Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Допустим сперва, что все числа u ik положительны. Для того чтобы определить понятие о сумме всех чисел таблицы (наметим в плоскости чертежа точки с целыми положительными координатами) и проведем ряд кривых, C 2 , C n , . . . пересекающих координатные оси в первом координатном углу и подчиненных лишь тому условию, чтобы каждая точка M при достаточно Рис. большом n попала внутрь площади (ограниченной кривой C n и координатными осями (рис. 157), и чтобы площадь) заключалась внутри (C n+1 ). Составим сумму S n всех чисел U ik , соответствующих точкам, попавшим внутрь площади. При возрастании n эта сумма, очевидно, будет возрастать, и поэтому могут представиться лишь два случая или сумма S n остается ограниченной при всех значениях n, и тогда существует конечный предел lim n→∞ S n = или 2) сумма S n при возрастании n беспредельно возрастает. В случае 1) говорят, что двойной ряд, k=1 u сходится и имеет сумму S. В случае 2) двойной ряд (23) называется расходящимся Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Сумма сходящегося ряда (23) с положительными членами не зависит от способа суммирования, те. от выбора кривых C n , и может быть получена также путем суммирования ряда по строкам или столбцам = ∞ X k=1 ∞ X i=1 u ik = ∞ X i=1 ∞ X k=1 u те. вычислением сперва суммы всех членов каждой строки (или каждого столбца) таблицы, а затем сложением полученных сумм. В самом деле, построим какую-нибудь другую систему кривых C ′ 1 , C ′ 2 , . . . , C ′ n , . . . , обладающих тем же свойством, что C 1 , C 2 , . . . , Обозначим через S ′ n сумму всех чисел таблицы, соответствующих точкам, попавшим внутрь площади (C ′ n ). При заданном n можно всегда выбрать настолько большое m, чтобы площадь (C ′ n ) оказалась внутри, и тогда S ′ n 6 S m 6 S, т. е. в силу предыдущего существует конечный предел lim n→∞ S ′ n = Переменив роли кривых C n и C ′ n , мы точно также докажем, что 6 что возможно лишь при условии = Рис. Сумму двойного ряда (23) можно получить, хотя бы взяв залома- ные, составленные из отрезков прямых (рис. 158): i = const, k = Мы получим таким путем суммирование по квадратам = u 11 + (u 12 + u 22 + u 21 ) + . . . + + (u 1n + u 2n + . . . + u nn + u n,n−1 + . . . + u n1 + . . . 142] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 441 Суммируя же по диагоналям, получим = u 11 + (u 12 + u 21 ) + (u 13 + u 22 + u 31 ) + . . . + + (u 1n + u 2,n−1 + . . . + u n1 ) + . . Для доказательства формул (24) заметим прежде всего, что сумма какого угодно числа членов таблицы (22) меньше S, а потому и сумма членов, стоящих в любой строке или в любом столбце, также всегда меньше S, откуда вытекает сходимость каждого из рядов ik = s ′ i ∞ X k=1 u ik = Мы имеем сверх того для любых конечных значений чисел m и n: s ′ 1 + s ′ 2 + . . . + s ′ m = m X i=1 ∞ X k=1 u ik 6 S s ′′ 1 + s ′′ 2 + . . . + s ′′ n = n X k=1 ∞ X i=1 u В самом деле, будем рассматривать только первые m строк таблицы. Взяв из них элементы первых p столбцов, мы имеем, очевидно По правилу сложения рядов [119] имеем s ′ 1 + s ′ 2 + . . . + s ′ m = ∞ X k=1 m X i=1 u ik = lim p→∞ p X k=1 m X i=1 u так как выражение, стоящее под знаком предела, не больше Аналогичным образом доказывается и второе из неравенств (Неравенства (26) показывают, что оба ряда ik = ∞ X i=1 s ′ i = σ ′ , ∞ X k=1 ∞ X i=1 u ik = ∞ X k=1 s ′′ k = сходятся и имеют суммы, не превосходящие S, т. е. σ ′ 6 S и σ ′′ 6 S. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям С другой стороны, ясно, что при любом выборе системы кривых все члены, входящие в состав суммы S r , войдут в состав обеих сумм s ′ 1 + s ′ 2 + . . . + s ′ m , s ′′ 1 + s ′′ 2 + . . . + при достаточно большом m, те+ а потому ив пределе = lim и 6 Ввиду σ ′ 6 S и σ ′′ 6 S, это возможно лишь при условии σ ′′ = что и требовалось доказать. Из двойных рядов с какими угодно членами мы остановимся только на абсолютно сходящихся рядах, те. таких, для которых двойной ряд, составленный из абсолютных значений, k=1 |u ik |, сходится. Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям [124], можем показать, что и для таких рядов существует сумма = lim n→∞ S n = ∞ X i=1 ∞ X k=1 u ik = ∞ X k=1 ∞ X i=1 u которая также не зависит от способа суммирования ив частности, может быть получена суммированием по строками по столбцам. З а меча ни е. Многие свойства абсолютно сходящихся простых рядов распространяются и на двойные абсолютно сходящиеся ряды в частности, замечание из [124]: если каждый член двойного ряда по абсолютному значению не превосходит члена сходящегося двойного ряда с положительными членами, то данный ряд абсолютно сходящийся. Точно также распространяется свойство 2) из Примеры. Ряд, k=1 1 i α k β (28) 142] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 443 сходится при α > 1, β > 1, ибо, суммируя по квадратам, мы имеем 1 i α k β = n X i=1 1 i α n X k=1 1 k β < где A и B обозначают сумму рядов 1 i α , ∞ X k=1 сходящихся при α > 1, β > 1 [122]. 2 . Ряд, k=1 1 (i + сходится при α > 2 и расходится при α 6 2, так как, суммируя по диагоналям, мы имеем 2 α + 2 · 1 3 α + . . . + (n − 1) · 1 n α = = 1 2 α−1 1 − 1 2 + . . . + 1 n α−1 1 откуда, подставляя вместо сначала 2 , те. меньшее число, а затем 1, те. большее число, находим 2 1 2 α−1 + . . . + 1 n α−1 < S n < 1 2 α−1 + . . . +Сходимость ряда при α > 2 и расходимость его при α 6 доказывают наше утверждение. 3. Если a и c положительны и b 2 − ac < 0, то ряд, k=1 1 (ai 2 + 2bik + сходится при p > 1 и расходится при p 6 Пусть сперва b > 0. Так как, очевидно+ Следует из того, что (i − k) 2 = i 2 − 2ik + k 2 > 0. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям то, обозначив через меньшее из чисел a и c, через A 2 — большее из чисел a, b, c, имеем 6 ai 2 + 2bik + ck 2 6 A 2 (i + откуда, ограничиваясь единственно интересным случаем p > 0, выводим 1 (i + k) 2p 6 1 (ai 2 + 2bik + ck 2 ) p 6 1 (2A 1 ) p 1 i p k что в силу примеров 1 и 2 сделанного выше замечания дает сходимость при p > 1 и расходимость при p 6 1, причем существенно отметить, что множители 1 A p 2 и 1 (2A 1 ) p от i и k не зависят. Пусть теперь b < 0. Обозначив через большее из чисел a, c, |b|, в силу очевидного неравенства ( √ ai) 2 + ( √ ck) 2 > 2 √ acik: 2(b + √ ac)ik 6 ai 2 + 2bik + ck 2 < A 0 (i + причем b+ √ ac > так как по условию |b| Дальше доказательство проводится также, как ив случае b > 0. 143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды. Формулы Тейлора и Маклорена представляют примеры рядов, члены которых зависят от переменной x. Во второй части курса мы познакомимся с весьма важными тригонометрическими рядами, которые имеют вид n cos nx + b n sin члены которых зависят также не только от n, но и от переменной Мы займемся теперь, вообще, рядами с переменными членами, зависящими от некоторой независимой переменной Пусть имеется бесконечная последовательность функций u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x), . . . , u n (x), . . . определенных в промежутке (a, b). Составим из них ряд u 1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + . . . + u n (x) + . . Он может сходиться для каких-либо значений x из (a, b) и расходиться для других x. Сумма первых n членов ряда (32) s n (x) есть, очевидно 143] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 445 функция от x. Для значений x, при которых ряд (32) сходится, мы можем говорить о его сумме s(x) и остатке r n (x) = s(x) − s n (x). При этом s(x) = lim n→∞ s Если ряд (32) сходится при всех x из (a, b), те. при a 6 x 6 b, то говорят, что он сходится в промежутке (a, Если ряд (32) сходится в промежутке (a, b) и имеет сумму s(x), то это значит, что при каждом данном значении x из (a, b), задав произвольно положительное число ε, можно найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N мы имели |r n (x)| < ε при n > N, причем, очевидно, это число N будет зависеть от выбора ε. Необходимо, однако, отметить, что N будет, вообще говоря, зависеть еще от выбранного значения x, т. е. может иметь различные значения при заданном ε и различном выборе x из промежутка (a, b), и его мы будем обозначать через N (x). Если при любом данном положительном ε можно найти такое число N , независящее от x, чтобы при любом значении x из промежутка (a, выполнялось неравенство n (x)| < при всех n > N , то ряд (32) называют равномерно сходящимся