ВВедение в теорию управления организационными системами. В теорию управления организационными

• Название: В теорию управления организационными
• Анкор: ВВедение в теорию управления организационными системами
• Дата: 21.05.2020
• Размер: 1.89 Mb.
• Имя файла: ВВедение в теорию управления организационными системами.pdf
• Тип: Учебник; #124282
• страница: 11 из 23

4.4. Механизмы внутренних цен
Рассмотрим организационную систему, состоящую из центра и
n агентов. Целевая функция i-го агента представляет собой разность между вознаграждением, выплачиваемым i-му агенту, и квадратич- ными затратами, которые зависят от действия агента:
N
i
r
y
y
y
f
i
i
i
i
i
Î
- l
=
l
,
2
)
,
(
2
Рассмотрим следующую задачу: предположим, что центр хочет, чтобы агенты выбрали действия, сумма которых равна заданной величине R, то есть должно выполняться следующее условие:
R
y
N
i
i
=
å
Î
Например, центр хочет добиться выполнения подразделениями корпорации суммарного заказа R. Считается, что подразделения выпускают однородную продукцию, и в сумме надо добиться неко- торого выпуска (данная задача в качестве примера рассматривалась в разделе 2.1, в настоящем разделе она описывается в рамках общей концепции исследования манипулируемости механизмов планиро- вания). Это – первое ограничение.
Кроме того, центр хочет, чтобы заказ был выполнен с мини- мальными затратами (см. пример в разделе 2.1). То есть сумма затрат агентов должна быть минимальна: min
2 2
®
å
ÎN
i
i
i
r
y
Но, центр имеет возможность управлять только путем выбора функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения агента от результатов его деятельности. Этот параметр
l, который называется внутрифирменной ценой, один и тот же для всех агентов.
Агенты, зная этот параметр, будут выбирать действия, которые максимизируют их целевые функции. Агенты в данном случае независимы друг от друга, так как их целевые функции зависят

120 только от их индивидуальных действий, поэтому задачей центра является выбор внутрифирменной цены таким образом, чтобы за- траты агентов были минимальны, было выполнено суммарное дей- ствие, и агенты выбирали действия, исходя из максимизации своих целевых функций.
Опишем поведение агента, вычислив точку максимума его це- левой функции. Целевая функция агента вогнутая, имеет единствен- ный максимум. Продифференцировав, найдем зависимость дейст- вия, выбираемого агентом, от параметра
l: l
=
l
i
i
r
y
)
(
*
, i
Î N.
Получаем следующую задачу:
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
®
å
å
Î
Î
R
r
r
N
i
i
N
i
i
l
l
min
2 2
Обозначим
H
r
N
i
i
=
å
Î
. В этой задаче не остается никаких сво- бодных переменных, так как ограничение однозначно определит
l, а значение
l, определенное из ограничения, даст значение целевой функции: а именно,
l должно быть равно отношению
H
R
=
l
. Оп- тимальным значением целевой функции является величина
H
R
2 2
. То есть центр имеет полную централизацию, агентам назначаются планы, и агентам выгодно их выполнять. Остается только понять, какие планы назначать агентам, чтобы достичь минимума затрат агентов при выполнении программы суммарного выпуска. Решая эту задачу, получим следующее.
Запишем лагранжиан (
m – множитель Лагранжа): min
)
(
2 2
®
-
-
å
å
Î
Î
N
i
N
i
i
i
i
R
y
r
y
m
Тогда:
N
i
r
y
i
i
Î
=
m
-
,
0
,
i
i
r
y
m
=
, l
=
=
m
H
R
Следовательно,
H
R
r
y
i
i
=
*
, i
Î N, то есть оптимальное действие агента пропорционально его типу.

121
Таким образом, сформулированы две разные задачи и получены одинаковые решения. Первая задача: центру необходимо выбрать такую внутрифирменную цену, чтобы сумма затрат агентов была минимальна, при условии, что агенты выбирают свои действия из условия максимизации своих целевых функций. Вторая задача: найти оптимальный набор планов, таких, что сумма этих планов равна R, а сумма затрат агентов минимальна. В результате множи- тель Лагранжа в этой задаче – внутрифирменная цена (
m = l). Инте- ресно, что в данной модели оптимальной оказалась пропорциональ- ная система стимулирования, и, более того, оптимальной оказалась система стимулирования, в которой ставки оплаты для всех агентов одинаковы (такая система стимулирования называется унифициро-
ванной). Ведь можно было бы каждому агенту назначать свою цену, но оптимальна одинаковая цена для всех агентов.
Известна следующая задача: выполняется некоторый проект и необходимо сократить критический путь (время выполнения проек- та). Тогда тем агентам, кто выполняет критические операции, нужно дополнительно доплачивать, чтобы они сокращали время выполне- ния операций, а в сумме они должны сократить длительность проек- та на заданную величину. Если участники проекта, выполняющие критические операции, имеют квадратичные затраты, а за единицу сокращения времени им платят
l, то получается такая же задача с аналогичным решением.
Естественно, результат, который мы получили: решения задач совпадают, оптимальным является система стимулирования, когда ставки всех агентов одинаковы (унифицированная система стимули- рования) – справедлив только в рамках тех предположений, которые введены выше, а именно: в данной модели существенным является предположение о виде функций затрат агента (квадратичная функ- ция). Это свойство степенных функций дает в экономико- математических моделях много хороших свойств:
1) оптимальность унифицированной системы стимулирования
(оптимальность единой ставки оплаты);
2) возможность решения задач агрегирования, то есть, решая задачи минимизации затрат с данным набором агентов с характери- стиками r
i
, получили, что затраты на выполнение данного заказа имеют такой же вид, что и затраты одного агента с характеристикой
H – все агенты могут быть заменены на одного агента, действие которого равно сумме их действий, и тип которого равен сумме их типов.

