Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Точно также может быть обобщено и правило дифференцирования сложных функций. Предположим, например, что x, y и z суть не независимые переменные, но функции независимой переменной 153] § 15. Производные и дифференциалы функции. Функция w будет в этом случае зависеть от t как непосредственно, таки через посредство x, y, z, и полная производная от w побудет иметь выражение dw dt = ∂w ∂t + ∂w ∂x dx dt + ∂w ∂y dy dt + ∂w ∂z dz Мы не останавливаемся на доказательстве этого правила, так как оно состоит в буквальном повторении того, что мы говорили в [69]. Если переменные x, y, z зависят, кроме t, и от других независимых переменных, тов правой части формулы (8) мы должны вместо dx dt , dy dt , dz dt писать частные производные. В этом случае и функция w будет, кроме t, зависеть и от других независимых переменных, ив левой части равенства (8) мы также должны dw dt заменить на. Но эта последняя частная производная отлична от частной производной, стоящей в правой части равенства (8) и вычисленной лишь поскольку w непосредственно зависит от t; для отличия эту частную производную, вычисленную непосредственно по t, заключают иногда в скобки, так что равенство (8) принимает в рассматриваемом случае вид В случае функций от одной переменной, мы видели, что выражение ее первого дифференциала не зависит от выбора независимой переменной [50]. Покажем, что это свойство остается справедливыми в случае функции от нескольких переменных. Рассмотрим для определенности случай функции от двух переменных, Положим, что x и y суть функции независимых переменных u и Согласно правилу дифференцирования сложных функций, имеем ∂z ∂u = ∂z ∂x ∂x ∂u + ∂z ∂y ∂y ∂u , ∂z ∂v = ∂z ∂x ∂x ∂v + ∂z ∂y ∂y ∂v Полный дифференциал функции по определению равен dz = ∂z ∂u du + ∂z ∂v dv. Гл. V. Функции нескольких переменных [154 Подставляя выражения частных производных, получим dz = ∂z ∂x ∂x ∂u du + ∂x ∂v dv + ∂z ∂y ∂y ∂u du + ∂y ∂v Но выражения, стоящие в круглых скобках, суть полные дифференциалы и y, и мы можем написать dz = ∂z ∂x dx + ∂z ∂y те. дифференциал сложной функции имеет тоже выражение, которое он имел бы, если x, y были независимыми переменными. Свойство это позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных + v) = du + dv, d(uv) = vdu + udv, d u v = vdu − udv где u и v — функции нескольких независимых переменных. Действительно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написать d(uv) = ∂(uv) ∂u du + ∂(uv) ∂v dv = vdu + udv. 154. Однородные функции. Дадим определение однородной функции нескольких переменных функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени m, если приумножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается нате. имеет место тождество f (tx, ty) = t m f (x, y) или f (tx, ty, tz) = t m f (x, y, при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t. Число m может быть любым фиксированным вещественным числом. Если, например, m = 1 2 , то t m = √ t и t должны быть положительными. Положим, что функция f (x, y) выражает некоторый объем, что x 154] § 15. Производные и дифференциалы функции 477 и y суть длины некоторых линий и что в выражении f (x, y), кроме этих линий, входят отвлеченные числа. Умножение x и y на положительное число) равносильно уменьшению линейного масштаба враз (при t > 1 или увеличению при t < 1), и, очевидно, что при этом функция f (x, y), выражающая объем, должна умножаться нате. в рассматриваемом случае функция f (x, y) будет однородной функцией третьей степени. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания x и высоту y по формуле. Эта функция будет однородной третьей степени при всех вещественных x, y и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от x и y третьей степени, те. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей и y равна трем (x, y) = ax 3 + bx 2 y + cxy 2 + Дроби x 3 + y 3 x 2 + y 2 , xy x 2 + y 2 , x + y x 2 + суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (−1). Отметим, что f (x, y) = p x 2 + y 2 , где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех вещественных и y и при всех t > 0. Действительно+ (ty) 2 = t p x 2 + причем оба радикала считаются положительными. Дифференцируя тождество (10) пои применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая u = tx и v = ty: xf ′ u (u, v) + yf ′ v (u, v) = mt m−1 f (x, Полагая t = 1, находим xf ′ x (x, y) + yf ′ y (x, y) = mf (x, что выражает следующую теорему Эйлера об однородных функциях: ∗ Сумма показателей степеней Гл. V. Функции нескольких переменных [155 Сумма произведений частных производных однородной функции несоответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности. При доказательстве мы считаем естественно, что функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при до- казательстве. Если m = 0, то, положив в тождестве (10) t = 1 x , мы получим f (x, y) = f 1, y или f (x, y, z) = f 1, y x , z те. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной. Часто однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной. Частные производные высших порядков. Частные производные функции от нескольких переменных суть в свою очередь функции тех же переменных, и мы можем определить их частные производные. Таким образом мы получим частные производные второго порядка первоначальной функции, которые также будут функциями тех же переменных, и их дифференцирование приведет к частным производным третьего порядка первоначальной функции, и т. д. Так, например, в случае функции u = f (x, y) от двух переменных, дифференцируя каждую из частных производных и еще раз пои, получим четыре производные второго порядка, которые обозначаются так, y), f ′′ xy (x, y), f ′′ yx (x, y), f ′′ y 2 (x, или (x, y) ∂x 2 , ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y , ∂ 2 f (x, y) ∂y∂x , ∂ 2 f (x, или, наконец 155] § 15. Производные и дифференциалы функции 479 Производные f ′′ xy (x, y) и f ′′ yx (x, y) отличаются лишь порядком дифференцирования. В первом случае дифференцирование производится сначала пои потом по y, а во втором случаев обратном порядке. Покажем, что эти две производные тождественны между собою, те. что результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Составим выражение = f (x + h, y + k) − f(x + h, y) − f(x, y + k) + f(x, Полагая, y) = f (x + h, y) − f(x, можем написать выражение ω в виде = [f (x + h, y + k) − f(x, y + k)] − [f(x + h, y) − f(x, y)] = = ϕ(x, y + k) − ϕ(x, Применяя два раза формулу Лагранжа [63], получим = kϕ ′ y (x, y + θ 1 k) = k[f ′ y (x + h, y + θ 1 k) − f ′ y (x, y + θ 1 k)] = = khf ′′ yx (x + θ 2 h, y + Буквы θ с различными значками означают числа, лежащие между и 1. Знаком f ′ y (x + h, y + θ 1 k) мы обозначаем частную производную функции f (x, y) по ее второму аргументу y, когда туда вместо x и y подставлены, соответственно, x + h и y + θ 1 k. Аналогичные обозначения применяются и для других частных производных. Точно также, полагая, y) = f (x, y + k) − f(x, можем написать = [f (x + h, y + k) − f(x + h, y)] − [f(x, y + k) − f(x, y)] = = ψ(x + h, y) − ψ(x, y) = hψ ′ x (x + θ 3 h, y) = = h[f ′ x (x + θ 3 h, y + k) − f ′ x (x + θ 3 h, y)] = hkf ′′ xy (x + θ 3 h, y + θ 4 k). Гл. V. Функции нескольких переменных [155 Сравнивая оба выражения, полученных для ω, будем иметь hkf ′′ yx (x + θ 2 h, y + θ 1 k) = hkf ′′ xy (x + θ 3 h, y + или f ′′ yx (x + θ 2 h, y + θ 1 k) = f ′′ xy (x + θ 3 h, y + Предполагая непрерывность написанных производных второго порядка и устремляя h и k к нулю, получим f ′′ yx (x, y) = f ′′ xy (x, Это рассуждение приводит к следующей теореме. Т е орем а. Если f (x, y) имеет внутри некоторой области непрерывные производные f ′′ yx (x, y) и f ′′ xy (x, y), то во всех точках внутри упомянутой области указанные производные равны. Рассмотрим теперь две производные третьего порядка f ′′′ x 2 y (x, и f ′′′ yx 2 (x, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Принимая во внимание, что по доказанному результат двукратного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, можем написать, те. ив этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Это