Курс высшей математики. Том 1 (Смирнов В.И.). В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у
 Скачать 3.3 Mb.
|
|
193 потребуем, чтобы (a) = F (или f (a) + λa = f (b) + откуда = − f (b) − f(a) b − Применяя теперь к F (x) теорему Ролля, можем утверждать, что между a и b будет находиться такое значение x = c, при котором) = f ′ (c) + λ = 0 (a < c < откуда, подставляя найденное выше значение λ, f ′ (c) = −λ или f ′ (c) = f (b) − f(a) b − Последнее равенство можно переписать так (b) − f(a) = (b − Равенство это называется формулой Лангранжа. Значение c заключается между a и b, а потому отношение c−a b−a = θ заключается между нулем и единицей, и мы можем написать c = a + θ(b − a) (0 < θ < и формула Лангранжа перепишется в виде (b) − f(a) = (b − a)f ′ (a + θ(b − a)) (0 < θ < Полагая b = a + h, получим еще следующий вид формулы (a + h) − f(a) = hf ′ (a + Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения f (b) − f(a) функции f(x), а потому называется также формулой конечных приращений. * * То есть утверждается, что существует такая точка с (c = a + θ(b − a)), что такое равенство имеет место Гл. II. Понятие о производной и его приложения [63 Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лангранжа мы можем вывести обратное предложение если производная f ′ (x) во всех точках промежутка (a, b) равна нулю, то функция f (x) постоянна в этом промежутке. В самом деле, возьмем произвольное значение x из промежутка, b) и, применяя формулу Лангранжа к промежутку (a, x), получим но по условию f ′ (ξ) = 0 и, следовательно (x) − f(a) = те постоянной. Относительно величины c, входящей в формулу Лангранжа, мы знаем только то, что она заключается между a и b, и поэтому формула Лангранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, нос ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функции ее дифференциалом. П р им ер. Пусть f (x) = Производная f ′ (x) = 1 x 1 log 10 = M x (M = 0, 43429 . . . и формула Лангранжа даст log 10 (a + h) − log 10 a = h M a + θh (0 < θ < или log 10 (a + h) = log 10 a + h M a + Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу log 10 (a + h) − log 10 a = h M a , log 10 (a + h) = log 10 a + Сравнивая это приближенное равенство сточным, полученным по формуле Лангранжа, увидим, что ошибка h M a − h M a + θh = θh 2 M a(a + θh) 63] § 5. Приложение к изучению функций 195 Полагая a = 100 и h = 1, получим приближенное равенство log 10 101 = log 10 100 + M 100 = 2, 00434 . . с ошибкой + θ) (0 < θ < Заменяя в числителе этой дроби θ единицей, а в знаменателе нулем, увеличим дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значения log 10 101 меньше 2 = 0, 00004 . . Перепишем формулу Лангранжа в виде (b) − f(a) b − a = f ′ (c) (a < c < Рис. Обращаясь к графику функции y = f (x) (рис. 71), заметим, что отношение дает угловой коэффициент хорды, а f ′ (c) дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке M дуги AB кривой. Таким образом, формула Лангранжа равносильна следующему утверждению: на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хорда параллельна оси OX, те, является теорема Ролля. З а меча ни е. Из формулы Лангранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутри некоторого промежутка первая производная f ′ (x) положительна и пусть x и x+ h — две точки из этого промежутка. Из формулы Лан- гранжа: f (x + h) − f(x) = hf ′ (x + θh) (0 < θ < 1) Гл. II. Понятие о производной и его приложения [64 видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом, предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получили f (x + h) − f(x) > те. функция возрастает в этом промежутке. Точно также из написанной формулы вытекает и признак убывания. Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает необязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках первая производная должна быть равна нулю, если она существует. Формула Коши. Положим, что функция f(x) и непрерывны в промежутке (a, b) ив каждой точке внутри этого промежутка имеют производную, причем производная ϕ ′ (x) нив одной из точек внутри промежутка не обращается в нуль. Применяя к функции ϕ(x) формулу Лангранжа, получим) − ϕ(a) = (b − a)ϕ ′ (c 1 ) (a < c 1 < но по условию ϕ ′ (c 1 ) 6= 0 и, следовательно) − ϕ(a) 6= Составим функцию (x) = f (x) + где λ — постоянная, которую мы определим так, чтобы было (a) = F (то есть f (a) + λϕ(a) = f (b) + λϕ(b), 65] § 5. Приложение к изучению функций 197 откуда λ = − f (b) − f(a) ϕ(b) − При таком выборе λ к функции F (x) приложима теорема Ролля, и, следовательно, будет существовать такое значение x = c, при котором) = f ′ (c) + λϕ ′ (c) = 0 (a < c < Это уравнение дает f ′ (c) ϕ(c) = −λ (ϕ ′ (c) 6= откуда, подставляя найденное для λ значение, получим f (b) − f(a) ϕ(b) − ϕ(a) = f ′ (c) ϕ ′ (c) (a < c < или f (b) − f(a) ϕ(b) − ϕ(a) = f ′ [a + θ(b − a)] ϕ ′ [a + θ(b − a)] (0 < θ < или f (a + h) − f(a) ϕ(a + h) − ϕ(a) = f ′ (a + θh) ϕ ′ (a + Это и есть формула Коши. Полагая в этой формуле ϕ(x) = будем иметь ϕ ′ (x) = 1, и формула примет вид (b) − f(a) = (b − темы получили формулу Лангранжа как частный случай формулы Коши. Раскрытие неопределенностей. Положим, что функции) и ψ(x) непрерывны при a < x 6 a + k, k — некоторое положительное число, имеют непрерывные производные и ψ ′ (x) не обращается в нуль при указанных значениях x. Положим, кроме того, что lim ϕ(x) = 0 и lim ψ(x) = 0 при x → a + 0 [26]. Полагая) = ψ(a) = 0, мы получим функции, непрерывные вплоть до Гл. II. Понятие о производной и его приложения = a, те. при a 6 x 6 a + k. При x → a + 0 к частному, которое при x = a представляет собою неопределенность вида 0 , неприменима теорема о пределе частного. Укажем способ раскрытия такой неопределенности, те. способ нахождения предела ϕ(x) ψ(x) при x → a + Докажем предварительно следующему теорему если при сделанных выше предположениях отношение ϕ ′ (x) ψ ′ (x) стремится к пределу приток тому же пределу стремится и отношение функций ϕ(x) ψ(x) Принимая во внимание, что) = ψ(a) = и применяя формулу Коши [64], получим) − ϕ(a) ψ(x) − ψ(a) = ϕ ′ (ξ) ψ ′ (ξ) (ξ между a и Заметим, что при сделанных относительно ϕ(x) и ψ(x) предположениях применима формула Коши. Если x → a + 0, то ξ, заключающееся между a и x и зависящее от x, стремится к a. При этом, по условию, правая часть равенства) стремится к пределу b, а потому и левая часть имеет тот же предел. Отметим, что этот предел может быть и бесконечным. Таким образом приходим к правилу: При разыскании предела частного ϕ(x) ψ(x) в случае неопределенности можно заменить отношение функций отношением их производных и отыскивать предел этого нового отношения. Правило это дано французским математиком Лопиталем и называется обычно его именем. Если отношение производных ϕ ′ (x) ψ ′ (x) также приводит к неопределенности и функции ϕ ′ (x) и ψ ′ (x) удовлетворяют тем условиям, которые мы выше формулировали для ϕ(x) и ψ(x), то и к отношению (можно применить правило Лопиталя, и т. д. Мы рассмотрели случай a < x 6 a + k. Совершенно аналогично рассматривается случайте. В дальнейших 65] § 5. Приложение к изучению функций 199 примерах предел не зависит оттого, стремится ли x справа или слева, и мы пишем x → Мы рассмотрели тот случай, когда x стремится к конечному пределу a. Правило справедливо и для того случая, когда x стремится к бесконечности. На доказательстве этого мы не останавли- ваемся. Приложим правило Лопиталя к нескольким примерам x→0 (1 + x) n − 1 x = lim x→0 n(1 + x) n−1 1 = n; 2. lim x→0 x − sin x x 3 = lim x→0 1 − cos x 3x 2 = lim x→0 sin x 6x = lim x→0 cos x 6 = 1 те. разность x − sin x есть бесконечно малая третьего порядка по сравнению с x. 3. lim x→0 x − x cos x x − sin x = lim x→0 1 − cos x + x sin x 1 − cos x = = lim x→0 sin x + sin x + x cos x sin x = lim x→0 2 cos x + cos x − x cos x cos x = Результат этого примера приводит к практически удобному способу спрямления дуги окружности. Рис. Рассмотрим окружность, радиус которой примем за единицу. За ось OX выберем один из диаметров этой окружности, аза ось — касательную в конце этого диаметра (рис. 72). Возьмем некоторую дугу OM и пусть на оси имеется отрезок ON , равный дуге, и проведем прямую N M Пусть P — точка ее пересечения с осью OX. Обозначим через u длину дуги OM (радиус принят за единицу. Уравнение прямой N M вот- резках имеет вид u = Для вычисления длины отрезка OP заметим, что на прямой N M лежит точка M с координатами x = OQ = 1 − cos u, y = QM = sin Эти координаты должны удовлетворять написанному уравнению − cos u OP + sin u u = откуда = u − u cos u u − sin u Гл. II. Понятие о производной и его приложения [66 Результат примера 3 показывает, что, прите. точка на оси OX будет стремиться к точке D, расстояние которой от начала координат равно утроенному радиусу окружности. Отсюда получается простой способ приближенного спрямления дуги окружности. Для спрямления дуги OM надо отложить от точки O отрезок OD, равный трем радиусам окружности, и провести прямую DM . Отрезок отсекаемый этой прямой на оси OY , и даст приближенно длину дуги . Способ этот приводит к очень хорошим результатам, особенно для небольших дуг но даже для дуги π/2 относительная ошибка составляет приблизительно 5%. 66. Различные виды неопределенностей. Доказанное вправило применимо и к случаю неопределенностей вида. Вдаль- нейшем мы не будем отличать стремление x к a слева или справа и будем писать для краткости x → a. Предположим, что при этом непрерывные функции ϕ(x) и ψ(x) стремятся кили (Для определенности пусть lim x→a ϕ(x) = lim x→a ψ(x) = +и lim x→a ϕ ′ (x) ψ ′ (x) = Покажем, что отношение ϕ(x) ψ(x) стремится к тому же пределу b, причем предполагается, что ψ ′ (x) не обращается в нуль при значениях x, близких к Рассмотрим два значения независимой переменной x и x 0 , близкие к a и такие, что x заключаются между и a. По формуле Коши будем иметь) − ϕ(x 0 ) ψ(x) − ψ(x 0 ) = ϕ ′ (ξ) ψ ′ (ξ) (ξ между x и нос другой стороны) − ϕ(x 0 ) ψ(x) − ψ(x 0 ) = ϕ(x) ψ(x) 1 − ϕ(x 0 ) ϕ(x) 1 − ψ(x 0 ) ψ(x) 66] § 5. Приложение к изучению функций 201 Отметим, что из (8) непосредственно следует, что ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля при значениях x, близких к a. Сравнивая эти два выражения, получим − ϕ(x 0 ) ϕ(x) 1 или − ψ(x 0 ) ψ(x) 1 где ξ заключается между x и и, следовательно, между a и Возьмем достаточно близким к a; тогда, в силу условия (9), мы можем считать, что первый множитель в правой части равенства) будет сколь угодно мало отличаться от b при любом выборе между и a. Закрепив, таким образом, значение x 0 , будем приближать x к a. Тогда в силу условия (8) второй множитель в правой части равенства (10) будет стремиться к единице, а потому мы можем утверждать, что отношение, стоящее в левой части равенства (10), при значениях x, близких к a, будет сколь угодно мало отличаться от b, те Из доказанной теоремы следует, что правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенностей вида ∞ ∞ Отметим еще некоторые виды неопределенностей. Рассмотрим произведение ϕ(x)ψ(x), и пусть lim x→a ϕ(x) = и lim x→a ψ(x) = Это будет неопределенность вида 0 · ∞. Нетрудно привести ее к виду или) = ϕ(x) 1 ψ(x) = ψ(x) 1 ϕ(x) Гл. II. Понятие о производной и его приложения [66 Рассмотрим, наконец, выражение и пусть lim x→a ϕ(x) = 1 и lim x→a ψ(x) = Это будет случай неопределенности вида 1 ∞ . Рассмотрим логарифм данного выражения log[ϕ(x) ψ(x) ] = ψ(x) log который приводится к неопределенности вида 0 · ∞. Раскрывая эту неопределенность, те. находя предел логарифма данного выражения, мы тем самым будем знать и предел самого выражения. Совершенно также раскрываются неопределенности вида и 0 Рассмотрим теперь примеры x→+∞ e x x = lim x→+∞ e x 1 = +∞, lim x→+∞ e x x 2 = lim x→+∞ e x 2x = lim x→+∞ e x 2 = +Совершенно также можно убедиться в том, что отношение e x x n при любом положительном значении n стремится к бесконечности, когда x → +∞, те. показательная функция e возрастает быстрее любой положительной степени x при беспредельном возрастании x. 2 . lim x→+∞ log x x n = lim x→+∞ 1 x nx n−1 = lim x→+∞ 1 nx n = 0 (n > те возрастает медленнее любой положительной степени x. 3. lim x→+0 x n log x = lim x→+0 log x 1 x n = lim x→+0 1 x −n x n +1 = = − lim x→+0 x n n = 0 (n > 0). 4 . Найдем предел x при стремлении x к (+0). Логарифмируя это выражение, получим неопределенность вида 0 ·∞. Эта неопределенность в силу примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно x→+0 x x = 1. 