122
Такие свойства присущи квадратичным функциям, функциям типа Кобба-Дугласа:
,
1 1
a
a
a
i
i
y
r
-
1
³
a
. Это можно доказать и для функций более общего вида:
)
(
i
i
i
r
y
r
j
, где
j
(
×) – возрастающая выпуклая функция, равная нулю в нуле (докажите самостоятельно).
Выше считалось, что все параметры известны, и задача реша- лась в рамках предположения, что, в частности, известны параметры
r
i
функций затрат агентов. Рассмотрим задачу, когда информацией о типах агентов
i
r
центр не обладает. Обозначим s
i
– сообщение i-го агента о своем типе.
Центр на основании сообщений агентов решает задачу плани- рования, то есть определяет, какими должны быть вектор планов x(s) и значение внутрифирменной цены
l(s) в зависимости от сообщений агентов.
Первое, что приходит в голову – воспользоваться решениями задач, которые получены при полной информированности о функ- циях затрат агентов. То есть центр может подставить сообщения агентов в параметры механизмов, которые мы определили, решая задачу в условиях полной информированности, и назначать планы в соответствии с полученными механизмами.
Данный путь приведет к тому, что значение
l будет следую- щим:
å
Î
=
N
i
i
s
R
s)
(
l
, план, назначаемый i-му агенту будет равен
(подставляем вместо типов сообщения):
R
s
s
s
x
N
j
j
i
i
å
Î
=
)
(
, i
Î N.
Получили так называемый механизм внутренних цен, который похож на механизм пропорционального распределения ресурса. Но информация, сообщаемая центру, зависит от агентов. Рассмотрим их целевые функции, подставив в них зависимости
l(s) и x
i
(s) для того, чтобы понять, будет ли агенту выгодно выполнять назначенный план, и какую информацию ему будет выгодно сообщать:
)
2
(
)
(
)
(
2
)
(
)
,
(
2 2
2 2
2 2
2 2
i
i
i
N
j
j
i
N
j
j
i
N
j
j
i
i
r
s
s
s
R
r
s
R
s
s
s
R
s
f
-
=
-
=
å
å
å
Î
Î
Î
l
, i
Î N.

123
Получили целевую функцию, которая зависит не от действий, а от сообщений агентов. Какие сообщения будет делать агент, чтобы максимизировать свою целевую функцию?
Будем искать максимум целевой функции i-го агента по его со- общению s
i
. Для дифференцирования неудобен знаменатель, так как он тоже включает в себя s
i
. Избавляются от этого «недостатка» введением гипотезы слабого влияния: предположим, что агентов достаточно много, то есть так много, что каждый агент своим сооб- щением практически не влияет на общий для всех агентов управ- ляющий параметр – внутрифирменную цену. Знаменатель целевой функции тогда не будет зависеть от сообщения отдельного агента
(сумма сообщений является «константой»). Получим, что s
i
= r
i
,
i
Î N, то есть сообщение достоверной информации выгодно всем агентам – механизм является неманипулируемым. Итак, для меха- низма внутренних цен выполняется:
1) требование сообщения агентами достоверной информации;
2) балансовое ограничение: сумма действий равна требуемой величине;
3) суммарные затраты агентов минимальны.
4.5. Механизмы экспертизы
Экспертиза – выявление свойств объекта, процесса, явления пу- тем опроса экспертов. Руководитель, принимающий решения, не может быть универсалом, обладать исчерпывающей информацией обо всех сторонах жизни, поэтому ему приходится привлекать экс- пертов.
Эксперты имеют свои предпочтения, поэтому может сложиться ситуация, когда при проведении экспертизы эксперт будет сообщать недостоверную информацию.
Это может происходить, например, в следующих случаях. Пусть собрались эксперты для принятия решения в некоторой области. В ходе обсуждения один из экспертов видит, что решение, которое они собираются принять, сильно отличается от того, что он считает нужным сделать. Например, принимают решения, куда вкладывать деньги университета. Один из деканов считает, что нужно покупать вычислительную технику. Но чувствует, что сейчас примут решение о ремонте. И если этот декан раньше считал, что 30 % можно потра- тить на ремонт, а 70 % – на закупку техники, то он скажет: «Ничего не нужно на ремонт, давайте все отдадим на компьютерную техни-

124 ку». Тем самым исказив информацию (сообщив не свое истинное мнение).
Это тем более существенно, если эксперты решают (или готовят информацию для принятия решений), как разделить деньги между ними или субъектами, интересы которых они лоббируют. Искаже- ние может происходить по благородным и неблагородным мотивам.
С точки зрения математического моделирования важно, что искаже- ние информации может иметь место, если каждый из экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы (коллективное решение) был как можно ближе к его мнению.
Предположим, что результатом экспертизы является величина
]
;
[ D
d
x
Î
, s
i
– сообщение i-го эксперта, s
i
Î[d; D],
-
i
r
истинное мнение эксперта,
]
;
[ D
d
r
i
Î
. Результат экспертизы – известная функция от мнения экспертов – отображение (процедура эксперти-
зы)
]
;
[
]
;
[
:
)
(
D
d
D
d
n
®
×
p
множества возможных сообщений во множество возможных решений.
Условия, налагаемые на механизм экспертизы:
1) непрерывность;
2) монотонность;
3) условие единогласия:
]
;
[ D
d
a
Î
"
a
a
a
a
=
)
...,
,
,
(
p
. Если все эксперты сообщили одно и то же мнение, то это мнение должно быть принято в качестве коллективного решения.
Рассмотрим сначала пример, а потом приведем общие результа- ты.
Пример 4.3. Пусть результат экспертизы лежит на отрезке [0; 1], и имеются три эксперта. Мнение первого эксперта – оцениваемая величина равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,7. Процедура экспер- тизы: берется среднее арифметическое мнений экспертов. Такая функция удовлетворяет всем трем требованиям: легко убедиться, что среднее арифметическое непрерывно, монотонно и удовлетворя- ет условию единогласия. Итак:
]
1
;
0
[
Î
x
,
3
=
n
,
3
,
0 1
=
r
,
5
,
0 2
=
r
,
7
,
0 3
=
r
,
å
=
=
p
=
3 1
3 1
)
(
i
i
s
s
x
Эксперты будут действовать следующим образом. Пусть все эксперты сообщили правду:
i
i
r
s
=
. Тогда принимаемое решение будет 0,5 (среднее арифметическое)
5
,
0
)
(
=
r
x
r
. Посмотрим на

