Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую. Это замечание не может, конечно, служить доказательством. Самое понятие о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда 35] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 99 оказывается чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказательство указанных двух свойств, также как и следующего, третьего, основано на теории иррациональных чисел. Мы примем эти свойства без доказательства. В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы теории иррациональных чисел и связь этой теории с теорией пределов и свойствами непрерывных функций. Заметим, что второе свойство непрерывных функций можно еще формулировать так: при непрерывном изменении x от a до b непрерывная функция f (проходит по крайней мере один раз через все числа, лежащие между) и f (На рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке, b) функции, у которой f (a) < 0 и f (b) > 0. На рис. 48 график один раз пересекает ось OX, и при соответствующем значении x функция f (x) обращается в нуль. В случае рис. 49 таких значений будет не одно, а три. Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций, которое является менее наглядным, чем два предшествующих. Рис. Рис. 49 3. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и если x = есть некоторое значение x из этого промежутка, тов силу условия (19) [34] (заменяя c на x 0 ) для любого заданного положительного ε существует такое η, зависящее, очевидно, от ε, что) − f(x 0 )| < ε, если |x − x 0 | < η, Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [35 причем мы считаем, конечно, x также принадлежащим промежутку. (Если, например, x 0 = a, то x обязательно больше a, а если x 0 = b, то x < b.) Но число η может зависеть не только от ε, но и оттого, какое именно значение x = из промежутка (a, b) мы рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается в том, что на самом деле для любого заданного ε существует одно и тоже для всех значений из промежутка (a, b). Иными словами, если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то для любого заданного положительного ε существует такое положительное, что) − f(x ′ )| < для любых двух значений и из промежутка (a, b), удовлетворяющих неравенству x ′ | < Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким образом, если функция непрерывна в промежутке (a, b), то она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. ∗ Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию f (x) непрерывной не только для всех x, лежащих внутри промежутка (a, но и, для значений x = a и x = Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства в другом виде, заменяя букву на x и на (x + h). При этом x ′′ −x ′ = h представляет собою приращение независимой переменной и f (x + h) − f(x) — соответствующее приращение функции. Свойство равномерной непрерывности запишется так + h) − f(x)| < если < где x и (x + h) — любые две точки из промежутка (a, Для примера рассмотрим функцию f (x) = Особо подчеркнем, что речь идет именно о замкнутом промежутке. Это утверждение также называется теоремой Кантора 35] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 101 В данном случае мы имеем f (x + h) − f(x) = (x + h) 2 − x 2 = 2xh + При любом заданном значении x выражение (2xh + h 2 ), дающее приращение нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается, что взятая функция непрерывна при всяком значении x. Тем самым она будет непрерывна, например, в промежутке −1 6 x 6 2. Покажем, что она будет равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам надо удовлетворить неравенству + h 2 | < соответствующим подбором числа η в неравенстве |h| < η, причем x и + h) должны принадлежать промежутку (–1, 2). Мы имеем + h 2 | 6 |2xh| + h 2 = 2|x||h| + Но наибольшее значение |x| в промежутке (–1, 2) равно двум, и потому мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным + h 2 | 6 4|h| + Будем считать во всяком случае |h| < 1. При этом h 2 < |h|, и мы можем переписать предыдущее неравенство в виде + h 2 | < 4|h| + |h| или |2xh + h 2 | < Неравенство (22) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним условию 5|h| < ε. Таким образом, h должно удовлетворять двум неравенствами Следовательно, за число η мы можем взять наименьшее из двух чисел и. При малых ε (а именно примы должны взять η = ε 5 , и во всяком случае очевидно, что найденное η будет, при заданном ε, одними тем же для всех x из промежутка (–1, Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных функций или функций, непрерывных только внутри промежутка. Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она, определена на промежутке (–1, +1) и имеет разрыв при x = 0. Среди ее значений имеются сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного единице, и значений, больших единицы. Таким Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [36 образом, среди значений этой функции нет наибольшего. Точно также среди этих значений нет и наименьшего. Элементарная функция y = x не принимает внутри промежутка (0, 1) ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функцию в замкнутом промежутке, то она будет достигать своего наименьшего значения при x = и наибольшего при x = 1. Рассмотрим еще функцию f (x) = sin 1 x , непрерывную в промежутке 0 < x 6 1, открытом слева. При стремлении x к нулю аргумент беспредельно растет, и sin 1 x колеблется между (–1) и) и не имеет предела при x → +0. Покажем, что указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке 0 < x 6 Рассмотрим два значения и x ′′ = 