Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
1 + u 2 + . . . + u n + . . имеет сумму s, то ряд au 1 + au 2 + . . . + au n + . . . получаемый из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму as, ибо сумма σ n первых n членов ряда) есть au 1 + au 2 + . . . + au n = as n , 119] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 375 а потому lim n→∞ σ n = lim n→∞ as n = a lim n→∞ s n = as. II. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если u 1 + u 2 + . . . + u n + . . . = s, v 1 + v 2 + . . . + v n + . . . = то ряд v 1 ) + (u 2 ± v 2 ) + . . . + (u n ± v n ) + . . также сходится и сумма его равна s±σ, ибо сумма первых членов ряда v 1 ) + (u 2 ± v 2 ) + . . . + (u n ± v n ) = s n ± Другие свойства суммы, например независимость суммы от порядка слагаемых, правило перемножения двух сумм и т. п, в применении к бесконечным рядам будут рассмотрены ниже в § 14. Заметим пока, что они справедливы не для всякого ряда. Сочетательный закон справедлив, очевидно, для любого сходящегося ряда, т. е. можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Это сводится к тому, что вместо всех s n (n = 1, 2, 3, . . . ) мы берем последовательность s n k , что не меняет предела s [27]. III. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала. Действительно, рассмотрим два ряда u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + . . . , u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + . . Второй получается из первого отбрасыванием первых двух слагаемых. Если обозначить через s сумму первых n членов первого ряда, а через σ n — тоже для второго ряда, то, очевидно s n − (u 1 + u 2 ), s n = σ n−2 + (u 1 + причем если n → ∞, то и значок (n − 2) → ∞. Отсюда видно, что если s имеет предел, то и имеет предел, и наоборот. Эти Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям пределы s и σ, те. суммы взятых двух рядов, будут, конечно, различны, а именно = s − (u 1 + u 2 ). IV. Общий член u сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном возрастании n: lim u n = ибо очевидно, что u n = s n − s и если ряд сходится и имеет сумму s, то lim s n−1 = lim s n = откуда lim u n = lim s n − lim s n−1 = s − s = Таким образом, условие (8) необходимо для сходимости ряда, но оно недостаточно общий член ряда может стремиться к нулю, и ряд все же может быть расходящимся. П р им ер. Гармонический ряд + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . + 1 n + . . . = ∞ X n=1 Здесь мы имеем u n = 1 n → 0 при → Нетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов ряда (9) беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8, . . . членов + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . + 1 8 + 1 9 + . . . + 1 16 + . . . так что в й группе будет членов. Если в каждой группе заменим все члены последним, наименьшим членом группы, то получится ряд + 1 2 + 1 4 · 2 + 1 8 · 4 + 1 16 · 8 + . . . = 1 + 1 2 + 1 2 + . . . , (10) 120] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 377 сумма первых n членов которого, равная h 1+ 1 2 (n−1) i , стремится, очевидно, к (Взяв достаточно больше число членов ряда (9), мы можем получить какое угодно число n групп, и сумма этих членов будет еще больше, чем h 1 + 1 2 (n − 1) i , и отсюда видно, что для ряда (9) s n → +∞. 120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Особенное значение имеют ряды с положительными (неотрицательными) членами, для которых все числа u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся для такого ряда s n → s или s n → +Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма s его первых членов при всяком n оставалась меньше некоторой постоянной A, независящей от Действительно, для такого ряда сумма s не убывает привоз- растании n, так как при этом добавляются новые положительные (неотрицательные) слагаемые, и все наши утверждения вытекают из разобранных раньше свойств возрастающих переменных [30]. Для суждения о сходимости или расходимости рядов с положительными членами часто полезно бывает сравнить их с другими, более простыми рядами, чаще всего с геометрической прогрессией. Для этого мы установим признак. Если каждый член ряда с положительными членами u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . Мы получаем, что последовательность частичных сумм гармонического ряда ограничена снизу числовой последовательностью, члены которой неограниченно возрастают с ростом n. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда v 1 + v 2 + v 3 + . . . + v n + . . . то и ряд (11) также сходится. Если же, наоборот, каждый член ряда (11), начиная с некоторого, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда) с положительными членами, то и ряд (11) также расхо- дится. ∗ Допустим сперва, что мы имеем u n 6 v причем ряд (12) сходится. Не ограничивая общности, мы можем считать, что это неравенство выполняется при всех значениях отбросив, в случае надобности, те первые члены, для коих оно не выполняется (свойство III [119]). Обозначив через s сумму n первых членов ряда (11), через σ n — аналогичную сумму для ряда (мы имеем, в силу (13), s Но ряд (12) по условию сходится, и, обозначив через σ сумму ряда (12), имеем σ n 6 σ, а потому и откуда, в силу 1, вытекает сходимость ряда (Пусть теперь выполняется неравенство u n > v Мы имеем, очевидно Любое конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость 121] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 379 но ряд (12) теперь расходится, и сумма σ n первых его n членов может быть сделана больше сколь угодно большого данного наперед числа тем же свойством, в силу (15), обладает и s n , те. ряд (будет также расходящимся. З а меча ни е. Из сходимости (или расходимости) ряда (12) вытекает и сходимость (или расходимость) ряда kv 1 + kv 2 + kv 3 + . . . + kv n + . . . где k — какое угодно постоянное положительное число. Действительно, из сходимости ряда Σv вытекает и сходимость ряда Σkv в силу I [119]. Наоборот, если Σv расходится, то и ряд должен быть расходящимся, ибо, если бы он сходился, то, умножая его члены намыв силу I [119], имели бы и сходимость ряда Σv n . Из сказанного вытекает: Ряд (11) сходится, если u n 6 kv причем ряд Σv n — сходящийся и k — какое-нибудь положительное число ряд (11) расходится, если u n > kv причем ряд Σv n — расходящийся. Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительными членами. Признаки Коши и Даламбера. 3. Признак Кош и. Если общий член ряда с положительными членами (11) u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . начиная с некоторого значения n, удовлетворяет неравенству n √ u n 6 q < где q не зависит от n, то ряд сходится Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Если же, наоборот, начиная с некоторого значения, имеем n √ u то ряд (11) расходится. Не ограничивая общности, можем допустить, что неравенства) или (19) выполняются при всех значениях n (свойство III Если выполнено (18), тот. е. общий член данного ряда не превосходит соответствующего члена бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а потому, в силу 2, ряд будет сходящимся. В случае же (19) имеем и ряд (11), общий член которого не стремится к нулю (больше единицы, не может быть сходящимся (свойство IV [119]). 4. Признак Даламбера. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему u n u n−1 , начиная с некоторого значения удовлетворяет неравенству u n u n−1 6 q < где q не зависит от n, то ряд (11) сходится. Если же, наоборот, начиная с некоторого значения n, имеем u n то данный ряд расходится. Допустив, как и раньше, что неравенства (20) или (21) выполняются при всех значениях n в случае (20), мы имеем u n 6 u n−1 q, u n−1 6 u n−2 q, u n−2 6 u n−3 q, . . . , u 2 откуда, перемножая почленно и сокращая общие множители n 6 u 1 q n−1 , 121] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 381 т. е. члены ряда меньше членов убывающей геометрической прогрессии ив силу 2, ряд (11) сходится. В случае же (21) u 1 6 u 2 6 u 3 6 . . . 