125 поведение отдельных экспертов. Каждый эксперт хочет, чтобы результат экспертизы был как можно ближе к его мнению. Второй эксперт абсолютно удовлетворен, так как результат совпадает с тем, что он хочет. Первый недоволен, так как ему требуется меньший результат. Третий эксперт также недоволен, так как он хочет, чтобы результат был больше.
Следовательно, так как функция монотонна, то первый эксперт будет уменьшать сообщение, а третий – увеличивать. Пусть первый говорит 0, второй – 0,5, третий – 1. Тогда результат – 0,5, то есть не изменился, так как насколько первый уменьшил свое сообщение, настолько третий увеличил:
0 1
=
s
,
5
,
0 2
=
s
,
1 3
=
s
Данный вектор сообщений является равновесием Нэша игры экспертов, так как второй эксперт сообщение менять не будет, пер- вый хотел бы сделать результат поменьше, но сделать этого не может, так как сообщает минимум, третий хотел бы сделать резуль- тат побольше, но сделать этого не может, так как сообщает макси- мум. Аналогично в других ситуациях равновесия: кто хочет меньше
– не может, так как «упирается» в нижнее ограничение; кто хочет больше – не может, так как «упирается» в верхнее ограничение.
·
Значит, в общем случае агенты сообщают недостоверную ин- формацию. Спрашивается, можно ли сделать что-то, чтобы побудить их сообщать свои истинные мнения?
Утверждение 4.3. (аналогично утверждению 4.1 для механизмов распределения ресурса).
1) если в равновесии решение оказывается больше, чем мнение некоторых экспертов:
i
r
x
>
*
, то эти эксперты в равновесии будет сообщать минимальную оценку:
d
s
i
=
*
;
2) если в равновесии решение оказывается меньше, чем мнение некоторых экспертов:
i
r
x
<
*
, то эти эксперты в равновесии будет сообщать максимум:
D
s
i
=
*
;
3) если в равновесии некоторые эксперты сообщают мнение, не равное границам отрезков:
*
i
s
Î (d; D), то это значит, что принимае- мое решение их устраивает:
i
r
x
=
*
Опираясь на утверждение 4.3, можно построить равновесие в механизме экспертизы и исследовать его.

126
Упорядочим экспертов по возрастанию их мнений:
n
r
r
r
£
£
£
2 1
. В ситуации, если на отрезке [d; D] было принято некоторое решение, то в соответствии с утверждением 4.3 те экспер- ты, мнения которых расположены левее принятого решения, будут сообщать нижнюю границу, те, кто правее – верхнюю. Значит, вектор равновесных сообщений будет иметь вид:
)
...,
,
,
,
,
...,
,
,
(
*
*
D
D
D
s
d
d
d
s
k
=
Эксперты с «маленькими» номерами хотят сдвинуть равновесие влево и сообщают минимальные заявки; быть может, какой-то экс- перт с номером k сообщает
*
k
s
из отрезка [d; D], эксперты с больши- ми номерами хотят сдвинуть равновесие вправо и сообщают макси- мальные заявки.
Равновесное сообщение
*
k
s
должно быть таким, чтобы выпол- нялось:
k
k
r
D
D
s
d
d
=
p
)
...,
,
,
,
,...,
(
*
Данное уравнение позволяет найти вектор равновесных сооб- щений агентов. Но здесь неизвестно, на какой позиции находится s
k
: сколько агентов сообщают максимальное значение, а сколько – минимальное, а какой (один или ни одного) эксперт сообщает от- личную от границ оценку. Если центр будет это знать, то, подставив
s
k
, решив это уравнение, он сможет найти вектор равновесных со- общений.
В рассмотренном выше примере k-ым экспертом является вто- рой. Он рассчитывает, если первый говорит – 0, а третий – 1, то, что необходимо сказать ему, чтобы итоговое решение было 0,5? Сооб- щение должно быть 0,5. Такой эксперт называется диктатором.
Чтобы найти его номер в общем случае, введем последовательность чисел:
n
i
D
D
d
d
w
i
,
0
),
,...,
,
,...,
(
=
=
p
i
i
n
-
Фиксируем число экспертов, сообщающих минимальные мне- ния, остальные сообщают максимальные. Варьируя число экспертов, которые сообщают минимальные заявки, от 0 до n, получаем убы- вающую последовательность точек. Точка
0
w
совпадает с правой границей D, поскольку, если все сообщили правую границу, то в силу условия единогласия такое решение и будет принято. Анало-