2 (4n+1)π , где n — целое положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при любом выборе n. Далее, мы имеем (x ′ ) = sin nπ = 0, f (x ′′ ) = sin 2nπ + π 2 = Таким образом (x ′′ ) − f(x ′ ) = и x ′′ − x ′ = 2 (4n + При беспредельном возрастании целого положительного числа n разность стремится к нулю, а разность f (x ′′ ) − f(x ′ ) остается равной единице. Отсюда видно, что не существует положительного η для промежутка такого, что из (21) следует |f(x ′′ ) − f(x ′ )| < 1; это соответствует выбору ε = 1 в формуле (Возьмем функцию f (x) = x sin 1 x . При x → +0 первый множитель x стремится к нулю, а второй sin 1 x не превышает единицы по абсолютной величине, а потому [32] f (x) → 0 при x → +0. При x = 0 второй множитель не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив f (0) = 0, те. будем считать f (x) = x sin 1 x при 0 < x 6 1 и f (0) = 0, то получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке, 1). Функции sin 1 x и x sin 1 x обладают, очевидно, непрерывностью при любом x, отличном от нуля. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. В дальнейшем буквами α и β мы будем обозначать упорядоченные переменные, которые имеют одну и туже упорядочивающую переменную (значок n или переменную t), так что мы можем производить элементарные действия над этими переменными. Теория пределов. Непрерывные функции 103 Если переменные α и β стремятся к нулю, ток их частному β α теорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительных исследований ничего не можем сказать о существовании предела у этого частного. Положим, что α и β стремятся к нулю, ноне принимают в процессе изменения значения нуль и что отношение β α стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. При этом отношение α β стремится к пределу, конечному и отличному от нуля. В этом случае говорят, что α и β — бесконечно малые одного итого же порядка. Если предел отношения β α равен нулю, то говорят, что β — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α или что α бесконечно малая низшего порядка по сравнению с β. Если отношение стремится к бесконечности, то α β стремится к нулю, те. будет низшего порядка по сравнению си высшего порядка по сравнению с β. Легко показать, что если α и β бесконечно малые одного итого же порядка и γ бесконечно малая высшего порядка по отношению кто она бесконечно малая высшего порядка и по отношению к β. По условию 0, и отношение α β имеет предел, конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства γ β = γ α · α β , в силу теоремы о пределе произведения, непосредственно следует, что γ β → 0, что и доказывает наше утверждение. Отметим важный частный случай бесконечно малых одного итого же порядка. Если 1 при этом и 1 , то бесконечно малые α и β называются эквивалентными. Из равенства 1 непосредственно следует, что эквивалентность α и β равносильна тому, что разность β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к α. Из равенства 1 точно также следует, что эквивалентность равносильна тому, что β − α есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к Если отношение, где k — постоянное положительное число, стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что β бесконечно малая порядка k по сравнению с α. Если где c — число, отличное от нуля, тот. е. β и cα k — эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, разность γ = β − cα k есть бесконечно малые высшего порядка по сравнению с β (или Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [37 по сравнению с α k ). Если принять α за основную бесконечно малую, то равенство β = cα k + γ, где γ — бесконечно малая высшего порядка по сравнению с α k , представляет собой выделение из бесконечно малой β бесконечно малого слагаемого простейшего вида по отношению к α), так что остаток γ есть уже бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (или по сравнению с Аналогичным образом производится сравнение бесконечно больших величин u и v. Если v u стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят, что u и v бесконечно большие величины одного итого же порядка. Если v u → 0, то u v → ∞. В этом случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядка по сравнению с u или что u бесконечно большая высшего порядка по сравнению с v. Если v u → 1, то бесконечно большие называются эквивалентными. Если v u k , где k — постоянное положительное число, имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят, что v бесконечно большая го порядка по сравнению с u. Все сказанное выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечно больших. Отметим еще, что если отношение β α или v u вовсе не имеет предела, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно большие называются несравнимыми. Примеры. 1. Выше мы видели, что lim x→0 sin x x = те и x суть эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, разность sin x − x есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к x. Дальше мы увидим, что эта разность эквивалентна − 1 6 x 3 , т. е. является бесконечно малой третьего порядка по сравнению с Покажем, что разность 1 − cos x есть бесконечно малая второго порядка по отношению к x. Действительно, применяя известную тригонометрическую формулу и элементарные преобразования, получим − cos x x 2 = 2 sin 2 x 2 x 2 = 1 2 sin x 2 x 2 ! 