + 1)(1 + x) m−k , f (0) = 1, f ′ (0) = m, . . . , f (k) (0) = m(m − 1) . . . (m − k + где m — любое вещественное число, так что формула (13) дает нам + x) m = 1 + m 1 x + m(m − 1) 2! x 2 + . . . + + m(m − 1) . . . (m − n + 1) n! x n + где остаточный член может быть определен по формуле (8) при a = 0: R n (x) = 1 n! x Z 0 f (n+1) (t)(x − t) n Принимая во внимание, что в данном случае f (n+1) (t) = m(m − 1) . . . (m − n)(1 + можем написать) = m(m − 1) . . . (m − n) n! x Z 0 (x − t) n (1 + Применяя к интегралу теорему о среднем (13) из [95] и обозначая через θx, где 0 < θ < 1, значение t, лежащее между 0 и x и входящее в упомянутую теорему о среднем, получим) = m(m − 1) . . . (m − n) n! (x − θx) n (1 + θx) m−n−1 x Z 0 dt = = (m − 1)(m − 2) . . . (m − n) n! x n 1 − θ 1 + θx n (1 + θx) m−1 mx. (23) 131] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 407 Если R n → 0, то ряд + m 1! x + m(m − 1) 2! x 2 + . . . + m(m − 1) . . . (m − n + 1) n! x n + . . . (должен быть сходящимся [118]. Мы имеем u n+1 u n = m − n + 1 n x → | x| при n → а потому ряд сходится (абсолютно) при |x| < 1 и расходится при > 1 [124]. Хотя ряди сходится при |x| < 1, однако еще неясно, что при этом его сумма равна (1 + x) m , и приходится еще доказывать, что R n (x) → 0 при |x| < 1. Множитель − 1)(m − 2) . . . (m − n) n! x в выражении (23) для R n (x) будет общим членом сходящегося ряда, в котором m заменено на (m − 1), а потому [118] стремится к нулю при n → Множитель не превосходит единицы при всех значениях. В самом деле, в рассматриваемом случае −1 < x < +1, а потому как при положительных, таки при отрицательных значениях будет 0 < 1 < θ < 1 + θx, откуда < 1 − θ 1 + θx < и 0 < 1 − θ 1 + θx < Последний множитель также остается ограниченным, так как число (1 + θx) лежит между 1 и 1 + x, и mx(1 + лежит между пределами mx и mx(1 + x) m−1 , независящими от Из сказанного ясно, что R n (x) по формуле (23) представляется в виде произведения трех множителей, из которых один стремится к нулю, а два других остаются ограниченными при беспредельном возрастании n, а потому и) → 0 при n → ∞. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Итак, разложение + x) m = 1 + m 1 x + m(m − 1) 2! x 2 + . . . + + m(m − 1) . . . (m − n + 1) n! x n + . . . (имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих условию < Когда показатель m есть число целое и положительное, то ряд) заканчивается на члене n = m и превращается в элементарную формулу бинома Ньютона. В общем же случае разложение (дает обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя Полезно отметить некоторые частные случае бинома 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n + . . . , (26) √ 1 + x = 1 + 1 2 x − 1 2 · 4 x 2 + 1 · 3 2 · 4 · 6 x 3 − 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 · 8 x 4 + . . . , (27) 1 √ 1 + x = 1 − 1 2 x + 1 · 3 2 · 4 x 2 − 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 x 3 + 1 · 3 · 5 · 7 2 · 4 · 6 · 8 x 4 − . . Заметим, что функция (1 + x) m при всяких x > −1 имеет положительные значения [19, 44], те. сумма ряда (24) при −1 < x < +положительна. В частности, например, ряд (27) дает в этом промежутке положительное значение + Примеры. Извлечение корней. Формула (25) особенно удобна для извлечения корней с любой степенью точности. Пусть нужно извлечь корень й степени из