127 гично, если все сообщили нижнюю оценку d, то решение равно
w
n
= d.
Имеются две последовательности чисел: первая – возрастающая последовательность истинных мнений экспертов {r
i
}; вторая – убывающая последовательность точек {w
i
}. Утверждается, что рано или поздно эти последовательности пересекутся. Найдем крайнюю правую точку пересечения этих последовательностей, то есть нужно взять минимум из этих двух чисел, соответствующих одному и тому же номеру, и взять максимум по всем номерам. Следовательно, существует эксперт с номером:
)
,
(
min max
1
,
1
-
=
=
i
i
n
i
w
r
k
В рассмотренном выше примере: для первого агента – минимум из его мнения и его действия равен r
1
, для второго – r
2
, для третьего агента происходит «поворот» – минимум равен 1/3. Максимум из этих трех точек равен 0,5. Значит, формула дает номер того экспер- та, который будет диктатором. В примере k = 2.
Предположим, что используется не исходный –
p – механизм, а экспертам предлагается следующий прямой механизм экспертизы: итоговое мнение будет определяться по вашим сообщениями {
i
r

} в соответствии с процедурой (где сообщения
i
r
сначала упорядочи- ваются по возрастанию):
)
,

min(
max
ˆ
1
*
-
=
i
i
i
w
r
x
Утверждение 4.4. При использовании прямого механизма экс- пертизы сообщение достоверной информации является доминантной стратегией экспертов.
4.6. Базовая модель теории контрактов
Рассмотрим организационную систему, состоящую из центра и одного агента. Центр продает агенту некий товар в количестве q за сумму t. Функция полезности центра
)
(
)
,
(
0
q
C
t
q
t
-
=
j
. Функция
C(q) – стоимость производства товара для центра – дважды диффе- ренцируемая выпуклая функция, C’(0) = 0, C’(∞)= ∞. Функция полезности агента
t
q
u
q
t
- q
=
q j
)
,
(
)
,
,
(
1
]
;
[
q
q
q
=
Q
Î
– положи- тельный параметр, тип агента. Функция
( , )
u
q
q
– полезность товара для агента – возрастает и вогнута по
q
и возрастает по
q

128
Центру известно множество
Q
и вероятностное распределение типа агента на этом множестве, причем интегральная функция рас- пределения F(θ) дифференцируема –
( )
( )
f
F
q
q
q
=
Задача центра – максимизировать свою ожидаемую полезность:
( ), ( )
[ ( )
( ( ))] ( )
max
t
q
t
C q
f
d
q
q
q
q
q q
-
®
ò


На основании принципа выявления
20
строится неманипулируе- мый механизм – «меню» контрактов
)}
(
),
(
{
×
× t
q
, зависящий от сообщаемой агентом оценки своего типа.
Необходимые условия неманипулируемости механизма имеют следующий вид:
ï
ï
î
ïï
í
ì
³
q q
q q
q
¶
¶
¶
q q
q q
q
¶
¶
=
q q
Q
Î
q
"
0
)
(
)
),
(
(
),
(
)
),
(
(
)
(
,
)
(
)
(
2 2
1
d
dq
q
q
u
d
dq
q
u
d
dt
IC
IC
При выполнении условий Спенса-Мирлиса [19, 20]:
0
)
,
(
,
2
>
¶
¶
¶
"
"
q
q
q
q
q
u
q
, доказано, что функция
)
(
q
q
является неубывающей функцией своего аргумента.
Предполагается, что
,
,
q
"
"q
0
)
,
(
>
¶
¶
q
q
q
u
. Вводится функция прибыли агента при использовании оптимального неманипулируе- мого механизма в зависимости от его типа
–
)
(
)
),
(
(
)
(
q
q
q
q
n
t
q
u
-
=
. Причем, при выполнении условия IC
1
,
,
Q
Î
"
q
0
)
),
(
(
)
(
>
¶
¶
=
q
q
q
q
q
n
q
u
d
d
. Поэтому, выполнение условий
индивидуальной рациональности агента (
0
)
(
,
³
Q
Î
"
q
n
q
) может
20
Принцип выявления – западный аналог принципа открытого управления
(см. выше). Для систем с одним агентом эти принципы эквивалентны.

129 быть обеспечено следующим образом –
0
)
(
=
q
n
, из чего следует, что:
t
t
t
q
q
n
q
q
d
q
u
ò
¶
¶
=
)
),
(
(
)
(
, и
t
t
t
q
q
q
q
q
q
d
q
u
q
u
t
ò
¶
¶
-
=
)
),
(
(
)
),
(
(
)
(
Задача центра (построение механизма, максимизирующего его прибыль) сводится к решению следующего уравнения:
0
)
),
(
(
=
¶
¶
*
q
q
q
q
H
при условии
(4.3)
0
)
(
³
*
q
q
d
dq
, где
))
(
),
(
(
)
),
(
(
0
q
q
j
q
q
t
q
q
H
=
Возможны два случая: ограничение (4.3) выполняется всюду как строгое неравенство или при некоторых θ ограничение (4.3) выполняется как равенство.
Первый случай очень прост: множитель Лагранжа при ограни- чении (4.3) равен нулю и q(
q) определяется из условия
( ( ), )
0
H q
q q
q
¶
=
¶
, то есть:
(4.4.)
1
( )
( , ( ))
( , ( ))
( )
q
q
q
C q
u
q
u
q
h
q
q
q
q
q
q
=
-
, где
( )
( )
1
( )
f
h
F
q
q
q
=
-
Каждый тип агентов получает свой контракт (q(
q) строго воз- растает по θ). Таким образом, все типы, кроме самого высокого, получают уровень q меньше оптимального, а самый высокий тип получает эффективное количество.
Если же хотя бы при некоторых θ в ограничение (4.3) выполня- ется как равенство, ситуация гораздо сложнее. Для решения задачи нужно использовать принцип максимума Понтрягина. Рассмотрим динамическую задачу максимизации:
( )
max
( ( ), ) ( )
q
H q
f
d
q
q
q
q q
q q
=
ò
,

