Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
2 | + . . . + |u n | + . . . = ∞ X n−1 |u n | (3) Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям сходится и по доказанному сумма его не зависит от порядка слагаемых. С другой стороны, оба ряда 1 2 (|u n | + u n ), ∞ X n−1 1 2 (|u n | − u n ) (ср. [124]) также имеют положительные члены и также сходятся, так как общий член каждого из них не превосходит |u n |, те. общего члена сходящегося ряда (В силу доказанного каждый из них не зависит от порядка членов; не будет зависеть от порядка членов и разность их, которая совпадает с суммой ряда (1), что и требовалось доказать. С лед ст в и е. В абсолютно сходящемся ряде можно каким угодно образом группировать слагаемые и складывать их затем уже по группам, ибо такая группировка приводит к перемене порядка слагаемых, отчего сумма ряда не изменится. З а меча ни е. Если из абсолютно сходящегося ряда выделить любую последовательность его членов, то полученный таким путем ряд также будет абсолютно сходящимся, так как такому выделению соответствует выделение последовательности членов в ряде (3) с положительными членами, что, очевидно, не нарушает сходимости этого ряда. В частности, будут сходящимися ряды, составленные в отдельности из положительных и отрицательных членов сходящегося ряда. Обозначим через сумму ряда, составленного из положительных членов, и через (−s ′′ ) — сумму ряда, составленного из отрицательных членов. При беспредельном возрастании сумма S n первых n членов всего ряда может содержать сколь угодно многочленов из обоих упомянутых рядов, ив пределе, очевидно, получим s = lim s n = s ′ − Нетрудно показать, что когда ряд сходится не абсолютно, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, являются собственно расходящимися. Так, например, для неабсолютно сходящегося ряда [124] 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . ряды + 1 3 + 1 5 + 1 7 + . . и 2 − 1 4 − 1 6 − 1 8 − . . расходятся. Сумма n первых членов первого ряда стремится ка второго ряда — к (−∞) при беспредельном возрастании n. Пользуясь указанным выше обстоятельством, Риман показал, что, меняя надлежащим 138] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 429 образом порядок членов неабсолютно сходящегося ряда, можно сделать его сумму равной какому угодно числу. Таким образом, оказывается, что понятие об абсолютно сходящемся ряде тождественно с понятием о ряде, сумма которого не зависит от порядка слагаемых. Заметим еще, что если мы в каком-нибудь сходящемся (необязательно абсолютно сходящемся) ряде переставим местами конечное число слагаемых, то суммы первых n членов s останутся при всех достаточно больших n теми же, те. сходимость ряда не нарушится, и сумма ряда останется прежней. Предыдущее же рассуждение и результаты относятся и к тому случаю, когда переставляют бесконечное число слагаемых. Умножение абсолютно сходящихся рядов. При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм произведение равно суме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим. Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будет также абсолютно сходящимся. Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут s = u 1 + u 2 + . . . + u n + . . . σ = v 1 + v 2 + . . . + v n + . . Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами, ипритом когда само умножение совершается следующим порядком+ u 1 v 2 + u 2 v 1 + u 1 v 3 + u 2 v 2 + u 3 v 1 + . . . + + u 1 v n + u 2 v n−1 + . . . + u n v 1 + . . Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна Обозначим через S n сумму n первых членов ряда (5). Можно всегда выбрать настолько большое число m, чтобы все члены, входящие в состав, вошли ив произведение сумм m = u 1 + u 2 + . . . + u m , σ m = v 1 + v 2 + . . . + v те. чтобы оказалось S n 6 s m σ m , те Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям так как s m 6 s, откуда и следует сходимость ряда (5) Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно, имеем S = lim Рассмотрим теперь произведение s n σ n . Приданном, очевидно, можно найти настолько большое m, чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм s и σ n , вошли в сумму S m ; мы получим тогда а потому ив пределе, n → ∞, s n σ n → sσ 6 Неравенство это в соединении сдает, что и требовалось доказать. Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, нос какими угодно членами. Следовательно, сходятся ряды с положительными членами + |u 2 | + . . . + |u n | + . . и + |v 2 | + . . . + |v n | + . . . а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд + |u 2 ||v 1 | + |u 1 ||v 2 | + |u 2 ||v 2 | + . . . + + |u 1 ||v n | + . . . + |u n ||v 1 | + . . Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь через a ′ 1 , a ′ 2 , . . . , a ′ n , . . . ; a ′′ 1 , a ′′ 2 , . . . , a ′′ n , . . . , b ′ 1 , b ′ 2 , . . . , b ′ n , . . . ; b ′′ 1 , b ′′ 2 , . . . , b ′′ n соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значения отрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся положим Как известно [137], мы имеем s = s ′ − s ′′ , σ = σ ′ − σ ′′ 139] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 431 Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленно перемножать между собой сумма произведений рядов содержит как раз те и только те члены, которых входят вряд, а потому имеем = s ′ σ ′ + s ′′ σ ′′ − s ′ σ ′′ − s ′′ σ ′ = (s ′ − s ′′ )(σ ′ − σ ′′ ) = что и требовалось доказать. П р им ер. Ряд + q + q 2 + . . . + q n−1 + . . . = 1 1 − q сходится абсолютно при |q| < 1, а потому − q) 2 = (1 + q + . . . + q n−1 + . . .)(1 + q + . . . + q n−1 + . . .) = = 1 + 2q + 3q 2 + . . . + nq n−1 + . . . 139. Признак Куммера. Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, все же являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях. Проводимый ниже признак обладает гораздо большей общностью. П риз на к Кум мера. Ряд с положительными членами u 1 + u 2 + . . . + u n + . . сходится, если существует такая последовательность положительных чисел α 1 , α 2 , . . . , α n , . . . , что, начиная с некоторого значения было всегда u n u n+1 − α n+1 > α > где α — некоторое положительное число, независящее отряд (расходится, если при тех же значениях n: α n u n u n+1 − α n+1 и, кроме того, ряд 1 α n — расходящийся Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Не ограничивая общности, мы можем считать, что условия теоремы выполняются, уже начиная с n = 1. Пусть сперва выполнено условие. Мы выводим из него, положив n = 1, 2, 3, . . . , α 1 u 1 − α 2 u 2 > αu 2 , α 2 u 2 − α 3 u 3 > αu 3 , . . . , α n−1 u n−1 − α n u n > αu откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находим+ . . . + u n ) 6 α 1 u 1 − α n u n < Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма n первых членов которого без остается меньше постоянного числа α 1 u 1 α , не зависящего от n, сходится Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам u n+1 u n > 1 α n+1 те. отношение u n +1 u не меньше соответствующего отношения членов расходящегося ряда Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы о рядах с положительными членами: Д оп о л не ни е к признаку Даламбера. Если, начиная с некоторого значения n, отношение u n +1 u не превосходит соответствующего отношения v n +1 v членов сходящегося ряда то и ряд сходится. Если же отношение u n +1 u остается не меньшим соответствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд (13) расходящийся 140] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 433 Действительно, пусть сперва имеем u n+1 u n 6 v n+1 v причем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательно u n u n−1 6 v n v n−1 , u n−1 u n−2 6 v n−1 v n−2 , . . . u 2 u 1 откуда, перемножая, находим u n u 1 6 v или u n 6 u 1 v 1 v Из последнего равенства и замечания в при k следует сходимость ряда (13). Аналогичным образом можно доказать и расходимость его, в случае, если u n +1 u n > v n +1 v и ряд (12) расходится. Признак Гаусса. Весьма важные применения имеет и следующий Признак Гаусса. Если в ряде с положительными членами (9) u 1 + u 2 + . . . + u n + . . отношение u n можно представить в виде u n u n+1 = 1 + µ n + ω n где p > и < причем A не зависит от n, те. величина ω n остается ограниченной, то ряд (9) сходится, если µ > 1, и расходится, если µ 6 Заметим, что во всех случаях, исчерпываемых этим признаком, признак Даламбера неприменим [121]. Сама же формула (14) получается при разложении отношения u n по степеням, те. при выделении членов различных порядков малости относительно, конечно, если это возможно. Переходя к доказательству, мы исследует отдельно случаи 1) µ 6= и 2) µ = 1. В случае 1) мы положим в признаке Куммера α n = n, причем заметим, что α n > 0 и ряд расходится [119]. Мы имеем, очевидно, в данном случае lim n→∞ α n u n u n+1 − α n+1 = lim n→∞ n 1 + µ n + ω n n p − n − 1 = µ − В сущности, обобщение признака, действительно установленного Гауссом Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Если µ > 1, то, начиная с некоторого значения n, будем иметь u n u n+1 − α n+1 > α > где α — любое положительное число, меньшее µ − 1, и ряд (9) будет сходящимся. Если же µ < 1, то, начиная с некоторого значения n, мы будем иметь u n u n+1 − α n+1 < те. ряд (9) будет расходящимся [139]. В случае 2) мы имеем u n u n+1 = 1 + 1 n + ω n Положим в признаке Куммера α n = n log n и составим ряд log где суммирование можно начинать с любого целого положительного так как первые слагаемые не влияют на сходимость [118]. Докажем расходимость написанного ряда, пользуясь интегральным признаком Коши. Нам надо доказать расходимость интеграла x log x (α > Номы имеем x log x = ∞ Z α d(log x) log x = ∞ Z log α dt t = log(log и функция log(log x) беспредельно возрастает при возрастании x, т. е. написанный выше интеграл действительно расходится, а потому и ряд) расходится. Составим теперь разность α n u n u n +1 − α n+1 , пользуясь u n u n+1 − α n+1 = n 1 + 1 n + ω n n p log n − (n + 1) log(n + 1) = = (n + 1) log n + ω n log n n p−1 − (n + 1) log(n + 1) = 140] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов log n n p−1 + (n + 1) log 1 − 1 n + Множитель ω n остается по условию ограниченным, отношение же log n стремится к нулю при n → ∞, так как по условию p − 1 > 0, и log n возрастает слабее любой положительной степени n (пример 2 из Если положить −x, то x → 0, и второе слагаемое справа будет + 1) log 1 − 1 n + 1 = − log(1 + те. оно стремится к (−1) [38]. Мы видим, таким образом, что в данном случае ряд расходится и u n u n +1 − α n+1 → −1 при n → ∞, а потому, при достаточно больших n, будет α n u n u n +1 − α n+1 < 0, те. ряд) будет расходящимся [139], что и требовалось доказать. Приведенные выше признаки сходимости могут применяться и кря- дам с какими угодно членами, если заменить в них u на |u n |. Нов этом случае они дают только возможность сказать, будет ли данный ряд абсолютно сходящимся или не будет таковым. Из них можно будет извлечь, вообще говоря, условие абсолютной сходимости, ноне условие расходимости, так как мы знаем, что ряд может быть не абсолютно сходящимся, но и не расходящимся [124]. Таким путем мы получаем: Д оп о л не ни е к признаку Гаусса. Ряд u 1 + u 2 + . . . + u n + . . с какими угодно членами, для которого u n u n+1 = 1 + µ n + ω n где p > 1 и |ω n | < A, будет абсолютно сходящимся при µ > Нетрудно показать, что он будет расходящимся при µ < 0. В самом деле, в этом случае мы имеем, принимая во внимание ограниченность p−1 → 0, 1 + ω n µn p−1 → 1 при n → а потому, начиная с некоторого значения n, в силу условия µ < 0, µ n + ω n n p = µ n 1 + ω n µn p−1 < и u n u n+1 < 1, Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям те, начиная с этого значения n, члены ряда возрастают по абсолютному значению, и общий член ряда u не может стремиться к нулю прите. ряд (17) будет расходящимся. Гипергеометрический ряд. Применим предыдущие общие соображения к так называемому гипергеометрическому ряду, или ряду Гаусса: F (α, β, γ; x) = 1 + αβ 1!γ x + α(α + 1)β(β + 1) 2!