Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
![]()
|
t=0 = Разделяя переменные, имеем dx (a − x)(b − x) = или, интегрируя − x)(b − x) = kt + где C 1 — произвольная постоянная. Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]: 1 (a − x)(b − x) = A a − x + B b − x , 1 = A(b − x) + B(a − x) = −(A + B)x + (Ab + что дает + B) = 0; Ab + Ba = откуда = −B = 1 b − a , 93] § 8. Неопределенный интеграл 287 так что − x)(b − x) = 1 b − a Z dx a − x − Z dx b − x = 1 b − a log b − x a − Подставляя в (26), имеем b − x a − x = (b − a)kt + (b − a)C 1 , b − x a − x = где C = e (b−a)C 1 . Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда. Предлагаем читателю разобрать случай a = b, когда предыдущие формулы теряют смысл. Рис. Найти все кривые, пересекающие подданным постоянным углом радиусы- векторы, проведенные изначала координат) (рис. Пусть M (x, y) есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем = α − θ, tg ω = tg (α − θ) = tg α − tg θ 1 + tg α tg θ = y ′ − y x 1 + y ′ y Обозначив для удобства вычислений tg ω = 1 a и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде x + yy ′ = a(y ′ x − или, умножив обе части на dx, xdx + ydy = a(xdy − Вообще, углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [94 Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат x, y к полярным r, θ, приняв ось OX заполярную ось и начало координат O за полюс. Мы имеем [82] x 2 + y 2 = r 2 , θ = arctg что дает xdx + ydy = rdr, dθ = 1 1 + y 2 x 2 d y x = xdy − ydx x 2 + Уравнение (27) перепишется после этого в виде = ar 2 dθ, или dr r = Интегрируя, имеем log r = aθ + C 1 , те, где C = Полученные кривые называются логарифмическими спиралями 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Основные свойства определенного интеграла. Мы уже говорили, что определенный интеграл = b Z a f (x)dx, a < где (a, b) — конечный промежуток и f (x) — непрерывная в нем функция, есть предел сумм вида [87] b Z a f (x)dx = lim n X k=1 f (ξ k )(x k − x Этот предел надо понимать следующим образом при любом заданном положительном ε существует такое положительное число, что − n X k=1 f (ξ k )(x k − x k−1) < ε 94] § 9. Свойства определенного интеграла 289 при любом разбиении и выборе точек ξ k из промежутков (x k−1,x если набольшая из (положительных) разностей x k − x k−1 < Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любом выборе ξ k и стремлении наибольшей из разностей x k − x к нулю. Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела) надо понимать так, как это указано выше (с помощь и В конце главы мы докажем существование упомянутого предела сумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования. Мы предполагали, что нижний предел a интеграла меньше верхнего предела b. Если a = b, то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считать a Z a f (x)dx = Это равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему. При a > b принимается следующее определение f (x)dx = − a Z b f (В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше верхнего a и интеграл понимается обычным образом, как указано выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму, то для нее (a > b) мы получим a = x 0 > x 1 > x 2 > · · · > x k−1 > x k > · · · > x n−1 > x n = и все разносит (x k − x k−1 ) отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), те. будем считать Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения верхним пределом и b нижним, то промежуточные точки x надо будет считать в обратном порядке, ив сумме (2) все разности переменят знак. Эти соображения делают естественным определение) в том случае, когда a > Отметим еще очевидное равенство b Z a dx = b Z a 1dx = b − Действительно, раз подынтегральная функция при всех x равна единице, то b Z a dx = lim[(x 1 − a) + (x 2 − x 1 ) + (x 3 − x 2 ) + · · · + + (x n−1 − x n−2 ) + (b − x Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной (Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные равенствами (3) и (4). I. Определенный интеграл с одинаковыми верхними нижним пределами считается равным нулю. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак f (x)dx = − b Z a f (x)dx. III. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования f (x)dx = b Z a f (Это уже было выяснено в [87]. 94] § 9. Свойства определенного интеграла. Если дан ряд чисел a, b, c, . . . , k, Уравнение вида y ′ ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами. расположенных в каком угодно порядке, то l Z a f (x)dx = b Z a f (x)dx + c Z b f (x)dx + · · · + l Z k f (Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел a, b, c, после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно число слагаемых. Допустим сперва, что a < b < c. Из определения вытекает, что c Z a f (x)dx = lim n X l=1 f (ξ i )(x i − x причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ни разбивали на части промежуток (a, c), лишь бы только наибольшая из разностей (x 1 − x i−1 ) стремилась к нулю. Мы можем условиться разбивать промежуток (a, c) так, чтобы точка b, лежащая между a и c, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогда сумма n X i=1 f (ξ i )(x i − x разобьется на две такого же типа, стой лишь разницею, что при составлении одной мы будем разбивать на части промежуток (a, при составлении же другой — промежуток (b, c), ипритом так, что в обоих случаях наибольшая из разностей (x i − x i−1 ) стремится к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к b Z a f (x)dx, c Z b f (x)dx, Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [94 и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа (что и требовалось доказать. Пусть теперь b лежит вне промежутка (a, c), например a < c < По доказанному сейчас мы можем написать b Z a f (x)dx = c Z a f (x)dx + b Z c f (откуда c Z a f (x)dx = b Z a f (x)dx − b Z c f (Нов силу свойства II имеем f (x)dx = c Z b f (те. опять c Z a f (x)dx = b Z a f (x)dx + c Z b f (Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, те. Свойства определенного интеграла 293 ибо b Z a Af (x)dx = lim n X i=1 Af (ξ i )(x 1 − x i−1 ) = = A lim n X i=1 f (ξ i )(x i − x i−1 ) = A b Z a f (x)dx. VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например (x) − ϕ(x)]dx = lim n X i=1 [f (ξ i ) − ϕ(ξ i )](x i − x i−1 ) = = lim n X i=1 f (ξ 1 )(x i − x i−1 ) − lim n X i=1 ϕ(ξ i )(x i − x i−1 ) = = b Z a f (x)dx − b Z a ϕ(x)dx. ∗ 95. Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (a, b) функции) и ϕ(x) удовлетворяют условию f (x) 6 ϕ(x), a 6 x 6 то и b Z a f (x)dx 6 b Z a ϕ(x)dx (b > короче говоря, неравенства можно интегрировать. ∗ Это верно в том случае если оба интеграла в правой части существуют. Это утверждение является, фактически, следствием теоремы об арифметических действиях с пределами Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [95 Составим разность b Z a ϕ(x)dx − b Z a f (x)dx = b Z a [ϕ(x) − f(x)]dx = = lim n X i=1 [ϕ(ξ i ) − f(ξ i )](x i − x В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, тоже можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит к неравенству (Приведем еще геометрическое пояснение сказанного. Допустим сперва, что обе кривые y = f (x), y = Рис. лежат над осью OX (рис. Тогда фигура, ограниченная кривой, осью OX и ординатами и x = b, лежит целиком внутри аналогичной фигуры, ограниченной кривой y = ϕ(x), а потому площадь первой фигуры не превосходит площади второй, т. е f (x)dx Общий случай какого угодно расположения данных кривых относительно оси OX при сохранении условия (7) приводится к предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение прибавит к каждой функции f (x) и ϕ(x) одно и тоже слагаемое Легко показать, что если в (7) имеет место знак <, то ив) имеет знак <. Напомним, что функции f (x) и ϕ(x) считаются непрерывными. Свойства определенного интеграла 295 С лед ст в и е. Если в промежутке (a, b) |f(x)| 6 ϕ(x) 6 то b Z a f (x)dx 6 b Z a ϕ(x)dx 6 M (b − a), b < В самом деле, условия (9) равносильны следующим 6 −ϕ(x) 6 f(x) 6 ϕ(x) 6 +Интегрируя эти неравенства в пределах от a до b (свойство VII) и пользуясь (5), получаем − a) 6 − b Z a ϕ(x)dx 6 b Z a f (x)dx 6 b Z a ϕ(x)dx 6 M (b − что равносильно неравенствам (Полагая ϕ(x) = |f(x)|, получаем из (10) важное неравенство f (x)dx 6 b Z a |f(x)|dx, (10 которое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае, когда f (x) не меняет знака в промежутке (a, Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема. Т е орем а ос ред нем. Если функция ϕ(x) сохраняет знак в промежутке (a, b), то b Z a f (x)ϕ(x)dx = f (ξ) b Z a ϕ(x)dx, (11) Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [95 где ξ есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (a, Будем для определенности считать ϕ(x) > 0 в промежутке (a, и обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) в промежутке (a, b). Так как, очевидно 6 f (x) 6 причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда f (x) постоянна) и ϕ(x) > 0, то mϕ(x) 6 f (x)ϕ(x) 6 M ив силу свойства VII, считая b > a, m b Z a ϕ(x)dx 6 b Z a f (x)ϕ(x)dx 6 Отсюда ясно, что существует такое число P , удовлетворяющее неравенству m 6 P 6 M , что b Z a f (x)ϕ(x)dx = Так как функция f (x) непрерывна, она принимает в промежутке) все значения, лежащие между наименьшими наибольшим, в том числе и значение P [35]. Поэтому найдется такое значение ξ внутри промежутка (a, b), для которого f (ξ) = что и доказывает формулу (Если ϕ(x) 6 0 в промежутке (a, b), тов промежутке, b). Применяя к ней доказанную теорему, получим b Z a f (x)[−ϕ(x)]dx = f(ξ) b Z a [−ϕ(x)]dx; 96] § 9. Свойства определенного интеграла 297 вынося знак (−) за знак интеграла и умножая обе части на (придем к формуле (Точно также, если b < a, то из предыдущего следует формула f (x)ϕ(x)dx = f (Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на, придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, во всей общности. В частности, полагая ϕ(x) = 1, получим важный частный случай теоремы о среднем f (x)dx = f (ξ) b Z a dx = f (ξ)(b − Значение определенного интеграла равно произведению длины промежутка интегрирования назначение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой пере- менной. Рис. Если a > b, эту длину нужно взять со знаком (−). Геометрически предложение это равносильно тому, что, рассматривая площадь, ограниченную любой кривой, осью OX и двумя ординатами x = a, x = всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник стем же основанием (b − a) и с высотой, равной одной из ординат кривой в промежутке (a, b) (рис. Нетрудно показать, что число ξ, входящее в формулу (11) или, всегда можно считать лежащим внутри промежутка (a, b). 