130 где θ — аналог времени, q – фазовая переменная, изменяющаяся по закону
dq
d
w
q
=
, а ω – управление, ограниченное снизу: ω
³ 0.
Как правило, задачу решают следующим образом. Сначала предполагают, что контракт разделяющий, и вычисляют q(
q) из
(4.4). Если полученная функция q(
q) не убывает, то задача решена, оптимальный контракт разделяющий. Если же полученная функция имеет убывающие участки, но необходимо решать изложенную выше задачу оптимального управления. При этом некоторые агенты с различными типами получат одинаковые контракты, то есть рав- новесие частично смешивающее.
Пример 4.4. Пусть
2
( )
/ 2
C q
q
=
,
( , )
u
q
q
q
q
=
а тип агента рас- пределен равномерно на множестве допустимых значений –
1
( )
f
q
q q
=
-
Тогда получаем, что
( )
( )
( )
t
q
q
d
q
q
q
q q
t t
=
-
ò
, а
( )
q
q
определяется из решения уравнения 4.4:
( ) 2
q
q
q q
=
-
С учетом требований
( ) 0
q
q ³
- покупателю может продаваться лишь положительное количество товара получаем следующее меню контрактов: для
[ , / 2]
q
q q
Î
-
{0,0}
, для
[ / 2, ]
q
q
q
Î
-
)}
(
),
(
{
×
× t
q
:
( ) 2
q
q
q q
=
-
,
2
( )
(
)
t
q
q
q q q
=
-
-
% %
, где max[ , / 2]
q
q q
=
%
·
Итак, стандартная модель теории контрактов, рассмотренная выше, может быть применена для формирования гибкой шкалы цен на товар производителя – монополиста. Выставляя на продажу различные модификации своей продукции по различным ценам (что и является тем самым «меню» контрактов) производитель охватыва- ет различные группы пользователей. Классический пример такого товара – вино. Чем дольше срок его выдержки, тем выше качество вина. Ценители вина готовы покупать более качественное вино по более высокой цене, неискушенные потребители готовы довольст- воваться менее качественным продуктом по более низкой цене.

131
Используя модель теории контрактов, производитель может опти- мизировать свой ожидаемый доход от продажи своего товара.
Но, варьироваться может не только качество товара, но и его объем. Чем большее количество товара приобретает покупатель, тем ниже его удельная стоимость. Зависимость цены товара от приобре- таемого количества и является тем самым меню контрактов, которое может быть получено с помощью стандартной модели теории кон- трактов. Основной проблемой, возникающей при решении практи- ческих задач, является идентификация понятия типа покупателя и возможных пределов его значений.
4.7. Конкурсные механизмы
Непрерывные конкурсы. При обсуждении механизмов обрат- ных приоритетов подчеркивалось, что ресурс распределяется про- порционально эффективности
x
i
=
j
i
(x
i
, r
i
) / x
i
его использования агентами. В конкурсном механизме ресурс получают только победи- тели конкурса (на всех агентов ресурса может не хватить).
Предположим, что агенты сообщают центру две величины: за- явку на ресурс s
i
и оценку
x
i
ожидаемой эффективности его исполь- зования. Ожидаемый эффект для ОС в целом от деятельности i-го агента в этом случае равен: w
i
=
x
i
s
i
, i
Î N. Упорядочим агентов в порядке убывания эффективностей:
x
1
³
x
2
³ … ³
x
n
Понятно, что агенты могут наобещать золотые горы, лишь бы получить финансирование. Поэтому при использовании конкурсных механизмов центр должен организовать действенную систему кон- троля за выполнением взятых обязательств. Введем систему штра- фов:
0
,
))
(
(
>
a j
- x
a
=
c
i
i
i
i
i
s
s
, i
Î N, пропорциональных от- клонению ожидаемой эффективности
x
i
s
i
= w
i
от реальной –
j
i
(s
i
).
Отметим, что величина (
x
i
s
i
–
j
i
(s
i
)) характеризует обман, на кото- рый сознательно идет агент ради победы в конкурсе.
Целевая функция агента имеет вид:
[
]
)
(
)
(
)
,
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
s
s
s
f
j
x
a
mj
x
j
-
-
=
, i
Î N, где
m – доля эффекта, остающаяся в распоряжении агентов (то есть
m j
i
(s
i
) – его доход). Отметим, что агент штрафуется только в слу- чае, если
x
i
s
i
>
j
i
(s
i
). Если реальная эффективность оказалась выше ожидаемой, то штрафы равны нулю.

