Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у

• Название: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 3.3 Mb.
• Имя файла: Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.).pdf
• Тип: Учебник; #1158196
• страница: 21 из 43

303
непрерывная функция от x, несмотря на то, что функция f (x) терпит разрыв при x = 2. С другой стороны, нетрудно найти первообразную функцию для f (x), которая была бы непрерывна во всем промежутке, 3). Это будет, например функция F
1
(x), определяемая следующим образом при 6 x 6 2,
F
1
(x) =
x
2 при 6 x 6 Действительно, дифференцируя, убеждаемся, что) =
x
2
+
1 в промежутке (0, 2) ив промежутке (2, 3). Кроме того, оба написанных выражения F
1
(x) придают одну и туже величину что и обеспечивает непрерывность F
1
(x). Площадь, ограниченная нашей кривой, осью OX и ординатами x = 0, x = 3, выразится формулой (x)dx =
2
Z
0
f (x)dx +
3
Z
2
f (x)dx = F
1
(3) − F
1
(0) =
9 в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.
Рис. Рассмотрим еще функцию y = рис. 125). Она обращается в бесконечность при x = 0, но ее первообразная функция остается

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[97
непрерывной при этом значении x, а потому можем написать = 3x
1/3
+1
−1
= другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении x к нулю уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную площадь между ординатами x = −1 и x = Для функции
1
x
2
первообразная функция обращается сама в бесконечность при x = 0, формула (15) неприменима к этой функции в том случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка (a, b); кривая
1
x
2
в таком промежутке конечной площади не имеет.
Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечном промежутке (a, b) в некоторых случаях имеют смысли непосредственно, как пределы сумм, указанных вначале. Это будет иметь, например, место в том случае, когда f (x) имеет конечное число точек разрыва в промежутке (a, b) и ограничена в нем, т. е.
существует такое положительное число M , что |f(x)| < M при всех x из (a, b). Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину интеграла. Мы будем говорить об этом в [116]. Если же функция не ограничена, те принимает сколь угодно большие значения, то непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125. Здесь необходимо определять интеграл как интеграл по укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу 3
dx = lim
ε
′
→−0
ε
′
Z
−1
x
−
2 3
dx + lim
ε
′′
→+0 1
Z
ε
′′
x
−
2 Такие интегралы называются обычно несобственными.
Для функции
1
x
2
не существует конечного предела lim
ε→+0 1
Z
ε
1
x
2
dx = +∞.

98]
§ 9. Свойства определенного интеграла
305
Такие интегралы называются расходящимися. Указанный выше интеграл от называется сходящимся, поскольку указанные выше пределы при ε
′
→ −0 и ε
′′
→ +0 существуют.
В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы по бесконечному промежутку. В этом последнем случае непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и интеграл по существу несобственный. Бесконечные пределы. Предыдущие рассуждения можно распространить и на случай бесконечного промежутка и положить f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (x)dx,
(16)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
b
Z
a f (если эти пределы существуют.
Условие это наверно выполнено, если первообразная функция) стремится к определенным пределам, когда x стремится кили к (−∞). Обозначив эти пределы просто через F
1
(+∞) и, будем иметь f (x)dx = lim b→+∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(+∞) − F
1
(a),
(18)
b
Z
−∞
f (x)dx = lim a→−∞
[F
1
(b) − F
1
(a)] = F
1
(b) − F
1
(−∞),
(19)
+∞
Z
−∞
f (x)dx =
a
Z
−∞
f (x)dx +
∞
Z
a f (x)dx = F
1
(+∞) − что и является обобщением формулы (15) на случай бесконечного промежутка

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[99
Часто соотношение (16) пишут в виде f (x)dx = lim b→+∞
b
Z
a f (Сточки зрения геометрической, при выполнении предыдущего условия можно сказать, что бесконечная ветвь кривой y = f (которая соответствует x → ±∞, имеет площадь.
Если пределы (16) или (17) существуют, то говорят, что соответствующие интегралы сходятся или что это — сходящиеся интегралы. В противном случае говорят, что интегралы расходятся.
П р им ер. Кривая y =
1 1+x
2
, уходящая в бесконечность при x = все же ограничивает с осью OX конечную площадь (рис. 126), так как + x
2
= arctg x
+∞
−∞
=
π
2
−

−
π
2

= При вычислении этого интеграла следует помнить, что для функции arctg x нужно брать нелюбое значение этой многозначной функции, а именно то, которое было определено в [24], для того чтобы она сделалась
Рис. однозначной, те. между ив противном случае предыдущая формула теряет смысл. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть f(x) — непрерывна в промежутке (a, b) или даже в более широком промежутке (A, B), о котором будет сказано ниже

99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
307
Пусть далее функция ϕ(t) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную ϕ
′
(t) в промежутке (α, β), причем) = a и ϕ(β) = Положим далее, что значения ϕ(t) при изменении t в промежутке) не выходят из промежутка (a, b) или из того более широкого промежутка (A, B), в котором f (x) — непрерывна. При этом сложная функция f [ϕ(t)] есть непрерывная функция t в промежутке, При высказанных предположениях, если ввести вместо x новую переменную интегрирования t:
x = то определенный интеграл преобразуется по формуле b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f В самом деле, введем вместо рассматриваемых интегралов — интегралы с переменными пределами (x) =
x
Z
a f (y)dy,
Ψ(t) =
t
Z
α
f В силу (22) F (x) есть сложная функция t:
F (x) = F [ϕ(t)] =
ϕ(t)
Z
a f (Вычисляя ее производную по правилу дифференцирования сложных функций, имеем dF (x)
dt
=
dF (x)
dx dx dt
,

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[99
но, в силу свойства VIII [96],
dF (x)
dx
= f (из формулы же (22) следует dx dt
= откуда dF (x)
dt
= f (x)ϕ
′
(t) = f Вычислим теперь производную от функции Ψ(t). В силу свойства и сделанных нами предположений имеем dΨ(t)
dt
= f Функции Ψ(t) и F (x), рассматриваемые как функции от t, имеют, таким образом, одинаковые производные в промежутке (α, а потому [89] могут отличаться лишь на постоянное слагаемое, но примы имеем x = ϕ(α) = a,
F (x)
t=α
= F (a) = 0,
Ψ(α) = те. эти две функции равны при t = α а потому и при всех значениях t в промежутке (α, β). В частности, при t = β имеем (x)
t=β
= F (b) =
b
Z
a f (x)dx =
β
Z
α
f что и требовалось доказать.
Весьма часто вместо подстановки (22):
x = употребляют обратную t = ψ(x).
(24)

99]
§ 9. Свойства определенного интеграла
309
Тогда пределы α и β определяются сразу по формулам = ψ(a),
β = но нужно здесь иметь ввиду, что выражение (22) для x, которое получим, если решим уравнение (24) относительно x, должно удовлетворять всем указанным выше условиям, в частности, функция) должна быть однозначной функцией от t. Если это свойство) не соблюдено, то формула (23) может оказаться неверной.
Введя в интеграле = вместо x новую независимую переменную t по формуле t = в правой части формулы (23) получим интеграл с одинаковыми пределами, равный, следовательно, нулю, что невозможно. Ошибка происходит вследствие того, что выражение x через t:
x = ±
√
t есть функция многозначная.
П р им ер. Функция f (x) называется четной функцией x, если f (−x) = f(x), и нечетной функцией, если f(−x) = −f(x). Например x есть четная функция и sin x — нечетная.
Покажем, что f (x)dx = 2
a
Z
0
f (если f (x) — четная, и f (x)dx = если f (x) — нечетная.
Разобьем интеграл на два [94, IV]:
+a
Z
−a f (x)dx =
0
Z
−a f (x)dx +
a
Z
0
f (x)dx.

