Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
3 . Здесь слева h < 0 и f (x + h) − f(x) < 0, а справа h > 0 и f (x+ h)−f(x) > 0, те. слева и справа отношение (1) положительно и оно стремится к (+∞) как при h → −0, таки прите. в этом случае отношение (1) стремится к (+∞) при h → Отметим, что при определении производной мы требовали, чтобы отношение (1) стремилось к конечному пределу при h → Если этот предел при h → ±0 равен (+∞) или (−∞), то мы все жене говорим, что при соответствующем значении x существует производная, равная (+∞) или (−∞). 47] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 137 Рис. Возможны, конечно, и такие точки на кривой y = f (x), в которых нет и производных f ′ (x − и f ′ (x + 0). Такая кривая изображена на рис. 52. Она не имеет указанных производных при x = Если непрерывная функция задана только на промежутке, b), то примы имеем возможность образовать только правую производную f ′ (a + 0), а при x = b — только левую производную. Когда говорят, что f(x) имеет в промежутке (a, замкнутом) производную f ′ (x), то во внутренних точках промежутка эту производную надо понимать в обычном смысле, а на концах промежутка в только что указанном смысле. Если f (x) определена в промежутке (A, B), более широком, чем (a, b), те и B > b, и имеет внутри (A, B) обычную производную f ′ (x), тотем более она будет производной в указанном смысле и на промежутке (a, b). 47. Производные простейших функций. Из понятия производной следует, что для определения производной надо составить приращение функции, разделить его на соответствующее приращение независимой переменной и найти предел этого отношения при стремлении приращения независимой переменной к нулю. Применим это правило к некоторым простейшим функциям. y = b (постоянная) [12]. y ′ = lim h→0 b − b h = lim h→0 0 = те. производная постоянной равна нулю. y = x n (n — целое положительное число). * * Здесь воспользовались формулой бинома Ньютона и учли, что C k n = n! k!(n−k)! . Также восполльзовались тем, что n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − и т. д Понятие о производной и его приложения lim h→0 (x + h) n − x n h = = lim h→0 x n + nhx n−1 + n(n−1) 2! h 2 x n−2 + · · · + h n − x n h = = lim h→0 h nx n−1 + n(n − 1) 2! hx n−2 + · · · + h n−1 i = nx В частности, если y = x, то y ′ = 1. В дальнейшем мы обобщим это правило дифференцирования степенной функции на любые значения показателя n. III. y = sin x. * y ′ = lim h→0 sin(x + h) − sin x h = lim h→0 2 cos x + h 2 sin h 2 h = = lim h→0 cos x + h 2 ! sin h 2 h 2 = cos так как при стремлении к нулю sin h 2 h 2 → 1 [33]. IV. y = cos x. y ′ = lim h→0 cos(x + h) − cos x h = lim h→0 − 2 sin x + h 2 sin h 2 h = = − lim h→0 sin x + h 2 ! sin h 2 h 2 = − sin x. V. y = log x (x > 0). y ′ = lim h→0 log(x + h) − log x h = lim h→0 log 1 + h x h = = lim h→0 1 x log 1 + h x h Здесь и далее используются теоремы об арифметических действиях с пределами, рассмотренные в [28]. Соответствующие пределы существуют так как по предположению существуют производные у функций u(x), v(x), w(x). 47] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 139 так как при h → 0 переменная α = h также стремится к нулю и log(1+α) α → 1 [38]. VI. y = cu(x), где c — постоянная и u(x) есть функция от x. y ′ = lim h→0 cu(x + h) − cu(x) h = c lim h→0 u(x + h) − u(x) h = те. производная от произведения постоянной величины на переменную равна произведению этой постоянной на производную от переменного сомножителя, или, другими словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной. y = log Как мы знаем, log a x = log x · 1 log a [38]. Применяя правило получим y ′ = 1 x · 1 log a VIII. Рассмотрим производную от суммы нескольких функций; для определенности ограничимся тремя слагаемыми = u(x) + v(x) + w(x), y ′ = lim h→0 [u(x + h) + v(x + h) + w(x + h)] − [u(x) + v(x) + w(x)] h = = lim h→0 h u(x + h) − u(x) h + v(x + h) − v(x) h + w(x + h) − w(x) h i = = u ′ (x) + v ′ (x) + те. производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций. Рассмотрим теперь производную от произведения двух функций = u(x) · v(x), y ′ = lim h→0 u(x + h)v(x + h) − Прибавляя к числителю величину u(x + h)v(x) и вычитая из него туже величину, получим y ′ = lim h→0 u(x+h)v(x+h)−u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)−u(x)v(x) h = Понятие о производной и его приложения lim h→0 u(x + h) v(x + h) − v(x) h + lim h→0 v(x) u(x + h) − u(x) h = = u(x)v ′ (x) + те. для случая двух сомножителей мы показали, что производная произведения равна сумме произведений производных каждого из сомножителей на остальные. Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей, соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правило к случаю двух сомножителей = u(x)v(x)w(x), y ′ = {[u(x)v(x)]w(x)} ′ = [u(x)v(x)]w ′ (x) + w(x)[u(x)v(x)] ′ = = u(x)v(x)w ′ (x) + u(x)v ′ (x)w(x) + Применяя известный метод математической индукции, нетрудно распространить это правило на случай любого конечного числа сомножителей. Пусть теперь y есть частное = u(x) v(x) , y ′ = lim h→0 u(x+h) v(x+h) − u(x) v(x) h = = lim h→0 1 v(x)v(x + h) u(x + h)v(x) − v(x + Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведение, получим, принимая во внимание непрерывность v(x): y ′ = lim h→0 1 v(x)v(x+h) · u(x+h)v(x)−u(x)v(x)+u(x)v(x)−v(x+h)u(x) h = = lim h→0 1 v(x)v(x+h) h v(x) u(x+h)−u(x) h −u(x) v(x+h)−v(x) h i = = u ′ (x)v(x) − v ′ (x)u(x) [v(x)] 2 , 48] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 141 т. е. производная дроби (частного) равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, все разделенное на квадрат знаменателя cosx sin x ′ = (cos x) ′ sin x−(sin x) ′ cos x sin 2 x = − sin 2 x− cos 2 x sin 2 x = При выводе правили мы предполагали, что функции) имеют производные, и доказали существование производной у функции y. 48. Производные сложных и обратных функций. Напомним понятие о сложной функции [44]. Пусть y = f (x) — функция, непрерывная в некотором промежутке a 6 x 6 b, причем ее значения принадлежат промежутку c 6 y 6 d. Пусть далее, z = F (y) функция, непрерывная в промежутке c 6 y 6 d. Понимая под y вышеуказанную функцию от x, мы получим сложную функцию от x: z = F (y) = F (f (Говорят, что эта функция зависит от x через посредство Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежутке a 6 x 6 b. Действительно, бесконечно малому приращению x соответствует бесконечно малое приращение y в силу непрерывности функции f (x), а бесконечно малому приращению y соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности f (Прежде чем переходить к выводу правила дифференцирования сложной функции сделаем одно замечание. Если z = F (y) имеет производную при y = y 0 , то, согласно сказанному в [45], мы можем написать = F (y 0 + ∆y) − F (y 0 ) = [F ′ (y 0 ) + α]∆y, (3) Понятие о производной и его приложения [48 где переменная α есть функция ∆y, определенная при всех достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем α → если ∆y → 0, оставаясь отличным от нуля. Равенство (3) остается справедливым для ∆y = 0 при любом выборе α, ибо при ∆y = 0 и = 0. В силу сказанного выше естественно положить α = 0 при = 0. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле) α → 0, если ∆y → 0 любым образом, даже и принимая значение, равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной функции. Т е орем а. Если y = f (x) имеет в точке x = производную f ′ (x 0 ) и z = F (y) имеет в точке y 0 = f (x 0 ) производную то сложная функция F (f (x)) имеет в точке x = x 0 производную, равную произведению Пусть ∆x — приращение (отличное от нуля, которое мы придаем значению независимой переменной x, и ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) — соответствующее приращение переменной y (оно может оказаться и равным нулю. Пусть, далее, ∆z = F (y 0 + ∆y) − F (Производная от сложной функции z = F (f (x)) по x при x = равна, очевидно, пределу отношения при ∆x → 0, если этот предел существует. Разделим обе части (3) на ∆x: ∆z ∆x = [F ′ (y 0 ) + При стремлении ∆x к нулю ив силу непрерывности функции) в точке x = x 0 , а потому, как мы указали выше → 0. Отношение стремится при этом к производной f ′ (x 0 ), и, переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим lim ∆x→0 ∆z ∆x = что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность f (x) при x = вытекает из предположенного существования производной f ′ (x 0 ) Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций производная сложной функции равна произведению производной по промежу- 48] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 143 точной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной Переходим к правилу дифференцирования обратных функций. Если y = f (x) непрерывна и возрастает в промежутке (a, b) (т. е. б´ольшим значением x соответствует и большие y), причем A = f (и B = f (b), то, как мы знаем [21 ив промежутке (A, B) существует однозначная и непрерывная обратная, а также возрастающая функция x = ϕ(y). В силу возрастания, если ∆x 6= 0, то и 6= 0, и наоборот, ив силу непрерывности из ∆x → 0 следует, и наоборот. (Совершенно аналогично рассматривается случай убывающих функций.) Т е орем а. Если f (x) имеет в точке производную отличную от нуля, то обратная функция ϕ(y) имеет в точке y 0 = f (x 0 ) производную) Обозначая через ∆x и ∆y соответствующие приращения x и те и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем на- писать: ∆x ∆y = 1 ∆y ∆x Как мы видели выше, ∆x и ∆y одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций производная обратной функции равна единице, деленной на производную первоначальной функции в соответствующей точке. * Можно сказать, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по своему аргументу на производную внутренней функции Понятие о производной и его приложения [48 Рис. Правило дифференцирования обратных функций имеет простое геометрическое истолкование. Функции x = ϕ(y) и y = f (имеют один и тот же график на плоскости стой лишь разницей, что для функции) ось независимой переменной есть ось OY , а не OX (рис. 53). Проводя касательную и вспоминая геометрическое значение производной, получим f ′ (x) = tg (OX, M T ) = tg α, ϕ ′ (y) = tg (OY, M T ) = tg причем на рис. 53 угол β, как и угол α, считается положительным. Но, очевидно, β = π 2 − α, и, следовательно β = 1 tg те) Если x = ϕ(y) есть функция, обратная y = f (x), то, очевидно, и наоборот — функцию y = f (x) можно считать обратной функции x = Применим правило дифференцирования обратных функций к показательной функции. y = a x (a > Обратная функция в данном случае будет x = ϕ(y) = log ив силу VII, ϕ ′ (y) = 1 y · 1 log откуда по правилу дифференцирования обратных функций y ′ = 1 ϕ ′ (y) = y log a или (a x ) ′ = a x log В частном случае при a = e имеем x ) ′ = e x 48] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 145 Полученная формула, вместе с правилом дифференцирования сложных функций, даст нам возможность вычислить производную от степенной функции. y = x n (x > 0; n — любое вещественное число). Эта функция при всех x > 0 определена и имеет положительные значения Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функции y = x n = e n log Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получим y ′ = e n log x n x = x n n x = nx Этот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений, если только сама функция при этом существует, например = Применим правило дифференцирования обратных функций к нахождению производных обратных круговых функций. y = arc sin Мы рассматриваем главное значение [24] этой функции, т. е. ту дугу, которая находится в промежутке, + π 2 . Функцию эту можно рассматривать как обратную функцию по отношению к функции x = sin y и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеем y ′ x = 1 x ′ y = 1 cos y = 1 p 1 − sin 2 y = 1 √ 1 − причем у радикала надо брать знак (+), так как cos y имеет знак) в промежутке. Точно также можно получить cos x) ′ = − 1 √ 1 − причем рассматривается главное значение arc cos x, те. та дуга, которая заключается в промежутке (0, π). Понятие о производной и его приложения. y = arc tg Главное значение arc tg x заключается в промежутке − π 2 , π 2 , и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению к функции x = tg y; следовательно 1 cos 2 y = cos 2 y = 1 1 + tg 2 y = 1 1 + Точно также получим ctg x) ′ = − 1 1 + x 2 XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида = u где u и v — функции от x (степенно-показательная функция). Мы можем написать y = e v log и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя, как сложную функцию отбудем иметь окончательно y ′ = e v log u v ′ log u + v или y ′ = u v v ′ log u + v u u ′ 49. Таблица производных и примеры. Приведем таблицу всех выведенных нами правил дифференцирования. (c) ′ = 0. 2. (cu) ′ = cu ′ 49] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 3. (u 1 + u 2 + . . . + u n ) ′ = u ′ 1 + u ′ 2 + . . . + u ′ n 4. (u 1 u 2 . . . u n ) ′ = u ′ 1 u 2 u 3 . . . u n +u 1 u ′ 2 u 3 . . . u n +. . .+u 1 u 2 u 3 . . . u ′ n 5. u v ′ = u ′ v−v ′ u v 2 6. (x n ) = nx и (x) ′ = 1. 7. (log a x) ′ = 1 x · 1 log a и (log x) ′ = 1 x 8. (e x ) = e и (a x ) ′ = a x log a. 9. (sin x) ′ = cos x. 10. (cos x) ′ = − sin x. 11. ( tg x) ′ = 1 cos 2 x 12. ( ctg x) ′ = − 1 sin 2 x 13. (arc sin x) ′ = 1 √ 1−x 2 14. (arc cos x) ′ = − 1 1−x 2 15. (arc tg x) ′ = 1 1+x 2 16. (arc ctg x) ′ = − 1 1+x 2 17. (u v ) ′ = vu v−1 u ′ + u v log uv ′ 18. y ′ x = y ′ u · u ′ x (y зависит от x через посредство u). 19. Применим выведенные правила к нескольким примерам. y = x 3 − 3x 2 + 7x − Применяя правила 3, 6 и 2, получим y ′ = 3x 2 − 6x + 7. 2 . y = 1 3 √ x 2 = x − 2 Применяя правило 6, получим y ′ = − 2 3 x − 5 3 = − 2 3x 3 √ x 2 3 . y = Полагая u = sin x, применим правила 18, 6 и 9: y ′ = 2u · u ′ = 2 sin x cos x = sin 2x. 4 . y = sin Полагая u = sin x, применим те же правила cos u · u ′ = 2x cos(x 2 ). Понятие о производной и его приложения 5 . y = log(x + p x 2 + Полагая сначала u = x + √ x 2 + 1 и затем v = x 2 + 1, применим два раза правило 18, а также правила 7, 3 и 6: y ′ = 1 x + √ x 2 + 1 (x + p x 2 + 1) ′ = 1 x + √ x 2 + 1 h 1 + ( p x 2 + 1) ′ i = = 1 x + √ x 2 + 1 h 1 + 1 2 √ x 2 + 1 (x 2 + 1) ′ i = = 1 x + √ x 2 + 1 1 + x √ x 2 + 1 = = 1 x + √ x 2 + 1 · x + √ x 2 + 1 √ x 2 + 1 = 1 √ x 2 + 1 6 . y Положим u и применим правила 18, 6 и 5: y ′ = n x 2x+2 n−1 x 2x+1 ′ = n x 2x+1 n−1 2x+1−2x (2x+1) 2 = nx n−1 (2x+1) n+1 7 . y = x Применяя правило 17, получим y ′ = x x−1 · x + x x log x = x x (1 + log x). 8 . Функция y задана уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 − 1 = как неявная функция от x. Требуется найти производную Если бы мы решили данное уравнение относительно y, то получили былевая часть уравнения после подстановки y = f (очевидно, обращается тождественно в нуль. Но производная от нуля как производная от постоянной равна нулю, а потому если мы продифференцируем левую часть данного уравнения по x, считая, что y есть заданная этим уравнением функция от x, то должны получить нуль a 2 + 2y b 2 y ′ = откуда y ′ = − b 2 x В этом случае, как мы видим, выражается не только через x, но и через y, но затонам не пришлось для отыскания производной решать уравнение (5) относительно y, те. находить явное выражение функции 50] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 149 Как известно из аналитической геометрии, уравнению (5) соответствует эллипс, и найденное выражение дает угловой коэффициент касательной к этому эллипсу в точке с координатами (x, y). 