Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
2n остается ограниченной при всех значениях n. Отсюда следует, что, при беспредельном возрастании n, s 2n стремится к конечному пределу [30], который мы обозначим через s: lim n→∞ s 2n = Далее, мы имеем s 2n+1 = s 2n + u 2n+1 → s при n → так как по условию u 2n+1 → Мы видим, таким образом, что как сумма четного, таки сумма нечетного числа членов ряда (34) стремится к одному и тому же пределу s, те. ряд (34) сходящийся и имеет сумму Остается еще оценить остаток r ряда. Мы имеем r n = ±u n+1 ∓ u n+2 ± u n+3 ∓ u n+4 ± . . . причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки. Иначе r n = ±(u n+1 − u n+2 + u n+3 − u n+4 + . . откуда, рассуждая как и раньше, имеем n | = (u n+1 − u n+2 ) + (u n+3 − u n+4 ) + . . . = 124] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов u n+1 − (u n+2 − u n+3 ) − (u n+4 − u n+5 ) − . . . 6 u что и требовалось доказать. Из формулы r n = ±[(u n+1 − u n+2 ) + (u n+3 − u n+4 ) + . . в квадратных скобках которой стоят неотрицательные количества, следует, что знак r совпадает стем знаком, который надо брать перед квадратной скобкой, те. совпадает со знаком ±u n+1 . Итак, при указанных в теореме условиях знак остатка знакопеременного ряда совпадает со знаком первого из отброшенных членов. П р им ер. Ряд − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . есть знакопеременный ряд, абсолютные значения членов которого беспредельно убывают при n → ∞, а потому он будет сходящимся. Мы увидим в дальнейшем, что его сумма равна log 2. Однако для действительного вычисления log 2 этот ряд не годится, так как для того чтобы остаток его был меньше 0,0001, нужно взять 10 000 его членов n | < 1 n + 1 6 0, 0001; n > 10 Итак, ряд этот хотя и сходится, но сходится очень медленно для того чтобы иметь с такими рядами дело на практике, нужно предварительно преобразовать их из медленно сходящихся в быстро сходящиеся, или, как говорят, улучшить сходимость. Абсолютно сходящиеся ряды. Из прочих рядов с какими угодно членами мы остановимся лишь нарядах абсолютно сходящихся. Ряд u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, те. ряд + |u 2 | + |u 3 | + . . . + |u n | + . . . (36) Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Такие ряды называются абсолютно сходящимися рядами. ∗ Итак, допустим, что ряд (36) сходится, и положим v n = 1 2 (|u n | + u n ), w n = 1 2 (|u n | − u Оба числа v и w n , наверно, неотрицательны, так как очевидно v n = ( u n , если u если u n 6 0, w если u n > 0, |u n |, если u n 6 С другой стороны, как v n , таки не превосходят |u n |, т. е. общего члена сходящегося ряда (36), а потому, в силу признака сходимости рядов с положительными членами [120], оба ряда n , ∞ X n=1 w будут сходящимися. Так как мы имеем u n = v n − w то будет сходиться и ряд n = ∞ X n=1 (v n − w n ) = ∞ X n=1 v n − ∞ X n=1 w который получается вычитанием ряда из ряда Сходящиеся ряды с положительными членами представляют частный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами. Признаки сходимости 1–5, выведенные в [120, 121, 122] для рядов с положительными членами, применяются и к рядам с какими угодно членами, если только условиться заменить везде u на n |. При этом условии останутся в силе и признаки расходимости и 4 и следствие из них Если ряд сходится, но абсолютной сходимости нет, ряд называется сходящимся условно. Из абсолютной сходимости следует условная 124] § 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 391 В частности, в формулировках признаков Коши и Даламбера нужно заменить n √ u и u n на n p |u n | и u n Так, например, если u n u n−1 < q < 1, те, то согласно признаку Даламбера [121], ряд с положительными членами (сходится, а следовательно, ряд (35) сходится абсолютно. Если же u n u n−1 > 1, те, то, при возрастании n, члены u не убывают по абсолютному значению, а потому не могут стремиться к нулю, и ряд (35) расходится. Отсюда, как ив следствии