Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 20 из 43

t=0
= Разделяя переменные, имеем dx
(a − x)(b − x)
= или, интегрируя − x)(b − x)
= kt + где C
1
— произвольная постоянная.
Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:
1
(a − x)(b − x)
=
A
a − x
+
B
b − x
,
1 = A(b − x) + B(a − x) = −(A + B)x + (Ab + что дает + B) = 0;
Ab + Ba = откуда = −B =
1
b − a
,

93]
§ 8. Неопределенный интеграл
287
так что − x)(b − x)
=
1
b − a
Z
dx a − x
−
Z
dx b − x

=
1
b − a log b − x a − Подставляя в (26), имеем b − x a − x
= (b − a)kt + (b − a)C
1
,
b − x a − x
= где C = e
(b−a)C
1
. Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда.
Предлагаем читателю разобрать случай a = b, когда предыдущие формулы теряют смысл.
Рис. Найти все кривые, пересекающие подданным постоянным углом радиусы- векторы, проведенные изначала координат) (рис. Пусть M (x, y) есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем = α − θ,
tg ω = tg (α − θ) =
tg α − tg θ
1 + tg α tg θ
=
y
′
−
y x
1 + y
′ y Обозначив для удобства вычислений tg ω =
1
a и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде x + yy
′
= a(y
′
x − или, умножив обе части на dx,
xdx + ydy = a(xdy − Вообще, углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[94
Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат x, y к полярным r, θ, приняв ось OX заполярную ось и начало координат O за полюс. Мы имеем [82]
x
2
+ y
2
= r
2
,
θ = arctg что дает xdx + ydy = rdr,
dθ =
1 1 +
y
2
x
2
d y
x
=
xdy − ydx x
2
+ Уравнение (27) перепишется после этого в виде = ar
2
dθ, или dr r
= Интегрируя, имеем log r = aθ + C
1
, те, где C = Полученные кривые называются логарифмическими спиралями 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Основные свойства определенного интеграла. Мы уже говорили, что определенный интеграл =
b
Z
a f (x)dx,
a < где (a, b) — конечный промежуток и f (x) — непрерывная в нем функция, есть предел сумм вида [87]
b
Z
a f (x)dx = lim n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x Этот предел надо понимать следующим образом при любом заданном положительном ε существует такое положительное число, что −
n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x k−1)
< ε

94]
§ 9. Свойства определенного интеграла
289
при любом разбиении и выборе точек ξ
k из промежутков (x k−1,x если набольшая из (положительных) разностей x k
− x k−1
< Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любом выборе ξ
k и стремлении наибольшей из разностей x k
− x к нулю.
Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела) надо понимать так, как это указано выше (с помощь и В конце главы мы докажем существование упомянутого предела сумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования.
Мы предполагали, что нижний предел a интеграла меньше верхнего предела b. Если a = b, то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считать a
Z
a f (x)dx = Это равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему.
При a > b принимается следующее определение f (x)dx = −
a
Z
b f (В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше верхнего a и интеграл понимается обычным образом, как указано выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму, то для нее (a > b) мы получим a = x
0
> x
1
> x
2
> · · · > x k−1
> x k
> · · · > x n−1
> x n
= и все разносит (x k
− x k−1
) отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), те. будем считать

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения верхним пределом и b нижним, то промежуточные точки x надо будет считать в обратном порядке, ив сумме (2) все разности переменят знак. Эти соображения делают естественным определение) в том случае, когда a > Отметим еще очевидное равенство b
Z
a dx =
b
Z
a
1dx = b − Действительно, раз подынтегральная функция при всех x равна единице, то b
Z
a dx = lim[(x
1
− a) + (x
2
− x
1
) + (x
3
− x
2
) + · · · +
+ (x n−1
− x n−2
) + (b − x Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной (Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные равенствами (3) и (4).
I. Определенный интеграл с одинаковыми верхними нижним пределами считается равным нулю. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак f (x)dx = −
b
Z
a f (x)dx.
III. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования f (x)dx =
b
Z
a f (Это уже было выяснено в [87].