50. Понятие о дифференциале. Пусть ∆x — произвольное приращение независимой переменной, которое мы считаем уже независящим от Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначить знаком ∆x либо dx. Знак этот нив коем случае не является произведением d на x, а служит лишь символом для обозначения произвольной, независящей отвели- чины. Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной. Дифференциал функции y = f (x) обозначают символом dy или df (x): dy = df (x) = Из этой формулы естественно получается выражение производной в виде частного двух дифференциалов) = dy Подчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного, входящий в определение дифференциала функции ив формулу (может принимать совершенно произвольные значения. Фиксируя Рис. 54. какое-либо значение dx, мы по формуле (получаем соответствующее значение dy при заданном x. Если мы считаем dx приращением независимого переменного x, то надо, чтобы не только x, но и x + dx принадлежали промежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функции dy не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению dx независимого перемен- ного. * Это означает, что все рассмотрения проводятся для фиксированной точки x. Понятие о производной и его приложения [50 Чтобы выяснить разницу между этими понятиями, обратимся к графику функции. Возьмем на нем некоторую точку M (x, y) и другую точку N . Проведем касательную M T , ординаты, соответствующие точками, и прямую M P параллельно OX (рис. Мы будем иметь P = M 1 N 1 = или dx), P N = приращение y), tg ∠P M Q = отсюда dy = f ′ (x)dx = M P tg ∠P M Q = P Дифференциал функции изображается отрезком P Q, не совпадающим с отрезком P N , который изображает приращение функции. Отрезок P Q изображает то приращение, которое получилось бы, если бы в промежутке (x, x + dx) мы заменили отрезок M кривой отрезком M Q касательной, те. если бы мы считали, что в этом промежутке приращение функции пропорционально приращению независимой переменной, и коэффициент пропорциональности взяли бы равным угловому коэффициенту касательной M T , или, что тоже, равным производной Разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком N Q. Покажем, что если N Q стремится к нулю, то разность эта есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x Отношение в пределе дает производную, а потому [27] ∆y ∆x = f ′ (x) + где ε есть величина бесконечно малая одновременно с ∆x. Из этого равенства получим = f ′ (x)∆x + ε∆x или = dy + ε∆x, 50] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 151 откуда видно, что разность между dy и ∆y равна (−ε∆x). Но отношение) к ∆x, равное (−ε), стремится к нулю вместе ст. е. разность между dy и ∆y есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ∆x. Заметим, что знак этой разности может быть любым. На нашем чертеже и ∆x и эта разность имеют знак (Формула (6) дает правило нахождения дифференциала функции. Применим его к некоторым частным случаям. Если c есть постоянная, тот. е. дифференциал постоянной равен нулю = [cu(x)] ′ dx = cu ′ (x)dx = c те. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала+ w ′ (x)dx = = du(x) + dv(x) + те. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых. d[u(x)v(x)w(x)] = [u(x)v(x)w(x)] ′ dx = = v(x)w(x)u ′ (x)dx + u(x)w(x)v ′ (x)dx + u(x)v(x)w ′ (x)dx = = v(x)w(x)du(x) + u(x)w(x)dv(x) + те. дифференциал произведения равен сумме произведений дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомножи- тели. Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же вывод годится и для любого конечного числа сомножителей. * Можно говорить, что дифференциал есть линейная по ∆x часть приращения функции Понятие о производной и его приложения. d u(x) v(x) = h u(x) v(x) i ′ dx = v(x)u ′ (x)dx − u(x)v ′ (x)dx [v(x)] 2 = = v(x)du(x) − те. дифференциал частного (дроби) равен произведению дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат знаменателя. Рассмотрим сложную функцию y = f (u), где u есть функция от x. Определим dy, предполагая y зависящим от x: dy = y ′ x dx = f ′ (u) · u ′ x dx = те. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и была независимой переменной. * Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращения функции с ее дифференциалом. Возьмем функцию y = f (x) = x 3 + 2x 2 + 4x + и рассмотрим ее приращение f (2, 01) − f(2) = 2, 01 3 + 2 · 2, 01 2 + 4 · 2, 01 + 10 − (2 3 + 2 · 2 2 + 4 · 2 + Производя все действия, получим для приращения величину = f (2, 01) − f(2) = 0, Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данном случае dx = 2, 01 − 2 = 0, 01 и дифференциалом функции будет dy = (3x 2 + 4x + 4)dx = (3 · 2 2 + 4 · 2 + 4) · 0, 01 = 0, Сравнивая dy и ∆y, видим, что они совпадают до третьего десятичного знака. * В связи с этим говорят об инвариантности первого дифференциала 51] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 51. Некоторые дифференциальные уравнения. Мы показали, что, заменяя в промежутке (x, x + dx) приращение функции ее дифференциалом, мы применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональности, и что такая замена приводит к ошибке, которая является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с dx. На этом основано применение анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы. Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы, к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой пропорциональности. В пределе получают таким образом уравнение, представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией и их дифференциалами (или производной. Уравнение это называется дифференциальным уравнением, соответствующим рассматриваемому процессу. Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть задача интегрирования дифференциального уравнения. Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какого- либо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение рассматриваемого закона природы и проинтегрировать его. Эта последняя задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будем говорить впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения, соответствующие некоторым простейшим явлениям природы. Барометрическая формула. Давление атмосферы p, рассчитываемое на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздуха с площадью поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения A и на высотах h и h + dh. При переходе отсечения к сечению давление p уменьшится (если dh > 0) на величину, равную весу воздуха, который заключается в части цилиндра между A и Если dh мала, можем приближенно считать плотность ρ воздуха в этой части цилиндра постоянной. Площадь основания столбика равна единице, его высота dh и, следовательно, объема искомый вес ρ Итак, уменьшение p (при dh > 0) равно ρ dh: dp = −ρ Согласно закону Бойля—Мариотта, плотность ρ пропорционально давлению постоянная Понятие о производной и его приложения [51 и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение = −cp dh или dp dh = −cp. 2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество, масса которого есть a, вступает в химическую реакцию. Обозначим буквой ту часть этой массы, которая уже вступила в реакцию к моменту времени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, x есть функция от t. Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество вещества dx, вступившее в реакцию за промежуток времени от момента t до момента t + dt, при малом dt пропорционально dt и количеству вещества, которое к моменту t оставалось не вступившим в реакцию = c(a − x)dt или dx dt = c(a − Преобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо x новую функцию y = a − x, где y обозначает массу, которая остается не вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что a есть постоянная, получим dy dt = − dx и дифференциальное уравнение химической реакции первого порядка может быть переписано в виде dy dt = −cy. 3. Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру. При охлаждении тела его температура θ будет функцией времени, которое мы будет отсчитывать от момента помещения тела в среду. Количество тепла dQ, отданного телом за промежуток времени dt, будем приближенно считать пропорциональным длительности dt этого промежутка и разности температур тела и среды к моменту времени t (закон охлаждения Ньютона. Мы можем тогда написать dQ = c 1 θdt (c 1 — постоянная). Обозначив буквой k теплоемкость тела, имеем dQ = −k dθ, 51] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 155 где мы пишем знак (−), так как dθ в рассматриваемом случае отрицательно (температура понижается. Сравнивая эти два выражения получим dθ = −cθdt c или dθ dt = −cθ; c есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k постоянной. Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности (В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капитала через t лет образуется наращенный капитал ae kt , где k — процентная такса, выраженная в сотых долях = ae Вычисляя производную, получим y ′ = ake kt = те. в этом случае мы получаем тоже свойство пропорциональности производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом сложных процентов. Впоследствии мы покажем, что функция (дает все решения дифференцированного уравнения (8) при произвольном значении постоянной a, вместо которой будем писать Таким образом, решения наших уравнений могут быть представлены в виде (заменяя k на −c): p(h) = Ce −ch , y(t) = Ce −ct , θ(t) = где C — постоянная. Определим теперь физическое значение постоянной c в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формул h = 0, получим = p(0) = где есть, таким образом, давление атмосферы прите. на поверхности земли. Вторая из формул придаст нам = те есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени, и ее мы раньше обозначали буквою a. Наконец, подставляя t = 0 в третью Понятие о производной и его приложения [52 из формул (9), убедимся также, что C есть начальная температура тела в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеем p(h) = p 0 e −ch , y(t) = ae −ct , θ(t) = θ 0 e −ct (10) 52. Оценка погрешностей. При практическом определении или неточном вычислении какой-либо величины x получается ошибка ∆x, которая называется абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностью наблюдения или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения. Например, ошибка около 1 см при определении длины комнаты практически допустима, а такая же ошибка при определении расстоянии двух близких предметов (например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность измерения. Поэтому вводят еще понятие об относительной погрешности, которая равна абсолютной величине отношения абсолютной погрешности к значению самой измеряемой величины. Положим теперь, что некоторая величина y определяется из уравнения. Ошибка ∆x при определении величины x повлечет за собой ошибку ∆y. При малых значениях ∆x можно заменить приближенно дифференциалом dy, так что относительная погрешность при определении величины y выражается формулой dy Примеры. Сила тока i определяется, как известно, по тангенс- гальванометру из формулы = c tg Пусть dϕ — ошибка при отсчете угла ϕ: di = c cos 2 ϕ dϕ, di i = c cos 2 ϕ · c tg ϕ dϕ = 2 sin откуда видно, что относительная ошибка di i при определении i будет тем меньше, чем ближе ϕ к 45 ◦ 2 . Рассмотрим произведение uv: d(uv) = vdu + udv, d(uv) uv = du u + dv v , 52] § 3. Производная и дифференциал первого порядка 157 и, следовательно 6 du u + dv те. относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей. То же правило получаем и для частного, так как d u v = vdu − udv v 2 , d u v u v = du u − dv v , d u v u v 6 du u + dv v 3 . Рассмотрим формулу для площади круга = πr 2 , dQ = 2πr dr, dQ Q = 2πr dr πr 2 = 2 dr те. относительная ошибка при определении площади круга понаписанной выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении радиуса. Положим, что определяется угол ϕ по логарифму его синуса и тангенса. Согласно правилам дифференцирования имеем d(log 10 sin ϕ) = cos ϕdϕ log 10 · sin ϕ , d(log 10 tg ϕ) = dϕ log 10 · tg ϕ · откуда dϕ = log 10 · sin ϕ cos ϕ d(log 10 sin ϕ), dϕ = log 10 · sin ϕ cos ϕd(log 10 tg ϕ). (Предположим, что при определении log 10 sin ϕ и log 10 tg ϕ мы сделали одну и туже ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаков в той таблице логарифмов, которой мы пользуемся. Первая из формул) даст для dϕ величину по абсолютному значению большую, чем вторая из формул (11), так как впервой формуле произведение log 10 · sin делится, а во второй формуле умножается на cos ϕ, а cos ϕ < 1. Таким образом, при вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей для log 10 tg ϕ. Гл. II. Понятие о производной и его приложения 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Производные высших порядков. Производная функции y = f (x) есть, как мы знаем, также функция от x. Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называется второй производной, или производной второго порядка, первоначальной функции f (x) и обозначаются так: y ′′ , или Дифференцируя вторую производную, получаем производную третьего порядка, или третью производную: y ′′′ , или Применяя таким образом, операцию дифференцирования, получим производную любого го порядка y (n) , или Рассмотрим несколько примеров. y = e ax , y ′ = ae ax , y ′′ = a 2 e ax , . . . , y (n) = a n e ax 2. y = (ax + b) k , y ′ = ak(ax + b) k−1 , y ′′ = a 2 k(k − 1)(ax + b) k−2 , . . . , y (n) = a n k(k − 1)(k − 2) . . . (k − n + 1)(ax + b) k−n 3. Мы знаем, что x) ′ = cos x = sin x + π 2 , (cos x) = − sin x = cos x +те. дифференцирование sin x и cos x приводится к прибавлению числа π 2 к аргументу, а потому x) ′′ = h sin x + π 2 i = sin x + 2 π 2 · x + π 2 ′ = sin x + и, вообще x) (n) = sin x + и (cos x) (n) = cos x + n π 2 53] §4. Производные и дифференциалы высших порядков 4. y = log(1 + x), y ′ = 1 1+x , y ′′ = − 1 (1+x) 2 , y ′′′ = 1·2 (1+x) 3 , . . . y (n) = (1−) n+1 (n−1)! (1+x) n 5. Рассмотрим сумму функций y = u + v + Применяя правило дифференцирования суммы и считая, что соответствующие производные функции u, v и w существуют, получим+ те. производная любого порядка от суммы равна сумме производных того же порядка. Например = x 3 − 4x 2 + 7x + 10; y ′ = 3x 2 − 8x + 7, y ′′ = 6x − 8; y ′′′ = 6, y (4) = 0 и, вообще, y (n) = 0 при n > Таким же путем можно показать, вообще, что производная го порядка от многочлена й степени равна 0, если n > Рассмотрим теперь произведение двух функций y = uv. Применяя правила дифференцирования произведения и суммы, получим y ′ = u ′ v + uv ′ , y ′′ = u ′′ v + u ′ v ′ + u ′ v ′ + uv ′′ = u ′′ v + 2u ′ v ′ + uv ′′ , y ′′′ = u ′′′ v + u ′′ v ′ + 2u ′′ v ′ + 2u ′ v ′′ + u ′ v ′′ + uv ′′′ = = u ′′′ v + 3u ′′ v ′ + 3u ′ v ′′ + Мы подмечаем следующий закон составления производных: чтобы составить производную го порядка от произведения надо (u+v) n разложить по формуле бинома Ньютона ив полученном разложении заменить показатели степеней y u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u 0 = v 0 = входящие в крайние члены разложения, заменить самими функциями Гл. II. Понятие о производной и его приложения [53 Правило это называется правилом Лейбница и символически его записывают в следующем виде (u + Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом доказательства по индукции. Положим, что для й производной это правило справедливо, те · · + uv (n) . (Чтобы получить y (n+1) , надо написанную сумму продифференцировать по x. При этом произведение