Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
(рис. 161) s n (x) = nx 1 + n 2 x 2 (0 6 x 6 Мы имеем, очевидно, при x 6= 0: nx 1 + n 2 x 2 = 1 n x 1 n 2 + x 2 Для большей наглядности рис. 159 и 160 выполнены в разных масштабах для x и y. 145] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 451 и, при n → ∞, первый множитель справа 0, а второй стремится к 1 x , т. е. s n (x) → 0 при x 6= 0. При x = 0, очевидно, s n (0) = 0 при всяком и, следовательно, при всех x из (0, a), где a — некоторое положительное число) = lim n→∞ s n (x) = Однако максимальная величина отрезка ординаты между кривыми s n (x) и s(x), которая в рассматриваемом случае приводится просто к ординате кривой s n (x) так как s(x) = 0, будет и будет соответствовать значению x = 1 n . Так как она не стремится к нулю при n → ∞, то Рис. последовательность (48) не будет равномерно сходящейся в промежутке (0, a); и, действительно, если мы хотим, чтобы было n (x)| = nx 1 + n 2 x 2 < то, решая относительно n неравенство й степени < 1 − x ε n + и считая ε достаточно малым, получим n > 1 2xε [1 + p 1 − 4ε 2 ] = N (Функция эта возрастает беспредельно при x → 0, что и обуславливает неравномерную сходимость последовательности. Заметим, наконец, что те же рис. 160 и 161 показывают, что последовательность равномерно сходится в промежутке (0, q), где q — любое положительное число, меньшее единицы, а последовательность равномерно сходится в промежутке (q, a), где 0 < q < a, в чем нетрудно убедиться и непосредственным вычислением. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. Предельная функция равномерно сходящейся в промежутке (a, b) последовательности непрерывных функций также непрерывна. Пусть s 1 (x), s 2 (x), . . . , s n (x), Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [145 — данная последовательность функций, причем все они непрерывны в промежутке (a, b), и пусть s(x) = lim n→∞ s ее предельная функция. Нам нужно доказать, что, задав наперед сколь угодно малое положительное число ε, можно найти такое число δ, чтобы было [35]: |s(x + h) − s(x)| < если < при условии, что оба числа x и x + h лежат в промежутке (a, b). Мы можем писать при любом n: |s(x + h) − s(x)| = = |[s(x + h) − s n (x + h)] + [s n (x + h) − s n (x)] + [s n (x) − s(x)]| 6 6 |s(x + h) − s n (x + h)| + |s(x) − s n (x)| + |s n (x + h) − s В силу определения равномерной сходимости мы можем выбрать n настолько большим, чтобы во всем промежутке (a, b), в том числе и при значениях x и x + h, было + h) − s n (x + h)| < ε 3 , |s(x) − s n (x)| Выбрав таки фиксировав его, в силу непрерывности функции s n (x) [35], мы можем найти такое число δ, чтобы было n (x + h) − s n (x)| если < Сопоставив все эти неравенства, мы и получим неравенство (Если последовательность функций сходится неравномерно, то предельная функция может и не быть непрерывной, примером чего может служить хотя бы последовательность x в промежутке (0, Обратное утверждение, однако, неверно, — и для неравномерно сходящейся последовательности предельная функция может быть непрерывной, например, для последовательности + n 2 x 2 2. Если s 1 (x), s 2 (x), . . . , s n (x), 145] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 453 есть равномерно сходящаяся последовательность непрерывных в промежутке) функций и (α, β) — любой промежуток, лежащий в, b), то n (x)dx → β Z α s(x)dx, n → или, иначе n→∞ β Z α s n (x)dx = β Z α lim n→∞ s Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то последовательность функций x Z α s n (t)dt (n = 1, 2, 3, . . также сходится равномерно в промежутке (a, b). Процесс этот называется переходом к пределу под знаком интеграла. ∗ Заметим прежде всего, что в силу свойства 1) предельная функция s(x) также непрерывна. Рассмотрим теперь разность − β Z α s n (x)dx = β Z α [s(x) − s Задав число ε, мы можем, в силу равномерной сходимости, найти такое число N , чтобы при всех значениях n > N , во всем промежутке (a, мы имели) − s n (x)| < а потому [95], (10 1 ) β Z α [s(x) − s n (x)]dx 6 β Z α |s(x) − s n (x)|dx| < β Z α εdx = ε(β − α) 6 ε(b − Итак, для любого промежутка (α, β), заключающегося в (a, b), имеем − β Z α s n (x)dx < ε(b − Такое действие также называется перестановкой