Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
′ — любые числа из II (α) и II (β) (они уже обязательно положительны. Составляем новое сечение, относя, ко второму классу все рациональные числа, б´ ольшие всех произведений ab, и к первому классу — остальные рациональные числа. Все ab попадут в первый класс и все a ′ b ′ — во второй классовое сечение определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем произведением αβ. Это число больше или равно всеми не превосходит всех a ′ b ′ , и только одно это вещественное число удовлетворяет этим неравенствам. Если одно из чисел α, β или оба — отрицательны, то мы приводим умножение к предыдущему случаю, вводя в определение умножения Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [41 обычное правило знаков, темы полагаем αβ = ±|α||β|, причем берем знак (+), если числа α и β оба меньше нуля, и берем знак (−), если одно из чисел больше нуля, а другое меньше нуля. При умножении на нуль принимаем определение, что α · 0 = 0 · α = Непосредственно проверяются основные законы умножения = βα, (αβ)γ = α(βγ), a(β + γ) = αβ + и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в томи только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю. Вычитание определяется как действие, обратное сложению, те равносильно x + β = α. Добавляя к обеим частям этого равенства, получим, в силу упомянутых выше свойств сложения x = те. разность должна обязательно определяться по этой формуле, идей- ствие вычитания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выражение для x действительно удовлетворяет условию x + β = но это непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обычного свойства неравенство α > β равносильно α − β > Прежде чем переходить к делению, определим число, обратное данному. Если a есть рациональное число, отличное от нуля, то обратным называют число. Пусть α — вещественное число, отличное от нуля. Пусть сначала α > 0, и пусть a ′ — любое число из II (α) (оно — рационально и положительно. Определим число, обратное α, следующим сечением: к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и числа 1 a ′ , а ко второму классу — остальные числа. Пусть некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения. Это значит, что c 1 = 1 a ′ 1 , где a ′ 1 — из II (α). Возьмем любое положительное рациональное число c 2 < c 1 . Его можно представить в виде c 2 = 1 a ′ 2 , где рационально и a ′ 2 > a ′ 1 , те. также принадлежит II (α). Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому классу нового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное число также принадлежит этому первому классу. Туда же входят по условию все отрицательные числа и нуль. Отсюда видно, что сечение, определяющее число, обратное α, произведено нами с соблюдением того основного условия, что любое число второго класса больше любого числа первого класса. Это число, обратное α, обозначим символом 1 α Если α < 0, то мы определим обратное число формулой Пользуясь определением умножения, получим α · 1 α = Переходим теперь к делению. Это есть действие, обратное умножению, те равносильно xβ = α, и, как при вычитании, нетрудно 42] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 119 показать, что если β 6= 0, то получается единственное частное x = α и, таким образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невоз- можно. Возведение в целую положительную степень сводится к умножению. Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в степень. Пусть α — вещественное положительное число и n — некоторое целое, большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положительные числа, е степени которых меньше α, а ко второму классу остальные числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положительное число β, определяемое этим сечением, удовлетворяет условию β n = α, те является арифметическим значением корня Если n — четное, то вторым значением будет (−β). Аналогично определяется корень нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ. Более подробно о показательной функции будет сказано потом. Отметим еще следующий важный результат раз справедливы основные законы действий, тотем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если под буквами разуметь вещественные числа. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела. Докажем теперь теорему о точных границах множества вещественных чисел, которую мы формулировали в Теорем а. Если множество E вещественных чисел ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю границу, и если E ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу. Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию все числа из E меньше некоторого числа M . Произведем сечение вещественных чисел следующим образом ко второму классу отнесем все числа, большие всех чисел из E, а к первому — остальные вещественные числа. Во второй класс попадут, например, все числа (M + p), где p > 0, а в первый класс попадут, например, все числа из E. Пусть β — вещественное число, определенное произведенным сечением. По основной теореме оно будет наибольшим в первом классе или наименьшим во втором. Покажем, что β и есть точная верхняя граница E. Во-первых, среди нет чисел, больших β, ибо, все числа E попали в первый класс. Далее, наверно существуют числа E, большие (β − ǫ) при любом ε > 0, ибо если бы таких чисел не было, то число было бы больше всех чисел и должно было бы попасть во второй класса в действительности оно Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [42 меньше β и находится в первом классе. Теорема, таким образом, доказана. Очевидно, что если β принадлежит E, то оно будет наибольшим из чисел Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченной переменной [30]. Итак, пусть переменная x все время возрастает или, по крайней мере, не убывает, те. всякое ее значение не меньше любого предыдущего. Пусть, корме того, x ограничено, те. существует такое число M , что все значения x меньше M . Рассмотрим совокупность всех значений x. По доказанной теореме существует точная верхняя граница для этой совокупности. Покажем, что β и есть предел x. Пусть — произвольное положительное число. По определению точной верхней границы найдется значение x, большее (β − ǫ). Тогда, в силу монотонности, и все последующие значения x будут больше (β − ε), нос другой стороны, они не могут быть больше β, ив силу произвольности ε, мы видим, что β = lim x. Точно также можно разобрать и случай убывающей переменной. Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем одну теорему, которой мы будем пользоваться. Т е орем а. Пусть имеется последовательность конечных проме- жyков (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), . . . , (a n , b n ), . . причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем, т. е. a n+1 > a n , и b n+1 6 b n , и пусть длины этих промежутков стремятся к нулю, те. При этом концы промежутков a и b n стремятся к общему пределу при возрастании По условию теоремы мы имеем a 1 6 a 2 6 . . . и, кроме того n < при любом n. Таким образом, последовательность a 1 , a 2 , . . будет монотонной и ограниченной, а потому будет иметь предел a n → Из условия (b n − a n ) → 0 вытекает b n = a n + ε n , где ε n → 0, и, следовательно имеет предел, также равный Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимся случаем переменной, значения которой можно пронумеровать, x 2 , . . . , x n , . . Надо доказать, что необходимое и достаточное условие существования предела последовательности (27) заключается в следующем для любого заданного положительного ε существует такой значок N , что m − x n | < ε при m и n > N. (28) 43] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 121 Покажем, что это условие достаточно, те. что при выполнении этого условия последовательность (27) имеет предел. Из наших прежних рассуждений [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить последовательность промежутков, b 1 ), (a 2 , b 2 ), . . . , (a k , b k ), . . со следующими свойствами каждый следующий заключается в предыдущем, длины (b k −a k ) стремятся к нулю и всякому интервалу (a k , b k ) соответствует такое целое положительное число N k , что все x при s > N k принадлежат (a k , b k ). Эти интервалы (a k , b k ) суть отрезки A ′ k A k из По доказанной выше теореме имеется общий предел k→∞ a k = lim k→∞ b k = Покажем, что a и есть предел последовательности (27). Пусть задано положительное число ε. В силу (29) существует такое целое положительное, что промежуток (a l , b l ) и все следующие промежутки лежат внутри промежутка (a − ǫ, a + Отсюда следует, что и все числа x при s > N l принадлежат этому же промежутку, те при s > N l . Ввиду произвольности ε мы видим, что a есть предел последовательности (27), и достаточность условия) доказана. Необходимость этого условия была доказана нами раньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованной переменной. Свойства непрерывных функций. Переходя к доказательству формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказательства вспомогательной теоремы. Т е орем а I. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b) и задано какое-нибудь положительное число ε, то этот промежуток можно таким образом разбить наконечное число новых промежутков, что) − f(x 1 )| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Будем доказывать от обратного. Предположим, что теорема несправедлива и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить (a, на части указанным образом. Делим наш промежуток средней точкой на два промежутка: a, a+b 2 и a+b 2 , b . Если бы теорема была справедлива для каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, была бы справедлива и для всего промежутка (a, b). Итак, мы должны считать, что по крайней мере один из двух полученных промежутков нельзя Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [43 разбить на части указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой теорема не выполняется, и делим его опять на две равные части. Как и выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выполняется. Берем эту половинку, делим ее опять пополам и т. д. Таким образом, мы получаем последовательность промежутков. из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что длина (b n − a n ), равная b−a 2 n , стремится к нулю при возрастании Кроме того, для всякого промежутка (a n , b n ) теорема не выполняется, т. е. нельзя никакой (a n , b n ) разбить на новые промежутки так, чтобы) − f(x 1 )| < ε, если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Покажем, что это нелепо. По теореме из [42] a и b имеют общий предел a n = lim b n = причем этот предел, как и все числа a и b n , принадлежит промежутку. Положим сначала, что α — внутри (a, b). По условию, f (непрерывна при x = α, и, следовательно [34], при заданном в теореме существует такое η, что для всех x из промежутка (α − η, α + η) выполняется неравенство) − f(x)| Если и x 2 — два любых значения из промежутка (α − η, α + η), то мы имеем f (x 2 ) − f(x 1 ) = f (x 2 ) − f(α) + f(α) − откуда) − f(x 1 )| 6 |f(x 2 ) − f(α)| + |f(α) − ив силу (31), |f(x 2 ) − f(x 1 )| те для любых и из промежутка (α − η, α + η). Нов силу (будет существовать промежуток (a l , b l ) принадлежащий промежутку, α+η). Поэтому неравенство (32) и подавно будет выполняться для любых и из этого промежутка (a l , b l ), те. для промежутка (a l , b теорема выполняется даже без всякого его подразделения на части. Это противоречит тому, что, как мы видели выше, для всякого промежутка 43] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции n , b n ) теорема не выполняется. Таким образом, теорема доказана, если — внутри промежутка (a, b). Если α совпадает, например, с левым концом промежутка, те, то доказательство будет таким же, но вместо промежутка (α−η, α+η) надо будет взять промежуток (α, Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из Теорема. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна в этом промежутке, те. при любом заданном положительном ε существует такое положительное η, что) − f(x ′ )| < ε для любых значений и из (a, b), удовлетворяющих неравенству |x ′′ − x ′ | < В силу теоремы I мы можем подразделить (a, b) наконечное число новых промежутков так, чтобы |f(x 2 ) − f(x 1 )| < ε 2 , если только и принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть η — длина самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этом числе η наша теорема выполняется. Действительно, если и x ′′ — два значения из (a, b) удовлетворяющих неравенству |x ′′ − x ′ | < η, то или и принадлежат одному и тому же новому промежутку, или они находятся в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первом случае, по построению новых промежутков, имеем |f(x ′′ ) − f(x ′ )| а потому и подавно |f(x ′′ ) − f(x ′ )| < ε. Переходя ко второму случаю, обозначим через γ точку, в которой соприкасаются те два прилегающих друг к другу промежутка, к которым принадлежат и x ′′ . В данном случае мы можем написать f (x ′′ ) − f(x ′ ) = f (x ′′ ) − f(γ) + f(γ) − те Но) − f(γ)| итак как точки и γ, а также γ и находятся водном и том же новом промежутке. Неравенства (33) и (34) дают нами теорема доказана. Теорема I приводит нас также к такому следствию: С лед ст в и е. Функция, непрерывная в промежутке (a, b), ограничена сверху и снизу, те. просто ограничена в этом промежутке. Иными словами, существует такое число M , что для всех значений x из (a, b) выполняется неравенство |f(x)| < M. Действительно, возьмем некоторое определенное ε 0 > 0, и пусть n 0 — число тех новых промежутков, на которые надо разбить (a, b), чтобы удовлетворить теореме I при Гл. I. Функциональная зависимость и теория пределов [43 взятом значении ε = ε 0 . Для любых двух точек, принадлежащих одному и тому же новому промежутку, мы имеем |f(x 2 ) − f(x 1 )| < ε 0 . Отсюда непосредственно следует, что для любого x из промежутка (a, b) мы имеем |f(x) − f(a)| < n 0 ε 0 , те. все значения f (x) заключаются между f (a) − и f (a) + Поскольку совокупность всех значений f (x) в промежутке (a, b) ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точную нижнюю границу [42]. Обозначим первую через β, а вторую через Докажем теперь первое свойство из Теорема. Непрерывная в промежутке (a, b) функция достигает в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения. Нам надо доказать, что в промежутке (a, b) существует такое значение, при котором f (x) равно β, и такое значение x, при котором f (равно α. Ограничимся доказательством первого утверждения и будем доказывать от обратного. Положим, что f (x) ни при каком x из (a, b) неравно (следовательно, всегда меньше β). Составим новую функцию) = 1 β − Поскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция также будет непрерывной в промежутке (a, b) [34]. С другой стороны, из определения точной верхней границы следует, что при произвольном ε > существуют для a 6 x 6 b значения f (x), лежащие между (β − ε) и. При этом 0 < β − f(x) < ε и ϕ(x) > 1 ε . Поскольку ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, функция ϕ(x) не ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть f (x) непрерывна в, b) и k — некоторое число, лежащее между f (a) и f (b). Для определенности положим, что f (a) < k < f (b). Составим новую функцию) = f (x) − непрерывную в промежутке (a, b). Ее значения на концах промежутка будут (a) = f (a) − k < 0, F (b) = f (b) − k > те. значения F (x) на концах промежутка — разных знаков. Если мы докажем, что внутри (a, b) есть такое значение x 0 , при котором F (x 0 ) = то при этом f (x 0 ) − k = 0, те, и второе свойство будет доказано. Итак, достаточно доказать следующую теорему 44] § 2. Теория пределов. Непрерывные функции 125 Т е орем а IV. Если f (x) непрерывна в промежутке (a, b), аи) разных знаков, то внутри промежутка существует по крайней мере одно такое значение x 0 , при котором f (x 0 ) = Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть f (x) нигде в промежутке) не обращается в нуль. При этом новая функция) = 1 f (будет также непрерывной в промежутке (a, b) [34]. Пусть задано какое- нибудь ε > 0. В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка, b) конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы промежутка, мы будем иметь разность значений f (x) в любых двух соседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чем. Принимая во внимание, что f (a) и f (b) разных знаков, мы можем утверждать, что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точек ξ 1 и ξ 2 , в которых f (x) разных знаков. Итак, с одной стороны, f (ξ 1 ) и f (ξ 2 ) разных знаков и, с другой стороны, |f(ξ 2 ) − f(ξ 1 )| < ε. Но если у двух вещественных чисел разных знаков абсолютное значение разности меньше ε, то каждое из этих чисел по абсолютному значению меньше те. например, |f(ξ 1 )| < ε. Но тогда, в силу (35), |ϕ(ξ 1 )| > 1 ε , и ввиду того, что ε можно брать произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (a, b) функция ϕ(x) — не ограничена в этом промежутке, что нелепо. Теорема, таким образом, доказана. Непрерывность элементарных функций. Мы показали раньше непрерывность многочлена и рациональной функции [34]. Рассмотрим теперь показательную функцию y = a x (a > причем для определенности будем считать a > 1. Эта функция вполне определена при всех рациональных положительных значениях x. Для отрицательных x она определяется формулой и, кроме того, a |