132
Ресурс R, имеющийся в распоряжении центра, распределяется следующим образом: первый агент (агент, имеющий максимальную эффективность) получает ресурс в запрашиваемом объеме s
1
. Затем получает ресурс (в объеме s
2
) агент с меньшей (второй по величине) эффективностью и так далее, пока не закончится весь ресурс. То есть центр раздает ресурс в требуемом объеме в порядке убывания эффективностей до тех пор, пока не закончится ресурс. Агенты, получившие ресурс в полном объеме, называются победителями
конкурса. Существенным при этом является то, что некоторые аген- ты (например, последний (в упорядочении по эффективности) из победителей конкурса) могут получить ресурс не в полном объеме и, тем не менее, принести определенный эффект. Поэтому рассматри- ваемые конкурсы называются непрерывными.
Отметим, что при использовании такой процедуры победа в конкурсе зависит только от величины эффективности
x
i
и не зависит от величины заявки s
i
. Поэтому агенты будут стремиться максими- зировать свои целевые функции, то есть закажут такое количество ресурса, чтобы в случае победы значение их целевой функции было максимально.
Обозначим m – максимальный номер агента, победившего в конкурсе (то есть победителями являются агенты с номерами
m
j
,
1
=
). Нетрудно показать, что все победители сообщат одинако- вые оценки эффективности, то есть
x
j
*
=
x
*
,
1
,
1
+
= m
j
. Более того, при достаточно общих предположениях о функциях штрафов кон- курсные механизмы обеспечивают оптимальное распределение ресурса [3].
Дискретные конкурсы. Наблюдаемая в настоящее время рас- пространенность, если не сказать «мода», использования на практи- ке всевозможных конкурсов, а также приводимые для обоснования их целесообразности качественные рассуждения наталкивают на мысль – быть может честное соревнование действительно является панацеей от многих, если не всех, бед. На самом деле, формальный анализ конкурсных механизмов (которые в случае неделимых объ- ектов конкурса называются тендерами, или дискретными конкур-
сами) показывает, что не все так просто.
Более корректно тендером (дискретным конкурсом) называется конкурс, в котором победители получают в точности заявленную величину (ресурса, финансирования, выгодный проект и т.д.), а проигравшие не получают ничего. Эффективность участника опре-

133 деляется как отношение оценки социально-экономического эффекта
(известной, например, в результате объективной экспертизы) к сообщенной участником оценке (требуемого ресурса, затрат и т.д.).
Основная идея простых конкурсов заключается в упорядочении участников в порядке убывания эффективностей и выделения им ресурса в требуемом объеме последовательно, пока не закончится весь ресурс. Победителями конкурса являются участники, получив- шие ресурс. К сожалению, гарантированная эффективность простых конкурсных механизмов равна нулю (точнее – может быть сколь угодно мала) [15].
Несколько лучше обстоит дело в прямых конкурсных механиз-
мах, в которых организатор конкурса, используя сообщенные оцен- ки, решает задачу о ранце [4] (ищет оптимальную с точки зрения суммарного эффекта комбинацию победителей) – гарантированная эффективность прямых конкурсов равна 0,5.
Подробное описание формальных моделей конкурсных меха- низмов приведено в [15].
Задачи и упражнения к главе 4
4.1. Два агента – например, регионы, разделенные рекой – фи- нансируют строительство моста через эту реку. Затраты на строи- тельство этого моста с = 1. Используется следующий механизм распределения затрат. Каждый агент сообщает оценку s
i
своего дохода h
i
от использования моста. Мост строится только когда
s
1
+ s
2
³
c.
4.1.1. 1) Покажите, что, если истинные дохода агентов равны 1.4 и 0.6, соответственно, и используется принцип пропорционального распределения затрат
,
)
(
2 1
c
s
s
s
s
x
i
i
+
=
то сообщение истинных доходов не является равновесием Нэша.
2) Найдите все равновесия Нэша.
3) Найдите оптимальные стратегии при условии, что агенты зна- ют истинные доходы друг друга и один из них обладает правом первого хода.
4.1.2. Предложите и исследуйте в условиях задачи 4.1 механизм распределения затрат, отличный от пропорционального [2, 3].

134
4.1.3. Существует ли для пропорционального механизма рас- пределения затрат эквивалентный механизм открытого управления
(ОУ) [15].
4.2
*
. Приведите пример многоэлементной организационной сис- темы с сообщением информации, в которой не существует эквива- лентного прямого механизма [16, 17].
4.3. На примере задачи стимулирования в организационной сис- теме с одним агентом в условиях неполной информированности центра о типе агента r
³ 0:
)
(
)
(
y
y
y
s
-
=
j
– функция предпочтения центра;
r
y
y
r
y
f
2
)
(
)
,
(
2
- s
=
– функция предпочтения агента; покажи- те возможность построения для произвольного механизма планиро- вания механизма открытого управления не меньшей эффективности
[3, 10].
Какова будет эффективность системы, если центру достоверно известны типы агентов?
4.4. Целевые функции агентов имеют вид
i
i
i
i
i
i
i
x
r
x
r
x
f
l
- j
=
l
)
,
(
)
,
,
(
,
n
i
,
1
=
, где
)
,
(
i
i
i
r
x
j
– функции эффекта, вогнутые по получаемому количеству ресурса x
i
, l – цена за ресурс.
Покажите, что при гипотезе слабого влияния механизм ОУ оп- тимален по критерию суммарного эффекта [3].
4.5
*
. Докажите что, если в многоэлементной организационной системе с квазиоднопиковыми функциями предпочтения агентов назначаемые им планы монотонны по их сообщениям и зависят от единственного скалярного параметра, выбираемого центром, то для любого механизма существует неманипулируемый механизм не меньшей эффективности [17].
4.6. Организационная система состоит из центра и 5 агентов.
Множество возможных значений типов агентов (количество ресурса, при котором достигается максимальное значение функции полезно- сти агента) –
]
10
;
0
[
=
W
. Центр обладает ресурсом в количестве
R = 10. Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма прямых приоритетов
(4.5)
ï
ï
î
ïï
í
ì
>
£
=
å
å
å
i
i
i
i
i
i
i
i
i
R
s
R
s
s
R
s
s
x
,
,
,
,