знаков предела и интеграла Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям при n > N . Правая часть неравенства не зависит от α и β и стремится к нулю, если ε → 0. Ввиду произвольности ε мы можем формулировать результат так при любом заданном положительном существует N , независящее от α и β, такое, что − β Z α s n (x)dx < при n > N . Отсюда непосредственно вытекает формула (50). Полагая = x и принимая во внимание независимость N от β, видим, что последовательность) сходится равномерно для всех x из (a, Для неравномерно сходящихся последовательностей эта теорема может оказаться и неверной. Пусть, например n (x) = nxe nx 2 (0 6 x 6 Рис. рис. 162). Нетрудно показать, разбирая отдельно случаи x > 0 и x = 0, что при всяком x в промежутке, 1) s n (x) → 0 при n → так что здесь s(x) = 0. Последовательность эта, однако, не может быть равномерно сходящейся, так как наибольшая ордината кривой, или, что тоже самое, наибольшая величина разности s n (x) − которая получается при x = 1 √ 2n , возрастает беспредельно при n → С другой стороны, мы имеем n (x)dx = n Z 1 0 xe −nx 2 dx = − 1 2 e −nx 2 1 0 = 1 2 (1 − e −n ) → 1 2 , 145] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 455 в то время как = 0. 3. Если функции последовательности s 1 (x), s 2 (x), . . . , s имеют непрерывные производные s ′ 1 (x), s ′ 2 (x), . . . в промежутке (a, b), причем последовательность s ′ n (x) равномерно сходится к предельной функции σ(x), а последовательности s n (x) сходится к предельной функции то s n (x) также сходится равномерно и) или иначе lim n→∞ ds n (x) dx = d lim n→∞ s Процесс этот называется переходом к пределу под знаком производ- ной. Пусть α — любое постоянное, x — переменное значение на промежутке, b). В силу свойства 2) мы имеем lim n→∞ x Z α s ′ n (x)dx Но x Z α s ′ n (x)dx = s n (x) − s n (α) → s(x) − а потому предыдущая формула дает s(x) − s(α) То есть сходится поточечно. Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Дифференцируя это равенство и пользуясь известными свойствами определенного интеграла (свойство VII) [95], мы имеем ds(x) dx = что и требовалось доказать. Остается доказать равномерную сходимость последовательности s n (x). Имеем s n (x) = s n (α) +Последовательность s n (α) сходится и вовсе не содержит x. Последовательность сходится равномерно в силу свойства 2). Отсюда и вытекает равномерная сходимость s n (x), так как из определения равномерной сходимости непосредственно вытекает, что сумма двух равномерно сходящихся последовательностей есть также равномерно сходящаяся последовательность. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность, члены которой не содержат x, как, например, s n (α), подходит под определение равномерно сходящейся последовательности. Заметим еще, что мы доказали равномерную сходимость s n (x) во всем промежутке (a, b), используя лишь равномерную сходимость s ′ n (x) и сходимость s n (α), и, следовательно, при формулировке последнего свойства достаточно потребовать сходимости s n (x) водной точке x = a. Отсюда, как мы уже сказали, будет вытекать равномерная сходимость s во всем промежутке (a, b). 146. Свойства равномерно сходящихся рядов. Если в предыдущих предложениях мы будем считать s n (x) суммой n первых членов данного ряда u 1 (x) + u 2 (x) + . . . + u n (x) + . . . а s(x) — суммой всего ряда, то непосредственно получим аналогичные предложения для рядов с переменными членами. Если члены ряда u 1 (x) + u 2 (x) + . . . + u n (x) + . . непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходится равномерно, то и сумма его s(x) есть непрерывная функция в промежутке (a, b). 147] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 2. Если члены ряда (55) непрерывные в промежутке (a, b) функции и ряд сходятся равномерно, то его можно почленно интегрировать между какими угодно пределами α, β, лежащими в промежутке (a, те Если пределы интегрирования переменные, например, β = x, то ряд, который получается почленным интегрированием x Z α u 1 (x)dx + x Z α u 2 (x)dx + . . . + x Z α u n (x)dx + . . . также равномерно сходится в промежутке (a, b). 