94]
§ 9. Свойства определенного интеграла. Если дан ряд чисел a, b, c, . . . , k, Уравнение вида y
′
ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами. расположенных в каком угодно порядке, то l
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (x)dx + · · · +
l
Z
k f (Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел a,
b, c, после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно число слагаемых.
Допустим сперва, что a < b < c. Из определения вытекает, что c
Z
a f (x)dx = lim n
X
l=1
f (ξ
i
)(x i
− x причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ни разбивали на части промежуток (a, c), лишь бы только наибольшая из разностей (x
1
− x i−1
) стремилась к нулю. Мы можем условиться разбивать промежуток (a, c) так, чтобы точка b, лежащая между a и c, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогда сумма n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x разобьется на две такого же типа, стой лишь разницею, что при составлении одной мы будем разбивать на части промежуток (a, при составлении же другой — промежуток (b, c), ипритом так, что в обоих случаях наибольшая из разностей (x i
− x i−1
) стремится к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к b
Z
a f (x)dx,
c
Z
b f (x)dx,

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[94
и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа (что и требовалось доказать.
Пусть теперь b лежит вне промежутка (a, c), например a < c < По доказанному сейчас мы можем написать b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (откуда c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
c f (Нов силу свойства II имеем f (x)dx =
c
Z
b f (те. опять c
Z
a f (x)dx =
b
Z
a f (x)dx +
c
Z
b f (Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, те. Свойства определенного интеграла
293
ибо b
Z
a
Af (x)dx = lim n
X
i=1
Af (ξ
i
)(x
1
− x i−1
) =
= A lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x i−1
) = A
b
Z
a f (x)dx.
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например (x) − ϕ(x)]dx = lim n
X
i=1
[f (ξ
i
) − ϕ(ξ
i
)](x i
− x i−1
) =
= lim n
X
i=1
f (ξ
1
)(x i
− x i−1
) − lim n
X
i=1
ϕ(ξ
i
)(x i
− x i−1
) =
=
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx.
∗
95. Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (a, b) функции) и ϕ(x) удовлетворяют условию f (x) 6 ϕ(x),
a 6 x 6 то и b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx
(b > короче говоря, неравенства можно интегрировать.
∗
Это верно в том случае если оба интеграла в правой части существуют.
Это утверждение является, фактически, следствием теоремы об арифметических действиях с пределами