2 37] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 105 Если x → 0, то α также стремится к нулю, и, как мы показали x→0 sin x 2 x 2 = lim α→0 sin α α = 1, и, следовательно, lim x→0 1 − cos x x 2 = 1 те. действительно, 1 − cos x бесконечно малая второго порядка по сравнению с Из формулы + x − 1 = x √ 1 + x + следует + x − 1 x = 1 √ 1 + x + откуда lim x→0 √ 1 + x − 1 x = 1 те и x суть бесконечно малые одного порядка, причем + x − 1 эквивалентна 2 x. 4 . Докажем, что многочлен степени m есть бесконечно большая порядка по сравнению с x. Действительно x→∞ a 0 x m + a 1 x m−1 + · · · + a m−1 x + a m x m = = lim x→∞ a 0 + a 1 x + · · · + a m−1 x m−1 + a m x m = Нетрудно видеть, что два многочлена одной и той же степени, при x → ∞, суть бесконечно большие одного итого же порядка. Их отношение имеет пределом отношение их старых коэффициентов. Например x→∞ 5x 2 + x − 3 7x 2 + 2x + 4 = lim x→∞ 5 + 1 x − 3 x 2 7 + 2 x + 4 x 2 = 5 Если степени двух многочленов различны, то при x → ∞ тот из них будет бесконечно большой высшего порядка по сравнению с другим, степень которого больше. ∗ Чтобы получить правую часть этого выражения необходимо левую его часть домножить и поделить на + x + 1 и воспользоваться в числителе формулой разности квадратов Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов 38. Число e. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример переменной величины, а именно рассмотрим переменную, принимающую значения +где n, возрастая, принимает целые положительные значения и стремится, таким образом, к +∞. Применяя формулу бинома Ньютона, получим 1 + 1 n n = 1 + n 1 1 n + n(n − 1) 2! 1 n 2 + n(n − 1)(n − 2) 3! 1 n 3 + + · · · + n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) k! 1 n k + · · · + + n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1 n! 1 n n = = 1 + 1 + 1 2! 1 − 1 n + 1 3! 1 − 1 n 1 − 2 n + · · · + + 1 k! 1 − 1 n 1 − 2 n 1 − k − 1 n + · · · + + 1 n! 1 − 1 n 1 − 2 n 1 − n − Написанная сумма содержит (n + 1) положительных слагаемых. При увеличении целого числа n, во-первых, увеличится число слагаемых и, во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увеличится, так как в выражении общего члена 1 k! 1 − 1 n 1 − 2 n 1 − k − 1 n k остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках, увеличатся при увеличении n. Таким образом, мы видим, что рассматриваемая переменная при увеличении n увеличивается, и для 2 Произведение 1 − 1 n 1 − 2 n 1 получается из дроби n (n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) n если каждый из k сомножителей, стоящих в числителе, разделить на n, принимая во внимание, что число сомножителей n в знаменателе также равно k. 38] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 107 того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной, достаточно доказать, что она ограничена. Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутых разностей единицей, а все множители, входящие в k!, начиная с, заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мы будем иметь, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии + 1 n n < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + · · · + 1 2 k−1 + · · · + 1 2 n−1 = = 1 + 1 − 1 2 n 1 − 1 2 = 3 − 1 2 n−1 < те. переменная + 1 n n ограничена. Обозначим предел этой переменной буквой e: lim n→+∞ 1 + 1 n n = e (n— целое положительное). (23) Этот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле (целое n может, очевидно, стремиться к +∞ любым образом. Докажем теперь, что выражение + 1 x x стремится к тому же пределу e, если x → +∞, принимая любые значения. Пусть n — наибольшее целое число, заключающееся в x, те+ Число n стремится, очевидно, вместе с x к +∞. Принимая во внимание, что при увеличении положительного основания, большего единицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем написать + 1 n + 1 n < 1 + 1 x x < 1 +Нов силу равенства (23), lim n→+∞ 1 + 1 n + 1 n = lim n→+∞ 1 + 1 n+1 n+1 1 + 1 n+1 = e 1 = e Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [38 и lim n→+∞ 1 + 1 n n+1 = lim n→+∞ h 1 + 1 n n 1 + 1 n i = e · 1 = Таким образом, крайние члены неравенства (24) стремятся к пределу e, а потому к тому же пределу должен стремиться и средний член, те Рассмотрим теперь тот случай, когда x стремится к −∞. Введем вместо x новую переменную y, полагая x = −1 − откуда y = −1 − Из последнего равенства видно, что, при стремлении x к −∞ y стремится к +Совершая в выражении замену переменных и принимая во внимание равенство (25), получим lim x→−∞ 1 + 1 x x = lim y→+∞ −y −1 − y −1−y = lim y→+∞ 1 + y y 1+y = = lim y→+∞ h 1 + 1 y y 1 + 1 y i = e · 1 = Если x стремится к ∞, имея любые знаки, те, то из предыдущего следует, что ив этом случае lim x→∞ 1 + 1 x x = Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числа e с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число иррациональное и с точностью до седьмого десятичного знака оно выражается так e = 2, 7182818 . . . 38] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 109 Нетрудно теперь найти предел выражения + k x x , где k данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получим где буквою y обозначено частное x k , стремящееся к бесконечности одновременно с Выражения вида + k n n встречаются в теории так называемых сложных процентов. Предположим, что приращение капитала происходит ежегодно. Если капитал a отдан из p процентов годовых, то по истечении года наращенный капитал будет a(1 + k), где k = p 100 ; по прошествии второго года он будет a(1 + k) 2 , и, вообще, по прошествии m лет он будет a(1 + Положим теперь, что приращение капитала происходит через часть года. При этом число k уменьшится враз, так как процентная такса p рассчитана на года число промежутков времени увеличится враз, и наращенный капитал через m лет будет a |