Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
a + 3h y 3 s 1 + s 2 + s 3 1 2 h (s 1 + s 2 + s 3 ) s 4 = y 3 + y 4 4 a + 4h y 4 s 1 + s 2 + s 3 + s 4 1 2 h (s 1 + s 2 + s 3 + s 4 ) s 5 = y 4 + y 5 5 a + 5h y 5 s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 1 2 h (s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 ) s 6 = y 5 + y 6 6 a + 6h y 6 s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 1 2 h (s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 ) Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 112. Графические способы. Эти вычисления можно произвести графически, если дан график кривой y = f (x); мы получим таким путем построение графика интегральной кривой y = x Z a f (x)dx = F (по графику кривой y = f (Рис. Прежде всего, если имеем достаточно делений, то мы можем принять приближенно s k 2 = y k−1 + y k 2 = y те. если график кривой) начерчен, то величины получаются непосредственно из чертежа, как ординаты кривой при (рис. 149) x k−1/2 = a + 2k − 1 Наметим на оси OY точки, A 2 (y 3/2 ), A 3 (y 5/2 ), . . . , A k (y На оси OX влево от точки O построим отрезок OP , равный единице. Проведем лучи A 1 , P A 2 , P A 3 , . . . , P и через точки M 0 , M 1 , M 2 , . . . , — им параллельные, так что A 1 , M 1 M 2 kP A 2 , M 2 M 3 kP A 3 , . . Точки M 0 , M 1 , M 2 , . . . и будут точками искомой приближенной интегральной кривой, так как нетрудно из чертежа убедиться, что x 1 M 1 = hy 1/2 , x 2 M 2 = h(y 1/2 + y 3/2 ), x 3 M 3 = h(y 1/2 + y 3/2 + y 5/2 ), . . . , 112] § 10. Приложения понятия об определенном интеграле 353 а это, в силу приближенного равенства (51), показывает x k M k =h(y 1/2 + y 3/2 + · · · + y k−1/2 )=h y 0 + y 1 2 + · · · + y k−1 + y k 2 =F (x в силу формулы (Указанное построение проделано для того случая, когда масштаб для функции F (x) совпадает с масштабом для f (x). Если масштаб для площади другой, то построение остается тем же стою только разницей, что отрезок OP имеет длину не единицу, а l, причем l равно отношению масштаба для F (x) к масштабу для f (Графическое приближенное построение повторного интеграла) = x Z a dx x Z a f (основано на формуле прямоугольников (40) Положим, как и раньше, что (x) = x Z a f (Рассматривая только значения x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . независимой переменной, мы по формуле (40) имеем приближенное равенство (x 1 ) ≈ hy 0 , F (x 2 ) ≈ h(y 0 + y 1 ), . . . , F (x k ) ≈ h(y 0 + y 1 + · · · + y Применяя туже формулу и к функции Φ, имеем k ) = h[F (x 0 ) + F (x 1 ) + · · · + F (x k−1 )] ≈ ≈ h 2 [y 0 + (y 0 + y 1 ) + · · · + (y 0 + y 1 + · · · + y Отсюда вытекает следующее построение ординаты Φ(x k ) (рис. построив точку P , как и раньше, мы на оси OY откладываем отрезки Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [112 Рис. Проведя лучи B 1 , P B 2 , P B 3 , . . . , P B k , . . . строим точки, M 1 , M 2 , . . . , M k , . . . проводя B 1 , M 1 M 2 kP B 2 , M 2 M 3 kP B 3 , . . Эти точки и будут точками искомой приближенной кривой, начерченной, однако, в неизменном масштабе (1 : h), ибо из построения ясно, что x 1 M 1 = hy 0 , x 2 M 2 = hy 0 + h(y 0 + y 1 ), . . . , x k M k = hy 0 + h(y 0 + y 1 ) + · · · + h(y 0 + y 1 + · · · + y k−1 ) ≈ Φ(x k ) h в силу (52). Если длина OP есть не единица, а l, то построенная кривая дает ординату кривой Φ(x), измененную в отношении 1 : lh. Следует оговорить, что при всем удобстве указанных построений точность их невелика, и их можно употреблять лишь при сравнительно грубых расчетах. ∗ Переменную интегрирования во внутреннем интеграле, вообще говоря, следует обозначить другой буквой, например t. 113] § 10. Приложения понятия об определенном интеграле 113. Площади быстро колеблющихся кривых. Выше [110] было указано, что для успешного применения различных приближенных формул, для вычисления определенных интегралов надлежит разбивать кривую, площадь которой определяется на участки, в каждом из которых она имеет плавную форму. Это требование весьма затруднительно для кривых, ведущих себя неправильно, имеющих много колебаний вверх и