целого числа A. Всегда можно подобрать целое число a так, чтобы я степень a была, по возможности, ближе к A, так что, положив A = a m + b, причем |b| < a m , мы имели бы m √ A = m √ a m + b = a m r 1 + b a m 131] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 409 Так как здесь b a m < 1, то обозначив отношение b a через x, мы можем вычислить q 1 + b a m по формуле бинома Ньютона, причем ряд будет сходиться тем лучше, чем меньше абсолютное значение рассматриваемого отношения. Вычислим, например с точностью до 10 −5 . Мы имеем = 5 √ 1024 − 24 = 4 1 − 3 128 1 / 5 = = 4 1 − 1 5 · 3 128 − 1 5 · 4 10 3 128 2 − 1 5 · 4 10 · 9 15 3 128 3 − . . Остановимся на написанных членах и оценим ошибку, подставляя в формулу Множитель, как было указано, заключается между нулем и единицей. Множитель (1 + будет − θ 3 128 − 4 / 5 < 1 − 3 128 − 4 / 5 = 125 128 4 / 5 < 6 5 4 / 5 = 5 r 6 5 4 / 5 < 4 ибо 5 < 6 5 < 4 Окончательно из формулы (23) получим < 4 1 · 2 · 3 · 1 5 · 4 5 · 9 5 · 14 5 4 128 4 < < 2 · 0, 2 · 0, 8 · 0, 6 · 2, 8 · (0, 03) 4 < 5 · Вычисление оставшихся членов нужно вести с шестью знаками, так как тогда полная ошибка не превзойдет · 3 · 0, 5 · 10 −6 + 5 · 10 −7 = 6, 5 · 10 −6 < Вычисление можно расположить следующим образом Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131 1 5 = 0, 2 × 3 128 = 0, 023 4375 × 0, 2 = 0, 004 687 1 5 · 4 10 = 0, 08 × 3 128 2 = 0, 000 549 × 0, 08 = 0, 000 044 1 5 · 4 10 · 9 15 = 0, 048 × 3 128 3 = 0, 000 013 × 0, 048 = 0, 000 001 0,004 732 1 − 0, 004 732 = 0, 995 268 × 4 3, 981 072 Приближенное вычисление длины эллипса. В [103] было получено следующее выражение для длины l эллипса с полуосями a и b: l = 4 π / 2 Z 0 p a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 tdt = 4a π / 2 Z 0 r sin 2 t +формула (22)]. Вводя в рассмотрение эксцентриситет ε эллипса b 2 a 2 , b 2 a 2 = 1 − получаем = 4a π / 2 Z 0 p 1 − Интеграл этот точно вычислить нельзя, но его можно вычислить с какой угодно степенью точности, разложив 12 подынтегральную функцию вряд по степеням ε: p 1 − ε 2 cos 2 t = 1 − 1 2 ε 2 cos 2 t + 1 2 1 2 − 1 1 · 2 ε 4 cos 4 t− − 1 2 1 2 − 1 1 2 − 2 1 · 2 · 3 ε 6 cos 6 t + . . . = = 1 − 1 2 ε 2 cos 2 t − 1 8 ε 4 cos 4 t − 1 16 ε 6 cos 6 t + Разложение это, наверно, возможно, так как для эллипса ε < 1, и потому слагаемое −ε 2 cos 2 t , которое играет здесь роль x в формуле бинома Ньютона, по абсолютному значению меньше единицы при этом разложении вообще говоря подразумевается, что ε мало 131] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 411 причем ошибка R 3 , если ее оценить по формуле (23) при n = 3, удовлетворяет неравенству = 1 2 · 1 2 · 3 2 · 5 2 1 · 2 · 3 ε 8 cos 8 t 1 − θ 1 − θε 2 cos 2 t 3 (1 − θε 2 cos 2 t) 1 2 −1 < < 5 32 ε 8 cos 8 t √ 1 − так как < 1 − θ 1 − θε 2 cos 2 t 3 < и − θε 2 cos 2 t) 1 2 −1 < (1 − ε 2 cos 2 t) − 1 Подставив это выражение в (29) для l, интегрируя и вспомнив формулы, находим l = 4a π / 2 Z 0 dt − 1 2 ε 2 π / 2 Z 0 cos 2 tdt − 1 8 ε 4 π / 2 Z 0 cos 4 tdt − 1 16 ε 6 π / 2 Z 0 cos 6 tdt + π / 2 Z 0 R 3 dt = = 2πa h 1 − 1 4 ε 2 − 3 64 ε 4 − 5 256 ε 6 + где, в силу формулы (10 1 ) [95] и неравенства (30), |ρ| = 2 π π / 2 Z 0 R 3 dt < 5 32 ε 8 √ 1 − ε 2 2 π π / 2 Z 0 cos 8 tdt = 175 2 12 ε 8 √ 1 − ε 2 < 0, 05ε 8 √ 1 − Формула (31) сама по себе удобна для вычисления длины эллипса, особенно