в общем члене суммы, согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой u (n−k+1) v (k) + u (n−k) v (k+1) . Нов символических обозначениях эту сумму можно написать в виде u n−k v k (u + Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней указателями порядка производных, мы и получим сумму u (n−k+1) v (k) + u (n−k) v (k+1) . Мы видим, таким образом, что для получения надо каждое слагаемое в сумме (1), а потому и всю эту сумму, помножить символически на (u + v), и, следовательно (u + v) (n) · (u + v) = (u + Мы показали, что если правило Лейбница справедливо для некоторого n, то оно справедливо и для (n+ 1). Но непосредственно мы убедились, что оно справедливо для n = 1, 2 и 3, а следовательно, оно справедливо и для всех значений Рассмотрим в качестве примера y = e x (3x 2 − и найдем y (100) : 54] §4. Производные и дифференциалы высших порядков (e x ) (100) (3x 2 − 1)+ + 100 1 (e x ) (99) (3x 2 − 1) ′ + 100 · 99 1 · 2 (e x ) (98) (3x 2 − 1) ′′ + + 100 · 99 · 98 1 · 2 · 3 (e x ) (97) (3x 2 − 1) ′′′ + · · · + e x (3x 2 − Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны тождественно нулю и (e x ) (n) = e x , вследствие чего мы получим y (100) = e x (3x 2 − 1) + 100e x · 6x + 4950e x · 6 = e x (3x 2 + 600x + 29 699). 54. Механическое значение второй производной. Рассмотрим прямолинейное движение точки = f (где, как всегда, t есть время и s — путь, отсчитываемый от определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t, получим скорость движения = Составим вторую производную, которая представляет собою предел отношения при стремлении ∆t к нулю. Отношение характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, а предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю дает ускорение w рассматриваемого движения в момент времени t: w = Положим, что f (t) есть многочлен второй степени = at 2 + bt + c, v = 2at + b, w = те. ускорение w постоянно и коэффициент a = 1 2 w. Подставляя t = 0, получим b = v 0 , те. коэффициент b равен начальной скорости, и c = s 0 , те равно расстоянию точки в момент времени t = от начала координат на прямой. Подставляя найденные значения a, b ив выражение для s, получим формулу для пути в равномерно ускоренном (w > 0) или равномерно замедленном (w < движении = 1 2 wt 2 + v 0 t + s 0 Гл. II. Понятие о производной и его приложения [55 Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза дифференцируя по t, определить ускорение w, а следовательно, и силу f , производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона, где m — масса движущейся точки. Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения. В случае криволинейного движения, как доказывается в механике) дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к траектории. Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного движения точки M , когда рассмотрение s этой точки от некоторой определенной точки O на прямой, по которой движется точка , определяется по формуле = a sin 2π τ t + где a — амплитуда, τ — период колебания и ω — фаза суть величины постоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу f : v = 2πa τ cos 2π τ t+ω , f = mw = − 4π 2 m τ 2 a sin 2π τ t+ω = те. сила по величине пропорциональна длине отрезка OM и направлена в противоположную сторону. Иными словами, силана- правлена всегда от точки M к точке O и пропорциональна удалению точки M от точки O. 55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие о дифференциалах высших порядков функции y = f (x). Ее дифференциал dy = f ′ (x)dx является, очевидно, функцией от x, ноне надо забывать при этом, что дифференциал независимой переменной dx считается уже независящим от x [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится за знак производной как постоянный множитель. Рассматривая dy как функцию от можно составить дифференциал этой функ- * Вообще говоря, дифференциал является функцией двух переменных x и dx 55] §4. Производные и дифференциалы высших порядков 163 ции; он называется дифференциалом второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символами d 2 y, или d 2 f (x): d 2 y = d(dy) = [f ′ (x)dx] ′ dx = Составляя опять дифференциал полученной функции от x, придем к дифференциалу третьего порядка = d(d 2 y) = [f ′′ (x)dx 2 ] ′ dx = и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем к понятию о дифференциале го порядка функции f (x) и получим для него выражение n f (или d n y = f (n) (x)dx Эта формула позволяет представить производную го порядка в виде частного) = d n y dx Рассмотрим теперь случай сложной функции y = f (u), где u функция некоторой независимой переменной. Мы знаем [50], что первый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как ив том случае, когда u — независимая переменная = При определении дифференциалов высших порядков мы получим формулы, отличные по виду от формулы (2), ибо мы не имеем уже права считать du величиной постоянной, так как u не является независимой переменной. Так, например, для дифференциала второго порядка будем иметь, применяя правило для нахождения дифференциала произведения, выражение d 2 y = d[f ′ (u)du] = dud[f ′ (u)] + f ′ (u)d(du) = f ′′ (u)du 2 + которое содержит, по сравнению с формулой (2), добавочное слагаемое Гл. II. Понятие о производной и его приложения [56 Если u есть независимая переменная, то du надо считать величиной постоянной и d 2 u = 0. Положим теперь, что u есть линейная функция независимой переменной t, те+ При этом du = adt, те есть опять величина постоянная, а потому дифференциалы высших порядков сложной функции будут выражены по формуле (2): d n f (u) = f (n) (u)du те. выражение (2) для дифференциалов высших порядков годится в том случае, если x есть независимая переменная или линейная функция независимой переменной. Разности * функций. Обозначим буквою h приращение независимой переменной. Соответственное приращение функции y = f (x) будет = f (x + h) − Его называют иначе разностью первого порядка функции f (x). Эта разность есть, в свою очередь, функция от x, и мы можем найти разность этой функции, вычисляя значение этой функции при x+h и x и вычитая из первого результата второй. Эта разность называется разностью второго порядка первоначальной функции f (x) и обозначается символом ∆ 2 y. Нетрудно выразить ∆ 2 y через значения самой функции f (x): ∆ 2 y = ∆(∆y) = [f (x + 2h) − f(x + h)] − [f(x + h) − f(x)] = = f (x + 2h) − 2f(x + h) + f(x). (Эта разность второго порядка также есть функция от x, и, определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка первоначальной функции f (x). Заменяя в правой части равенства на x + h и вычитая из полученного результата правую часть равенства (5), будем иметь выражение для В современной математической литературе обычно используется термин «приращение функций 56] §4. Производные и дифференциалы высших порядков = [f (x + 3h) − 2f(x + 2h) + f(x + h)]− − [f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x)] = = f (x + 3h) − 3f(x + 2h) + 3f(x + h) − Таким образом, можно последовательно определить разность любого порядка, и разность го порядка ∆ n y будет иметь следующее выражение через значения функции f (x): ∆ n y = f (x + nh) − n 1 f (x + n − 1h) + n(n − 1) 2! f (x + n − 2h)− − · · · + (−1) k n(n − 1) . . . (n − k + 1) k! f (x + n − kh)+ + · · · + (−1) n f (Выше мы убедились в справедливости этой формулы при n = 1, 2 и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычный способ доказательства от n к (n + 1). Заметим, что для вычисления надо знать (n + 1) значения функции f (x) при значениях аргумента x, x+h, x+2h, . . . , x+nh. Эти значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью h; или, как говорят, являются равноотстоящими значениями. При малых значениях h = dx разность ∆y мало отличается