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[100
В первом интеграле совершим замену переменной x = −t и воспользуемся свойствами II и III [94]:
0
Z
−a f (x)dx = −
0
Z
a f (−t)dt =
a
Z
0
f (−t)dt =
a
Z
0
f (откуда, подставляя в предыдущую формулу f (x)dx =
a
Z
0
f (−x)dx +
a
Z
0
f (x)dx =
a
Z
0
[f (−x) + Если f (x) — четная функция, то сумма [f (−x) + f(x)] равна 2f(x), а если f (x) — нечетная, то эта сумма равна нулю, что и доказывает наше утверждение. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям [91] для определенных интегралов может быть написана в виде u(x)dv(x) = u(x)v(x)
b a
−
b
Z
a Действительно, интегрируя почленно тождество [91]
u(x)dv(x) = d[u(x)v(x)] − получим b
Z
a u(x)dv(x) =
b
Z
a d[u(x)v(x)] −
b
Z
a тов силу свойства IX [96],
b
Z
a d[u(x)v(x)] =
b
Z
a d[u(x)v(x)]
dx dx = u(x)v(x)
b a
,

100]
§ 9. Свойства определенного интеграла
311
что и дает формулу (25). Считается, конечно, что u(x) и v(x) имеют непрерывные производные в промежутке (a, Пример. Вычислить интегралы n
xdx,
π/2
Z
0
cos Положим Интегрируя по частям, имеем n−1
x sin xdx = −
π/2
Z
0
sin n−1
xd cos x =
= − sin n−1
x cos x
π/2 0
+
π/2
Z
0
(n − 1) sin n−2
x cos x · cos xdx =
= (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x cos
2
xdx = (n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
x(1 − sin
2
x)dx =
=(n − 1)
π/2
Z
0
sin n−2
xdx − (n − 1)
π/2
Z
0
sin n
xdx=(n − 1)I
n−2
− (n − те откуда, решая относительно I
n
:
I
n
=
n − Формула эта называется формулой приведения, так как приводит вычисление интеграла I
n к такому же интегралу, нос меньшим значком − Различим теперь два случая в зависимости оттого, если n число четное или нечетное

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 1. n = 2k (четное. Имеем, в силу (26),
I
2k
=
2k − 1 2k
I
2k−2
=
(2k − 1)(2k − 3)
2k · (2k − 2)
I
2k−4
= . . . =
(2k − 1)(2k − 3 . . . 3) · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · итак как то окончательно − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2 2. n = 2k + 1 (нечетное. Аналогично предыдущему находим − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
I
1
,
I
1
=
π/2
Z
0
sin xdx = − cos x
π/2 0
= а потому − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · Интеграл n
xdx можно вычислить таким же путем, но проще привести его к предыдущему, заметив, что n
xdx =
π/2
Z
0
sin n
 π
2
− откуда, положив x = t,
x =
π
2
− на основании формулы (23) и свойства II [94], имеем n
xdx = −
0
Z
π/2
sin n
tdt =
π/2
Z
0
sin n
tdt.

101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
313
Объединяя полученные результаты, можем написать xdx =
π/2
Z
0
cos
2k xdx =
(2k − 1)(2k − 3) . . . 3 · 1 2k(2k − 2) . . . 4 · 2
π
2
,
(27)
π/2
Z
0
sin
2k+1
xdx =
π/2
Z
0
cos
2k+1
xdx =
2k(2k − 2) . . . 4 · 2
(2k + 1)(2k − 1) . . . 5 · 3
(28)
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ
ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Вычисление площадей. Мы переходим к приложениям понятия определенного интеграла к вычислению площадей, объемов и длин дуг. При этом мы будем руководствоваться во многом наглядными соображениями. Точное определение площади и объема с разных точек зрения будет нами дано в последующих томах.
В [87] мы видели, что площадь, ограниченная кривой y = f (осью OX и двумя ординатами x = a и x = b, выражается определенным интегралом b
Z
a f (x)dx
(a < Этот интеграл, как мы видели, дает алгебраическую сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью входит со знаком (−). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно вычислить Так, сумма заштрихованных на рис. 127 площадей равна c
Z
a f (x)dx −
g
Z
c f (x)dx +
h
Z
g f (x)dx −
k
Z
h f (x)dx +
b
Z
k f (x)dx.

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[101
Рис. Площадь, заключенная между двумя кривыми y = f (x),
y = и двумя ординатами x = a,
x = в том случае, когда одна кривая лежит над другой, те в промежутке (a, b), выражается определенным интегралом b
Z
a
[f (x) − Рис. Допустим сперва, что обе кривые лежат над осью OX. Непосредственно из рис. 128 видно, что искомая площадь S равна разности площадей, ограниченных данными кривыми с осью OX
S =
b
Z
a f (x)dx −
b
Z
a
ϕ(x)dx =
=
b
Z
a
[f (x) − что и требовалось доказать. Общий случай какого угодно расположения кривых относительно оси OX приводится к разобранному

101]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
315
если передвинуть ось OX настолько книзу, чтобы обе кривые оказались над осью OX; это передвижение равносильно прибавлению к обеим функциями) одного итого же постоянного слагаемого, причем разность f (x) − ϕ(x) остается без изменения.
Предлагаем в виде упражнения доказать, что если данные две кривые пересекаются так, что одна кривя лежит частью ниже,
а частью выше другой, то сумма площадей, лежащих между ними и ординатами x = a, x = b, равна b
Z
a
|f(x) − Часто вычисление определенного интеграла называют квадратурой. Это связано стем, что определение площади, как указано выше, сводится к вычислению определенного интеграла.
П р им еры. Площадь, ограниченная параболой второй степени y = ax
2
+ bx + осью OX и двумя ординатами, расстояние между которыми есть h, равна h
6
(y
1
+ y
2
+ Рис. где и означают крайние ординаты кривой, y
0
— ординату, равноотстоящую от крайних.
При этом предполагается, что кривая лежит над осью При доказательстве формулы (4) мы можем, не ограничивая общности, считать, что крайняя ордината слева направлена по оси (рис. 129), так как передвижение всего чертежа параллельно осине изменяет ни величины рассматриваемой площади, ни взаимного расположения крайних и средней ординат, ни величин этих ординат.
Но при этом предположении, допустив, что уравнение параболы имеет вид y = ax
2
+

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения + мы выразим искомую площадь S в виде определенного интеграла =
h
Z
0
(ax
2
+ bx + c)dx = a x
3 3
+ b x
2 2
+ cx h
0
=
= a h
3 3
+ b h
2 2
+ ch =
h
6
(2ah
2
+ 3bh + При наших обозначениях мы имеем y
0
= ax
2
+ bx + c x=
h
2
=
1 4
ah
2
+
1 2
bh + c,
y
1
= ax
2
+ bx + c x=0
= c,
y
2
= ax
2
+ bx + c x=h
= ah
2
+ bh + откуда следует y
1
+ y
2
+ 4y
0
= 2ah
2
+ 3bh + что и доказывает наше утверждение.
2.
Площадь эллипса. Эллипс, уравнение которого x
2
a
2
+
y
2
b
2
= симметричен относительно координатных осей, а потому искомая площадь равна учетверенной площади той части эллипса, которая лежит в первом координатном углу, те Рис. рис. 130). Вместо того, чтобы определить y из уравнения эллипса и подставить полученное выражение и подынтегральную функцию, мы воспользуемся параметрическим представлением эллипса = a cos t,
y = b sin и введем вместо x новую переменную t; y выразится тогда сразу вторым из уравнений (5). Когда x меняется от

