Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой прямой x = параллельной оси OY . Такое задание равносильно заданию начального значения искомой функции y = F (x), которое она должна иметь при заданном значении x = x 0 . Подставляя эти начальные значения в уравнение (3), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной C: y 0 = F (x 0 ) + и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид = F (x) + [y 0 − F (Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла и способы нахождения первообразной функции, мы изложим вторую основную задачу интегрального исчисления и выясним ее связь сформулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения первообразной функции. Существенным для дальнейшего является новое понятие, а именно понятие определенного интеграла. Для того чтобы естественно прийти к этому новому понятию, мы будем исходить из интуитивного представления площади. Оно же 87] § 8. Неопределенный интеграл 261 будет служить нами для выяснения связи между понятием определенного интеграла и понятием первообразной функции. Таким образом, рассуждения следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении площади, не являются строгими доказательствами новых фактов. Логически строгая схема построения основ интегрального исчисления указана в конце [88]. Она приведена полностью в конце настоящей главы. Определенный интеграл как предел суммы. Отметим на плоскости XOY график функции f (x), причем мы считаем, что Рис. этот график представляет собою непрерывную кривую, лежащую целиком над осью, те. считаем, что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь, ограниченную осью, этим графиком и двумя ординатами x = a ирис, и постараемся найти величину этой площади. Разобьем для этого промежуток (a, b) на n частей в точках a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x k−1 < x k < . . . < x n−1 < x n = Рассматриваемая площадь S ab разобьется на n вертикальных полос, причем я полоса имеет основание длины (x k − x k−1 ). Обозначим через m и M k соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) в промежутке (x k−1 , x k ), те. наименьшую и наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски лежит между площадями двух прямоугольников с общим основанием (x k−1 , x k ) (рис. 116) и с высотами m и M k . Эти прямоугольники являются входящими выходящим прямоугольниками для й полоски. Таким образом, величина й полоски заключается между площадями упомянутых двух прямоугольников, т. е. между двумя числами m k (x k − x k−1 ) и M k (x k − x k−1 ), Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [87 Рис. Риса потому вся рассматриваемая площадь S ab будет лежать между суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников, те. вся площадь S ab будет лежать между суммами s n = m 1 (x 1 − x 0 )+m 2 (x 2 − x 1 ) + . . . + m k (x k − x k−1 ) + . . . + +m n−1 (x n−1 − x n−2 ) + m n (x n − x n−1 ), (4) S n = M 1 (x 1 − x 0 )+M 2 (x 2 − x 1 ) + . . . + M k (x k − x k−1 ) + . . . + +M n−1 (x n−1 − x n−2 ) + M n (x n − x Таким образом, мы имеем неравенство Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник, принимая, как всегда, за основание (x k − x k−1 ) и взяв за высоту какую-либо ординату f (ξ k ) нашего графика, соответствующую любой точке ξ k из промежутка (x k−1 , x k ) (рис. 117). Рассмотрим сумму площадей этих средних прямоугольников f (ξ 1 )(x 1 − x 0 ) + f (ξ 2 )(x 2 − x 1 ) + . . . + f (ξ k )(x k − x k−1 )+ + . . . + f (ξ n−1 )(x n−1 − x n−2 ) + f (ξ n )(x n − x n−1 ). (Она, также как и площадь S ab , будет заключаться между суммами площадей входящих и выходящих прямоугольников, темы будем иметь неравенство s n 6 S ′ n 6 S n (7) 87] § 8. Неопределенный интеграл 263 Будем теперь беспредельно увеличивать число n делений промежутка) ипритом так, чтобы наибольшая из разностей k − x стремилась к нулю. Так как функция f (x) по условию непрерывна, то разность (M k − m k ) между наибольшими наименьшим ее значениями в промежутке (x k−1 , x k ) будет стремиться к нулю при беспредельном уменьшении длины этого промежутка, независимо от его положения в основном промежутке (a, b) (свойство непрерывной функции [35]). Таким образом, если мы обозначим через ε n