для малых эксцентриситетов. Основываясь на ней, можно указать простое геометрическое построение приближенного выражения для длины эллипса, при котором нужно иметь дело только с окружностями. Обозначим через и l 2 , соответственно, среднее арифметическое и среднее геометрическое полуосей эллипса + b 2 , l 2 = √ ab и сравним длину l эллипса с длинами 2πl 1 , двух окружностей радиусов и Замечая, что b = a p 1 − ε 2 , a + b 2 = a 2 [1 + p 1 − ε 2 ], √ ab = a 4 p 1 − ε 2 , Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями разлагая в ряды по формуле бинома Ньютона, получим без труда следующие выражения 2πa h 1 − 1 4 ε 2 − 1 16 ε 4 − 1 32 ε 6 + ρ 1 i , (32) 2πl 2 = 2πa h 1 − 1 4 ε 2 − 3 32 ε 4 − 7 128 ε 6 + причем ошибки и ρ 2 , если их оценить по формуле (23), удовлетворяют неравенствам < 5 32 ε 8 √ 1 − ε 2 , |ρ 2 | < 77 512 ε 8 (1 − Отсюда ясно, что при малом эксцентриситете, когда можно пренебречь высшими степенями ε по сравнению с ε 2 , можно принять за длину эллипса длину любой из двух окружностей, радиусы которых равны среднему арифметическому или среднему геометрическому полуосей. Если желательна большая точность, составим выражение · 2πl 1 + β · подобрав множители α итак, чтобы по возможности большее число членов в выражениях (31) и (34) совпадали между собой. Так как первые два члена каждого из выражений (31), (32) и (33) совпадают, то, прежде всего, должно быть + β = Приравнивая, далее, между собой коэффициенты при в выражениях) и (34), получаем или + 6β = Решая полученные два уравнения относительно α и β, находим = 3 2 , β = − 1 Подставив это в (34), имеем · 2πl 1 + β · 2πl 2 = 2π 3 2 l 1 − 1 2 l 2 = = 2πa 1 − 1 4 ε 2 − 3 64 ε 4 − 5 256 ε 6 + 3 2 ρ 1 − 1 2 ρ 2 , (35) 132] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 413 т. е. оказывается, что совпадают члены не только с ε 4 , но и си расхождение формул (31) и (35) начинается только с членов с ε 8 . Приняв во внимание найденные выше оценки для ρ, и и заметив, что − и − ε 2 ) 3 / 4 < 1 1 − ε 2 , 175 2 12 + 5 32 · 3 2 + 77 512 · 1 2 < 0, можем окончательно сказать с ошибкой, не превосходящей 1−ε 2 , за длину эллипса с полуосями a, b и эксцентриситетом ε можно принять длину окружности радиуса r, причем r = 3 2 a + b 2 − 1 2 √ ab. 132. Разложение log(1 + Это разложение можно получить из общей теории, номы применим другой способ, который с успехом употребляется и во многих других случаях. Выразим log(1 + x) в виде определенного интеграла. Мы имеем, очевидно, при x > −1: x Z 0 dt 1 + t = log(1 + t) x 0 = log(1 + x) − log 1 = log(1 + то есть log(1 + x) = x Z 0 dt 1 + Но имеет место тождество 1 + t = 1 − t + t 2 − t 3 + . . . + (−1) n−1 t n−1 + (−1) n t n 1 + которое непосредственно получается, если делить единицу на 1 + t и остановиться на остатке (−1) n t n . Таким образом, 13 Функция log x не может быть разложена вряд по степеням x, так как при x = 0 она сама и ее производные терпят разрыв непрерывности и обращаются в бесконечность Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [132 log(1 + x) = x Z 0 dt 1 + t = = x Z 0 1 − t + t 2 − t 3 + . . . + (−1) n−1 t n−1 + (−1) n t n 1 + t i dt = = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + . . . + (−1) n−1 x n n + где) = (−1) n x Z 0 t n dt 1 + Ряд x − x 2 2 + x 3 3 − . . . + (−1) n−1 x n n + . . . для которого u n u n−1 |