102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 0 до a, t меняется от
π
2
до 0, итак как все условия правила замены переменных [99] в данном случае выполнены, то = 4 0
Z
π/2
b sin t d(a cos t) = −4ab
0
Z
π/2
sin
2
tdt = По формуле (27) [100] примы имеем =
1 откуда находим окончательно = При a = b, когда эллипс обращается вкруг радиуса a, получим известное выражение для площади круга.
Рис. Вычислить площадь, заключенную между двумя кривыми y = x
2
,
x = Данные кривые (рис. 131) пересекаются в двух точках (0, 0), (1, 1), координаты которых мы получим, решая совместно уравнения этих кривых. Так как в промежутке (0, 1) имеем, то искомая площадь S в силу (2) выражается формулой =
1
Z
0
√
x − x
2


dx =
 2 3
x
3/2
−
x
3 3

1 0
=
1 3
102. Площадь сектора. Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах есть r = f (и двумя радиусами-векторами
θ = α,
θ = β,
(8)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[102
проведенными из полюса под углами α и β к полярной оси, выражается формулой =
β
Z
α
1 2
r
2
dθ =
1 2
β
Z
α
[f (Для вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь
(рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусами-
Рис. векторами (8) на n частей. Рассмотрим площадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами θ и θ + Обозначив через ∆S его площадь, через и M — наименьшее и наибольшее значения функции r = f (θ) в промежутке, мы видим, что заключается между площадями двух круговых секторов того же растворения, но радиусов m и M , те а потому, обозначив через P некоторое число, лежащее между m и , можем написать =
1 Так как непрерывная функция f (θ) в промежутке (θ, θ + принимает все значения между m и M , тов этом промежутке наверное найдется такое значение θ
′
, при котором f (θ
′
) = а тогда =
1 2
[f (Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов так, что наибольшее из значений ∆θ стремится к нулю, и если

102]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
319
вспомним сказанное в [87], тов пределе получим = lim
X
1 2
[f (θ
′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 2
[f (θ)]
2
dθ =
1 что и требовалось доказать.
Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы) заключается в замене площади сектора ∆S площадью кругового сектора того же растворения ∆θ и радиуса f (θ
′
). Приняв вместо точного выражения (10) приближенное =
1 где r = f (θ
′′
) и θ
′′
— любое значение из промежутка (θ, θ + ∆θ), для площади этого сектора мы получим в пределе тот же результат 2
[f (θ
′′
)]
2
∆θ =
β
Z
α
1 При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (получает простой геометрический смысл 2
r
2
dθ есть приближен-
Рис. 133.
ное выражение площади элементарного сектора растворения и потому называется просто элементом площади в полярных коор- динатах.
П р им ер. Найти площадь,
ограниченную замкнутой кривой Кривая эта, построение которой по точкам не представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
заштрихованной части, соответствующей изменению θ от 0 до, так что по формуле (9) имеем = 6
π/6
Z
0 1
2
a
2
cos
2 3θdθ = a
2
π/6
Z
0
cos
2 3θd(3θ) = a
2
π/2
Z
0
cos
2
tdt =
πa
2 4
103. Длина дуги. Пусть имеется дуга AB некоторой кривой.
Впишем в нее ломаную линию (рис. 134) и будем увеличивать число
Рис. сторон этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, независящему от того,
какие именно ломаные мы вписываем, то дуга называется спрямляемой,
а упомянутый предел называется длиной этой дуги. Это же определение длины годится и для замкнутой кри- вой.
Пусть кривая задана явным уравнением y = f (x), причем точками соответствуют значения x = a и x = b (a < b), и пусть f (x) имеет непрерывную производную в промежутке a 6 x 6 b, которому и соответствует дуга AB. Мы покажем, что при этих условиях дуга AB спрямляема и что ее длина выражается определенным интегралом.
Пусть AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная, причем ее вершинам соответствуют значения a = x
0
< x
1
< x
2
< · · · < x n−1
< x n
= и обозначим y i
= f (x i
). Принимая во внимание формулу для длины отрезка из аналитической геометрии, для периметра ломаной получим следующую формулу p =
n
X
i=1
p
(x i
− x i−1
)
2
+ (y i
− y i−1
)
2
=

103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле i
− x i−1
)
2
+ [f (x i
) − f(x Пользуясь формулой конечных приращений f (x i
) − f(x i−1
) = f
′
(ξ
i
)(x i
− x i−1
) (x i−1
< ξ
i
< x получим для длины отдельной стороны ломаной выражение q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x из которого мы видим, что требование того, чтобы наибольшая из сторон стремилась к нулю, равносильно требованию, чтобы наибольшая из разностей (x i
−x i−1
) стремилась к нулю. Для периметра ломаной получаем выражение p =
n
X
i=1
q
1 + f
′
2
(ξ
i
)(x i
− x а оно действительно имеет предел, равный интегралу b
Z
a q
1 + Таким образом, длина l дуги AB выражается формулой l =
b
Z
a q
1 + Пусть x
′
< x
′′
— какие-либо два значения из промежутка (a, b), аи M
′′
— соответствующие точки на дуге AB. Применяя теорему о среднем, получаем следующую формулу для длины дуги M
′
M
′′
:
l
′
=
x
′′
Z
x
′
q
1 + f
′
2
(x)dx =
q
1 + f
′
2
(ξ
1
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
1
< x
′′
).

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
Для длины хорды M
′
M
′′
, пользуясь формулой конечных приращений, получаем формулу x
′
)
2
+ [f (x
′′
) − f(x
′
)]
2
=
=
q
1 + f
′
2
(ξ
2
)(x
′′
− x
′
) (x
′
< ξ
2
< Отсюда следует + f
′
2
(ξ
2
)
p
1 + Если точки и стремятся к точке M с абсциссой x, то и x
′′
→ x, а тем самыми, и из последней формулы мы получаем Этим мы пользовались в Положим теперь, что кривая задана параметрически x = ϕ(t),
y = причем точками соответствуют значения t = α и t = β (α < Мы предполагаем, что значениям t из промежутка α 6 t 6 β соответствуют точки кривой AB так, что различным t соответствуют различные точки этой кривой, которая сама себя не пересекает и незамкнута (рис. 134). Далее мы предполагаем, что в промежутке 6 t 6 β существуют непрерывные производные ϕ
′
(t) и Пусть, как и выше, AM
1
M
2
. . . M
n−1
B — вписанная ломаная и t
0
= α < t
1
< t
2
< · · · < t n−1
< t n
= β — соответствующие значения параметра t. Для периметра ломаной получим выражение p =
n
X
i=1
p
[ϕ(t i
) − ϕ(t i−1
)]
2
+ [ψ(t i
) − ψ(t или, применяя формулу конечных приращений =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
)(t i
− t i−1
) (t i−1
< τ
i и τ
′
i
< t i
).
(13)

103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
323
Можно показать, что требование того, чтобы наибольшая из сторон ломаной стремилась к нулю, равносильно требованию того, чтобы наибольшая из разностей (t i
− t i−1
) стремилась к нулю. Это может быть доказано и без предположения существования производных) и Выражение (13) отличается от суммы, дающей в пределе интеграл+ ввиду того, что аргументы τ
i и τ
′
i
, вообще говоря, различны.
Введем сумму q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)(t i
− t которая в пределе дает интеграл (14). Для того чтобы доказать, что и сумма (13) стремится к пределу (14), надо показать, что разность p − q =
n
X
i=1
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) −
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)

(t i
− t стремится к нулю.
Умножая и деля на сумму радикалов, получим p − q =
n
X
i=1
ψ
′
(τ
′
i
) + ψ
′
(τ
i
)
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
p
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
i
)
×
× [ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)](t i
− t Так как) + ψ
′
(τ
i
)] 6
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + ψ
′
2
(τ
′
i
) +
q
ϕ
′
2
(τ
i
) + то − q| 6
n
X
i=1
|ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|(t i
− t i−1
).

