Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 19 из 43

n
< . . . <
n − 1
n
< В данном случае мы имеем n следующих промежутков 1
n
,
2
n

,
 2
n
,
3
n

, . . . ,
 n − 1
n
, длина каждого из которых равна. При составлении суммы (примем за ξ
k левый конец промежутка, те Все разности x k
− x k−1
=
1
n
, и, замечая, что значения подынтегральной функции f (x) = на левых концах промежутков будут (ξ
1
) = 0,
f (ξ
2
) =
1
n
2
,
f (ξ
3
) =
2 2
n
2
, . . . , f (ξ
n
) =
(n − можем написать = lim n→∞

0 ·
1
n
+
1
n
2
·
1
n
+
2 2
n
2
·
1
n
+ . . . +
(n − 1)
2
n
2
·
1
n

=
= lim n→∞
1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
n
3
. (14)

88]
§ 8. Неопределенный интеграл
273
Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных равенств + 1)
3
= 1 + 3 · 1 + 3 · 1 2
+ 1 3
(1 + 2)
3
= 1 + 3 · 2 + 3 · 2 2
+ 2 3
(1 + 3)
3
= 1 + 3 · 3 + 3 · 3 2
+ 3 3
[1 + (n − 1)]
3
= 1 + 3(n − 1) + 3(n − 1)
2
+ (n − Складывая почленно, получим 3
+ 3 3
+ . . . + n
3
= (n − 1) + 3[1 + 2 + . . . + (n − 1)]+
+ 3[1 2
+ 2 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + 1 3
+ 2 3
+ . . . + (n − Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической прогрессии, можем написать n
3
= (n − 1) + 3
n(n − 1)
2
+ 3[1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
] + откуда 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + (n − 1)
2
=
n
3
− n
3
−
n(n − 1)
2
=
n(n − 1)(2n − Подставив полученное выражение в (14), имеем lim n→∞
n(n − 1)(2n − 1)
6n
3
=
1 6
lim n→∞

1 −
1
n
 
2 −
1
n

=
2 6
=
1 Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения свойств неопределенного интеграла и его разыска- ния.
Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле основывались начисто геометрических соображениях, а именно на

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[89
рассмотрении площадей S
ab и S
ax
. В частности, доказательство основного факта, что сумма (6) имеет предел, исходило из допущения,
что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадь. При всей наглядности такого допущения оно не является строго обоснованными единственно математически строгий путь был бы обратный не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать непосредственно аналитическим путем существование предела суммы n
X
k=1
f (ξ
k
)(x k
− x каковой потом уже принять за определение площади S
ab
. Это доказательство мы приведем в конце настоящей главы ипритом при более общих предположениях относительно функции f (x), чем ее непрерывность.
Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась существенным моментом и при доказательстве того основного предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующем параграфе настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет утверждать, что для всякой непрерывной функции имеется первообразная, те. неопределенный интеграл.
Дальше мы выясним основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем дело лишь с непрерывными функ- циями.
При изложении свойств определенного интеграла мы строго докажем основную формулу (13). Таким образом, единственным недоказанным фактом останется факт существования предела суммы) для непрерывной функции f (x). Это доказательство, как мы уже сказали, приводится в конце главы. Свойства неопределенного интеграла. В [86] мы видели, что две первообразные функции для одной и той же функции

89]
§ 8. Неопределенный интеграл
275
отличаются лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству неопределенного интеграла. Если две функции или два дифференциала тождественны,
то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производные
(или дифференциалы) тождественны.
Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е.
из того, что неопределенный интеграл (x)dx есть такая функция, производная которой по x равна подынтегральной функции f (x), или дифференциал которой равен подынтегральному выражению f (x)dx.
II. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению. Одновременно с (15) мы имеем = F (x) + и эту формулу можно еще переписать так [50]:
Z
dF (x) = F (x) + что в соединении со свойством II дает рядом стоящие знаки d ив каком бы порядке они не следовали, взаимно уничтожаются, если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенстве между неопределенными интегралами

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла (x)dx = A
Z
f (x)dx + C
5
V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого + v − w)dx =
Z
udx +
Z
vdx −
Z
wdx + Правильность формул (17) и (18) нетрудно обнаружить, дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученных производных. Например, для равенства (17):
Z
Af (x)dx

′
= Af (x),

A
Z
f (x)dx + C

′
= A
Z
f (x)dx

′
= Af (x).
90. Таблица простейших интегралов. Для получения этой таблицы достаточно прочесть в обратном порядке таблицу простейших производных [49], после чего мы получим = x + C,
Z
x m
dx =
x m+1
m + 1
+ если m 6= −1,
Z dx x
= log |x| + Иногда не пишут произвольного постоянного слагаемого после неопределенного интеграла, подразумевая, что неопределенный интеграл уже содержит такое слагаемое. Равенство (17) при этом будет = A
Z
f
(x)dx.