96. Существование первообразной функции. VIII. Если верхний предел определенного интеграла есть величина перемен Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [96 ная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе. ∗ Заметим, что величина интеграла b Z a f (x)dx приданной подынтегральной функции f (x) зависит от пределов интегрирования a и b. Рассмотрим интеграл x Z a f (t)dt с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в отличие от верхнего предела x. Величина этого интеграла будет функцией верхнего предела x: F (x) = x Z a f (и, надо доказать, что dF (x) dx = f (Для доказательства вычислим производную функцию F (x), исходя из определения производной [45]: dF (x) dx = lim h→±0 F (x + h) − F (Мы имеем (x + h) = x+h Z a f (t)dt = x Z a f (t)dt + x+h Z x f (Это утверждение справедливо, если подинтегральная функция является непрерывной 96] § 9. Свойства определенного интеграла 299 (в силу свойства IV), откуда (x + h) = F (x) + x+h Z x f (причем (a) = a Z a f (t)dt = Применяя (13), имеем (x + h) − F (x) = x+h Z x f (t)dt = f (где h может быть как положительным, таки отрицательным, если a < x < b; h > 0 при x = a и h < 0 при x = b. Число ξ принадлежит промежутку, концы которого суть x итак что если h стремится к нулю, то ξ стремится к x и f (ξ) — кв силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно следует, что F (x) — непрерывная функция прите. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, есть непрерывная функция в промежутке (a, b). Деля обе части последней формулы на h: F (x + h) − F (x) h = f (и устремляя h к нулю (h → +0 при x = a и h → −0 при x = получим) = dF (x) dx = lim ξ→x f (ξ) = f (Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы уже говорили в Из предыдущего следует также, что. Всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразную функцию или неопределенный интеграл Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [97 Функция (14) есть та первообразная функция для f (x), которая обращается в нуль при x = Если F 1 (x) есть одно из выражений первообразной функции, то, как мы видели в [88], b Z a f (x)dx = F 1 (b) − F 1 (a). (15) 97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функция f (x) непрерывна во всем промежутке интегрирования (a, Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывных функций. Если в промежутке (a, b) имеется точка c, в которой подынтегральная функция f (x) терпит разрывно при этом интегралы c−ε ′ Z a f (x)dx, b Z c+ε ′′ f (x)dx (a < стремятся к определенным пределам, когда положительные числа ε ′ и стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции f (x), взятыми соответственно между пределами (a, c) и (c, b), те (если эти пределы существуют. Мы положим в этом случае b Z a f (x)dx = c Z a f (x)dx + b Z c f (x)dx. 97] § 9. Свойства определенного интеграла 301 Функция F (x), определенная формулой (14), обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами) = f (x) во всех точках (a, b), кроме x = c, и F (x) непрерывна во всем промежутке (a, b), включая x = Если точка c совпадает с одним из концов промежутка (a, надо рассматривать вместо двух только один из пределов (x)dx или lim ε→+0 b−ε Z a f (Наконец, если точек разрыва c в промежутке (a, b) не одна, а несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из которых будет уже только по одной точке разрыва. При сделанном выше соглашении о смысле символа b Z a f (x)dx свойство IX и формула (15) b Z a f (x)dx = F 1 (b) − будут наверно иметь место, если F ′ 1 (x) = f (x) во всех точках, b), кроме x = c, и F 1 (x) непрерывна во всем промежутке (a, включая x = Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки разрыва c внутри промежутка (a, b), так как случай нескольких точек разрыва и случай, когда c = a или b, исследуются совершенно аналогичным образом. Так как в промежутках (a, c − ε ′ ), (c + ε ′′ , b) функция f (x) также непрерывна, ток этим промежутками применима формула (15), и Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [97 мы имеем c−ε ′ Z a f (x)dx = F 1 (c − ε ′ ) − F 1 (a), b Z c+ε ′′ f (x)dx = F 1 (b) − F 1 (c + В силу непрерывности F 1 (x) мы можем написать c Z a f (x)dx = lim ε ′ →+0 [F 1 (c − ε ′ ) − F 1 (a)] = F 1 (c) − F 1 (a), b Z c f (x)dx = lim ε ′′ →+0 [F 1 (b) − F 1 (c + ε ′′ )] = F 1 (b) − те Рис. что и требовалось доказать. С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается всегда, когда кривая y = f (x) имеет разрыв в точке, но так, что площадь кривой все же существует. Рассмотрим, например, график функции, определенной следующим образом (x) = x 2 + 1 при 6 x < 2, f (x) = x при 6 x 6 рис. 124). Площадь, ограниченная этой кривой, осью OX, ординатой x = 0 и переменной ординатой x = x 1 , есть 97] § 9. Свойства определенного интеграла |