6 u n−1 6 u n 6 . . . те. члены ряда не убывают по мере удаления от начала, следовательно не стремится к нулю при n → ∞, и ряд сходиться не может (свойство IV Следствие. Если при беспредельном возрастании n n √ u или u n стремится к конечному пределу r, то ряд u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . сходится при условии r < 1 и расходится при условии r > Пусть сперва r < 1. Выберем число ε настолько малым, чтобы было также и r + ε < При больших значениях n величина n √ u или u n будет отличаться от своего предела r не больше, чем нате. мы, начиная с некоторого достаточно большого значения n, будем иметь r − ε 6 n √ u n 6 r + ε < 1 (23 или r − ε 6 u n u n−1 6 r + ε < 1. (23 Применяя признаки Коши или Даламбера при q = r + ε < 1, в силу (23 1 ) или (23 2 ), сразу заключаем о сходимости данного ряда. ∗ При r = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. ∗∗ Такое ε всегда найдется так как r строго меньше 1. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Аналогичным образом доказывается и расходимость его при условии r > 1 или если хоть одно из выражений (22) стремится к Примеры. Ряд + x 1 + x 2 1 · 2 + . . . + x n 1 · 2 · 3 . . . n + . . . = ∞ X n=0 x Применяя признак Даламбера u n+1 = x n n! , u n = x n−1 (n − 1)! , u n+1 u n = x n → 0 при n → а потому данный ряд сходится при всех конечных значениях x (положи- тельных). 2. Ряд ∞ X n=1 x Здесь мы имеем u n = x n n , u n−1 = x n−1 n − 1 , u n u n−1 = n − 1 n x → а потому, по признаку Даламбера, данный ряд сходится при 0 6 x < 1 и расходится при x > Ряд n sin 2 nα (r > Применяя признак Коши, имеем u n = r n sin 2 nα, n √ u n = r n p sin 2 nα 6 а потому данный ряд сходится, если r < Признак Даламбера в данном случае не дает никакого результата, ибо отношение u n u n−1 = r h sin nα sin(n − не стремится ник какому пределу и даже не остается все время < 1 или 121] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 383 Вообще, можно показать, что признак Коши сильнее признака Даламбера, те. он может применяться во всех случаях, когда применяется признак Даламбера, но сверх того ив некоторых других, когда последний не может применяться. Но зато пользование им сложнее, чем признаком Даламбера, в чем нетрудно убедиться хотя бы на первых двух из разобранных выше примерах. Заметим, далее, что бывают случаи, когда и признак Коши и признак Даламбера применяться не могут это случается, например, всякий раз, когда n √ u и u n u n−1 → те. когда r = 1. Мы имеем тогда дело с сомнительным случаем, когда вопрос о сходимости или расходимости должен быть разрешен каким- либо иным путем. Так, например, для гармонического ряда который, как мы видели весть ряд расходящийся, мы имеем u n u n−1 = n − 1 n → 1, n √ u n = n r 1 n = e 1 n log 1 n → 1 и, таким образом, вопрос о сходимости или расходимости гармонического ряда не мог быть решен с помощью признаков Коши или Даламбера. С другой стороны, дальше мы докажем, что ряд 1 n 2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + . . есть ряд сходящийся. Но для него мы имеем опять u n u n−1 = n − 1 n 2 → 1, n √ u n = n r 1 n 2 = n r 1 n ! 2 → В предыдущих вычислениях существенно обратить внимание на то, что если положить x = 1 n , то x → 0 и log 1 n = x log x → 0 [66]. Отсюда, логарифмируя выражение n q 1 n , убеждаемся, что оно стремится к единице Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям те. опять-таки сомнительный случай, если применять признаки Коши или Даламбера. Интегральный признак сходимости Коши. Предположим, что члены данного ряда u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . положительны и не возрастают, те Изобразим члены ряда графически, откладывая по оси абсцисс независимую переменную n, принимающую пока только целые значения, а по оси ординат — соответствующие значения u рис. Всегда можно найти такую непрерывную функцию y = f (x), которая при целых значениях x = n принимает как раз значения u Рис. для этого достаточно провести непрерывную кривую через все построенные точки будем при этом считать, что и функция y = f (x) не возрастающая. ∗ При таком графическом изображении сумма n первых членов данного ряда s n = u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u