в промежутке, Рассмотрим, например, ряд + 1 − 1 (x + 1)(x + 2) − 1 (x + 2)(x + 3) − . . . − − 1 (x + n − 1)(x + n) − . . . , (причем x меняется в промежутке (0, a), где a — любое данное положительное число. Нетрудно видеть, что ряд можно переписать так + 1 − 1 x + 1 − 1 x + 2 − 1 x + 2 − 1 x + 3 − . . . − − 1 x + n − 1 − 1 x + n − . . . так что в данном случае s n (x) = 1 x + n , s(x) = lim n→∞ s n (x) = 0, r n (x) = − 1 x + Подчеркнем, что промежуток (a, b) является замкнутым Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями если мы хотим сделать n (x)| = 1 x + n < то достаточно взять n > 1 ε − x = Если теперь мы хотим, чтобы неравенство (36) выполнялось при всех значениях x в промежутке (0, a), при условии n > N , независимо от взятого значения x, то достаточно положить N = 1 ε > N (так как тогда неравенство (37), а потому и (36), при условии n > N , будет выполнено наверное при всех значениях x в промежутке (0, a). Итак, ряд (35) будет равномерно сходящимся в промежутке (0, Не всякий ряд обладает свойством равномерной сходимости, так как не для всякого ряда можно указать независящее от x число N , которое было бы не меньше всех N (x) в промежутке (a, Рассмотрим, например, в промежутке 0 6 x 6 1 ряд x + x(x − 1) + x 2 (x − 1) + . . . + x n−1 (x − 1) + . . Сумма первых n членов будет s n (x) = x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) + . . . + (x n − x то есть s n (x) = x и, следовательно [26], s(x) = lim n→∞ s n (x) = при 6 x < и r n (x) = s(x) − s n (x) = −x при 6 x < Примы имеем, подставляя вряд. то есть s n (x) = 1, s(x) = lim n→∞ s n (x) = 1, r n (x) = s(x) − s n (x) = при x = 1 и при любом n. Ряд (38) сходится во всем промежутке 0 6 x 6 1, нов этом промежутке сходимость неравномерна. Действительно 143] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 447 в силу r n (x) = −x при 0 6 x < 1, если мы хотим, чтобы выполнялось неравенство (34) |r n (x)| < ε, то должно быть x n < ε, те или, деля на отрицательное число log x, получим n > log ε log Итак, в данном случае N (x) = log ε log x и не может быть заменено меньшим. При приближении x к единице, log x → 0, функция N(x) возрастает беспредельно, и нельзя указать такое значение N , чтобы неравенство (выполнялось при n > N во всем промежутке (0, 1). Вследствие этого обстоятельства, хотя ряди сходится во всем промежутке (0, 1), в том числе и при x = 1, однако сходимость его будет все медленнее при приближении x к единице для достаточного приближения к сумме ряда нужно будет брать все больше членов, чем ближе x будет к единице. Заметим, однако, что при самом значении x = 1 ряд просто обрывается на втором члене. Укажем теперь другое определение равномерной сходимости, равносильное прежнему определению. Выше мы формулировали [125] необходимое и достаточное условие сходимости ряда. В рассматриваемом случае оно формулируется так для сходимости ряда (32) в промежутке, b) необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном положительном и любом x из (a, b) существовало такое N , что n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u n+p (x)| < при n > N и любом целом положительном p. Это N при заданном может зависеть еще от выбора x. Если же при любом заданном положительном существует число N одно и тоже для всех x из (a, такое, что при n > N и любом целом положительном p выполняется, то говорят, что ряд (32) сходится равномерно в промежутке, Надо показать, что это новое определение равномерной сходимости равносильно прежнему определению, те. если ряд равномерно сходится в прежнем смысле, то он равномерно сходится ив новом смысле, и наоборот. Итак, пусть сначала ряд равномерно сходится в прежнем смысле, те при n > N, где x — любое значение из (a, b) и N не зависит от x. Мы имеем, очевидно u n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u n+p (x) = r n (x) − r и, следовательно n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u n+p (x)| 6 |r n (x)| + |r n+p (x)|, Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям что при n > N и, следовательно, n + p > N дает n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u n+p (x)| < Ввиду произвольного выбора ε мы видим, что ряд