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
Числа τ
i и τ
′
i принадлежат промежутку (t i−1
, t i
), ив силу равномерной непрерывности ψ
′
(t) в промежутке α 6 t 6 можно утверждать, что наибольшая из величин |ψ
′
(τ
′
i
) − ψ
′
(τ
i
)|, которую мы обозначим через δ, стремится к нулю, если наибольшая из разностей) стремится к нулю. Но из предыдущей формулы следует − q| 6
n
X
i=1
δ(t i
− t i−1
) = δ
n
X
i=1
(t i
− t i−1
) = δ(β − откуда очевидно, что p − q → 0. Таким образом, сумма (13), выражающая периметр вписанной ломаной, стремится к интегралу те+ Эта формула для длины l остается справедливой ив случае замкнутой кривой. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например,
разбить замкнутую кривую на две незамкнутые, к каждой применить формулу (16) и сложить полученные значения l. Точно так же,
если некоторая кривая L состоит из конечного числа кривых каждая из которых имеет параметрическое представление, удовлетворяющее указанным выше условиям, то, вычисляя по формуле) длину каждой кривой L
k и складывая эти длины, получим длину кривой Рассмотрим переменное значение t из промежутка (α, β), которому соответствует переменная точка M дуги AB. Длина дуги будет функцией от t и будет выражаться формулой s(t) =
t
Z
α
q
ϕ
′
2
(t) + Принимая во внимание правило дифференцирования интеграла по
∗
Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она обладает и свойством равномерной непрерывности на этом интервале

103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
325
верхнему пределу, получим ds dt
=
q
ϕ
′
2
(t) + то есть ds =
q
ϕ
′
2
(t) + откуда, принимая во внимание, что) =
dx dt
,
ψ
′
(t) =
dy получаем формулу для дифференциала дуги [70]
ds =
p
(dx)
2
+ (а формула (15) может быть, без указания переменной интегрирования, переписана в виде l =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (Пределы (A) и (B) указывают на начальную и конечную точки линии.
Если ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t) > 0 при всех t из (α, β), то, согласно (мы получим производную от параметра t по s:
dt ds
=
1
p
ϕ
′
2
(t) + Наличие непрерывных производных ϕ
′
(t) и ψ
′
(t) при условии) + ψ
′
2
(t) > 0 гарантирует нам непрерывно изменяющуюся касательную вдоль Если кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (то, введя прямоугольные координаты x и y, связанные с полярными r и θ соотношениями x = r cos θ,
y = r sin θ
(18)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, мы можем рассматривать эти уравнения, как параметрическое задание кривой с параметром Мы имеем тогда dx = cos θdr − r sin θdθ,
dy = sin θdr + r cos θdθ,
dx
2
+ dy
2
= (dr)
2
+ откуда ds =
p
(dx)
2
+ (dy)
2
=
p
(dr)
2
+ Рис. и если точками соответствуют значения α и β полярного угла рис. 135), то формула (15) даст нам s =
β
Z
α
s r
2
+
 dr Выражение для ds (19), которое называется дифференциалом дуги в полярных координатах, можно получить и непосредственно из чертежа, заменив бесконечно малую дугу M ее хордой и вычислив последнюю, как гипотенузу прямоугольного треугольника M N катеты которого M N и N приближенно равны, соответственно и Примеры. Длина дуги s параболы y = x
2
, отсчитываемой от вершины (0, 0) до переменной точки с абсциссой x, по формуле (12) выражается интегралом s =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx =
x
Z
0
p
1 + 4x
2
dx =
1 2
2x
Z
0
p
1 + мы положили t = В силу примера 11 [92] имеем + t
2
dt =
1 2
h t
p l + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)
i
+ C.

103]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
327
Подставив это в (21), получим без труда s =
1 4
h
2x p
1 + 4x
2
+ log(2x +
p
1 + Длина эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= в силу симметричности его относительно осей координат, равна учетверенной длине той его части, которая лежит в первом координатном углу.
Представив эллипс параметрически уравнениями x = a cos t,
y = b sin t и заметив, что точками соответствуют значения параметра 0 и
π
2
,
мы получим для искомой длины l следующее выражение по формуле = 4
π/2
Z
0
p a
2
sin
2
t + Интеграл этот не может быть вычислен в конечном виде для него можно указать только способ приближенного вычисления, который будет приведен ниже.
3.
Длина дуги логарифмической спирали r = Ce
αθ
[83], отсекаемой радиусами-векторами θ = α, θ = β, в силу (20) выражается интегралом r
2
+
 dr dθ

2
dθ = C
p
1 + a
2
β
Z
α
e aθ
dθ =
C
√
1 + a
2
a
(e aβ
− e В [78] мы рассматривали цепную линию, пусть M (x, y) есть какая- либо ее точка. Вычислим длину дуги AM (рис. 93). Принимая во внимание выражение для (1 + y
′
2
) из [78], получим =
x
Z
0
p
1 + y
′
2
dx=
x
Z
0
y a
dx=
1 2
x
Z
0

e x
a
+ e
−
x a

dx=
a
2

e x
a
− e
−
x a

=ay
′
,

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[103
откуда a
2
+ (дуга AM )
2
= a
2
+ a
2
y
′
2
= a
2
(1 + y
′
2
) = те. длина дуги AM равна катету прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна ординате точки M , и другой катет которого равен a. Мы получаем, таким образом, следующее правило построения дуги Из вершины A цепной линии, как центра, надо описать окружность радиусом, равным ординате точки M ; отрезок OQ оси OX от начала координат O до точки пересечения Q оси OX с упомянутой окружностью и будет представлять собою спрямленную дугу AM (рис. В предыдущих формулах при выборе знаков мы руководились тем обстоятельством, что для точек, лежащих на правой части цепной линии,
y
′
имеет знак (Для циклоиды, рассмотренной в [79], определим длины дуги l ветви рис. 94) и площадь S, ограниченную этой ветвью и осью OX:
l =
2π
Z
0
p
[ϕ
′
(t)]
2
+ [ψ
′
(t)]
2
dt =
2π
Z
0
q a
2
(1 − cos t)
2
+ a
2
sin
2
tdt =
= a
2π
Z
0
√
2 − 2 cos tdt = a
2π
Z
0
r
4 sin
2
t
2
dt = 2a
2π
Z
0
sin t
2
dt =
= 2a

−2 cos t
2

2π
0
= те. длина дуги одной ветви циклоиды равна учетверенному диаметру катящегося круга =
2πa
Z
0
ydx =
2π
Z
0
ψ(t)ϕ
′
(t)dt = a
2 2π
Z
0
(1 − cos t)
2
dt =
= a
2 2π
Z
0
(1 − 2 cos t + cos
2
t)dt = 2πa
2
− 2a
2
[sin t]
2π
0
+ a
2
 1 2
t +
1 4
sin 2t

