Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
n X k=1 (M k − m стремилась к нулю, если µ(δ) стремится к нулю. Иначе говоря, это условие, назовем его условием A, состоит в следующем при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что неотрицательна разность) − s(δ) < ε, если µ(δ) < Достаточность. Положим, что условие A теоремы выполнено, те при µ(δ) → 0. При этом из (7) следует, что i = I и что s(δ) и S(δ) стремятся к I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, в силу (4), что и сумма σ(δ, ξ k ) стремится к I при µ(δ) → и любом выборе ξ k . Точнее говоря |I − σ(δ, ξ k )| < ε при µ(δ) < причем η > 0 определяется заданием ε > 0. Таким образом, доказано, что f (x) интегрируема и число I есть величина интеграла. Достаточность условия A доказана 116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 363 Н е обходим ость. Положим, что f (x) интегрируема. Докажем, что выполнено условие A. Обозначим величину интеграла от f (x). Из его определения следует для любого ε > 0 существует такое η > 0, что, ξ k ) − I 0 | < ε 4 , если µ(δ) < при любом выборе ξ k . В силу леммы 4, при любом фиксированном, возможен такой выбор ξ k = ξ ′ k и ξ k = ξ ′′ k , что, ξ ′ k ) − s(δ)| и |σ(δ, ξ ′′ k ) − S(δ)| Мы можем написать) − s(δ) = [S(δ) − σ(δ, ξ ′′ k )] + [σ(δ, ξ ′′ k ) − I 0 ]+ + [I 0 − σ(δ, ξ ′ k )] + [σ(δ, ξ k ) − откуда, в силу (9) и (10), получаем при µ(δ) < η |S(δ) − s(δ)| 6 |S(δ) − σ(δ, ξ ′′ k )| + |σ(δ, ξ ′′ k ) − I 0 | + |I 0 − σ(δ, ξ ′ k )|+ + |σ(δ, ξ ′ k ) − s(δ)| 6 ε 4 + ε 4 + ε 4 + ε 4 = те при µ(δ) < η, а это и есть условие A. Необходимость условия доказана. З а меча ни е 1. Из доказательства достаточности следует, что i = I при выполнении условия A, и при этом величина интеграла равна I. Поэтому из необходимости условия A следует, что равенство является необходимым условием интегрируемости. З а меча ни е 2. Можно показать, что для любой ограниченной функции f (x) будет s(δ) → i и S(δ) → I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, что если i = I, то (S(δ) − s(δ)) → 0 при µ(δ) → 0, и потому равенство i = I не только необходимо, но и достаточно для интегрируемости f (x). I. Если f (x) непрерывна на замкнутом промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна на нем. Кроме того, на каждом из промежутков) она достигает своего наименьшего значения m и Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [116 наибольшего M k . В силу равномерной непрерывности f (x) при любом заданном ε > 0 существует такое η > 0, что 0 6 M k −m если µ(δ) < η. При этом 6 n X k=1 (M k − m k )δ k < n X k=1 ε b − a δ k = ε b − a n X k=1 δ k = ε b − a (b − a) = те, если µ(δ) < η. Таким образом, условие A выполнено, и, следовательно, всякая непрерывная функция интегрируема. Положим теперь, что ограниченная функция f (x) имеет конечное число точек разрыва. Для определенности будем считать, что f (x) имеет одну точку разрыва x = c, лежащую внутри (a, Отметим прежде всего, что разности M k − m на любом частичном промежутке не превосходят колебания M − m функции на всем промежутке (a, b): M k − m k 6 M − m, k = 1, 2, . . . , Рис. Пусть задано положительное число ε. Выделим точку c из промежутка (a, b) малым фиксированным промежутком (a 1 , рис. 154), таким, что a < a 1 < c < b 1 < b и b 1 − a 1 < ε. На замкнутых промежутках (a, a 1 ) и (b 1 , b) функция f (x) непрерывна, а тем самыми равномерно непрерывна. Поэтому для каждого из этих двух промежутков существует такое число η, что |f(x ′′ )−f(x ′ )| < если и принадлежат (a, a 1 ) или (b 1 , b) и |x ′′ − x ′ | < η. Числа могут оказаться разными для (a, a 1 ) и (b 1 , b), но если мы возьмем наименьшее из этих двух чисел η, то оно будет годиться для обоих промежутков. Пусть δ — любое такое разбиение (a, b), что соответствующее ему µ(δ) меньше чисел η и ε: µ(δ) < η и µ(δ) < те. меньше наименьшего из двух чисел η и Оценим соответствующую таком δ сумму (8), состоящую из неотрицательных слагаемых. Промежутки (x k−1 , x k ), принадлежащие, разобьем на два класса. К первому отнесем те, которые целиком укладываются вили, а ко второму классу остальные частичные промежутки разбиения δ. Это будут те промежутки 116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле k−1 , x k ), которые или принадлежат (a 1 , b 1 ) или частью налегают на этот промежуток. Сумма длин δ k промежутков первого класса, очевидно, меньше (b − a), а эта сумма для промежутков второго класса меньше 3ε. Это вытекает из неравенства b 1 − a 1 < ε, второго из неравенств (12) итого факта, что число частью налегающих на (a 1 , b 1 ) промежутков разбиения δ не больше двух. Далее, для промежутков первого класса, в силу непрерывности f (x) на (a, и (b 1 , b), первого из неравенств (12) и определения числа η, имеем m k < ε. Для промежутков второго класса используем неравенство. Таким образом, имеем для суммы по промежуткам первого класса m k )δ k < ε X I δ k < ε(b − и для промежутков второго класса m k )δ k 6 (M − m) X II δ k < (M − Окончательно n X k=1 (M k − m k )δ k < ε[(b − a) + 3(M − если µ(δ) удовлетворяет неравенствам (12). Квадратная скобка в правой части (13) есть определенное число, и принимая во внимание возможность произвольного выбора малого положительного числа ε, мы можем утверждать, что выполнено условие A, те. всякая ограниченная функция f (x), имеющая конечное число точек разрыва непрерывности, интегрируема. Рассмотрим тот случай, когда f (x) — монотонная ограниченная наконечном промежутке (a, b) функция. Для определенности будем считать, что f (x) не убывает, те, если c 1 < При этом на каждом промежутке (x k−1 , x k ) мы имеем m k = f (x и M k = f (x k ). Отсюда следует) − s(δ) = n X k=1 (M k − m k )δ k = n X k=1 [f (x k ) − f(x k−1 )]δ k Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [116 Но δ k 6 µ(δ) и разности f (x k ) − f(x k−1 ) неотрицательны, и, следовательно Принимая во внимание, что n X k=1 [f (x k ) − f(x k−1 )] = [f (x 1 ) − f(a)]+ + [f (x 2 ) − f(x 1 )] + · · · + [f(b) − f(x n−1 )] = f (b) − получаем) − s(δ) 6 [f(b) − откуда следует, что) − s(δ) < ε, если µ(δ) < ε f (b) − при f (b) > f (Если f (b) = f (a), то f (x) — постоянная. Таким образом, всякая монотонная ограниченная функция ин- тегрируема. Заметим, что монотонная функция может иметь и бесчисленное множество точек разрыва, так что случай (III) не исчерпывается случаем (II). В качестве примера можем привести функцию, равную нулю при 0 6 x < 1 2 , равную при 2 6 x < 2 3 , равную при 3 6 x < 3 4 , и т. д. и, наконец, равную 1 при x = 1. У этой неубывающей функции точками разрыва будут на промежутке (0, 1) значения. Упомянем о том, что монотонная ограниченная функция должна иметь во всякой точке разрыва x = c пределы f (c − 0) и f(c + Это непосредственно следует из существования предела у монотонной и ограниченной последовательности чисел При выводе условий интегрируемости мы всегда предполагали) ограниченной. Можно доказать, что это условие является 117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 367 необходимым условием интегрируемости, те. существования определенного предела у суммы (2). Если это условие ограниченности не выполнено, то все же в некоторых случаях можно определить интеграл от f (x) по промежутку (a, b), но уже не как предел суммы. В этом случае интеграл называется несобственным. Основы учения о несобственном интеграле выяснены нами в [97]. Более подробно это будет изложено во втором томе. Если промежуток интегрирования (a, b) бесконечен в одну или в обе стороны, то понятие об определенном интеграле по такому промежутку также не приводится непосредственно к пределу суммы вида (2). В этом случае мы имеем тоже несобственный интеграл (см. [98] и второй том. Свойства интегрируемых функций. Пользуясь найденным выше необходимыми достаточным условием интегрируе- мости, нетрудно выяснить основные свойства интегрируемых функций. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), и мы изменим произвольно значения f (x) в конечном числе точек из (a, тоновая функция будет также интегрируема в (a, b) и величина интеграла от этого не изменится. Ограничимся рассмотрением того случая, когда мы изменили значение f (x) водной точке, например в точке x = a. Новая функция) везде совпадет с f (x), кроме x = a, а ϕ(a) берем произвольно. Пусть m и M — точные нижняя и верхняя границы f (в (a, b). Точная нижняя граница ϕ(x) будет, очевидно, больше или равна m, если ϕ(a) > m, и будет ϕ(a), если ϕ(a) < m. Точно также точная верхняя граница ϕ(x) будет меньше или равна M , если, и будет ϕ(a), если ϕ(a) > M . Сравнивая сумму (для f (x) и ϕ(x), замечаем, что разница может быть только впер- вом слагаемом (при k = 1). Но это первое слагаемое, очевидно, для f (x) и ϕ(x) стремится к нулю, так как δ 1 → 0 и (M 1 −m 1 ) ограничено. Сумма остальных слагаемых, кроме первого, также, очевидно, стремится к нулю, так как f (x) интегрируема, и вся сумма (8) для f (x) должна стремиться к нулю. Интегрируемость ϕ(x) доказана. Совпадение значений интеграла для f (x) и ϕ(x) очевидно, ибо при составлении сумм (2) мы всегда можем считать ξ 1 , отличным от Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, а значения f (x) и ϕ(x) во всех точках, кроме x = a, совпадают. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), то она интегрируема в любом промежутке (c, d), составляющем часть (a, Это легко следует из того, что сумма (8), состоящая из неотрицательных слагаемых, для промежутка (c, d) не больше, чем эта сумма для (a, b), при условии, что в этой последней сумме x = c и x = d суть точки деления. В силу интегрируемости f (x) на (a, сумма (8) для (a, b) стремится к нулю при µ(δ) → 0 при любых точках деления. Тем более и сумма для (c, d) стремится к нулю, если µ(δ) → 0 для частичных промежутков из (c, d), те) интегрируема на (c, d). Заметим, что c может совпадать с a, а d может совпадать с b. Совершенно также, как ив, доказывается равенство. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и cf (x), при любом постоянном c, также интегрируема в (a, Считая, например, c > 0, можно утверждать, что для функции cf (x) надо заменить прежние m и M k на cm и cM k . Сумма (приобретает лишь множитель c и будет по-прежнему стремиться к нулю. Свойство V из [94], очевидно, сохраняется и доказывается по-прежнему. IV. Если f 1 (x) и f 2 (x) — функции, интегрируемые в (a, b), то их сумма) = f 1 (x) + также интегрируема в (a, Пусть m ′ k , M ′ k , m ′′ k , M ′′ k — точные нижние и верхние границы f 1 (x) ив промежутке (x k−1 , x k ). Таким образом, все значения f 1 (x) в промежутке (x k−1 , x k ) больше или равны m ′ k , а все значения f 2 (x) там же больше или равны m ′′ k . Отсюда ϕ(x) > m ′ k + m ′′ k в промежутке (x k−1 , x Точно также доказывается, что ϕ(x) 6 M ′ k + M ′′ k в промежутке k−1 , x k ). Обозначая через m и M k точную нижнюю и точную 117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 369 верхнюю границы ϕ(x) в промежутке (x k−1 , x k ), имеем, таким образом и M k 6 M ′ k + откуда следует неравенство m k 6 (M ′ k + M ′′ k ) − (m ′ k + то есть m k 6 (M ′ k − m ′ k ) + (M ′′ k − Составляя сумму (8) для ϕ(x), получим 6 n X k=1 (M k − m k )δ k 6 n X k=1 (M ′ k − m ′ k )δ k + n X k=1 (M ′′ k − Обе суммы, стоящие справа, стремятся к нулю при µ(δ) → так как функции f 1 (x) и f 2 (x) по условию интегрируемы. Следовательно, сумма (8) длят. е. сумма n X k=1 (M k − m и подавно стремится к нулю, те) также интегрируема. Доказательство распространяется легко на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых. Свойство VI из [94] доказывается, как и раньше. Аналогично предыдущему доказываются следующие свойства. Произведение f 1 (x)f 2 (x) двух функций, интегрируемых в, b), будет функция, также интегрируемая в (a, b). VI. Если f (x) интегрируема в (a, b) и точные нижняя и верхняя границы m и M функции f (x) водного итого же знака, то и (есть функция, интегрируемая в (a, b). VII. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и ее абсолютное значение также есть функция, интегрируемая в (a, Неравенство (10) из [95] может быть доказано, как и выше. Совершенно также остается справедливыми свойство VII из [95], если f (x) и ϕ(x) — интегрируемые функции. Теорема о среднем читается так Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [117 Если f (x) и ϕ(x) интегрируемы в промежутке (a, b) и сохраняет знак в этом промежутке, то b Z a f (x)ϕ(x)dx = где µ — некоторое число, удовлетворяющее неравенству m 6 µ 6 M , аи точные нижняя и верхняя границы f (x) в (a, b). В частности, b Z a f (x)dx = µ(b − Доказательство будет таким же, что и раньше [95]. Пользуясь этой формулой, нетрудно