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[95
Составим разность b
Z
a
ϕ(x)dx −
b
Z
a f (x)dx =
b
Z
a
[ϕ(x) − f(x)]dx =
= lim n
X
i=1
[ϕ(ξ
i
) − f(ξ
i
)](x i
− x В силу неравенства (7) слагаемые, стоящие под знаком суммы, положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно, тоже можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит к неравенству (Приведем еще геометрическое пояснение сказанного. Допустим сперва, что обе кривые y = f (x),
y = Рис. лежат над осью OX (рис. Тогда фигура, ограниченная кривой, осью OX и ординатами и x = b, лежит целиком внутри аналогичной фигуры,
ограниченной кривой y = ϕ(x), а потому площадь первой фигуры не превосходит площади второй,
т. е f (x)dx Общий случай какого угодно расположения данных кривых относительно оси OX при сохранении условия (7) приводится к предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение прибавит к каждой функции f (x) и ϕ(x) одно и тоже слагаемое Легко показать, что если в (7) имеет место знак <, то ив) имеет знак <. Напомним, что функции f (x) и ϕ(x) считаются непрерывными. Свойства определенного интеграла
295
С лед ст в и е. Если в промежутке (a, b)
|f(x)| 6 ϕ(x) 6 то b
Z
a f (x)dx
6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − a),
b < В самом деле, условия (9) равносильны следующим 6 −ϕ(x) 6 f(x) 6 ϕ(x) 6 +Интегрируя эти неравенства в пределах от a до b (свойство VII) и пользуясь (5), получаем − a) 6 −
b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)dx 6
b
Z
a
ϕ(x)dx 6 M (b − что равносильно неравенствам (Полагая ϕ(x) = |f(x)|, получаем из (10) важное неравенство f (x)dx
6
b
Z
a
|f(x)|dx,
(10 которое является обобщением на случай интеграла известного свойства суммы абсолютная величина суммы меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае,
когда f (x) не меняет знака в промежутке (a, Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема.
Т е орем а ос ред нем. Если функция ϕ(x) сохраняет знак в промежутке (a, b), то b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)
b
Z
a
ϕ(x)dx,
(11)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[95
где ξ есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (a, Будем для определенности считать ϕ(x) > 0 в промежутке (a, и обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) в промежутке (a, b). Так как, очевидно 6 f (x) 6 причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда f (x) постоянна) и ϕ(x) > 0, то mϕ(x) 6 f (x)ϕ(x) 6 M ив силу свойства VII, считая b > a,
m b
Z
a
ϕ(x)dx 6
b
Z
a f (x)ϕ(x)dx 6 Отсюда ясно, что существует такое число P , удовлетворяющее неравенству m 6 P 6 M , что b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = Так как функция f (x) непрерывна, она принимает в промежутке) все значения, лежащие между наименьшими наибольшим, в том числе и значение P [35]. Поэтому найдется такое значение ξ внутри промежутка (a, b), для которого f (ξ) = что и доказывает формулу (Если ϕ(x) 6 0 в промежутке (a, b), тов промежутке, b). Применяя к ней доказанную теорему, получим b
Z
a f (x)[−ϕ(x)]dx = f(ξ)
b
Z
a
[−ϕ(x)]dx;

96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
297
вынося знак (−) за знак интеграла и умножая обе части на (придем к формуле (Точно также, если b < a, то из предыдущего следует формула f (x)ϕ(x)dx = f (Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на, придем к формуле (11), которая доказана, таким образом, во всей общности.
В частности, полагая ϕ(x) = 1, получим важный частный случай теоремы о среднем f (x)dx = f (ξ)
b
Z
a dx = f (ξ)(b − Значение определенного интеграла равно произведению длины промежутка интегрирования назначение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении независимой пере- менной.
Рис. Если a > b, эту длину нужно взять со знаком (−). Геометрически предложение это равносильно тому, что, рассматривая площадь, ограниченную любой кривой, осью OX и двумя ординатами x = a, x = всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник стем же основанием (b − a) и с высотой,
равной одной из ординат кривой в промежутке (a, b) (рис. Нетрудно показать, что число ξ, входящее в формулу (11) или, всегда можно считать лежащим внутри промежутка (a, b).
96. Существование первообразной функции. VIII. Если верхний предел определенного интеграла есть величина перемен

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[96
ная, то производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
∗
Заметим, что величина интеграла b
Z
a f (x)dx приданной подынтегральной функции f (x) зависит от пределов интегрирования a и b. Рассмотрим интеграл x
Z
a f (t)dt с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x, причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в отличие от верхнего предела x. Величина этого интеграла будет функцией верхнего предела x:
F (x) =
x
Z
a f (и, надо доказать, что dF (x)
dx
= f (Для доказательства вычислим производную функцию F (x), исходя из определения производной [45]:
dF (x)
dx
= lim h→±0
F (x + h) − F (Мы имеем (x + h) =
x+h
Z
a f (t)dt =
x
Z
a f (t)dt +
x+h
Z
x f (Это утверждение справедливо, если подинтегральная функция является непрерывной