2π
0
=
= 2πa
2
+ πa
2
= те. площадь, ограниченная одной ветвью циклоиды и той неподвижной прямой, по которой катится круг, равна утроенной площади катящегося круга

104]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
329
Вычисляя l, при извлечении корня q
4 sin
2 t
2
, мы должны выбрать арифметическое значение корня, что и сделали, ибо при изменении t от до 2π функция sin t
2
— положительна. Кардиоида, рассмотренная в [84], симметрична относительно полярной оси (риса потому для вычисления ее длины l достаточно вычислить длину дуги при изменении θ в промежутке (0, π) и полученный результат удвоить = 2
π
Z
0
p r
2
+ r
′
2
dθ = 2
π
Z
0
q
4a
2
(1 + cos θ)
2
+ 4a
2
sin
2
θdθ =
= 8a
π
Z
0
cos
θ
2
d0 = 8a

2 sin
θ
2

π
0
= те. длина дуги кардиоиды в восемь раз больше диаметра катящегося
(или неподвижного) круга. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям. Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеет определять площадь поперечных сечений тела, перпендикулярных данному направле- нию.
Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим,
что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярных данному направлению, которое мы примем за ось OX. Всякое поперечное сечение определится абсциссой x точки пересечения его с осью OX, а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от x, которую мы обозначим через) и будем считать известной.
Рис. Пусть, далее, a и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем его на элементы рядом поперечных сечений, начиная от x = a и кончая x = b; рассмотрим один из таких эле

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[104
Рис. ментов ∆V , образованный сечениями с абсциссами x и x + Заменяем объем ∆V объемом прямого цилиндра, высота которого равна ∆x, а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе x (рис. Объем такого цилиндра выразится произведением S(x)∆x, и, таким образом, мы получим следующее приближенное выражение для нашего объема V где суммирование распространено на все те элементы, на которые разбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из ∆x стремится к нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл,
который и дает точное значение объема V , что приводит к следующему предложению.
Если для данного тела известны все его поперечные сечения плоскостями,
∗
перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось OX, то объем тела V выражается формулой где S(x) означает площадь поперечного сечения с абсциссой x, a и b — абсциссы крайних сечений тела.
∗
Иными словами, площадь поперечного сечения является функцией переменной. Приложения понятия об определенном интеграле
331
Рис. Пример. Объем цилиндрического отрезка, отсекаемый от прямого кругового полу- цилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметр за ось OX, точку A — за начало координат;
обозначим радиус основания цилиндра через угол, образуемый верхним сечением отрезка сего основанием, через Поперечное сечение,
перпендикулярное диаметру AB, имеет вид прямоугольного треугольника, и его площадь выражается формулой) =
1 2
P Q · QR =
1 2
tg αP Далее, по известному свойству окружности, отрезок P Q есть среднее геометрическое между отрезками AP , P B диаметра AB, а потому Q
2
= AP · P B = x(2r − и окончательно) =
1 2
x(2r − x) tg Применяя формулу (23), для искомого объема V получим =
2r
Z
0
S(x)dx =
1 2
tg α
2r
Z
0
x(2r − x)dx =
1 2
tg α

rx
3
−
x
3 3

2r
0
=
=
2 3
r
3
tg α =
2 если ввести высоту отрезка h = r tg α.
105. Объем тела вращения. В случае, когда рассматриваемое тело получается отвращения данной кривой y = f (x) вокруг оси, поперечные его сечения будут круги радиуса y (риса потому) = πy
2
,
V (x) =
b
Z
a
πy
2
dx,

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[105
Рис. Рис. те. объем тела, получаемого при вращении вокруг оси OX части кривой y = f (заключенной между ординатами x = a, x = b, выражается формулой Пример. Объем эллипсоида вращения. При вращении эллипса x
2
a
2
+
y
2
b
2
= вокруг большой оси получается тело, называемое удлиненным эллипсоидом вращения (рис. 140). Крайние значения абсциссы x в рассматриваемом случае будут (−a) и (+a), а потому формула (24) дает
V
удл
= π
+a
Z
−a y
2
dx = π
+a
Z
−a b
2

1 −
x
2
a
2

dx = πb
2

x −
x
3 3a
2

+a
−a
=
4 Точно также мы сможем вычислить и объем сжатого эллипсоида вращения, который получается при вращении нашего эллипса вокруг малой оси. Нужно только переставить между собой буквы x, y, a и b, что дает
V
сж
= π
+b
Z
−b x
2
dy = π
+b
Z
−b a
2

1 −
y
2
b
2

dy =
4 3
πba
2
(26)

106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
333
В случае a = b оба эллипсоида обращаются в шар радиуса a, объем которого равен 3
πa
3 106. Поверхность тела вращения. Площадью поверхности,
получаемой при вращении кривой в плоскости XOY вокруг оси, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится к нулю (рис. 141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками A и B, то поверхность F тела вращения выражается формулой Рис. где ds есть дифференциал дуги данной кривой, те+ (В этой формуле кривая может быть задана как угодно, в явной или в параметрической форме символы) и (B) показывают, что нужно интегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой A и Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрической форме, причем роль параметра играет длина дуги s кривой, отсчитываемая от точки A, и обозначим через l длину всей кривой Эта кривая, конечно, считается спрямляемой. Мы имеем x = ϕ(s),
y = ψ(s). Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s на частичные промежутки = s
0
< s
1
< s
2
< · · · < s n−1
< s n
= Пусть значению s = s соответствует точка M
i кривой, причем,
очевидно, совпадает си с B. Обозначим через q дли

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[106
ну отрезка M
i−1
M
i через ∆s i
— длину дуги M
i−1
M
i и положим y
i
= ψ(s i
). Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой отвращения ломаной AM
1
M
2
. . . M
n−1
B:
Q = 2π
n
X
i=1
y i−1
+ y i
2
q или = 2π
n
X
i=1
y i−1
q i
+ π
n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q Пусть δ — наибольшее из абсолютных значений |y i
− y i−1
|. В силу равномерной непрерывности функции ψ(s) в промежутке 0 6 s 6 l величина δ стремится к нулю, если наибольшая из разностей (s i
−
s i−1
) стремится к нулю. Номы имеем n
X
i=1
(y i
− y i−1
)q i
6
δ
n
X
i=1
q откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится к нулю Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде i−1
q i
= 2π
n
X
i=1
y i−1
∆s i
− 2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю.
Для этого заметим, что непрерывная в промежутке (0, l) функция y = ψ(s) ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число m, что |y i−1
| 6 m при всех i. Поэтому n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
)
6
n
X
i=1
m(∆s i
− q i
) = m l −
n
X
i=1
q Но если наибольшая из разностей (s i
− s i−1
) стремится к нулю,
то и наибольшая из длин хорд q стремится к нулю, и периметр вписанной ломаной стремится к длине дуги n
X
i=1
q i
→ l,

106]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
335
откуда
2π
n
X
i=1
y i−1
(∆s i
− q i
) → Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемое Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Таким образом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]
F =
β
Z
α
2πψ(t)
q
ϕ
′
2
(t) + ψ
′
2
(t)dt,
(28 ив случае явного уравнения y = f (x) линии AB:
F =
b
Z
a
2πf (x)
q
1 + f
′
2
(x)dx.
(28 Пример. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого. Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения.
Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеем
F
удл
= 2π
a
Z
−a y
p
1 + y
′
2
dx = 2π
a
Z
−a p
y
2
+ (Из уравнения эллипса мы имеем b
2

1 −
x
2
a
2

,
yy
′
= −
b
2
x a
2
,
откуда
(yy
′
)
2
=
b
4
x
2
a
4
,
F
удл
= 2π
a
Z
−a r
b
2
−
b
2
x
2
a
2
+
b
4
x
2
a
4
dx = 2πb a
Z
−a s
1 −
x
2
a
2

1 −
b
2
a
2

dx.