γ(γ + 1) x 2 + . . . + + α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1) n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1) x n + . . Некоторые функции, встречающиеся в приложениях, приводятся к таким рядам. Непосредственной подстановкой чисел α, β и γ легко проверить, например, следующие равенства (1, β, β; x) = 1 + x + x 2 + . . . + x n + . . . = 1 1 − x , F (−m, β, β; x) = (1 + x) m , F (α, β, β; −x) − 1 α α=0 = log(1 + Для исследования сходимости ряда (19) составим отношение последующего члена к предыдущему u n+1 u n = (α + n)(β + n) (n + 1)(γ + n) x → x прите. последствию из [121] ряд (19) сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. Остаются только случаи 1) x = 1 и 2) x = −1. Заметим еще, что при всех достаточно больших n множители (α + n), (β + n) и + n) будут положительными, так что при x = 1 все члены ряда при достаточно большом n имеют один и тот же знака при x = −1 получится при больших n знакопеременный ряд. В первом случае имеем, разлагая по формуле прогрессии (считая n достаточно большими перемножая полученные абсолютно сходящиеся ряды почленно [138]: u n u n+1 = (n + 1)(γ + n) (α + n)(β + n) = 1 + 1 n 1 + γ n 1 + α n 1 + β n = 141] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов + 1 n 1 + γ n 1 − α n + α 2 n 2 − α 3 n 3 + . . . 1 − β n + β 2 n 2 − β 3 n 3 + . . . = = 1 + γ − α − β + 1 n + ω n где величина ω n остается ограниченной. Далее, в рассматриваемом случае, отбросив достаточно большое число начальных членов в ряде (α, β, γ; 1) = 1 + αβ 1 · γ + . . . + + α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1) n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1) + . . . мы получим ряд с членами одного знака, применяя к которому признак Гаусса, получаем абсолютную сходимость прите и расходимость прите Во втором случае, примы получаем знакопеременный, начиная с некоторого члена, ряд − α · β 1 · γ + α(α + 1)β(β + 1) 2!γ(γ + 1) − . . . + + (−1) n α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1) n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1) + . . Мы имеем здесь, как и раньше u n u n+1 = 1 + γ − α − β + 1 n + ω n а потому, применяя дополнение к признаку Гаусса, получаем сходимость прите и расходимость прите В случае − α − β = −1 Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям можно показать, что общий член ряда стремится к пределу, отличному от нуля, те. ряд будет расходящимся [119]. Наконец, в случае < γ − α − β 6 можно доказать, что абсолютные значения членов ряда, убывая, стремятся к нулю прите ряд будет сходящимся, ноне абсолютно. На доказательстве этих двух последних утверждений мы останавливаться не будем. Применяя это к разложению бинома + x) m = 1 + m 1! x + m(m − 1) 2! x 2 + . . . + + m(m − 1) . . . (m − n + 1) n! x n + . . . которое получается из (19) (β = γ — произвольно) заменой α на (−m) и x на (−x) и которое, как мы знаем, сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, получим, что написанный ряд будет: абсолютно сходиться при m > если x = расходиться при m 6 если x = абсолютно сходиться при m > если x = не абсолютно сходиться при −1 < m 6 0, если x = расходиться при m 6 если x = обращаться в полином при m = целому числу > Мы покажем дальше [149], что если ряд бинома сходится при x = то сумма его равна (1 ± 1) m , те, соответственно, 2 m или Заметим, что в предыдущем мы считали α, β и γ отличными от нуля и целого отрицательного числа. Для γ это важно, так как в противном случае члены ряда теряют смысл (знаменатель обращается в нуль, а если α или β есть нуль или целое отрицательное число, то ряд обрывается и превращается в конечную сумму. Двойные ряды. Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел, ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечности направо и вниз 2 3 n 142] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 1 u 11 u 12 u 13 u 1n 2 u 21 u 22 u 23 u 2n 3 u 31 u 32 u 33 u 3n m u m1 u m2 u m3 u Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторым значком при букве u. Таким образом u ik означает число, стоящее в пересечении й строки см столбцом таблицы. |