96]
§ 9. Свойства определенного интеграла
299
(в силу свойства IV), откуда (x + h) = F (x) +
x+h
Z
x f (причем (a) =
a
Z
a f (t)dt = Применяя (13), имеем (x + h) − F (x) =
x+h
Z
x f (t)dt = f (где h может быть как положительным, таки отрицательным, если a < x < b; h > 0 при x = a и h < 0 при x = b. Число ξ принадлежит промежутку, концы которого суть x итак что если h стремится к нулю, то ξ стремится к x и f (ξ) — кв силу непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно следует, что F (x) — непрерывная функция прите. определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего предела, есть непрерывная функция в промежутке (a, b). Деля обе части последней формулы на h:
F (x + h) − F (x)
h
= f (и устремляя h к нулю (h → +0 при x = a и h → −0 при x = получим) =
dF (x)
dx
= lim
ξ→x f (ξ) = f (Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы уже говорили в Из предыдущего следует также, что. Всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразную функцию или неопределенный интеграл

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
Функция (14) есть та первообразная функция для f (x), которая обращается в нуль при x = Если F
1
(x) есть одно из выражений первообразной функции,
то, как мы видели в [88],
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(a).
(15)
97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функция f (x) непрерывна во всем промежутке интегрирования (a, Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывных функций.
Если в промежутке (a, b) имеется точка c, в которой подынтегральная функция f (x) терпит разрывно при этом интегралы c−ε
′
Z
a f (x)dx,
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx
(a < стремятся к определенным пределам, когда положительные числа
ε
′
и стремятся к нулю, то эти пределы называются определенными интегралами от функции f (x), взятыми соответственно между пределами (a, c) и (c, b), те (если эти пределы существуют.
Мы положим в этом случае b
Z
a f (x)dx =
c
Z
a f (x)dx +
b
Z
c f (x)dx.

97]
§ 9. Свойства определенного интеграла
301
Функция F (x), определенная формулой (14), обладает, как нетрудно видеть, следующими свойствами) = f (x) во всех точках (a, b), кроме x = c, и F (x) непрерывна во всем промежутке (a, b), включая x = Если точка c совпадает с одним из концов промежутка (a, надо рассматривать вместо двух только один из пределов (x)dx или lim
ε→+0
b−ε
Z
a f (Наконец, если точек разрыва c в промежутке (a, b) не одна, а несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из которых будет уже только по одной точке разрыва.
При сделанном выше соглашении о смысле символа b
Z
a f (x)dx свойство IX и формула (15)
b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − будут наверно иметь место, если F
′
1
(x) = f (x) во всех точках, b), кроме x = c, и F
1
(x) непрерывна во всем промежутке (a, включая x = Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки разрыва c внутри промежутка (a, b), так как случай нескольких точек разрыва и случай, когда c = a или b, исследуются совершенно аналогичным образом.
Так как в промежутках (a, c − ε
′
), (c + ε
′′
, b) функция f (x) также непрерывна, ток этим промежутками применима формула (15), и

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
мы имеем c−ε
′
Z
a f (x)dx = F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a),
b
Z
c+ε
′′
f (x)dx = F
1
(b) − F
1
(c + В силу непрерывности F
1
(x) мы можем написать c
Z
a f (x)dx = lim
ε
′
→+0
[F
1
(c − ε
′
) − F
1
(a)] = F
1
(c) − F
1
(a),
b
Z
c f (x)dx = lim
ε
′′
→+0
[F
1
(b) − F
1
(c + ε
′′
)] = F
1
(b) − те Рис. что и требовалось доказать.
С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается всегда,
когда кривая y = f (x) имеет разрыв в точке, но так, что площадь кривой все же существует. Рассмотрим, например, график функции, определенной следующим образом (x) =
x
2
+
1 при 6 x < 2,
f (x) = x при 6 x 6 рис. 124). Площадь, ограниченная этой кривой, осью OX, ординатой x = 0 и переменной ординатой x = x
1
, есть

97]
§ 9. Свойства определенного интеграла