3. Если ряд (55) сходится в промежутке (a, b) и его члены имеют непрерывные в промежутке (a, b) производные u ′ 1 (x), . . . , u ′ n (x), . . . причем ряд, составленный из производных u ′ 1 (x) + u ′ 2 (x) + . . . + u ′ n (x) + . . . сходится равномерно в промежутке (a, b), то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно, те При выводе эти предложений из теорем [145] надо только иметь ввиду, что указанные в предложениях свойства имеют, как мы уже знаем, место в случае конечного числа слагаемых. Так, например, если члены ряда u n (x) суть непрерывные функции, то и функции s n (x) = u 1 (x) + u 2 (x) + . . . + u непрерывны при любом n [34]. 147. Признаки равномерной сходимости. Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости. Ряд функций, определенных в промежутке (a, b): u 1 (x) + u 2 (x) + . . . + u n (x) + . . . , Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям сходится равномерно в промежутке (a, b), если выполнено одно из следующих условий: (А) Можно найти последовательность положительных постоянных. таких, что n (x)| 6 M n в промежутке, и ряд+ M 2 + . . . + M n + . . сходящийся признак Вейерштрасс а). (Б) Функции u n (x) могут быть представлены в виде u n (x) = a n v где a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . суть постоянные, такие, что ряд a 1 + a 2 + . . . a n + . . сходится функции же v 1 (x), . . . , v n (x), . . . все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа M и при каждом значении x в промежутке (a, b): v 1 (x) > v 2 (x) > . . . > v n (x) > . . . , 0 6 v n (x) 6 признак А бел я). Д ока за тел ь ст во (А. Так как ряд (60) сходится, то приданном можно найти такое число N , чтобы при всех n > N и при всех p мы имели [125]: M n+1 + M n+2 + . . . + M n+p < в силу же неравенств (59) и n+1 (x) + . . . + u n+p (x)| 6 M n+1 + . . . + M n+p < откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда Доказательство (Б. Положим a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p (p = 1, 2, . . откуда непосредственно следует a n+1 = и a n+k = σ ′ k − σ ′ k−1 (k > 1). 147] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 459 Оценим выражение u n+1 (x) + u n+2 (x) + . . . + u n+p (x) = = a n+1 v n+1 (x) + a n+2 v n+2 (x) + . . . + a n+p Подставляя вместо a n+k их выражения через σ ′ k и собирая члены с одинаковым σ ′ k , получим a n+1 v n+1 (x) + a n+2 v n+2 (x) + . . . + a n+p v n+p (x) = = σ ′ 1 v n+1 (x) + (σ ′ 2 − σ ′ 1 )v n+2 (x) + . . . + (σ ′ p − σ ′ p−1 )v n+p (x) = = σ ′ 1 [v n+1 (x) − v n+2 (x)] + . . . + + σ ′ p−1 [v n+p−1 (x) − v n+p (x)] + σ ′ p Принимая во внимание, что v n+p (x) и все разности v n+k−1 (x) − v n+k (x) по условию неотрицательны, можем написать n+1 (x) + . . . + u n+p (x)| 6 6 |σ ′ 1 |[v n+1 (x)−v n+2 (x)]+. . .+|σ ′ p−1 |[v n+p−1 (x)−v n+p (x)]+|σ ′ p |v n+p(x), или, обозначая через σ ′ наибольшее из абсолютных значений, |σ ′ 2 |, . . . , |σ ′ p | |u n+1 (x) + . . . + u n+p (x)| 6 6 σ ′ {[v n+1 (x) − v n+2 (x)] + . . . + [v n+p−1 (x) − v n+p (x)] + v получаем, производя сокращения n+1 (x) + . . . + u n+p (x)| 6 σ ′ v Из определения σ ′ k и сходимости ряда (62) вытекает, что для любого заданного положительного ε существует такое N , что при n > N и всяком k мы имеем а потому и σ ′ < ε M Принимая во внимание еще, что по условию 0 6 v n+p (x) 6 M , получаем в силу (64), |u n+1 (x) + . . . + u n+p (x)| < при n > N и любом p. Так как N не зависит от x, то отсюда и вытекает равномерная сходимость ряда (55) в промежутке (a, b). Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Пример ы. 1. Ряды ∞ X n=1 cos nx n p , ∞ X n=1 sin nx n p (p > сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком x имеем nx n p 6 1 n p , sin nx n p 6 1 n и ряд при p > 1 сходящийся [122] (признак Вейерштрасса). 2. Если ряд сходится, то и ряд n n равномерно сходится в промежутке (0 6 x 6 l) при любом l, так как, положив здесь v n (x) = 1 n удовлетворим всем условиям признака Абеля. 