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[106
Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипса имеем (см. пример [99])
F
удл
= 2πb a
Z
−a r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx = 4πb a
Z
0
r
1 −
ε
2
x
2
a
2
dx =
=
4πba
ε
a
Z
0
r
1 −
 εx a

2
d
 εx a

=
4πab
ε
ε
Z
0
p
1 − Интегрируя по частям, имеем (ср. пример 11 [92])
Z
p
1 − t
2
dt = t p
1 − t
2
+
Z
t
2
√
1 − t
2
dt =
= t p
1 − t
2
−
Z
p
1 − t
2
dt +
Z
dt
√
1 − откуда − t
2
dt =
1 2
[t p
1 − t
2
+ arcsin и окончательно
F
удл
= 2πab

p
1 − ε
2
+
arcsin Эта формула годится в пределе и длят. е. когда b = a, и эллипсоид превращается в шар радиуса a. В скобках при этом оказывается неопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеем arcsin ε
ε
ε=0
=
1
√
1 − ε
2 1
ε=0
= Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы x и y, a и b, мы находим:
F
сж
= 2π
b
Z
−b p
x
2
+ (xx
′
)
2
dy,

107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
337
где x считается функцией от y. Но из уравнения эллипса имеем x
2
= a
2

1 −
y
2
b
2

,
xx
′
= −
a
2
y b
2
,
(xx
′
)
2
=
a
4
y
2
b
4
,
откуда
F
сж
= 2πa b
Z
−b s
1 +
y
2
b
2
 a
2
b
2
− 1

dy = 4πa b
Z
0
r
1 +
y
2
a
2
ε
2
b
4
dy =
=
4πb
2
ε
aε
b
Z
0
p
1 + t
2
dt =
2πb
2
ε
[t p
1 + t
2
+ log(t +
p
1 + t
2
)]
aε
b
0
=
=
2πb
2
ε
"
a
ε
b r
1 +
a
2
ε
2
b
2
+ log aε
b
+
r
1 +
a
2
ε
2
b
2
!#
=
=
2πb
ε
"
aε
b r
a
3
b
2
+ log aε
b
+
r a
2
b
2
!#
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + и окончательно
F
сж
= 2πa
2
+
2πb
2
ε
log a(1 + ε)
b
(30)
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
Если дана система n материальных точек, y
1
),
M
2
(x
2
, y
2
), . . . , M
n
(x n
, y массы которых равны, соответственно, m
2
, . . . , m то центром тяжести системы G называется точка, координаты которой x
G
, удовлетворяют условиям x
G
=
n
X
i=1
m i
x i
,
M y
G
=
n
X
i=1
m i
y где M означает полную массу системы =
n
X
i=1
m i

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[107
При определении центра тяжести можно каким угодно образом группировать точки системы, разбивая их на частные системы стем, чтобы при вычислении координат центра тяжести Q всей системы заменять всю группу точек, вошедших в какую угодно частную систему, одной точкой, а именно ее центром тяжести, приписав ей массу, равную сумме масс вошедших в нее точек.
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого общего принципа, которое не представляет труда и легко может быть проверено на простейших частных случаях системы стремя, четырьмя и т. д. точками.
В дальнейшем мы будем иметь дело нес системами точек, ас тем случаем, когда масса заполняет лишь некоторую плоскую фигуру (область) или линию.
Для простоты ограничимся рассмотрением лишь однородных тел, плотность которых примем за единицу, так что масса такой фигуры будет равняться ее длине, если она имеет вид линии, и площади, если она имеет вид плоской области.
Рис. Пусть сперва нужно определить центр тяжести дуги кривой (рис. 142), длина которой. Следуя предыдущему общему принципу, разобьем дугу AB на n малых элементов ∆s. Центр тяжести всей системы можно вычислить, заменив каждый из этих элементов одной точкой, центром тяжести рассматриваемого элемента, сосредоточив в ней всю массу элемента ∆m = Рассмотрим один из таких элементов ∆s и обозначим координаты его концов через (x, y), (x + ∆x, y + ∆y); координаты же его центра тяжести обозначим через (¯
x, ¯
y). При достаточном уменьшении элемента ∆s, можем считать, что точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало отстоит от точки (x, Центр тяжести каждого такого элемента, вообще говоря, не лежит на кривой, хотя и будет тем ближе к ней, чем меньше элемент, что и указано схематически на рис. 142.

107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
339
По формулам (31) имеем, как ив откуда, вычислив s по формуле s =
(B)
Z
(A)
ds =
(B)
Z
(A)
p
(dx)
2
+ (и определим координаты центра тяжести Из формул (32) и (33) вытекает важная теорема:
Т е орем а I Гуль дина. Площадь поверхности, полученной при вращении дуги данной плоской кривой вокруг некоторой оси,
лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равняется произведению длины вращающейся дуги на длину пути, описанного при этом вращении центром тяжести дуги.
Рис. В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, для поверхности тела, описанного при вращении дуги AB, имеем (27) [106]
F = 2π
(B)
Z
(A)
yds = 2πy
G
· в силу (33)], что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь некоторую плоскую область S (площадь которой обозначим также через S). Допустим для простоты, что эта область (рис. 143) ограничена двумя кривыми, ординаты которых обозначим через y
1
= f
1
(x),
y
2
= f
2
(x).

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[107
Следуя общему принципу, указанному вначале этого номера,
разобьем фигуру на n вертикальных полосок прямыми, параллельными оси OY . При вычислении координат центра тяжести фигуры мы можем заменить каждую такую полоску ее центром тяжести, сосредоточив в нем массу полосок ∆m = ∆S. Рассмотрим одну из таких полосок обозначим через x и x + ∆x абсциссы ограничивающих ее прямых и M
′
1
M
′
2
, через ¯
x, ¯
y — координаты центра тяжести.
При достаточном сужении полоски, те. приуменьшении ее ширины, точка (¯
x, ¯
y) сколь угодно мало будет отстоять от середины отрезка прямой M
1
M
2
, вследствие чего можем писать приближенные равенства ∼ x,
¯
y ∼
y
1
+ y
2 Далее, масса ∆m полоски, равная ее площади ∆S, может быть приравнена площади прямоугольника с основанием ∆x и высотой,
сколь угодно мало отличающейся от длины отрезка M
1
M
2
= те Применяя формулу (31), можем написать x
G
= Sx
G
=
X
¯
x∆m = lim
X
[x(y
2
− y
1
)]∆x =
=
b
Z
a x(y
2
− y
1
)dx,
(34)
M y
G
= Sy
G
=
X
¯
y∆m = lim
X
 y
2
+ y
1 2

(y
2
− y
1
)∆x =
= lim
X
 1 2
(y
2 2
− y
2 1
)

∆x =
b
Z
a
1 2
(y
2 2
− y
2 Из формулы (35) вытекает
∗
Площадь каждой вертикальной полоски будет ∆S.