91]
§ 8. Неопределенный интеграл x
dx =
a x
log a
+ C,
Z
e x
dx = e x
+ C,
Z
sin xdx = − cos x + C,
Z
cos xdx = sin x + C,
Z
dx cos
2
x
= tg x + C,
Z
dx sin
2
x
= − ctg x + C,
Z
dx
1 + x
2
= arctg x + C,
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + Для проверки этой таблицы достаточно установить, что производная правой части равенства тождественна с подынтегральной функцией левой части. Вообще, зная ту функцию, от которой данная функция f (x) есть производная, мы тем самым получаем ее неопределенный интеграл. Но обыкновенно, даже в самых простых случаях, заданные функции не находятся в таблице интегралов, что и делает задачу интегрального исчисления гораздо более трудной,
чем задачу дифференциального исчисления. Все дело приводится к преобразованию данного интеграла к таким, которые заключаются в таблице простейших.
Преобразование это требует навыка и практики и облегчается применением нижеследующих основных правил интегрального исчисления, а также свойств IV, V из [89].
91. Правило интегрирования по частям. Мы знаем, что если x, v — две какие угодно функции от x с непрерывными производными, то [50]
d(uv) = udv + или udv = d(uv) − В силу свойств I, V и III мы заключаем отсюда =
Z
[d(uv)−vdu]+C =
Z
d(uv)−
Z
vdu+C = uv что и дает формулу интегрирования по частям = uv −
Z
vdu.
(19)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[91
Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла, причем этот последний может оказаться более простым.
П р им еры Полагая здесь u = log x,
dx = имеем прежде всего du =
dx x
,
v = откуда, в силу (19),
Z
log xdx = x log x −
Z
x dx x
= x log x − x + На практике отдельные преобразования выписывать ненужно все действия производятся по возможности в уме x
x
2
dx=
Z
x
2
· e x
dx=
Z
x
2
de x
=x
2
e x
−
Z
e x
dx
2
=x
2
e x
−2
Z
e x
xdx,
∗
Z
e x
xdx =
Z
xde x
= xe x
−
Z
e x
dx = e x
x − e что дает окончательно x
x
2
dx = e x
[x
2
− 2x + 2] + C.
3.
Z
sin x · x
3
dx =
Z
x
3
· sin xdx =
Z
x
3
d(− cos x) =
(1)
= −x
3
cos x −
Z
(− cos x)dx
3
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
· cos xdx =
(2)
= −x
3
cos x + 3
Z
x
2
d sin x = −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 3
Z
sin xdx
2
= (3)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
x sin xdx Здесь использовано так называемое внесение под дифференциал e x
dx
=
de x
. Это делается по формуле f
′
(x)dx = df (x) с учетом того, что (e x
)
′
= e Этот прием используется ив последующих примерах

92]
§ 8. Неопределенный интеграл −x
3
cos x + 3x
2
sin x − 6
Z
xd(− cos x) =
(5)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6
Z
cos xdx =
(6)
= −x
3
cos x + 3x
2
sin x + 6x cos x − 6 sin x + Способ, показанный в этих примерах, применяется, вообще, при вычислении интегралов типа ax x
m dx,
Z
sin bx · x m
dx,
Z
cos bx · x где m есть любое целое положительное число нужно заботиться лишь о том, чтобы при последовательных преобразованиях степень x все время понижалась, пока не дойдет до нулевой. Правило замены переменных. Примеры. Интеграл (x)dx часто можно упростить, введя вместо x новую переменную, положив x = Для преобразования неопределенного интеграла к новой переменной по формуле (20) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение (x)dx =
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt + Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей формулы (21). Произведя дифференцирование, имеем d
Z
f (x)dx

= f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt,
d
Z
f [ϕ(t)]ϕ
′
(t)dt

= f Часто вместо подстановки (20) употребляют обратную t = ψ(x)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[92
и
ψ
′
(x)dx = Примеры при m 6= Для упрощения интеграла полагаем ax + b = t,
adx = dt,
dx =
dt Подставив это в данный интеграл, находим + b)
m dx =
1
a
Z
t m
dt =
1
a t
m+1
m + 1
+ C =
1
a
(ax + b)
m+1
m + 1
+ C.
2.
Z
dx ax + b
=
1
a
Z
dt t
=
1
a log t + C =
log(ax + b)
a
+ C.
3.
Z
dx a
2
+ x
2
=
Z
dx a
2

1 +
x
2
a
2
 =
1
a
Z
d x
a


1 +
x a


2
=
1
a arctg x
a
+ подстановка t =
x a

4.
Z
dx
√
a
2
− x
2
=
Z
d x
a


q
1 −
x a


2
= arcsin x
a
+ C.
5.
Z
dx
√
x
2
+ Для вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера,
о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводится здесь по формуле p
x
2
+ a = t − x,
t = x +
p x
2
+ Для определения x и dx возвышаем в квадрат+ a = t
2
− 2tx + x
2
,
x =
t
2
− a
2t
=
1 2

t −
a t

,
p x
2
+ a = t −
t
2
− a
2t
=
t
2
+ a
2t
,
dx =
1 2

1 +
a t
2

dt =
1 2
t
2
+ a Подставив все это в данный интеграл, имеем

92]
§ 8. Неопределенный интеграл+ a
=
Z
2t t
2
+ a
·
1 2
t
2
+ a t
2
dt =
=
Z
dt t
= log t + C = log

x +
p x
2
+ a

+ Интеграл x
2
− вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимся подробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральной функции на простейшие дроби.
Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители a
2
= (x − a)(x + представим ее в виде суммы более простых дробей a
2
=
A
x − a
+
B
x + Для определения постоянных A и B освобождаемся от знаменателя,
что дает тождество = A(x + a) + B(x − a) = (A + B)x + a(A − которое должно иметь место при всех значениях x. Оно будет выполнено,
если определим A и B из условий a(A − B) = 1,
A + B = 0,
A = −B =
1 Итак, имеем a
2
=
1 2a