наибольшую из разностей, (M 2 −m 2 ), . . . , (M k −m k ), . . . , (M n−1 −m n−1 ), (M n −m тов силу сказанного, при упомянутом выше предельном переходе число ε n будет стремиться к нулю. Определим теперь разность между суммой площадей выходящих прямоугольников и суммой площадей входящих прямоугольников s n = (M 1 − m 1 )(x 1 − x 0 ) + (M 2 − m 2 )(x 2 − x 1 ) + . . . + + (M k − m k )(x k − x k−1 ) + . . . + (M n − m n )(x n − x откуда, заменяя все разности (M k − m k ) наибольшей ε n и помня, что все разности (x k − x k−1 ) — положительны s n 6 ε n (x 1 − x 0 ) + ε n (x 2 − x 1 ) + . . . + ε n (x k − x k−1 ) + . . . + + ε n (x n − x то есть s n 6 ε n [(x 1 − x 0 ) + (x 2 − x 1 ) + . . . + (x k − x k−1 ) + . . . + + (x n − x n−1 )] = ε n (x n − x 0 ) = ε n (b − Мы можем, таким образом, написать 6 S n − s n 6 ε n (b − В математической литературе такая величина часто называется рангом дробления Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [87 то есть lim n→∞ (S n − s n ) = С другой стороны, при всяком n мы имели и величина площади S ab есть определенное число. Из формул (и (9) непосредственно следует, что величина площади S ab является общим пределом s и S n , те. площадей выходящих и входящих прямоугольников s n = lim S n = Так как, с другой стороны, сумма средних прямоугольников как мы видели, лежит между s и S n , то иона должна стремиться к площади S ab , те Эта сумма S ′ n является более общей по сравнению с суммами s n итак как в ней мы можем произвольно выбирать ξ k из промежутка (x k−1 , x k ) ив частности, можем брать f (ξ k ) равной наименьшей ординате m или наибольшей M k . При таком выборе сумма S ′ n превращается в суммы s и Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему: Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если мы, разбив этот промежуток на n частей в точках a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x k−1 < x k < . . . < x n−1 < x n = b и обозначив через x = ξ k любое значение из промежутка k−1 , x k ), вычислим соответствующее значение функции f (ξ k ) и составим сумму (ξ k )(x k − x то при беспредельном возрастании числа делений n промежутка и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k −x Знак n P k=1 f (ξ k )(x k − x k−1 ) есть сокращенное обозначение суммы (6). 87] § 8. Неопределенный интеграл 265 эта сумма стремится к определенному пределу. Предел этот равен площади, ограниченной осью OX, графиком функции f (x) и двумя ординатами x = a, x = Упомянутый предел называется определенным интегралом от функции f (x), взятым попеременной между нижним пределом x = a и верхними обозначается следующим символом b Z a f (Заметим, что существование предела I суммы (10) при беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k −x k−1 ), сводится к следующему утверждению при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что − n X k=1 f (ξ k )(x k − x k−1 ) < при любом разбиении и выборе точек ξ k из промежутка (x k−1 , x если наибольшая из (положительных) разностей x k − x k−1 < Этот предел I и является определенным интегралом. Отметим, что множество значений сумм (10) при всевозможных разбиениях промежутка (a, b) на части и всевозможном выборе Рис. нельзя упорядочить так, чтобы образовалась упорядоченная переменная. Предел суммы надо понимать лишь так, как это указано выше (с помощью и Выше мы предполагали, что график функции f (x) находится целиком под осью, те. что все ординаты этого графика положительны. Рассмотрим теперь общий случай, при котором некоторые части этого графика находятся над осью, а другие под осью OX (рис. Если мы ив этом случае составим сумму (6), то слагаемые f (ξ k )(x k − x k−1 ), соответствующие частям графика, лежащим под Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [87 осью OX, будут отрицательными, так как разность (x k − x k−1 ) положительна и ордината f (ξ k ) отрицательна. После перехода к пределу получится определенный интеграл, который будет учитывать площади, находящиеся над осью OX со знаком (+) и под осью OX со знаком (−), те. в этом общем случае определенный интеграл a Z b f (x)dx будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между осью OX, графиком функции f (x) и ординатами x = a