представится как сумма площадей выходящих прямоугольников, которая заключает внутри себя площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и ординатами x = 1, x = n + 1, а потому s n > n+1 Z 1 f (Обычно эта функция может быть получена путем замены n в формуле общего члена ряда на x. Например U n = 1 (2n+3) 2 , f (x) = 1 (2x+3) 2 122] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 385 С другой стороны, та же фигура заключает внутри себя все «входящие» прямоугольники, сумма площадей которых равна u 2 + u 3 + u 4 + . . . + u n+1 = s n+1 − а потому s n+1 − u 1 6 n+1 Z 1 f (Эти неравенства приводят нас к следующему признаку. Интегральный признак Коши. Ряд (27) u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . . , u n = f (члены которого положительны и не возрастают при возрастании n, сходится или собственно расходится, смотря потому, имеет ли интеграл = ∞ Z 1 f (конечное значение или равен бесконечности. Напомним при этом, что f (x) должна убывать при возрастании Пусть сперва интеграл I имеет конечное значение, те. кривая y = f (x) имеет конечную площадь [98]. Из положительности f (вытекает n+1 Z 1 f (x)dx < ∞ Z 1 f (а потому, в силу (31), s n < s n+1 6 u 1 + те. сумма s остается ограниченной при всех значениях n, и на основании признака I [120] ряд (27) будет сходящимся Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Пусть теперь I = ∞, те. интеграл n+1 Z 1 f (x)dx при увеличении n может быть сделан больше любого заданного наперед числа N . Тогда в силу (29) и сумма s может быть сделана больше N , те. ряд (27) будет собственно расходящимся. Аналогичным путем можно показать, что остаток ряда (27) не превосходит интеграла f Замечание. При применении признака Коши в интеграле) нижний предел, равный единице, можно заменить любым числом a, большим единицы, так как интегралы с нижним пределом единица и a одновременно или сходятся или расходятся Примеры. 1. Гармонический ряд Здесь мы имеем f (n) а потому можно положить f (x) тогда = ∞ Z 1 dx x = log и интеграл расходится, ибо log x → +∞ приданный ряд, как мы уже знаем, расходящийся. 2. Более общий ряд 1 n p , (33) 123] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 387 где p — любое число, большее нуля (при p 6 1 ряд, очевидно, расходящийся. Здесь мы имеем f (n) = 1 n p , f (x) = 1 x p , I = ∞ Z 1 dx x p = 1 1 − p x 1−p ∞ 1 , если, если p = Отсюда ясно, что интеграл расходится, если p 6 1, и сходится и равен, если p > 1. Действительно, в последнем случае показатель 1−p < 0, x 1−p = 1 x p−1 → 0 при x → +∞, и, следовательно 1 − p x 1−p ∞ 1 = 0 − 1 1 − p = 1 p − Следовательно, в силу признака Коши, ряд (33) будет сходящимся, если p > 1, и расходящимся, если p 6 1. 123. Знакопеременные ряды. Переходя к рядам с какими угодно членами, мы рассмотрим прежде всего ряды знакопеременные, у которых члены попеременно положительны и отрицательны. Такие ряды удобнее писать не так, как раньше, а в виде u 1 − u 2 + u 3 − u 4 . . . ± u n ∓ u n+1 . . . причем числа u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . . считаются положительными 10 Относительно знакопеременных рядов можно доказать следующее предложение: Для того чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Остаток такого ряда по абсолютному значению не превосходит абсолютного значения первого из отброшенных членов. Рассмотрим сперва суммы четного числа членов ряда s 2n = u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . + u 2n−1 − Здесь мы считаем, что первый член ряда положительный если он отрицательный, то ряд запишется в виде −u 1 + u 2 − u 3 + u 4 − . . .. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Так как по условию абсолютные значения членов ряда убывают (лучше сказать, не возрастают) при возрастании n, то, вообще k > u и u 2n+1 − а потому s 2n+2 = s 2n + (u 2n+1 − u 2n+2 ) > те. переменная s 2n — неубывающая. С другой стороны, мы имеем s 2n = u 1 − (u 2 − u 3 ) − (u 4 − u 5 ) − . . . − (u 2n−2 − u 2n−1 ) − так как все разности в скобках неотрицательны, те. переменная s |