равномерно сходится в новом смысле. Положим теперь, что ряд равномерно сходится в новом смысле, те. что выполнено неравенство (39) при n > N , независящем от x, любом целом положительном p и любом x из (a, b). Из этого следует, что ряд сходится, и мы можем образовать r n (x) = u n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . = lim p→∞ [u n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u причем из неравенства (39) при p → ∞ получаем в пределе |r n (x)| 6 прите. из нового определения равномерной сходимости, в силу произвольности ε, вытекает прежнее, и равносильность обоих определений доказана. Отметим, что при первом определении равномерной сходимости (мы используем r n (x) и тем самым уже дополнительно предполагаем, что ряд сходится. Второе определение равномерной сходимости (39) включает и самый факт сходимости ряда. Равномерно сходящиеся последовательности функций. Последовательность функций s 1 (x), s 2 (x), s n (x), . . . которую мы рассматривали выше, была определена с помощью ряда (32); s n (x) означала сумму n первых членов ряда. Но можно рассматривать последовательность (42) саму по себе, считая ее данной, и уже по ней построить ряд, суммой n первых членов которого является й член последовательности. Члены этого ряда определяются, очевидно, по формулам) = s 1 (x), u 2 (x) = s 2 (x) − s 1 (x), . . . , u n (x) = s n (x) − s n−1 (x), . . Очень часто последовательность (42) бывает проще (43), как это имело место ив рассмотренных примерах. Таким путем мы приходим к понятиям о сходящейся и равномерно сходящейся последовательности функций: Если дана последовательность функций (42): s 1 (x), s 2 (x), . . . , s n (x), . . . , (44) 144] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 449 определенных в промежутке (a, b), и если при каждом значении x в этом промежутке существует предел s(x) = lim n→∞ s то последовательность (42) называется сходящейся в промежутке, b), функция же s(x) называется предельной функцией последовательности (Если, сверх того, при любом данном наперед положительном ε существует такое число N , независящее от x, что неравенство) − s n (x)| < имеет место при всех значениях n > N во всем промежутке (a, то последовательность (42) называется равномерно сходящейся в промежутке. Условие (45) можно заменить равносильным ему m (x) − s n (x)| < при m и n > N Условие равномерной сходимости последовательности (42) равносильно условию равномерной сходимости ряда u 1 (x) + u 2 (x) + . . . + u n (x) + . . . где (43): u 1 (x) = s 1 (x), u 2 (x) = s 2 (x) − s 1 (x), . . . , u n (x) = s n (x) − s n−1 (x), . . Равносильность условий (45) и (46) при исследовании равномерной сходимости последовательностей может быть доказана совершенно также, как выше была установлена равносильность условий (35) и (36) для бесконечных рядов. Отметим еще, что из равномерной сходимости s в промежутке (a, b) непосредственно следует и равномерная сходимость в любой части (a, Понятие о равномерной сходимости последовательностей может быть истолковано и геометрически. Если мы изобразим графически функции s(x) и s n (x) при различных значениях n, то для равномерно сходящейся последовательности наибольший отрезок ординаты, заключенной между 18∗ В данном случае речь идет о поточечной сходимости функциональной последовательности так как предел (44) рассматривается при каждом значении переменной x как предел обычной числовой последовательности Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям кривыми s n (x) и должен стремиться к нулю, при n → ∞ для всех x из (a, b); для неравномерно сходящейся последовательности это условие не будет выполнено. Обстоятельство это наглядно проверяется на рис. 159 и 160, сделанных для разобранных выше примеров n (x) = 1 x + n , s n (x) = x Рис. Рис. В случае рис. 160 предельная функция s(x) графически изображается отрезком (0, 1) оси OX, исключая точку 1, и отдельной точкой с координатами (1, Правда, в последнем примере предельная функция s(x) не непрерывна. Но нетрудно привести пример сходящейся последовательности, предельная функция которой непрерывна, но которая тем не менее сходится неравномерно. Таким свойством обладает хотя бы последовательность |