свойство без труда обобщается на производные любого порядка и на случай функции любого числа переменных, и мы можем высказать общую теорему результат дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифференцирование. Заметим, что при доказательстве мы пользовались не только существованием производных, но и их непрерывностью внутри некоторой области 156] § 15. Производные и дифференциалы функции 481 В дальнейшем мы будем всегда предполагать непрерывность производных, о которых мы будем говорить, ив силу доказанной теоремы для производных высших порядков надо лишь указывать порядок производной n, те переменные, по которым производится дифференцирование, и число дифференцирований по каждой пе- ременной. Так, например, в случае функции w = f (x, y, z, t), пользуются следующим обозначением f (x, y, z, или w ∂x α ∂y β ∂z γ ∂t δ (α + β + γ + δ = которое показывает, что взята производная го порядка, причем дифференцирование произведено α раз по x, β раз по y, γ раз пои раз по t. 156. Дифференциалы высших порядков. Полный дифференциал функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка d 2 u первоначальной функции u, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d 3 u первоначальной функции и т. д. Рассмотрим подробнее случай функции u = f (x, y) двух переменных и y и будем предполагать, что переменные x и y суть независимые переменные. По определению du = ∂f (x, y) ∂x dx + ∂f (x, y) ∂y При вычислении d 2 u будем принимать во внимание, что дифференциалы и dy независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак дифференциала d 2 u = d ∂f(x, y) ∂x dx + d ∂f(x, y) ∂y dy = Гл. V. Функции нескольких переменных dx · d ∂f (x, y) ∂x + dy · d ∂f (x, y) ∂y = = dx · ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 dx + ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y dy + +dy ∂ 2 f (x, y) ∂y∂x dx + ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 = = ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 dx 2 + 2 ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y dxdy + ∂ 2 f (x, Вычисляя точно также, мы получим d 3 u = ∂ 3 f (x, y) ∂x 3 dx 3 + 3 ∂ 3 f (x, y) ∂x 2 ∂y dx 2 dy+ + 3 ∂ 3 f (x, y) ∂x∂y 2 dxdy 2 + ∂ 3 f (x, Эти выражения d 2 u и d 3 u приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка n u = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y причем формулу эту надо понимать так сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвысить в степень n, применяя формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считать указателями порядка производных пои от функции f Мы убедились в справедливости формулы (13) при n, равном 1, 2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Положим, что формула) справедлива при некотором n. Определим дифференциал + го порядка n+1 u = d(d n u) = ∂(d n u) ∂x dx + ∂(d n u) ∂y dy = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy d где символом ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy ϕ 156] § 15. Производные и дифференциалы функции 483 мы обозначаем, вообще dx + ∂ϕ ∂y Принимая во внимание, что для d n u формула (13) считается доказанной, можем написать d n+1 u = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy " ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy (n) f # = = ∂ ∂x dx + ∂ ∂y те. формула доказана и для d Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, как мы знаем [153], не только в том случае, когда x и y суть независимые переменные. Но при выводе выражения d 2 u существенным было считать dx и dy величинами постоянными, и формула (справедлива лишь в тех случаях, когда dx и dy могут считаться постоянными. Это будет справедливо, если x и y суть независимые переменные. Положим теперь, что x и y суть линейные функции независимых переменных z и t: x = az + bt + c, y = a 1 z + b 1 t + где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для dx и dy получим выражения dx = adz + bdt, dy = a 1 dz + Но dz и dt, как дифференциалы независимых переменных, должны считаться постоянными тоже можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно dx и dy; мы можем поэтому утверждать, что символическая формула (13) справедлива как в случае, когда x и y суть независимые переменные, таки в том Гл. V. Функции нескольких переменных [157 случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных. Если dx и dy нельзя считать постоянными, то формула (13) уже не будет справедливой. Разберем выражение d 2 u в этом общем случае. При вычислении d ∂f(x, y) ∂x и d ∂f(x, y) ∂y мы уже не имеем права выносить dx и dy за знак дифференциала, как это делали выше, то должны применять формулу для дифференциала произведения Мы получим, таким образом = dxd ∂f (x, y) ∂x + dyd ∂f (x, y) ∂y + ∂f (x, y) ∂x d 2 x + ∂f (x, y) ∂y Сумма первых двух слагаемых в правой части этого равенства даст нам выражение, которое мы имели выше для d 2 u, и окончательно получим d 2 u = ∂ 2 f (x, y) ∂x 2 dx 2 + 2 ∂ 2 f (x, y) ∂x∂y dxdy + ∂ 2 f (x, y) ∂y 2 dy 2 + + ∂f (x, y) ∂x d 2 x + ∂f (x, y) ∂y d 2 y, (те. в рассматриваемом общем случае выражение для d 2 u будет содержать добавочные слагаемые, зависящие от d 2 x и d 2 y. 157. Неявные функции. Укажем сейчас правила дифференцирования функций, заданных неявно. При этом мы будем предполагать, что написанные уравнения действительно определяют некоторую функцию, имеющую соответствующие производные. В при некоторых условиях мы докажем это. Если y есть неявная функция от x: F (x, y) = то первая производная этой функции определяется, как мы знаем, из уравнения [69]: F ′ x (x, y) + F ′ y (x, y)y ′ = 0 (16) 157] § 15. Производные и дифференциалы функции 485 Уравнение (16) мы получали, предполагая в равенстве (15) y функцией от x и дифференцируя обе части этого тождества по Поступая также с (16), получим уравнение для определения второй производной y ′′ : F ′′ x 2 (x, y) + 2F ′′ xy (x, y)y ′ + F ′′ y 2 (x, y)y ′2 + F ′ y (x, y)y ′′ = Дифференцируя еще раз по x, получим уравнение для определения третьей производной и т. д. Обратим внимание на то, что в получаемых таким образом уравнениях коэффициент при искомых производных неявной функции будет один и тот же, а именно F ′ y (x, y), и потому, если при некоторых значениях x и y, удовлетворяющих уравнению (15), этот коэффициент отличен от нуля, то при этих значениях указанный выше прием даст вполне определенные значения для производных любого порядка неявной функции. При этом, конечно, предполагается существование частных производных от левой части уравнения (15). Рассмотрим уравнение еще стремя переменными, y, z) = Такое уравнение определяет z как неявную функцию от независимых переменных x и y, и если заменить в левой части этого уравнения именно этой функцией от x и y, толевая часть уравнения станет равна тождественно нулю. Таким образом, дифференцируя левую часть этого уравнения по независимым переменными в предположении, что z есть функция от них, мы должны получить нуль, y, z) + Φ ′ z (x, y, z)z ′ x = 0, Φ ′ y (x, y, z) + Φ ′ z (x, y, z)z ′ y = Из этих уравнений определятся частные производные первого порядка z ′ x и z ′ y . Дифференцируя первое из написанных соотношений еще раз по x, получим уравнение для определения частной производной и т. д. Во всех получаемых уравнениях коэффициент при искомой производной будет Φ ′ z (x, y, z). Рассмотрим теперь Гл. V. Функции нескольких переменных [158 систему уравнений, y, z) = 0, ψ(x, y, z) = 0. (17 Будем считать, что эта система определяет y и z как неявные функции от x. Дифференцируя оба уравнения системы по x в предположении, что y и z суть функции от x, получим систему уравнений первой степени для определения производных и от y и z по x: ϕ ′ x (x, y, z) + ϕ ′ y (x, y, z) · y ′ + ϕ ′ z (x, y, z) · z ′ = 0, ψ ′ x (x, y, z) + ψ ′ y (x, y, z) · y ′ + ψ ′ z (x, y, z) · z ′ = Дифференцируя эти соотношения еще раз по x, получим систему уравнений для определения вторых производных и z ′′ . Дифференцируя еще раз по x, получим систему уравнений для определения и и т. д. Производные го порядка и будут при это определяться из системы вида, y, z) · y |