1
x − a
−
1
x + a

,
Z
dx x
2
− a
2
=
1 2a
Z
dx x − a
−
Z
dx x + a

=
=
1 2a
[log(x − a) − log(x + a)] + C =
1 2a log x − a x + a
+ Здесь использован метод неопределенных коэффициентов. Коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа приравниваются, при этом получается система уравнений для неизвестных коэффициентов

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения Интегралы более общего вида + n x
2
+ px + q dx приводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтегральной функции выделить полный квадрат. Имеем x
2
+ px + q =

x +
p
2

2
+ q −
p
2 Полагаем далее x +
p
2
= t,
x = t −
p
2
,
dx = что дает mx + n = m

t −
p
2

+ n = At + где мы положили A = m и B = n −
mp
2
. Положив, наконец −
p
2 4
= где знак (+) или (−) нужно взять в зависимости от знака левой части этого равенства и a считается положительным, мы можем переписать данный интеграл в виде + n x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
t
2
± a
2
dt = A
Z
tdt t
2
± a
2
+ B
Z
dt t
2
± Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положить t
2
± a
2
= z,
2tdt = что дает t
2
± a
2
=
1 2
Z
dz z
=
1 2
log z =
1 2
log(t
2
± Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах 3 (+) и Интегралы вида + n p
x
2
+ px + q dx

92]
§ 8. Неопределенный интеграл
283
приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полного квадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данный интеграл в виде + n p
x
2
+ px + q dx =
Z
At + B
√
t
2
+ b dt =
= A
Z
tdt
√
t
2
+ b
+ B
Z
dt
√
t
2
+ b

b = ±a
2
= q −
p
2 Первый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановки t
2
+ b = z
2
,
2tdt = которая дает+ b
=
Z
zdz z
=
Z
dz = z =
p t
2
+ Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен log(t +
√
t2 + Аналогичным приемом выделения полного квадрата интеграл + n p
q + px − x
2
dx можно привести к виду t
2
+ B
1
Z
dt
√
a
2
− и имеем t
2
= −
p a
2
− t
2
+ при помощи подстановки a
2
− t
2
= z
2
. Второй интеграл разобран в примере+ cos 2x
2
dx =
1 2

x +
1 2
sin 2x

+ C =
=
1 2
(x + sin x cos x) + C.

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения Интеграл x
2
+ a dx приводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям x
2
+ a dx =x p
x
2
+ a −
Z
x · d p
x
2
+ a =
=x p
x
2
+ a −
Z
x
2
√
x
2
+ a Прибавив и вычтя a в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, перепишем предыдущее равенство в виде x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a −
Z
p x
2
+ a dx + a
Z
dx
√
x
2
+ или x
2
+ a dx = x p
x
2
+ a + a
Z
dx
√
x
2
+ откуда окончательно x
2
+ a dx =
1 2
[x p
x
2
+ a + a log(x +
p x
2
+ a)] + C.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого поряд- ка.
В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения.
Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид (x, y, y
′
) = Это есть соотношение, связывающее независимую переменную неизвестную функцию y и ее первую производную y
′
. Обыкновенно можно решить это уравнение относительно и переписать его в виде f (x, где f (x, y) есть известная функция от x и Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделано во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах

93]
§ 8. Неопределенный интеграл
285
Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция f (x, представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от x, а другая только от Помня, что y
′
=
dy dx
, можем переписать это уравнение в виде = так что в одну часть уравнения входит только буква x, в другую — только буква y; это преобразование и называется разделением переменных. Так как = d
Z
ψ(y)dy,
ϕ(x)dx = в силу свойства I [89] получаем =
Z
ϕ(x)dx + откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию Примеры. Химические реакции первого порядка. Обозначив через количество вещества, имевшегося к началу реакции, через x — количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем уравнение dx dt
= c(a − где c — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие x
t=0
= Разделяя переменные, находим dx a − x
= или, интегрируя a − x
=
Z
cdt + C
1
;
− log(a − x) = ct + Уравнение вида y
′
= ϕ(x) · ψ(y) также является уравнением с разделяющимися переменными и решается теми же приемами

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[93
где C
1
— произвольная постоянная. Отсюда выводим a − x = e
−ct−C
1
= где C = есть также произвольная постоянная. Ее можно определить из условия (25), в силу которого предыдущее равенство придает, и окончательно x = a(1 − Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-молекулах, суть a и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через так что количества оставшихся веществ будут a − x и b − По основному закону химических реакций второго порядка скорость течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, те Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное условие x