и x = b. При этом площади над осью OX будут получаться с положительным знакома под осью OX — с отрицательным. Как мы увидим в дальнейшем, мы приходим к нахождению предела суммы вида (6) не только в вопросе вычисления площади, но и во многих, весьма разнообразных, других задачах естествознания. Приведем только один пример. Пусть некоторая точка M передвигается по оси OX от абсциссы x = a к абсциссе x = b, и на нее действует некоторая сила T , направленная также по оси OX. Если сила T постоянная, то работа, которую она совершает при передвижении точки из положения x = a в положение x = b, определяется произведением R = T (b − a), те. произведением величины силы на пройденный точкой путь. Если сила T — переменная, то написанная формула больше неприменима. Положим, что величина силы зависит от положения точки на оси OX, те. является функцией абсциссы точки T = f (Чтобы вычислить работу в этом случае, разобьем весь путь, пройденный точкой, на определенные части a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x k−1 < x k < . . . < x n−1 < x n = b и рассмотрим одну из этих частей (x k−1 , x k ). С ошибкой тем меньшей, чем меньше длина (x k − x k−1 ), мы можем считать, что сила, действовавшая на точку при передвижении ее от x к x k , постоянна и совпадает со значением этой силы f (ξ k ) в некоторой точке из промежутка (x k−1 , x k ). Поэтому для работы на участке 87] § 8. Неопределенный интеграл k−1 , x k ) мы получим приближенное выражение f(ξ k )(x k − x и для всей работы будем иметь приближенное пока выражение вида При беспредельном увеличении числа делений n и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (x k − x k−1 ) мы получим в пределе определенный интеграл, дающий точную величину искомой работы = b Z a f (Отвлекаясь от каких бы тони было геометрических или механических истолкований, мы можем теперь установить понятие об определенном интеграле от функции f (x) по промежутку a 6 x 6 b как о пределе суммы вида (6). Второй основной задачей интегрального исчисления и является изучение свойств определенного интеграла и, прежде всего, его вычисление. Если f (x) — заданная функция, аи заданные числа, то определенный интеграл b Z a f (x)dx есть некоторое определенное число. Знак R представляет собою измененную букву S и должен напоминать о той сумме, которая при предельном переходе дала величину определенного интеграла. Подынтегральное выражение f (x)dx должно напоминать о виде слагаемых этой суммы, а именно о f (ξ k )(x k − x k−1 ). Буква стоящая под знаком определенного интеграла, называется обычно переменной интегрирования. Отметим по поводу этой буквы одно важно обстоятельство. Величина интеграла, как мы уже упомянули, есть определенное число, независящее, конечно, от обозначения Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [88 переменной интегрирования x, и мы можем в определенном интеграле обозначать переменную интегрирования любой буквой. Это не будет иметь, очевидно, никакого влияния на величину интеграла, которая зависит лишь оттого, каковы ординаты графика f (и пределы интегрирования a и b. Итак, обозначенные независимой переменной никакой роли не играет, те, например f (x)dx = b Z a f (Вторая задача интегрального исчисления — вычисление определенного интеграла — представляет собою на первый взгляд довольно сложную задачу составления суммы вида (6) и затем перехода к пределу. Заметим, что при этом предельном переходе число слагаемых в упомянутой сумме будет беспредельно расти, а каждое из них будет стремиться к нулю. Кроме того, на первый взгляд эта вторая задача интегрального исчисления не имеет никакой связи с первой задачей о нахождении первообразной функции для заданной функции. В следующем номере мы покажем, что обе задачи тесно связаны одна с другой и что вычисление определенного интеграла b R a f (x)dx совершается весьма просто, если известна первообразная функция для f (x). 