установить, что (x) = x Z a f (t)dt есть непрерывная функция от x, и F ′ (x) = f (x) при всех значениях, где f (x) непрерывна. Наконец, установим основную формулу интегрального исчисления для интегрируемых функций. Пусть) — непрерывная в промежутке (a, b) функция, и при любом значении x внутри промежутка (a, b) имеется производная F ′ 1 (x) = f (x), где f (x) — интегрируемая в (a, b) функция. При этом имеет место основная формула b Z a f (x)dx = F 1 (b) − Разбивая промежуток на части и применяя к каждой части k−1 , x k ) формулу конечных приращений [63], можем написать k ) − F 1 (x k−1 ) = F ′ 1 (ξ k )δ k = f (ξ k )δ k (x k−1 < ξ k < x Далее, суммируя пои принимая во внимание, что (III из [116]) n X k=1 [F 1 (x k ) − F 1 (x k−1 )] = F 1 (b) − F 1 (a), 117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 371 мы получим) − F 1 (a) = n X k=1 f (Равенство это справедливо при любом разбиении промежутка, b) на части ввиду специального выбора точек ξ k , определяемого формулой конечных приращений (14). Переходя к пределу, получим вместо суммы интеграл) − F 1 (a) = b Z a f (что и требовалось доказать. Заметим, что при определении интеграла значения f (x) на концах промежутка (a, b) не играют роли, в силу свойства I настоящего номера ГЛАВА РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ. Понятие о бесконечном ряде. Пусть дана бесконечная последовательность чисел u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . Составив сумму n первых членов последовательности s n = u 1 + u 2 + . . . + u мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чисел s 1 , s 2 , . . . , s Если эта последовательность стремится к пределу конечному говорят, что бесконечный ряд u 1 + u 2 + . . . + u n + . . . (3) 118] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 373 сходится и имеет сумму s, и пишут = u 1 + u 2 + . . . + u n + . . Если жене стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится. ∗ Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемых при беспредельном возрастании n по всем целым положительным значениям стремится к пределу, и этот предел называется суммою ряда. О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когда он сходится и тогда сумма первых членов ряда s является приближенные выражением для суммы ряда s. Погрешность r этого приближенного выражения, те. разность r n = s − s называется остатком ряда. Очевидно, что остаток r есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается изданного ряда (1), если в нем отбросить первые n членов сначала. Точная величина этого остатка в большинстве случаев остается неизвестной, и потому особенно важной является приближенная оценка этого остатка. Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессия a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + . . . (a 6= Рассмотрим отдельно случаи < 1, |q| > 1, q = 1, q = Мы знаем [27], что при |q| < 1 геометрическая прогрессия имеет конечную сумму s = a 1−q , и потому оказывается сходящимся рядом; ∗ Суммы S n называются частичными суммами ряда Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям действительно, при этом s n = a + aq + . . . + aq n−1 = a − aq n 1 − q , s − s n = a 1 − q − a − aq n 1 − q = aq n 1 − и s − s n → 0 при n → ∞, так как q n → 0 при |q| < 1 [26]. При |q| > из выражения s видно, что s n → ∞ при n → ∞, так как q n → при |q| > 1 [29]. Примы имеем s n = an, и, очевидно, также s n → ∞, так что при |q| > 1 и q = 1 геометрическая прогрессия оказывается расходящимся рядом. Примы получаем ряд a − a + a − a + . . Сумма s первых n его членов равна нулю, если n четное, и равна, если n нечетное, те не стремится к пределу, и ряд расходится однако при всех значениях n эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает только значения 0 и Если абсолютная величина s n — суммы n первых членов ряда) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастании n, то ряд (3) называется собственно расходящимся. В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткости будем говорить просто расходящийся ряд. Основные свойства бесконечных рядов. Сходящиеся бесконечные ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать сними, как с конечными суммами. Если ряд u |