148. Степенные ряды. Радиус сходимости. Весьма важный пример приложения изложенной выше теории рядов с переменными членами представляют степенные ряды, те. ряды вида+ a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . с которыми мы уже встретились при исследовании формулы Маклоре- на. Подробное изучение свойств этих рядов относится к теории функций комплексной переменной, а потому здесь мы укажем только самые основные свойства. П ер в а яте орем а А беля. Если степенной ряд (67) сходится при некотором значении x = ξ, то он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых < Наоборот, если он расходится при x = ξ, то расходится и при всех значениях x, для которых > |ξ| = r. (69) 148] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов 461 Пусть сперва ряд a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + . . . + a n ξ n + . . сходится, тогда общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю, т. е n ξ n → 0 при n → а потому можно найти такую постоянную M , чтобы при всех значениях n мы имели n ξ n | 6 Придадим теперь x любое значение, удовлетворяющее условию (и положим q = x ξ < Мы имеем, очевидно n x n | = a n ξ n x n ξ n = |a n ξ n | x ξ n 6 M q те. общий член ряда (67) при рассматриваемом значении x по абсолютной величине не превосходит общего члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а потому ряд (67) сходится абсолютно Вторая часть теоремы очевидна, так как если бы ряд (67) сходился при некотором значении x, удовлетворяющим условию (69), то по доказанному сейчас он должен был бы сходиться при всяком ξ, для которого < |x|, что противоречит условию. С лед ст в и е. Существует вполне определенное число R, которое называется радиусом сходимости ряда (67) и которое обладает следующими свойствами: ряд (67) сходится абсолютно при |x| < ряд (67) расходится при |x| > В частности, может оказаться, что R = 0, и тогда ряд (67) расходится при всех значениях x, отличных от нуля, или же R = ∞, и тогда ряд (сходится при всех значениях Отбросив первый случай, рассмотрим такое положительное значение x = ξ, при котором ряд (67) сходится. Такое значение, наверное, существует, если, вообще, существуют значения x 6= 0, при которых ряд) сходится. Если мы будем увеличивать число ξ, то могут встретиться лишь два случая или все время ряд (67) будет оставаться сходящимся Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям при x = ξ, даже когда ξ увеличивается беспредельно тогда мы имеем, очевидно, R = ∞; или же будет существовать такое постоянное число которое обладает тем свойством, что при всех ξ < A ряд (67) сходится, но при ξ > A ряд делается расходящимся. Существование такого числа A интуитивно-геометрически вполне очевидно, так как на основании первой теоремы Абеля, если ряд при каком-нибудь значении ξ сделается расходящимся, то он будет расходиться и при всех больших значениях. Строгое доказательство существования числа A может быть проведено на основании теории иррациональных чисел. Очевидно, что это число A и будет радиусом сходимости R ряда (67). Проведем доказательство существования R. Разобьем все вещественные числа на два класса следующим образом к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и такие положительные числа ξ, что ряд) сходится при |x| = ξ, а ко второму классу отнесем все остальные вещественные числа. В силу доказанной теоремы любое число первого класса меньше любого числа второго класса, темы произвели сечение в области вещественных чисел, а потому или в первом классе есть наибольшее число, или во втором есть наименьшее число [40]. Нетрудно видеть, что это число и будет радиусом сходимости R ряда. Если все числа попадут в первый класс, то надо считать R = ∞. 149. Вторая теорема Абеля. Если R есть радиус сходимости ряда, то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любом промежутке (a, b), лежащем целиком внутри промежутка (−R, +те. для которого < a < b < Если же ряд сходится и при x = R или x = −R, то он будет равномерно сходящимся ив промежутке (a, R) или (−R, Заметим, прежде всего, что не нарушая общности, мы можем считать = 1, введя вместо x новую независимую переменную t по формуле x = после чего ряд (67) превратится в степенной ряд относительно переменной, а промежуток (−R, +R) перейдет в (−1, Если R = 1, то, по определению радиуса сходимости, ряд (67) будет сходиться абсолютно при всяком значении x = ξ, для которого |ξ| < Рассмотрим теперь любой промежуток (a, b), лежащий внутри (−R, так что < a < b < 1. 149] § 14. Дополнительные сведения из теории рядов |