135 где s
i
– сообщение i-го агента центру о своем типе, при следующих значениях типов агентов:
1) r = {1, 3, 5, 7, 9};
2) r = {1, 1, 2, 8, 8};
3) r = {5, 6, 7, 8, 9};
4) r = {7, 8, 9, 9, 9};
5) r = {1, 1, 2, 3, 4}.
4.7
*
. Проанализируйте, чем качественно отличаются равнове- сия, соответствующие пп. 1-4 задачи 4.6.
4.8. Определите равновесную по Нэшу ситуацию для механизма распределения ресурса по принципу прямых приоритетов:
(4.6)
ïî
ï
í
ì
>
gh
£
=
å
å
i
i
i
i
i
i
i
i
i
R
s
s
s
R
s
s
x
)),
(
,
min(
,
, где
i
i
i
i
s
A
s
=
h
)
(
,
å
=
gh g
i
i
i
i
R
s
s
))
(
,
min(
:
. Функции полезности агентов:
i
i
i
i
i
i
x
x
r
r
x
-
=
j
2
)
,
(
,
n
i
,
1
=
4.9
*
. Взяв числовые значения, соответствующие пп. 1-4 задачи
4.6, проанализируйте, чем качественно отличаются равновесия, соответствующие механизмам распределения ресурса (4.5) и (4.6).
4.10. Исследуйте эффективность следующего механизма рас- пределения ресурсов:
))
(
,
min(
i
i
i
i
s
A
s
s
g
=
, где
å
=
g
i
i
R
x
s :
)
(
, предпо- лагая, что
å
>
i
i
R
r
,
0
>
i
A
. Исследуйте неманипулируемость дан- ного механизма.
4.11. Докажите, что все анонимные механизмы распределения ресурса, удовлетворяющие предположениям, введенным в разделе
4.3, эквивалентны [2].
4.12
*
. Для следующего механизма распределения ресурса между двумя агентами:
2 1
1 1
2 3
2 3
s
s
s
x
+
=
,
2 1
1 1
2 3
s
s
s
x
+
=
,
]
1
,
0
[
Î
i
s
,
2
,
1
=
i
, постройте множества диктаторства на плоскости векторов
)
;
(
2 1
r
r
r
=
точек пика функций полезности агентов [17].

136
4.13. Для механизма активной экспертизы
å
=
=
p
n
i
i
s
n
s
1 1
)
(
с пя- тью экспертами определите равновесную по Нэшу ситуацию, если множество возможных значений заявок экспертов
]
20
,
10
[
=
W
, а истинные мнения экспертов имеют следующие значения:
1) r = {10, 10, 15, 20, 20};
2) r = {10, 12, 13, 17, 18};
3) r = {15, 15, 16, 19, 20}.
Докажите утверждение 4.4 и проиллюстрируйте на данном примере.
4.14
*
. Докажите, что процедура активной экспертизы π(s), оп- тимальная в смысле близости к среднему арифметическому:
å
=
=
p
n
i
i
s
n
s
1 0
1
)
(
, заключается в разбиении отрезка [d; D] на n равных отрезков [3].
Функции полезности экспертов:
|
|
)
,
(
i
i
i
r
x
r
x
-
-
=
j
,
n
i
,
1
=
Истинные мнения экспертов:
]
;
[ D
d
r
i
Î
,
n
i
,
1
=
. Сообщаемая экспертами оценка:
]
;
[ D
d
s
i
Î
,
n
i
,
1
=
Оптимальность процедуры активной экспертизы π
*
(s) в смысле близости к процедуре
π
0
(s) понимается как min
|
)
(
)
(
|
max
0
*
*
]
,
[
®
-
Î
s
s
D
d
r
p
p
, где s
*
– равновесные сообщения экспертов.
4.15
*
. Постройте последовательность {w
i
} и выпишите вид эк- вивалентного прямого механизма для процедуры активной экспер- тизы, оптимальной в смысле близости (см. задачу 4.14) к [3]:
å
=
a
=
p
n
i
i
i
s
s
1 0
)
(
, где
1 0
£
a
£
i
,
1 1
=
a
å
=
n
i
i
,
]
1
,
0
[
Î
i
s
4.16
*
. Для заданного механизма активной экспертизы с двумя экспертами постройте на плоскости
)
,
(
2 1
r
r
r
=
векторов точек пика функций предпочтения экспертов множества диктаторства [17]:
å
=
=
n
i
i
s
n
x
1 2
1
,
]
1
,
0
[
Î
i
s
,
]
1
,
0
[
Î
i
r
,
2
,
1
=
i
4.17. В оргсистеме с
n
агентами, имеющими функции затрат типа Кобба-Дугласа с параметрами a = 2, r = 1, центр выплачивает

137 вознаграждение агентам пропорционально объемам выполненных работ: s
i
= l y
i
. Общий объем работ R
0
фиксирован.
Постройте механизм распределения объемов работ на основа- нии внутренних цен. Определите цены объемов работ для каждого агента в зависимости от его заявки.
Исследуйте манипулируемость механизма внутренних цен в случаях а) гипотеза слабого влияния не выполнена и б) гипотеза слабого влияния выполнена.
Что изменится, если функции затрат агентов линейны? Вогну- ты?
4.18. Для оргсистемы, состоящей из трех агентов, имеющих функции затрат
i
i
i
i
i
r
y
r
y
c
2
)
,
(
2
=
]
1
,
0
[
=
W
Î
i
r
,
3
,
1
=
i
, и центра, которому необходимо, чтобы агенты выполнили объем работ R = 1:
1) постройте механизм внутренних цен;
2) определите равновесные по Нэшу заявки агентов;
3) оцените эффективность механизма внутренних цен;
Вектор типов агентов: r = {0.3, 0.6, 0.8}, центру известно только множество
W возможных значений типов агентов.
Какова будет эффективность системы, если центру достоверно известны типы агентов?
4.19
*
. Представьте задачу распределения ресурсов как задачу обмена, и постройте модель соответствующей обменной схемы [10].
4.20
*
. Представьте задачу стимулирования как задачу обмена, и постройте модель соответствующей обменной схемы [10].
4.21
*
. Постройте механизм открытого управления p(s) = (x
1
(s), x
2
(s)) для задачи обмена в оргсистеме с одним агентом в условиях неполной информированности центра о типе агента
r
Î [r
min
, r
max
], r
min
> 0. Считайте, что: f
0
(x
1
, x
2
) = x
2
– x
1
– функция полезности центра;
r
x
x
r
x
x
f
2
)
,
,
(
2 2
1 2
1 1
-
=
– функция полезности агента.
Задача центра – максимизация ожидаемой полезности от обмена
Ef
0
(
p(s)) ®
)
(
max
s
p
Центру известно вероятностное распределение типов агента на отрезке [r
min
, r
max
]: min max min
)
(
r
r
r
r
r
F
-
-
=
;