88. Связь определенного и неопределенного интегралов. Рассмотрим опять площадь S ab , ограниченную осью OX, графиком функции f (x) и ординатами x = a и x = b. Вместе с этой площадью рассмотрим и часть ее, ограниченную левой ординатой x = a и некоторой подвижной ординатой, отвечающей переменному значению (рис. Величина этой площади S ax будет, очевидно, зависеть оттого, в каком месте мы поставим правую ординату, т. е. будет функцией от x. Эта величина будет изображаться определенным интегралом от функции f (x), взятым от нижнего предела a до верхнего предела x. Так как буква x занята для обозначения верхнего предела, то мы для избежания путаницы будем обозначать переменную интегрирования другой буквой, а именно буквой 88] § 8. Неопределенный интеграл 269 Рис. 119. t. Таким образом, мы можем написать f (Рис. Здесь мы имеем определенный интеграл с переменным верхним пределом x, и его величина есть, очевидно, функция этого предела. Покажем, что эта функция является одной из первообразных функций для f (x). Для вычисления производной от этой функции рассмотрим сперва ее приращение ∆S ax , соответствующее приращению ∆x независимой переменной x. Очевидно, имеем (рис. 120): ∆S ax = площ. P 1 P Обозначим через m и M , соответственно, наименьшую и наибольшую ординаты графика f (x) в промежутке (x, x + ∆x). Криволинейная фигура P 1 P QQ 1 , начерченная в большом масштабе на рис. 120, будет целиком лежать внутри прямоугольника с высотой и основанием ∆x и будет заключать внутри себя прямоугольник с высотой m и тем же основанием, а потому m∆x 6 ∆S ax 6 M или, разделив на ∆x: m 6 ∆S ax ∆x 6 M. Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [88 Когда ∆x → 0, обе величины m ив силу непрерывности функции f (x) стремятся к общему пределу — ординате P 1 P = f (кривой в точке x, а потому lim ∆S ax ∆x = f (что мы и хотели доказать. Полученный результат мы можем формулировать следующим образом определенный интеграл с переменным верхним пределом x Z a f (t)dt есть функция этого верхнего предела, производная от которой равна подынтегральной функции f (x) при верхнем пределе. Иначе говоря, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная функция для подынтегральной функции. Установив связь между понятиями определенного и неопределенного интегралов, покажем теперь, каким образом можно вычислять величину определенного интеграла b Z a f (если известна какая-либо первообразная функция F (x) для f (Как мы показали, определенный интеграл с переменным верхним пределом есть тоже первообразная функция для f (x), ив силу можем написать x Z a f (t)dt = F (x) + где C есть некоторая постоянная. Для определения этой постоянной заметим, что если у площади S ax правая ордината совпадает ∗ Здесь, вообще говоря, неявно используется предположение о непрерывности функции f (x). 88] § 8. Неопределенный интеграл 271 с левой, те, то величина площади обращается, очевидно, в нуль, те. левая часть в формуле (12) обращается в нуль при x = Следовательно, тождество это придает+ те (Подставляя найденное значение C в (12), получим x Z a f (t)dt = F (x) − F (Наконец, полагая здесь x = b, будем иметь b Z a f (t)dt = F (b) − F (a) или b Z a f (x)dx = F (b) − F (Разность вида [F (b)−F (a)] будем в дальнейшем обозначать символом Мы приходим, таким образом, к следующему основному правилу, выражающему величину определенного интеграла через значение первообразной функции величина определенного интеграла равна разности значений первообразной функции для подынтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирова- ния. Формулированное правило показывает, что нахождение первообразной функции, те. решение первой задачи интегрального исчисления, решает и вторую задачу, те. вычисление определенного интеграла, и освобождает, таким образом, нас при вычислении определенного интеграла от сложных операций образования суммы) и перехода к пределу. В качестве примера найдем определенный интеграл 1 Z 0 x 2 dx. ∗ Эта формула часто называется формулой Ньютона—Лейбница. Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения [88 Первообразной функцией для является функция Пользуясь выведенным нами правилом, будем иметь = 1 3 x 3 1 0 = 1 3 · 1 3 − 1 3 · 0 3 = 1 Если бы мы, не пользуясь первообразной функцией, стали вычислять предложенный определенный интеграл непосредственно из его определения как предела суммы, то пришли бык гораздо более сложному вычислению, которое вкратце воспроизведем. Разобьем промежуток (0, 1) на n равных частей точками < 1 n < 2 |