вниз. Для определения площадей таких кривых по предыдущим правилам приходится вводить слишком много подразделений, что значительно усложняет вычисления. Рис. В таких случаях полезно применять другой способа именно разбивать площадь на полоски, параллельные не оси OY , а оси OX: для приближенного определения площади кривой, изображенной на рис. откладываем на оси OY наименьшую и наибольшую ординаты α и β кривой и разделяем промежуток (α, β) на n частей в точках y 0 = α, y 1 , . . . , y i−1 , y i , . . . , y n−1 , y n = Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OX, мы разобьем всю площадь на полоски, состоящие из отдельных частей за приближенное выражение площади й полоски мы можем принять произведение ее основания (y i − y i−1 ) на сумму длин l отрезков любой прямой заключенных внутри рассматриваемой площади сумма эта непосредственно может быть определена на чертеже. Обозначив эту сумму через Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения i , мы получаем для искомой площади S приближенное выражение вида y 0 (b − a) + (y 1 − y 0 )l 1 + (y 2 − y 1 )l 2 + · · · + (y n − y n−1 )l которое будет тем точнее, чем больше число делений и чем круче колебания кривой. Надлежащее развитие основной идеи этого способа привело к понятию об интеграле Лебега, значительно более общему, чем изложенное выше понятие об интеграле Римана [94, 116]. § 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Предварительные понятия. Последние номера настоящей главы будут посвящены строгому аналитическому рассмотрению понятия интеграла, ив дальнейшем мы докажем существование определенного предела у суммы вида (ξ k )(x k − x не только для случая непрерывных функций. Для этого нам необходимо ввести некоторые новые понятия, связанные с рассмотрением разрывных функций. Пусть функция f (x) определена в некотором конечном промежутке. Мы будем рассматривать только ограниченные функции, те. такие функции, все значения которых в упомянутом промежутке остаются по абсолютной величине меньшими некоторого определенного положительного числа, те. функция f (x) называется ограниченной в промежутке (a, b), если существует такое положительное число B, что при всяком x из упомянутого промежутка мы имеем 6 Если функция f (x) непрерывна, то, как мы уже упоминали она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений, а потому, очевидно, будет и ограниченной. Наоборот, разрывные функции могут быть как ограниченными, таки неограниченными. В дальнейшем мы будем рассматривать только ограниченные разрывные функции. Положим, например, что функция 114] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 357 Рис. 152. f (x) имеет график, изображенный на рис. 152. В точке x = c мы имеем разрыв непрерывности функции, и значение функции в самой точке x = c, те, должно быть определено каким- нибудь образом путем дополнительного условия. В остальных точках промежутка, включая концы a и b, функция непрерывна. Кроме того, при стремлении переменной x к значению x = c от меньших значений, те. слева, ордината f (x) стремится к определенному пределу, геометрически изображаемому отрезком N Точно также при стремлении x кот больших значений, т. е. справа, f (x) стремится тоже к определенному пределу, изображаемому отрезком N M 2 , но этот последний предел отличен от упомянутого выше предела слева. Упомянутый предел слева обозначают обычно символом f (c − 0), а предел справа — символом f(c + 0) Этот наиболее простой разрыв непрерывности функции, при котором существуют конечные определенные пределы как слева, таки справа, называется обычно разрывом первого рода. Значение функции в самой точке x = c, те, будет, вообще говоря, отличным как от f (c − 0), таки от f(c + 0) и должно быть определенно дополнительно. Если функция непрерывна в промежутке (a, b), включая концы, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, то график такой функции состоит из конечного числа кривых, непрерывных вплоть до своих концов, и из отдельных точек в местах разрыва непрерывности (рис. Рис. Такая функция, несмотря на свою