107]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
341
Т е орем а II Гуль дина. Объем тела, получаемого при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади вращающейся фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести при вращении.
В самом деле, приняв ось вращения за ось OX, нетрудно заметить, что объем рассматриваемого тела вращения V равен разности объемов тел, получаемых при вращении кривой и кривой y
1
, а потому, согласно (24) [105],
V = π
b
Z
a y
2 2
dx − π
b
Z
a y
2 1
dx = π
b
Z
a
(y
2 2
− y
2 1
)dx = 2πy
G
· в силу (35), что и требовалось доказать.
Полученные две теоремы Гульдина весьма полезны как при определении поверхности или объема фигур вращения, когда известно положение центра тяжести вращающейся фигуры, таки обратно при определении центра тяжести фигуры, когда известны объем или поверхность производимой ею фигуры вращения.
П р им еры. Найти объем V кольца (тора, получаемого при вращении круга радиуса r (рис. 144) вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии a от центра (причем r < a, те. ось вращения не пересекает окружность).
Рис. Центр тяжести вращающегося круга находится, очевидно, в его центре, а потому длина пути, описываемого центром тяжести при вращении

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[108
равна 2πa. Площадь вращающейся фигуры равна πr
2
, а потому по теореме Гульдина имеем = πr
2
· 2πa = Найти поверхность F кольца, рассмотренного в примере Длина вращающейся окружности равна 2πr; центр тяжести по- прежнему совпадает с центром окружности, а потому в силу теоремы Гульдина имеем = 2πr · 2πa = Рис. Найти центр тяжести G полукруга радиуса a. Примем основание полукруга за ось OX и направим ось OY попер- пендикуляру к OX, восстановленному в центре (рис. 145); в силу симметричности фигуры относительно оси OY ясно, что центр тяжести G лежит на оси OY . Остается найти только y
G
. Для этой цели применим теорему II Гульдина. Тело, получаемое при вращении полукруга вокруг оси OX, есть шар радиуса a, и его объем равен 4
. Площадь S вращающейся фигуры равна, а потому 3
πa
3
=
π
2
a
2
· 2πy
G
,
y
G
=
4 Найти центр тяжести полуокружности радиуса Выбирая координатные оси, как ив предыдущем примере, видим опять, что искомый центр лежит на оси OY , так что остается найти. Применяя теорему I Гульдина и заметив, что поверхность тела вращения F в данном случае равна 4πa
2
, длина s = πa, получим πa · 2πy
G
′
,
y
G
′
= Как и следовало ожидать, центр тяжести полуокружности лежит ближе к ней, чем центр тяжести ограничиваемого ею полукруга. Приближенное вычисление определенных интегралов;
формулы прямоугольников и трапеций.
Вычисление определенных интегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразной функции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция и существует, если подынтегральная функция непрерывна, одна она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее

108]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
343
можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Поэтому важное значение имеют способы приближенного вычисления определенных интегралов.
Б´
ольшая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммы b
Z
a f (x)dx = lim n
X
i=1
f (ξ
i
)(x i
− x Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток, b) на n равных частей длину каждой части обозначим через h, так что h =
b − a n
,
x i
= a + ih
(x
0
= a;
x n
= a + nh = Обозначим далее через y значение подынтегральной функции y =
f (x) при x = x i
(i = 0, 1, . . . , n):
y i
= f (x i
) = f (a + Эти величины мы считаем известными их можно получить непосредственным вычислением, если функция f (x) задана аналитически,
или снять прямо с чертежа, если она изображена графически.
Полагая в сумме, стоящей в правой части (38), ξ
i
= x или x i
, мы получим две приближенные формулы прямоугольников f (x)dx ≈
b − a n
[y
0
+ y
1
+ · · · + y n−1
],
(40)
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1
+ y
2
+ · · · + y где знак (≈) обозначает приближенное равенство.
Чем больше число n, те. чем меньше h, тем эти формулы будут точнее ив пределе, при n → ∞ и h → 0, дадут точную величину определенного интеграла.
Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулю при возрастании числа ординат. Приданном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется для того случая, когда данная функция f (x) монотонна в промежутке (a, b)

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[108
Рис. рис. 146). В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой из формул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е.
не превышает площади прямоугольника стем же основанием b−a n
= h и высотой, равной сумме высот y n
− заштрихованных прямоугольников, те. величины b − a n
(y n
− Формулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой y = f (x) приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальных отрезков, ограничивающих прямоугольники.
Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно мало отличаются отданной кривой чем ближе такая вспомогательная линия подходит к кривой y = f (x), тем меньше будет погрешность, которую мы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченную вспомогательной линией.
Рис. Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при x = x совпадают с ординатами данной кривой (рис. 147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихованных трапеций, то получим приближенную формулу трапеций f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+
y
1
+ y
2 2
+ · · · +
y n−1
+ y n
2
i
=
=
b − a
2n
[y
0
+ 2y
1
+ 2y
2
+ . . . 2y n−1
+ y n
].
(43)

109]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле 109. Формула касательных и формула Понселе.
Увеличим теперь число делений вдвое, подразделив каждое из делений пополам. Мы получим таким путем 2n делений (рис. 148):
x
0
, x
1/2
= a +
h
2
,
x
1
= a + h, . . . , x i
= a + ih,
x i+1/2
= a +

i +
1 2

h, . . . ,
x n
= Рис. которым будут соответствовать ординаты, y
1/2
, y
1
, . . . , y i
, y i+1/2
, . . . , y ординаты y
0
, y
1
, . . . , y будем называть четными, ординаты не- четными).
В конце каждой нечетной ординаты проведем касательную до пересечения ее с двумя соседними четными ординатами и заменим данную площадь суммою площадей построенных таким путем трапеций. Полученная таким образом приближенная формула называется формулой касательных :
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a n
[y
1/2
+ y
3/2
+ · · · + y n−1/2
] = Одновременно с предыдущими описанными трапециями рассмотрим вписанные трапеции, которые получим, соединив хордами концы соседних нечетных ординат присовокупим к ним еще две крайние трапеции,
образованные хордами, соединяющими концы ординат и y
1/2
, y и y n
. Сумму площадей полученных трапеций обозначим через − a
2n
 y
0
+ y n
2
−
y
1/2
+ y n−1/2 2
+ 2y
1/2
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Если кривая y = f (x) в промежутке (a, b) не имеет точек перегиба, те. только выпукла или только вогнута, то площадь S кривой заключается между площадями и σ
2
, и естественно поэтому принять

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[110
за приближенное выражение для S среднее арифметическое 2
, что дает формулу Понселе:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
2n h y
0
+ y n
4
−
y
1/2
+ y n−1/2 4
+ 2y
1/2
+
+ 2y
3/2
+ · · · + 2y Нетрудно видеть, что погрешность этой формулы при сделанном предположении о виде кривой не превосходит абсолютного значения σ
2 2
=
 y
1/2
+ y n−1/2 2
−
y
0
+ y n
2
 b − причем выражение, стоящее в скобках, равно, как это нетрудно показать из свойства средней линии трапеции, отрезку средней ординаты, отсекаемому хордами, соединяющими между собой концы крайних четных и крайних нечетных ординат. Формула Симпсона.
Оставив в силе предыдущее подразделение начетное число частей, заменим данную кривую рядом дуг парабол второй степени, проведя их через концы каждых трех ординат, y
1/2
, y
1
; y
1
, y
3/2
, y
2
; . . . ; y n−1
, y n−1/2
, y Вычисляя площадь каждой из полученных таким путем криволинейных фигур по формуле (4) [101], мы получим приближенную формулу
Симпсона:
b
Z
a f (x)dx ≈
b − a
6n
[y
0
+ 4y
1/2
+ 2y
1
+ 4y
3/2
+ 2y
2
+ · · · +
+ 2y n−1
+ 4y n−1/2
+ y На выводе погрешности этой формулы, а равно и погрешности формулы трапеций, мы здесь останавливаться не будем. Заметим, вообще,
что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, так как обыкновенно дает слишком грубый предел.
По поводу предыдущего построения заметим, что соответствующим подбором a, b ив параболе y = ax
2
+ bx + c можно всегда заставить ее пройти через заданные три точки плоскости с различными абсциссами