5 . Найдем предел отношения lim x→∞ x + sin x x 67] § 6. Функция двух переменных 203 Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконечности. Заменяя по правилу Лопиталя отношение функций отношением производных, получим lim x→∞ 1 + cos Но 1 + cos x при беспредельном возрастании x ник какому пределу не стремится, ибо cos x будет все время колебаться между (+1) и (однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределу lim x→∞ x + sin x x = lim x→∞ 1 + sin x x = Итак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Ло- питаля ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме, ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных стремится к пределу, ток тому же пределу стремится и отношение функций, ноне наоборот. Отметим еще неопределенность вида (∞ ± ∞). Она приводится обычно к неопределенности вида 0 . Например x→0 1 sin x − 1 x + x 2 = lim x→0 x + x 2 − sin x (x + x 2 ) sin Последнее выражение представляет собою неопределенность вида Раскрывая ее указанным выше способом, получим lim x→0 1 sin x − 1 x + x 2 = 1. § 6. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Основные понятия. До сих пор мы рассматривали функцию одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функцию двух независимых переменных u = f (x, Для определения частных значений такой функции должны быть заданы значения независимых переменных x = x 0 , y = Каждой такой паре значений x и y соответствует определенная точка на координатной плоскости с координатами (x 0 , y 0 ), и вместо того, чтобы говорить о значении функции при x = x 0 , y = y 0 , Гл. II. Понятие о производной и его приложения [67 можно говорить о значении функции в точке M 0 (x 0 , y 0 ) плоскости. Функция может быть определена на всей плоскости или только в некоторой ее части, в некоторой области. Если f (x, y) есть целый многочлен от x, y, например = f (x, y) = x 2 + xy + y 2 − 2x + 3y + то можно считать, что эта формула определяет функцию на всей плоскости. Формула u = p 1 − (x 2 + определяет функцию внутри окружности x 2 + y 2 = 1 с центром вначале координат и радиусом единица и на самой окружности, где u = 0. Аналогом промежутка на плоскости является область, определяемая неравенствами a 1 6 x 6 b 1 , a 2 6 y 6 b 2 . Это — прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем граница этого прямоугольника также включается в область. Неравенства a 1 < x < b 1 , a 2 < y < определяют только внутренние точки прямоугольника. Если граница области причисляется к ней, то область называется замкнутой. Если граница не причисляется к области, то область называется открытой [ср. 4]. Определим понятие предела для функции f (x, y) двух переменных [ср. 32]. Положим, что функция определена во всех точках M (x, y), достаточно близких к точке M 0 (a, Определение. Говорят, что число A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) к M 0 (a, b), и пишут lim x→a y→b f (x, y) = или lim M→M 0 f (x, y) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное число η, что − f(x, y)| < если |x − a| < η и |y − b| < Заметим, что x и y стремятся к своим предельным значениями независимо друг от друга 67] § 6. Функция двух переменных 205 При этом предполагается, что исключена пара значений x = a, y = b (M не совпадает с M 0 ). Если точка лежит на границе той области, в которой определена f (x, y), то M , стремящаяся к M 0 , должна принадлежать области, в которой определена функция f (x, y). Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность точек M n (x n , y n ), стремящаяся к M 0 (a, b), т. е. такая, что последовательность x имеет предела последовательность предел b. Можно доказать, что если последовательность чисел u n = f (x n , y n ) для любой такой последовательности точек n , y n ) имеет один и тот же предел A, то A есть предел f (x, при стремлении M (x, y) кв смысле сформулированного выше определения. Положим, что f (x, y) определена в точках M 0 (a, b) и во всех точках, достаточно близких к M 0 (a, b) [ср. Определение. Функция f (x, y) называется непрерывной в точке M |