раз- рывность, будет, очевидно, ограниченной во всем промежутке. Но, конечно, функции и с более сложными разрывами могут быть ограниченными. В дальнейшем мы часто будем рассматривать множества всех значений, которые некоторая функция f (x) принимает на каком-либо заданном промежутке изменения независимой пере Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [115 менной. Если взятая функция ограничена в рассматриваемом промежутке, то множество ее значений в этом промежутке ограничено сверху и снизу, а потому это множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы [39]. Если, например, f (x) непрерывна в рассматриваемом промежутке (замкнутом, то, как известно она достигает в этом промежутке наибольшего и наименьшего значений. В данном случае эти наибольшее и наименьшее значения функции и будут точными верхней и нижней границами значений f (x) в рассматриваемом промежутке. Рассмотрим другой пример. Если функция f (x) есть возрастающая функция, то она принимает наибольшее значение на правом конце промежутка и наименьшее — на левом. Эти значения, также как ив предыдущем случае, будут точными верхней и нижней границами значений f (x). В обоих рассмотренных примерах точные границы значений функции сами являлись частными значениями функции, те. сами принадлежали к рассматриваемой совокупности значений функции. В более сложных случаях разрывной функции точные границы значений функции могут сами и не являться значениями функции, те. могут и не принадлежать к множеству значений функции. Пусть m — точная нижняя граница множества значений ограниченной функции f (x) на некотором конечном промежутке (a, b) и — точная верхняя граница. Возьмем новый промежуток (a ′ , который является частью (a, Пусть и M ′ — точные нижняя и верхняя границы множества значений f (x) на (a ′ , b ′ ). Так как множество значений f (x) на (a ′ , содержится в множестве значений f (x) на более широком промежутке, то можно утверждать, что m ′ > m и M ′ 6 M , т. е. имеет место Л ем м а 1. Если некоторый промежуток заменить его частью, то точная верхняя граница значений f (x) не может увеличиться, а точная нижняя граница не может уменьшиться. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. Пусть конечный промежуток (a, b) разбит наконечное число частей промежуточными значениями x: a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x k−1 < x k < · · · < x n−1 < x n = b. (1) 115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 359 Такое разбиение будем обозначать одной буквой δ; значения x называются точками деления δ. У различных разбиений число частичных промежутков и точки деления x k , вообще говоря, различны. Длины частичных промежутков для разбиения (1) обозначим x k − x k−1 (k = 1, 2, . . . , n). Пусть f (x) — ограниченная функция, заданная на промежутке (a, b). Напишем сумму, соответствующую разбиению δ (1), предел которой, если он существует, дает определенный интеграл от f (x) по промежутку (a, b): σ(δ, ξ k ) = n X k=1 f (Она зависит от δ и выбора точек ξ k . Рассмотрим множество значений) в промежутке (x k−1 , x k ). В силу ограниченности функции f (x), это — ограниченное множество. Обозначим через m точную нижнюю и через M k — точную верхнюю границы значений f (x) в промежутке (x k−1 , x k ) (k = 1, 2, . . . , n) ив слагаемых суммы (заменим f (ξ k ) на m k , а также на M k . Мы получим две суммы, зависящие только от разбиения δ промежутка (a, b): s(δ) = n X k=1 m k δ k ; S(δ) Из определения m и M k непосредственно следует m k 6 f (ξ k ) 6 откуда ввиду положительности δ k будем иметь s(δ) 6 σ(δ, ξ k ) 6 Пусть, как и выше, m и M — точные нижняя и верхняя границы значений f (x) на всем промежутке (a, b). Используя лемму нетрудно видеть, что имеют место неравенства m 6 m k 6 M k 6 M, k = 1, 2, . . . , Эти суммы часто называют нижней и верхней суммами Дарбу соответственно Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [115 и, кроме того, очевидно n X k=1 δ k = n X k=1 (x k − x k−1 ) = b − Умножая неравенства (5) на положительные числа δ k и суммируя по k от k = 1 дополучим те. множество значений