110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
347
На практике для точности результата существенное значение имеет плавный ход кривой, ив соседстве с точками, где кривая более или менее резко меняет вид, нужно вести вычисления с большой точностью, для чего необходимо вводить более мелкие подразделения промежутка. Во всяком случае полезно перед вычислением составить себе хотя бы только приблизительное представление о ходе кривой.
Весьма существенное значение при приближенных вычислениях имеет схема расположения действий. Для того, чтобы дать представление о ней, а также, чтобы сравнить точность, даваемую различными выведенными выше приближенными формулами, мы приводим следующие примеры =
π/2
R
0
sin xdx = 1,
n = 10,
b − a n
= 0, 15707963,
b − a
2n
= 0, 07853981,
b − a
6n
= 0, 02617994
y
1
sin 9
◦
0,1564345
y
2
sin 18
◦
0,3090170
y
3
sin 27
◦
0,4539905
y
4
sin 36
◦
0,5877853
y
5
sin 45
◦
0,7071068
y
6
sin 54
◦
0,8090170
y
7
sin 63
◦
0,8910065
y
8
sin 72
◦
0,9510565
y
9
sin 81
◦
0,9876883
P
1 5,8531024
y
1/2
sin 4
◦
,
5 0,0784591
y
3/2
sin 13
◦
,
5 0,2334454
y
5/2
sin 22
◦
,
5 0,3826834
y
7/2
sin 31
◦
,
5 0,5224986
y
9/2
sin 40
◦
,
5 0,6494480
y
11/2
sin 49
◦
,
5 0,7604060
y
13/2
sin 58
◦
,
5 0,8526402
y
15/2
sin 67
◦
,
5 0,9238795
y
17/2
sin 76
◦
,
5 0,9723699
y
19/2
sin 85
◦
,
5 0,9969173
P
2 6,3727474
y
0
sin 0
◦
0,0000000
y
10
sin Формула прямоугольников по недостатку 5,8531024
y
0 0,0000000
P
5,8531024
lg
P
0,7673861
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
¯
1,9635059
S
= 0, Формула прямоугольников по избытку 5,8531024
y
10 1,0000000
P
6,8531024
lg
P
0,8358873
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0320071

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения 1, Формула касательных
Формула трапеций lg
P
2 0,8043267
lg b−a n
¯
1,1961198
lg S
0,0004465 2
P
1 11,7062048
y
0
+ y
10 1,0000000
P
12,7062048
lg
P
1,1040158
lg b−a
2n
¯
2,8950899
lg S
1,9991057
S
≈ 1, 0010290
S
≈ 0, Формула Понселе
2
P
2 12,7454948 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,2500000
−
1 4
(y
1/2
+ y
10/2
)
−0,2688441
P
12,7266507
lg
P
1,1047141
lg b−a
2n
¯
2,8950898
lg S
¯
1,9998039
S
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 11,7062048 4
P
2 25,4909896
y
0
+ y
10 1,0000000
P
38,1971944
lg
P
1,5820314
lg b−a
6a
¯
2,4179685
lg S
¯
1,9999999
S
≈ 1, 0000000 2.
S =
1
R
0
log(1+x)
1+x
2
dx =
π
8
log 2 = 0, 2721982613 . . . ,
8
n = 10,
b − a
2n
=
1 20
,
b − a
6n
=
1 60
y
1 0,0943665
y
2 0,1753092
y
3 0,2407012
y
4 0,2900623
y
5 0,3243721
y
6 0,3455909
y
7 0,3561263
y
8 0,3584065
y
9 0,3546154
P
1 2,5395503
y
1/2 0,0486685
y
3/2 0,1366865
y
5/2 0,2100175
y
7/2 0,2673538
y
9/2 0,3089926
y
11/2 0,3364722
y
13/2 0,3520389
y
15/2 0,3581540
y
17/2 0,3571470
y
19/2 0,3510273
P
2 2,7265583
y
0 0,0000000
y
10 0,3465736 Эта формула будет выведена во втором томе

110]
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле
349
Формула Понселе
2
P
2 5,4531166 1
4
(y
0
+ y
10
)
0,0866434
−
1 4
(y
1/2
+ y
19/2
)
−0,0999239
P
5,4398361
S
=
1 20
P
≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 5,0791006 4
P
2 10,9062332
y
0
+ y n
0,3465736
P
16,3319074
S
=
1 60
P
≈ 0, 27219846 3.
S =
1
R
0
dx
1 + x
= log 2 = 0, 69314718 . . .
n = 20,
b − a
2n
=
1 40
,
b − a
6n
=
1 120
y
1 0,9523810
y
2 0,9090909
y
3 0,8695653
y
4 0,8333333
y
5 0,8000000
y
6 0,7692307
y
7 0,7407407
y
8 0,7142857
y
9 0,6896552
y
10 0,6666667
y
11 0,6451613
y
12 0,6250000
y
13 0,6060606
y
14 0,5882353
y
15 0,5714287
y
16 0,5555556
y
17 0,5405405
y
18 0,5263146
y
19 0,5128205
P
1 13,1166666
y
1/2 0,9756097
y
3/2 0,9302326
y
5/2 0,8888889
y
7/2 0,8510638
y
9/2 0,8163266
y
11/2 0,7843135
y
13/2 0,7547169
y
15/2 0,7272727
y
17/2 0,7017543
y
19/2 0,6779661
y
21/2 0,6557377
y
23/2 0,6349207
y
25/2 0,6153846
y
27/2 0,5970149
y
29/2 0,5977101
y
31/2 0,5633804
y
33/2 0,5479451
y
35/2 0,5333333
y
37/2 0,5194806
y
39/2 0,5063291
P
2 13,8613816
y
0 1,0000000
y
20 Формула трапеций 26,2321332
y
0
+ y
20 1,5000000
P
27,7321332
S
=
1 40
P
≈ 0, 69330333

Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[111
Формула Понселе
2
P
2 27,7227632 1
4
(y
0
+ y
20
)
0,375000
−
1 4
(y
1/2
+ y
39/2
)
−0,3704847
P
27,7272785
S
=
1 40
P ≈ 0, Формула Симпсона
2
P
1 26,2321332 4
P
2 55,4455264
y
0
+ y
20 0,5000000
P
83,1776596
S
=
1 120
P ≈ 0, 69314716 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
Во многих вопросах приходится вычислять значения определенного интеграла (x) =
x
Z
a f (x)dx при переменном верхнем пределе.
Основываясь на формуле трапеций (43), можно указать следующий способ получения приближенных значений этого интеграла, конечно, не при всех значениях x, а только при тех, которыми подразделен на части промежуток (a, b), те (По формуле (43) мы имеем (x k
) =
a+kh
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
i
,
(48)
F (x k+1
) =
a+(k+1)h
Z
a f (x)dx ≈ h h y
0
+ y
1 2
+ · · · +
y k−1
+ y k
2
+
y k
+ y k+1 2
i
≈
≈ F (x k
) +
1 2
h(y k
+ y Эта формула дает возможность, вычислив значение F (x k
), перейти к следующему значению F (x k+1
) = F (x k
+ Вычисление это можно располагать по схеме, приведенной на стр. 349.

Приложения понятия обо пределен ном интеграле 3