следует, что если u n u n−1 → r < 1, то ряд (35) абсолютно сходится; если же u n u n−1 → r > 1, то ряд (35) расходится. З а меча ни е. Заметим еще, что если члены некоторого ряда) по абсолютному значению не больше некоторых положительных чисел |u n | 6 a и ряд a 1 + a 2 + . . . + a n + . . . из этих чисел сходится, то ряди подавно сходится [120], те. ряд (35) абсолютно сходится. П р им еры. Ряд (пример [121]) ∞ X n=1 x абсолютно сходится при всех конечных значениях x как положительных, так и отрицательных, ибо u n+1 u n = |x| n → при всех конечных значениях Ряд n n абсолютно сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, так как u n u n−1 = n − 1 n |x| → |x|. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [125 Ряд n sin абсолютно сходится при |r| < 1, ибо для него n p |u n | = n p |r n || sin nα| 6 n p |r| n = |r| < Необходимо заметить, что далеко не всякий сходящийся ряд есть вместе стем и абсолютно сходящийся, те. остается сходящимся, если каждый член ряда заменить его абсолютным значением. Так, например, знакопеременный ряд − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . . как мы видели, — сходящийся если же заменить каждый член его абсолютным значением, получим расходящийся гармонический ряд + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими замечательными свойствами, которые изложены в § 14. Так, например, только они обладают свойством конечных сумм — независимостью суммы от порядка слагаемых. Общий признак сходимости. В заключение настоящего параграфа упомянем о необходимом и достаточном условии сходимости ряда u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . Сходимость эта по определению равносильна существованию предела у последовательности s 1 , s 2 , s 3 , . . . , s n . . . где s n — сумма n первых членов ряда. Но для существования этого предела мы имеем следующее необходимое и достаточное условие Коши для любого заданного положительного ε существует такое N что m − s n | < ε 126] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 393 при всяких m и n > N . Положим для определенности, что m > n и пусть m = n+p, где p — любое целое положительное число. Заметив, что тогда s m − s n = s n+p − s n = (u 1 + u 2 + . . . + u n + u n+1 + . . . + u n+p )− − (u 1 + u 2 + . . . + u n ) = u n+1 + u n+2 + . . . + u мы можем высказать следующий общий признак сходимости ряда. Для сходимости бесконечного ряда u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n + . . необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое число N , что при всяком n > и при всяком положительном p выполняется неравенство n+1 + u n+2 + . . . + u n+p | < те. сумма какого угодно числа последовательных членов ряда, начиная с u n+1 , остается по абсолютному значению меньше ε, коль скоро n > N Необходимо заметить, что при всей теоретической важности этого общего признака сходимости ряда, применение его на практике обычно затруднительно 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Формула Тейлора. Рассмотрим многочлен й степени (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x придадим x приращение h и вычислим соответствующее значение функции f (x + h). Это значение, очевидно, можно разложить по степеням h, раскрывая различные степени (x + h) по формуле бинома Ньютона и располагая окончательный результат по степеням h. Коэффициенты при различных степенях h будут многочленами, зависящими от x: Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [126 f (x + h) = A 0 (x) + hA 1 (x) + h 2 A 2 (x) + . . . + + h k A k (x) + . . . + h и нужно только определить многочлены. . . Для этого мы изменим обозначения, написав в тождестве (1) a вместо x и вместо x + h просто x. Тогда окажется h = x − и, вместо (1), мы получим f (x) = A 0 (a) + (x − a)A 1 (a) + (x − a) 2 A 2 (a) + . . . + + (x − a) k A k (a) + . . . + (x − a) n A n (a). (Для определения A 0 (a) положим в этом тождестве x = a, что даст f (a) = Для определения A 1 (a) продифференцируем тождество (2) пои затем положим x = a: f ′ (x) = 1 · A 1 (a) + 2(x − a)A 2 (a) + . . . + k(x − a) k−1 A k (a)+ + . . . + n(x − a) n−1 A n (a), f ′ (a) = 1 · Дифференцируя еще одни раз пои полагая затем x = a, получим − a) n−2 A n (a), f ′′ (a) = 2 · 1A 2 (a). 126] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 395 Продолжая эту операцию, дифференцируя k рази полагая затем, мы получим f (k) (x) = k(k − 1) . . . 2 · 1A k (a) + . . . + + n(n − 1) . . . (n − k + 1)(x − a) n−k A n (a), f (k) (a) = Итак, мы имеем) = f (a), A 1 (a) = f ′ (a) 1! , A 2 (a) = f ′′ (a) 2! , . . . , A k (a) = f (k) (a) k! , . . . , A n (a) после чего формула (2) примет вид f (x) = f (a) + f ′ (a) 1! (x − a) + f ′′ (a) 2! (x − a) 2 + . . . + + f (k) (a) k! (x − a) k + . . . + f (n) (a) n! (x − a) n . (Эта формула верна только в том случае, когда f ′ (x) есть многочлен степени не выше n, иона дает разложение такого многочлена по степеням разности (x − Положим теперь, что f (x) — не многочлена какая-либо функция, определенная внутри некоторого промежутка I и имеющая непрерывные производные до порядка (n+1). Пусть значение x = a находится внутри I. В дальнейшем считаем, что x принадлежит Обозначим через R n (x) разность между f (x) и правой частью формулы (3), те. положим f (x) = f (a) + f ′ (a) 1! (x − a) + f ′′ (a) 2! (x − a) 2 + . . . + + f (n) (a) n! (x − a) n + R n (x). (4) Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Дифференцируем последовательно это тождество) = f ′ (a) + f ′′ (a) 1! (x − a) + . . . + + f (n) (a) (n − 1)! (x − a) n−1 + R ′ n (x), f ′′ (x) = f ′′ (a) + f ′′′ (a) 1! (x − a) + . . . + + f (n) (a) (n − 2) (x − a) n−2 + R ′′ n (x), f (n) (x) = f (n) (a) + R (n) (x). (4 Полагая в (4) и последних тождествах x = a, получаем) = 0, R ′ n (a) = 0, . . . , R (n) n (a) = Дифференцируя последнее из равенств (4 1 ) еще один раз, найдем Из соотношений (5) и (6) мы без труда получим выражение для, ибо по основной формуле интегрального исчисления) − R n (a) откуда, принимая во внимание (5) и интегрируя по частям, выводим последовательно) = x Z a R ′ n (t)dt = − x Z a R n (t)d(x − 1) = = −R ′ n (t)(x − t) x a + x Z a R ′′ n (t)(x − t)dt = 126] § 13. Формула Тейлора и ее приложения − x Z a R ′′ n (t)d (x − t) 2 2! = = −R ′′ n (t) (x − t) 2 2! x a + x Z a R ′′′ n (t) (x − t) 2 2! dt = = − x Z a R ′′′ n (t)d (x − t) 3 3! = = −R ′′′ n (t) (x − t) 3 3! x a + x Z a R 4 n (t) (x − t) 3 3! dt = . . . = = x Z a R (n+1) n (t) (x − t) n n! dt = 1 n! x Z a f (n+1) (t)(x − t) n Для уяснения сделанных преобразований заметим следующее. Переменная интегрирования обозначена буквой t, так что x под знаком интеграла надо считать постоянными дифференциал x равным нулю, и потому, например − t) 3 3! = 3(x − t) 2 3! d(x − t) = − (x − t) 2 2! dt и, вообще − t) k k! = k(x − t) k−1 k! d(x − t) = − (x − t) k−1 (k − Точно также выражение − t) k k! x a (k 6 обращается в нуль, так как при подстановке t = x обращается в нуль множитель (x − t) k , а при подстановке t = a множитель) = 0 в силу (Мы получаем таким путем следующее важное предложение Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Формула Тейлора. Всякая функция f (x), имеющая внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a внутри себя, непрерывные производные до (n + го порядка включительно, при всех значениях x внутри этого промежутка может быть разложена по степеням разности (x − a) в виде f (x) = f (a) + (x − a) f ′ (a) 1! + (x − a) 2 f ′′ (a) 2! + . . . + + (x − a) n f (n) (a) n! + где R n (x), остаточный член формулы, имеет вид) = 1 n! x Z a f (n+1) (t)(x − t) n Весьма часто в приложениях встречается другая форма остаточного члена, которая непосредственно получается из (8) при применении теоремы о среднем [ 95]. Под знаком интеграла в правой части формулы (8) функция (x − t) n сохраняет знака потому по теореме о среднем мы имеем) = f (n+1) (ξ) n! x Z a (x − t) n dt = f (n+1) (ξ) n! − (x − t) n+1 n + 1 x Подставляя верхний и нижний пределы, получим − t) n+1 n + 1 x a = (x − a) n+1 n + так как при t = x написанное выражение обращается в нуль. Подставляя это в предыдущую формулу, будем иметь) = (x − a) n+1 f (n+1) (ξ) (n + где ξ есть некоторое среднее значение, лежащее между a и x. Эта форма остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа, и формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа 127] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 399 будет f (x) = f (a) + (x − a) f ′ (a) 1! + (x − a) 2 f ′′ (a) 2! + . . . + + (x − a) n f (n) (a) n! + (x − a) n+1 f (n+1) (ξ) (n + 1)! (7 1 ) (ξ между a и x). 127. Различные виды формулы Тейлора. Примы получаем из (7 1 ) выведенную раньше [63] формулу конечных приращений Лагранжа (x) − f(a) = (x − формула Тейлора является, таким образом, непосредственным обобщением формулы конечных приращений. Переходя к прежним обозначениями написав x вместо a и x + h вместо x, перепишем формулу Тейлора (7) в виде f (x + h) − f(x) = hf ′ (x) 1! + h 2 f ′′ (x) 2! + . . . + h n f (n) (x) n! + R n (x), (так как при новых обозначениях (x − a) надо заменить на h. Значение, лежащее при прежних обозначениях между a и x, будет лежать между x и (x + h), и его можно обозначить через (x + где 0 < θ < 1. В силу (9) остаточный член формулы (10) можно, таким образом, написать в виде) = h n+1 f (n+1) (x + θh) (n + 1)! (0 < θ < Левая часть формулы (10) есть приращение ∆y функции y = f (x), соответствующее приращению или, что тоже, дифференциалу независимой переменной. Вспомнив выражения для дифференциалов высших порядков [55], мы имеем dy = y ′ dx = f ′ (x)h, d 2 y = y ′′ (dx) 2 = f ′′ (x)h 2 , . . . , Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [128 d n y = y (n) (dx) n = f (n) (x)h откуда = dy 1! + d 2 y 2! + . . . + d n y n! + d n+1 y (n + причем символ d n +1 y (n+1)! x+θh обозначает результат подстановки в выражение вместо x суммы x + В этом виде формула Тейлора особенно интересна тогда, когда приращение h независимой переменной есть величина бесконечно малая. Формула (12) дает тогда возможность выделить из приращения функции ∆y бесконечно малые слагаемые различных порядков относительно В частном случае, когда исходное значение a независимой переменной есть нуль, формула Тейлора (7) принимает вид f (x) = f (0) + x f ′ (0) 1! + x 2 f ′′ (0) 2! + . . . + x n f (n) (0) n! + где) = 1 n! x Z 0 f (n+1) (t)(x − t) n dt = x n+1 f (n+1) (ξ) (n + и ξ, лежащее между 0 и x, можно обозначить θx, где θ, зависящее от x, удовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Формула (13) называется формулой Маклорена. 128. Ряды Тейлора и Маклорена. Если f(x) имеет при x = a и x близких к a производные всех порядков, то мы можем написать формулу Тейлора при любом значении n. Перепишем формулу Тейлора в виде (x) − S n+1 (x) = где) = f (a) + (x − a) f ′ (a) 1! + . . . + (x − a) n f (n) (a) n! , 129] § 13. Формула Тейлора и ее приложения 401 т. е. S n+1 (x) есть сумма первых (n + 1) членов бесконечного ряда f (a) + (x − a) f ′ (a) 1! + . . . + (x − a) n f (n) (a) n! + . . Если при некотором значении x и беспредельном возрастании n lim n→∞ R n (x) = тов силу сказанного в [118], указанный выше бесконечный ряд сходится при указанном значении x и его сумма равна f (x). Таким образом, получается разложении функции f (x) в бесконечный степенной ряд Тейлора (x) = f (a) + (x − a) f ′ (a) 1! + . . . + (x − a) n f (n) (a) n! + . . по степеням разности (x − В дальнейшем мы всегда будем иметь дело стем случаем, когда условие (15) имеет место не для отдельного значения x, а для всех x из некоторого промежутка. Таким же образом формула Маклорена дает нам при соблюдении условия (15) разложение f (x) вряд Маклорена f (x) = f (0) + x f ′ (0) 1! + . . . + x n f (n) (0) n! + . . Оценка R n (x) имеет важное значение для приближенного вычисления значений функции f (x) при помощи разложения ее в степенной ряд. |