s(δ) и S(δ) при всевозможных разбиениях ограничено сверху и снизу. Обозначим буквою i точную верхнюю границу множества значений s(δ) и буквою I — точную нижнюю границу значений S(δ) при всевозможных разбиениях Отметим, что неотрицательная разность M −m называется обычно колебанием функции f (x) на промежутке (a, b). Разность M k − m есть колебания функции f (x) на промежутке (x k−1 , x Введем теперь некоторые новые понятия. Разбиение промежутка) назовем продолжением разбиения δ, если всякая точка деления δ есть и точка деления δ ′ , те. получается из δ добавлением новых точек деления (если не совпадает с δ). Если и два разбиения, то произведением их назовем такое разбиение (a, точки деления которого получаются объединением точек деления как δ 1 , таки. Произведение разбиений обозначим символом Это понятие применимо и для нескольких сомножителей. Разбиение является, очевидно, продолжением как разбиения δ 1 , таки разбиения Лемма. Если разбиение есть продолжение разбиения то s(δ) 6 s(δ ′ ) и S(δ) > При переходе от δ к каждый из промежутков (x k−1 , x k ) подразделения может разбиться на части. Положим, например, что этот промежуток разбился натри части (x k−1 , α k ), (α k , β k ), (β k , x длины которых δ (1) k = α k − x k−1 , δ (2) k = β k − α k , δ (3) k = x k − β k , и 115] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 361 пусть M (1) k , M (2) k , M (3) k — точные верхние границы множества значений) в указанных промежутках. В силу леммы 1: M (1) k , M (2) k и M (3) k 6 M k , и сумма δ (1) k + δ (2) k + δ (3) k = δ k = x k − x k−1 . Слагаемое суммы S(δ) при переходе к заменяется суммой трех слагаемых+ M (2) k δ (2) k + M (3) k δ (3) k ив силу сказанного выше+ M (2) k δ (2) k + M (3) k δ (3) k 6 M k (δ (1) k + δ (2) k + δ (3) k ) = те. при переходе от δ к каждое слагаемое M k δ k суммы или заменяется конечной суммой, которая меньше или равна M k δ k , или остается без изменения. Отсюда и следует, что S(δ) > S(δ ′ ). Совершенно аналогично доказывается, что s(δ) 6 s(δ ′ ), и лемма доказана. Принимая во внимание, что m k 6 M k и δ k положительны, легко видеть, что при одном и том же δ мы имеем s(δ) 6 S(δ). Покажем, что такое же неравенство имеет место и для любых различных раз- биений. Л ем м а 3. Если и δ 2 — любые два разбиения, то s(δ 1 ) 6 Рассмотрим произведение разбиений и δ 2 . Поскольку есть продолжение и δ 2 , из леммы 2 следует, что s(δ 1 δ 2 ) > s(δ 1 ) и) 6 S(δ 2 ), и пользуясь неравенством s(δ 1 δ 2 ) 6 S(δ 1 δ 2 ), получаем. Лемма доказана. Из этой леммы непосредственно следует, что верхняя грань i множества значений s(δ) при всевозможных разбиениях δ и нижняя грань I для S(δ) удовлетворяют неравенствам s(δ) 6 i 6 I 6 Займемся теперь суммами σ(δ, ξ k ), которые удовлетворяют неравенствам. При фиксированном разбиении δ, в силу определения m k и M k , можно при любом k выбрать ξ k так, чтобы f (ξ k ) было сколько угодно близко кили даже (в некоторых случаях) совпадало ст. е. можно выбрать ξ k так, чтобы сумма σ(δ, была сколь угодно близкой кили даже в некоторых случаях, чтобы σ(δ, ξ k ) совпадало с S(δ). С другой стороны, в силу (4), Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, ξ k ) 6 S(δ). Отсюда следует, что S(δ) есть точная верхняя граница значений σ(δ, ξ k ) при всевозможных выборах ξ k . Аналогично доказывается, что s(δ) есть точная нижняя граница значений, ξ k ), те. имеет место Л ем м а 4. При фиксированном разбиении δ величина s(δ) есть точная нижняя граница значений σ(δ, ξ k ) при всевозможных выборах, а S(δ) есть точная верхняя граница множества значений) при тех же условиях. Интегрируемые функции. Укажем теперь необходимое и достаточное условие существования интеграла у ограниченной функции f (x) или, как говорят, необходимое и достаточное условие интегрируемости f (x). Через µ(δ) в дальнейшем будем обозначать наибольшую из длин частичных промежутков, входящих в подразделение Теорема. Необходимое и достаточное условие интегрируемо- сти ограниченной функции f (x) наконечном промежутке (a, состоит в том, чтобы разность) − s(δ) = |