от дифференциала dy. Точно также разности высших порядков будут давать приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков, и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имея аналитического выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения ее производных различных порядков, но вместо точной формулы (3) можем получить приближенное значение производных, вычисляя отношение y ∆x n . Составим для примера таблицу разностей и дифференциалов функции y = в промежутке (2, принимая = h = 0, Для составления этой таблицы были вычислены последовательные значения функции y = x 3 , из них при помощи вычитания, согласно формуле (4), были получены значения ∆y, из них также при помощи вычитания получились значения ∆ 2 y и т. д. Такой Гл. II. Понятие о производной и его приложения [56 способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще, чем вычисление по формуле (6). Дифференциалы вычисляются по известным формулам, указанным наверху таблицы, причем надо положить dx = h = 0, Сравним точное и приближенное значения второй производной при x = 2. В рассматриваемом случае y ′′ = 6x и y ′′ = 12 при x = 2. Приближенно эта производная выражается отношением и примы получим, 126 (0, 1) 2 = 12, Если f (x) есть многочлен от x: y = f (x) = a 0 x m + a 1 x m−1 + a 2 x m−2 + · · · + a m−1 x + a то, вычисляя ∆y по формуле (4), получим для ∆y выражение в виде целого многочлена m − й степени со старшим членом ma 0 hx что нетрудно проверить. Таким образом, в случае y = x 3 , ∆y будет многочленом второй степени от x, ∆ 2 y — многочленом первой x y ∆y ∆ 2 y ∆ 3 y ∆ 4 y dy = 3x 2 dx d 2 y = d 3 y = 6dx 3 d 4 y = 6xdx 2 2 8,000 1,261 0,126 0,006 0 1,200 0,120 0,006 0 2,1 9,261 1,387 0,132 0,006 0 1,323 0,126 0,006 0 2,2 10,648 1,519 0,138 0,006 0 1,452 0,132 0,006 0 2,3 12,167 1,657 0,144 0,006 0 1,587 0,138 0,006 0 2,4 13,824 1,801 0,150 0,006 0 1,728 0,144 0,006 0 2,5 15,625 1,951 0,156 0,006 0 1,875 0,150 0,006 0 2,6 17,576 2,107 0,162 0,006 0 2,028 0,156 0,006 0 2,7 19,683 2,269 0,168 0,006 — 2,187 0,162 0,006 — 2,8 21,952 2,437 0,174 — — 2,352 0,168 — — 2,9 24,389 2,611 — — — 2,523 — — — 3 27,000 — — — — — — — — 57] § 5. Приложение к изучению функций 167 степени, ∆ 3 y — постоянной и ∆ 4 y — нулем (см. таблицу. Предлагаем читателю в качестве упражнения показать, что значения d 2 y должны в рассматриваемом примерена одну ступень запаздывать по сравнению с ∆ 2 y, что видно из таблицы 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИИ. Признаки возрастания и убывания функций. Знание производной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именно с вопроса о возрастании и убывании функции. Функция f (x) называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большим значениям независимой переменной соответствуют и большие значения функции, т. е. если f (x + h) − f(x) > 0 при h > Наоборот, если мы имеем (x + h) − f(x) < 0 при h > то функция называется убывающей. Рис. Если мы обратимся к графику функции, то промежутки возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых большим абсциссам соответствуют и большие ординаты. Если мы, как это сделано на рис. 55, направим ось OX вправо и ось OY наверх, то промежутку возрастания функции будут соответствовать такие части графика, что при движении вдоль кривой вправо в направлении возрастающих абсцисс мы подымаемся вверх. Наоборот, промежуткам убывания соответствуют части кривой, опускающиеся вниз при движении вдоль Гл. II. Понятие о производной и его приложения [57 кривой вправо. На рис. 55 часть графика AB соответствует промежутку возрастания, а часть BC — промежутку убывания. Из чертежа непосредственно ясно, что на первом участке касательная образует с направлением оси OX угол α, отсчитываемый от оси до касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этого угла есть как раз первая производная f ′ (x). Наоборот, на участке направление касательной образует с направлением OX угол (в четвертой четверти, тангенс которого отрицателен, те. для этого случая f ′ (x) будет величиной отрицательной. Сопоставляя полученные результаты, мы приходим к следующему правилу те промежутки, в которых f ′ (x) > 0, суть промежутки возрастания функции, а те промежутки, в которых f ′ (x) < 0, суть промежутки убывания функции. Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство. Сейчас же мы применим полученное правило к некоторым примерам. Докажем неравенство sin x > x − x 3 при z > Для этого составим разность f (x) = sin x − x − x 3 Определим производную f ′ (x): f ′ (x) = cos x − 1 + x 2 2 = x 2 2 − (1 − cos x) = x 2 2 − 2 sin 2 x 2 = = 2 x 2 2 − sin Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга больше своего синуса, можем утверждать, что f ′ (x) > 0 возрастает, но f (0) = и потому f (x) = sin x − x − x 3 6 > 0 прите при x > 0. 57] § 5. Приложение к изучению функций 2 . Точно также можно доказать неравенство x > log(1 + x) при x > Составим разность f (x) = x − log(1 + откуда f ′ (x) = 1 − 1 1 + Из этого выражения видно, что при x > 0 и f ′ (x) > 0 те) возрастает в промежутке (0, +∞), но f(0) = 0, и, следовательно (x) = x − log(1 + x) > 0 прите) при x > 0. 3 . Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]: x = q sin x + a (0 < q < Мы можем переписать его в виде f (x) = x − q sin x − a = Составляя производную f ′ (x), получим f ′ (x) = 1 − q cos Принимая во внимание, что произведение q cos x по абсолютному значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулем и единицей, можем утверждать, что f ′ (x) > 0 при любом значении а потому f (x) возрастает в промежутке (−∞, +∞) и, следовательно, не может обратиться более одного раза в нуль, те. уравнение Кеплера не может иметь более одного вещественного корня. Если постоянная a кратна π, те, где k — целое число, то, непосредственно подставляя x = kπ, получим f (kπ) = 0, и x = kπ будет единственным корнем уравнения Кеплера. Если a не кратно π, то можно найти такое целое число k, что kπ < a < (k + 1)π. Гл. II. Понятие о производной и его приложения [57 Подставляя x = kπ и (k + 1)π, получим f (kπ) = kπ − a < 0, f (k + 1π) = (k + 1)π − a > Но если f (kπ) и f (k + 1π) разных знаков, то f (x) должно обращаться в нуль внутри промежутка (kπ, k + 1π) [35], те. внутри этого промежутка будет находиться единственный корень уравнения Кеплера. Рассмотрим уравнение f (x) = 3x 5 − 25x 3 + 60x + 15 = Составим производную f ′ (x) и приравняем ее нулю) = 15x 4 − 75x 2 + 60 = 15(x 4 − 5x 2 + 4) = Решая это биквадратное уравнение, получим, что f ′ (x) обращается в нуль при x = −2, −1, +1 и + Таким образом, весь промежуток (−∞, +∞) мы можем разбить на пять промежутков, −2), (−2, −1), (−1, 1), (1, 2), (2, +внутри которых f ′ (x) сохраняет уже неизменный знака потому f (x) меняется монотонно, те. или возрастает или убывает, и не может поэтому внутри каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Если на концах какого-либо из этих промежутков f (x) имеет разные знаки, то уравнение f (x) = 0 имеет внутри такого промежутка один корень, а если эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежутка корней нет. Таким образом, для определения числа корней уравнения остается определить знаки f (x) на концах каждого из пяти указанных промежутков. Для определения знака f (x) при x = ±∞ представим f(x) в виде f (x) = x 5 3 При стремлении x к (−∞), f(x) стремится к (−∞), ибо при этом стремится ка выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3. Точно также убедимся в том, что при стремлении x к (+∞) и f(x) стремится 58] § 5. Приложение к изучению функций 171 к (+∞). Подставляя значения x = −2, −1, 1 и 2, получим следующую таблицу Оказывается, что f (x) имеет разные знаки только на концах промежутка, и, следовательно, рассматриваемое уравнение имеет только один вещественный корень, заключающийся внутри этого проме- жутка. Выше мы определили возрастание и убывание функции в промежутке. Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке. Это значит следующее функция возрастает при x = если f (x) < f (x 0 ) при x < и f (x) > f (x 0 ) при x > x 0 , причем x считается достаточно близким к x 0 . Аналогично определяется убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственно вытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке а именно, если f ′ (x 0 ) > 0, то функция возрастает в точке x 0 . Действительно, если, например, f ′ (x 0 ) > 0, то отношение f (x 0 + h) − имеющее предел f ′ (x 0 ), будет также положительным при всех достаточно малых по абсолютной величине, те. числитель и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет f (x 0 +h)− f (x 0 ) > 0 при h > 0 и f (x 0 + h) − f(x 0 ) < 0 при h < 0, что и дает возрастание в точке x 0 58. Максимумы и минимумы функций. Обратимся вновь к рассмотрению графика некоторой функции f (x) (рис. 56). На этом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Дуга соответствует промежутку возрастания. Следующая за ней дуга M 1 M 2 — промежутку убывания, следующая M 2 M 3 — опять промежутку возрастания и т. д. Те точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, являются вершинами кривой. Рассмотрим, например, вершину M 1 . Ордината в этой вершине больше всех ординат кривой, достаточно близких к рассматрива- Гл. II. Понятие о производной и его приложения [58 Рис. 56. емой и лежащих как слева, таки справа от нее. Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции f (Это приводит к следующему общему аналитическому определению: функция f (x) достигает максимума в точке x = x 1 , если ее значение) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках, т. е. если приращение функции f (x 1 + h) − f(x 1 ) < при всяких h как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению. * Обратимся к рассмотрению вершины M 2 . В этой вершине, наоборот, ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих как слева, таки справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум функции аналитическое определение будет функция f (достигает минимума в точке x = x 2 , если f (x 2 + h) − f(x 2 ) > при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению. Рис. Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих максимуму функции, так ив вершинах, соответствующих минимуму, касательная параллельна оси OX, те. ее угловой коэффициент f ′ (x) равен нулю. При этом предполагается, конечно, что касательная и тем самым производная существуют. Но параллельность касательной оси OX может иметь место и не только в вершинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы имеем точку кривой M , которая * Можно утверждать, что существует окрестность точки x 1 , такая, что во всех точках этой окрестности значения функции меньше, чем в точке x 1 . Аналогично для понятия минимума 58] § 5. Приложение к изучению функций 173 не является вершиной ив которой все же касательная параллельна оси Положим, что f ′ (x) обращается в нуль при некотором значении x = x 0 , те. в соответствующем месте графика касательная параллельна оси OX. Исследуем знак f ′ (x) при значениях x, близких к x 0 . Рассмотрим следующие три случая. При значениях x, меньших и достаточно близких к x 0 , f ′ (x) положительна, а при значениях x, больших и достаточно близких к x 0 , f ′ (x) отрицательна, те, иными словами, f ′ (x) при переходе x через переходит через нуль от положительных значений к отрицательным. В этом случае мы имеем слева от x = промежуток возрастания и справа — промежуток убывания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая максимум функции f (рис. 56). II. При значениях x, меньших x 0 , f ′ (x) отрицательна, а при значениях, больших x 0 , положительна, те) при переходе через нуль идет от отрицательных значений к положительным. В этом случае слева от x = мы имеем промежуток убывания, а справа — промежуток возрастания, те. значению x = соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56). III. При значениях x как меньших, таки больших x 0 , f ′ (x) имеет один и тот же знак. Положим например, что это есть знак (В этом случае соответствующая точка графика лежит внутри промежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения тех значений x, при которых f (x) достигает максимума или минимума) нужно составить f ′ (x); 2) найти те значения x, при которых f ′ (x) обращается в нуль, т. е. решить уравнение f ′ (x) = 0; 3) исследовать изменения знака f ′ (x) при переходе через эти значения последующей схеме x 0 − h x 0 x 0 + h f (x) f ′ (x) + 0 − максимум − + минимум + + возрастает − − убывает Гл. II. Понятие о производной и его приложения [58 Обозначения x 0 − h ив приведенной таблице показывают, что нужно определить знаки функции f ′ (x) при значениях меньших и больших x 0 , но достаточно близких, так что h считается достаточно малым положительным числом. При этом исследовании предполагается, что f ′ (x 0 ) = 0, но при всех x, достаточно близких к и отличных от x 0 , f ′ (x) отлична от нуля. Обратим еще внимание, что в случае рис. 57 касательная в точке с абсциссою находится по разные стороны от кривой в окрестности этой точки. В данном случае f ′ (x 0 ) = 0 и f ′ (x) > при всех x, близких к и отличных от x 0 , и весь участок кривой сточкой внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то, что f ′ (x 0 ) = Иногда вместо указанного выше определения максимума дают несколько другое, а именно функция f (x) достигает максимума в точке x = x 1 , если ее значение f (x 1 ) в этой точке не меньшее ее значений в ближайших точках, те. если приращение функции f (x 1 + h) −f(x 1 ) 6 0 при всяких h, как положительных, таки отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине. Аналогично минимум в точке можно определить неравенством f (x 2 + h) − f(x 2 ) > 0. Если при этом определении функция имеет в точке максимума или минимума производную, то эта производная должна, как и выше, обращаться в нуль. * Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − 1) 2 (x − Составим первую производную f ′ (x) = 2(x − 1)(x − 2) 3 + 3(x − 1) 2 (x − 2) 2 = = (x − 1)(x − 2) 2 (5x − 7) = 5(x − 1)(x − 2) 2 x − 7 Из последнего выражения видно, что f ′ (x) обращается в нуль при следующих значениях независимой переменной x 1 = 1, x 2 = 7 и x 3 = Условие равенства нулю производной является таким образом, необходимым условием экстремума (те. максимума или минимума 58] § 5. Приложение к изучению функций 175 Переходим к их исследованию. При x = 1 множитель (x − имеет знак плюс, множитель x − 7 5 — знак минус. При всех значениях x, как меньших, таки больших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множителей будут те же самые и, следовательно, произведение этих двух множителей имеет безусловный знак минус при всех значениях x, достаточно близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрению последнего множителя (x − 1), который как раз обращается в нуль при x = 1. В случае x < 1 он имеет знак минуса признак плюс. Таким образом, все произведение, те, имеет признак плюс и признак минус. Откуда следует, что значению x = 1 соответствует максимум функции f (x). Подставляя значение x = 1 в выражение самой функции f (x), мы получим величину найденного максимума, т. е. ординату соответствующей вершины графика функции f (1) = 0 2 · (−1) 3 = Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений x 2 = 7 и x 3 = 2, мы получим следующую табличку − h 1 1 + h 7 5 − h 7 5 7 5 + h 2 − h 2 2 + h f ′ (x) + 0 − − 0 + + 0 + f (x) возр. 0 убывает − 108 возрастает макс. миним. В указанном нами способе исследования максимумов и минимумов функции представляется