138
Весь ресурс первого типа в неограниченном количестве сосре- доточен у центра, весь ресурс второго типа в неограниченном коли- честве сосредоточен у агента.
4.22
*
. Постройте соответствующий прямой механизм планиро- вания для механизма:
g
1
(s) = s
1
+ 2 s
2
, g
2
(s) = s
1
+ s
2
,
]
1
,
0
[
Î
i
s
,
2
,
1
=
i
,
2 2
1
)
,
(
R
r
r
Î
, и докажите его неманипулируемость, используя метод множества диктаторства [17]. Найдите равновесные по Нэшу сообщения аген- тов в зависимости от вектора
)
,
(
2 1
r
r
их типов.
4.23. Центр предполагает построение механизма планирования объемов работ начальника отдела i = 1 и подчиненных i = 2, 3 со- гласно следующему механизму планирования:
]
1
;
0
[
Î
i
s
,
0
>
i
x
,
)
(
)
(
3 2
1 1
s
s
s
s
g
+
a
+
=
,
i
i
s
s
s
g
+
b
=
1
)
(
, a > 0, b < 1/4. Коэффици- енты a и b характеризуют влияние увеличения заявок на объем работ подчиненных на план работ начальника и наоборот.
Определите, при каких условиях для такого механизма плани- рования возможно построение эквивалентного прямого механизма.
4.24
*
. Механизм планирования в системе с двумя агентами име- ет следующий вид:
)
2 3
cos(
)
(
2 1
1
s
s
s
g
p
+
=
, g
2
(s) = s
1
+s
2
,
]
1
,
0
[
Î
i
s
,
2
,
1
=
i
Покажите, что для данного механизма невозможно построить эквивалентный прямой механизм.
Найти множество возможных сообщений агентов, максимально близкое к начальному, для которого становится возможным по- строение эквивалентного прямого механизма планирования [17].
4.25. Докажите, что механизм последовательного распределения ресурса является эквивалентным прямым механизмом для аноним- ного механизма пропорционального распределения ресурса.
4.26
*
. Исследуйте манипулируемость и эффективность меха- низмов обратных приоритетов [3].
4.27
*
. Приведите определения следующих понятий и содержа- тельные примеры: механизм планирования, манипулирование ин- формацией, неманипулируемый механизм, прямой механизм, функ- ция предпочтения, тип агента, принцип открытого управления, децентрализующие множества, условие совершенного согласования, гипотеза слабого влияния, однопиковая функция, механизм пропор- ционального распределения, диктатор, анонимный механизм, меха-

139 низм последовательного распределения, механизм внутренних цен, внутрифирменная цена, функция Кобба-Дугласа, механизм экспер- тизы, условия Спенса-Мирлиса, условие индивидуальной рацио- нальности, конкурсный механизм, конкурс (непрерывный, дискрет- ный, прямой, простой)
Литература к главе 4
1.
*
Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. –
М.: Наука, 1977.
2.
*
Бурков В.Н., Горгидзе И.И., Новиков Д.А., Юсупов Б.С. Модели и механизмы распределения затрат и доходов в рыночной экономике. –
М.: ИПУ РАН, 1997.
3.
*
Бурков В.Н., Данев Б., Еналеев А.К. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. – М.: Наука, 1989.
4.
*
Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. – М.: Синтег, 2001.
5.
*
Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. – М.: Наука, 1981.
6.
*
Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. – М.: Синтег, 1999.
7. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука,
1990.
8.
*
Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. – М.:
Наука, 1976.
9. Козелецкий Ю. Психологическая теория решений. – М.: Прогресс,
1979.
10.
*
Коргин Н.А. Механизмы обмена в активных системах. – М.:
ИПУ РАН, 2003.
11. Крылов В.Ю. Методологические и теоретические проблемы математической психологии. – М.: Янус-К, 2000.
12. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений.
– М.: Мир, 1990.
13. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели.
– М.: Мир, 1991.
14.
*
Новиков Д.А. Стимулирование в социально-экономических системах (базовые математические модели). – М.: ИПУ РАН, 1998.
15.
*
Новиков Д.А. Теория управления организационными системами.
– М.: Физматлит, 2007.

140 16.
*
Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. –
М.: Синтег, 1999.
17.
*
Петраков С.Н. Механизмы планирования в активных системах: неманипулируемость и множества диктаторства. – М.: ИПУ РАН,
2001.
18. Рыков А.С. Модели и методы системного анализа: принятие решений и оптимизация. – М.: МИСИС, 2005.
19. Mas-Collel A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. –
N.Y.: Oxford Univ. Press, 1995.
20. Salanie B. The Economies of Contracts. MIT Press, 1997.