несколько затрудненным, особенно в более сложных примерах, определение знака f ′ (x) при значениях x как меньших, таки больших испытуемого. Во многих случаях этого можно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производную f ′′ (x). Положим, что нам надо испытать значение x = в выражении второй производной и положим, что мы получили положительную величину, те. Если принять f ′ (x) за основную функцию, то f ′′ (x) будет ее производной и положительность этой производной в точке x = показывает, что сама основная функция f ′ (x) возрастает в соответствующей точке, те) при переходе через нуль в точке x = должна идти от отрицательных значений к положительным. Таким образом, в случаев точке x = функция f (x) будет достигать минимума. Точно также Гл. II. Понятие о производной и его приложения [58 можно показать, что в случаев точке x = функция f (x) достигает максимума. Если, наконец, при подстановке x = в выражение f ′′ (x) мы получим нуль, те, то пользование второй производной не дает возможности исследовать значение x = x 0 , и приходится обращаться к непосредственному исследованию знака f ′ (x). Мы получаем, таким образом, изображенную в таблице схему максимум x 0 0 + минимум 0 сомнительный случай Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что при наличии производной второго порядка необходимым условием максимума является неравенство f ′′ (x) 6 0, а необходимым условием минимума — неравенство f ′′ (x) > 0. При этом мы можем определять максимум условием f (x 1 + h) − f(x 1 ) 6 0 и минимум — условием, как мы об этом говорили выше. П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = sin x + cos Эта функция имеет период 2π, те. не меняется при заменена+ Достаточно исследовать промежуток изменения x от 0 до 2π. Составим производные первого и второго порядка f ′ (x) = cos x − sin x, f ′′ (x) = − sin x − cos Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение cos x − sin x = 0 или tg x = Корни этого уравнения из промежутка (0, 2π) будут и Исследуем эти значения x по знаку f ′′ (x): f ′′ π 4 = − sin π 4 − cos π 4 = − √ 2 < 0; максимум f π 4 = √ 2; f ′′ 5π 4 = − sin 5π 4 − cos 5π 4 = √ 2 > 0; минимум f 5π 4 = − √ 2. 58] § 5. Приложение к изучению функций 177 В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов. Может случиться, что на графике функции имеются такие точки, в которых касательной или вовсе нет, или она параллельна оси Рис. рис. 58). В точках первого рода производная) вовсе не будет существовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности, так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси OY , равен бесконечности. Но, как непосредственно видно из чертежа, в таких точках может встретиться максимум или минимум функции. Таким образом, мы должны, строго говоря, дополнить предыдущее правило нахождения максимумов и минимумов следующим указанием максимум и минимум функции f (x) может встретиться не только в тех точках, где f ′ (x) обращается в нуль, но ив тех точках, где она не существует или обращается в бесконечность. Исследование таких точек надо производить по первой из схем, указанных выше, а именно — путем определения знака при значениях, меньших и больших исследуемого. Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаем непрерывной функции f (x) с непрерывной производной, имеющей конечное число нулей в исследуемом промежутке. При последнем замечании отсутствие производной допускается также в конечном числе точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеют целью быть наглядным введением в исследование свойств функции. Далее мы вернемся к строгому аналитическому изложению. П р им ер. Требуется найти максимумы и минимумы функции f (x) = (x − Составим первую производную f ′ (x) = 3 √ x 2 + 2(x − 1) 3 3 √ x = 5 3 x − 2 Она обращается в нуль при x = 2 ив бесконечность при x = 0. Исследуем последнее значение числитель написанной выше дроби имеет при x = 0 Гл. II. Понятие о производной и его приложения [59 знак минус и при всех значениях x, как больших, таки меньших нуля, но близких к нему, он будет иметь тот же знак. Знаменатель дроби при x < 0 имеет знак минуса признак плюс. Следовательно, вся дробь имеет при x < 0 и близких к нулю знак плюса признак минус, т. е. примы имеем максимум f (0) = 0. В точке x = 2 будем иметь минимум f 2 5 = − 3 5 3 r 4 25 = − 3 25 3 √ 20. 59. Построение графиков. Разыскание максимумов и минимумов функции f (x) существенным образом облегчает построение графика этой функции. Выясним на некоторых примерах простейшую схему построения графиков функций. Пусть требуется построить график функции y = (x − 1) 2 (x − исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вершины этой кривой, а именно максимум (1, 0) и минимум 5 , − 108 3125 . Отметим эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы * искомой кривой на осях. Примы имеем y = −8, те. след на оси будет y = Рис. Приравнивая y нулю, темы получим следы на оси OX. Один из них, x = 1, как мы уже выяснили, является вершиной, а другой, x = 2, как это было выяснено в предыдущем номере, вершиной не является, нов соответствующей точке графика касательная параллельна оси OX. Искомая кривая изображена на рис. 59. 2 . Вычертим кривую y = Составим первую производную y ′ = Имеются ввиду точки пересечения кривой с осями координат 59] § 5. Приложение к изучению функций 179 Приравнивая нулю, получим значение x = 0, которому, как нетрудно видеть, соответствует вершина (максимум) кривой с ординатой y = Этаже точка дает и след кривой на оси OY . Приравнивая y нулю, получим уравнение e −x 2 = 0, которое не имеет решений, те. следов на оси OX кривая не имеет. Заметим, кроме того, что при стремлении x кили) показатель степени устремится к (−∞), и все выражение стремится к нулю, те. при беспредельном удалении направо и налево кривая беспредельно приближается коси. Соответствующая всем полученным данным кривая изображена на рис. Рис. 60. 3 . Построим кривую y = e −ax sin bx (a > которая дает график так называемого затухающего колебания. Множитель по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет расположена между двумя кривыми y = e −ax и = При стремлении x к (+∞) множитель e −ax , а следовательно, и все произведение e −ax sin bx будет стремиться к нулю, те. при беспредельном удалении направо кривая будет безгранично приближаться коси Следы кривой на оси OX определятся из уравнения sin bx = те. будут x = kπ b (k целое число Гл. II. Понятие о производной и его приложения [59 Определим первую производную y ′ = −ae −ax sin bx + be −ax cos bx = e −ax (b cos bx − a sin Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно, представлено в виде b cos bx − a sin bx = K sin(bx + где K и ϕ 0 — постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение sin(bx + ϕ 0 ) = которое дает bx + ϕ 0 = те целое число). (1) Когда x переходит через эти значения, sin(bx + ϕ 0 ) будет всякий разменять свой знак. Тоже можно, очевидно, сказать и относительно производной, так как y ′ = Ke −ax sin(bx + а множитель e −ax знака не меняет. Следовательно, этим корням соответствуют поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показательного множителя e −ax мы имели бы синусоиду y = sin и абсциссы ее вершин получились бы из уравнения cos bx = те целое число Мы видим, таким образом, что показательный множитель не только уменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой. Сравнивая уравнения (1) и (1 1 ), нетрудно видеть, что это смещение равно постоянной величине − π 2b − ϕ 0 b . На рис. 61 изображен график затухающего колебания при a = 1 и b = 2π. Вершины кривой не находятся на пунктирных линиях, соответствующих уравнениям y = Это происходит вследствие указанного выше смещения вершин 59] § 5. Приложение к изучению функций = |