ВВедение в теорию управления организационными системами. В теорию управления организационными
 Скачать 1.89 Mb.
|
|
в модели надстройки иерархии управления над технологической сетью рассматривается частный случай секционной функции затрат. Рис. 6.13. К определению секционной функции затрат При незначительном техническом ограничении на секционную функцию утверждение 6.1 остается верным и для общей модели. Свойства оптимальных иерархий (i)-(iii) из утверждения 6.1 сущест- венно облегчают поиск оптимальной иерархии: в числе прочего, из них следует, что можно рассматривать только конечные множества допустимых иерархий, и каждый менеджер будет иметь как мини- мум двух непосредственных подчиненных. Несмотря на это, задача поиска оптимальной иерархии для произвольной секционной функ- ции затрат остается весьма сложной. В то же время, даже для такой общей постановки задачи в ряде случаев удается очень много ска- зать о виде оптимальной иерархии. Достаточное условие невыгодности множественного подчине- ния. Определение 6.10. [9]. Секционная функция затрат менеджера называется монотонной по группам, если затраты любого менеджера не убывают как при расширении групп, управляемых непосредст- венными подчиненными, так и при добавлении новых непосредст- венных подчиненных, то есть для любого набора групп s 1 , …, s r выполнены неравенства: ) , , , ( ) , , , ( 2 2 1 r r s s s c s s s c K K £ , где группа s содержит s 1 ( s s Ì 1 ); 228 ) , , , , ( ) , , , ( 2 1 2 1 s s s s c s s s c r r K K £ , где s – произвольная группа. Свойство монотонности по группам иллюстрируется на рисунке 6.14, на котором изображена часть иерархии, подчиненная менедже- ру m, имеющему непосредственных подчиненных m 1 и m 2 Стрелками показаны возможные способы расширения групп, управляемых непосредственными подчиненными менеджера m (иерархии 6.14 а) и 6.14 б) и добавления новой подчиненной группы (иерархия 6.14 в). Иерархия 6.14 а) получена из исходной путем расширения группы, подчиненной менеджеру m 2 , за счет подчинен- ных менеджера m 1 . В иерархии 6.14 б) подчиненная менеджеру m 2 группа расширяется за счет добавления новых исполнителей. Нако- нец, в иерархии 6.14 в) менеджеру m добавляется новый непосредст- венный подчиненный – менеджер m 3 . Добавляемые части иерархии для наглядности обведены штрихованной линией. Функция затрат менеджера будет монотонной по группам, если при любых подоб- ных преобразованиях затраты менеджера m (выделенного на рисун- ке жирной линией) не уменьшаются. Рис. 6.14. К определению монотонности по группам Утверждение 6.3.[9]. Если функция затрат монотонна по груп- пам, то для заданного множества исполнителей N на множестве W(N)всех иерархий существуетоптимальное дерево. 229 Таким образом, если функция затрат менеджера монотонна по группам и на множестве всех иерархий необходимо найти опти- мальную, то можно искать ее только среди деревьев 38 . Это позволяет использовать разработанные в [9] численные алгоритмы поиска оптимальных деревьев 39 По сути, монотонность по группам говорит о неоптимальности так называемого множественного подчинения сотрудников – если функция затрат монотонна по группам, то каждый сотрудник, за исключением топ-менеджера, должен иметь единственного непо- средственного начальника. Условия оптимальности типовых иерархий. Далее рассмат- риваются условия, при которых оптимальными будут иерархии c минимальной и максимальной возможными нормами управляемо- сти. Определение 6.11 [21]. Секционная функция затрат называется сужающей, если для любого менеджера m с непосредственными подчиненными v 1 , …, v r при 3 ³ r можно без увеличения затрат иерархии переподчинить нескольких сотрудников из v 1 , …, v r ново- му менеджеру m 1 и непосредственно подчинить менеджера m 1 ме- неджеру m. Секционная функция затрат называется расширяющей, если при любых подобных переподчинениях затраты иерархии не уменьшаются. Рисунок 6.15 иллюстрирует это определение. На нем слева (ие- рархия а) изображена секция менеджера m, состоящая из него само- го и его непосредственных подчиненных v 1 , v 2 , v 3 , которые могут быть как менеджерами, так и исполнителями. Справа на рисунке (иерархия б) изображена та же часть иерархии после переподчине- ния части непосредственных подчиненных менеджера m (например, сотрудников v 1 и v 2 ) новому менеджеру m 1 (обведенному на рисунке жирной линией). Если для любого менеджера всегда найдется по- добное перестроение, не увеличивающее затраты иерархии, то функция затрат является сужающей. Если же любое такое пере- 38 То же можно сказать и о поиске оптимальной иерархии на любом другом допустимом множестве W, включающем все деревья, а также о множестве r-иерархий, включающем все r-деревья. 39 Для произвольной секционной функции затрат точный алгоритм поиска оптимального дерева имеет довольно высокую вычислительную слож- ность, позволяя решить задачу не более чем для 15-20 исполнителей (име- ется в виду решение задачи персональным компьютером в течение не- скольких минут). Однако поиск оптимальной недревовидной иерархии на порядки сложнее даже этой трудоемкой задачи. 230 строение не приводит к уменьшению затрат иерархии, то функция затрат является расширяющей. Рис. 6.15. К определению сужающих и расширяющих функций затрат Подчеркнем, что определение требует невозрастания или не- убывания затрат всей иерархии. При этом изменение затрат иерар- хии складывается из затрат добавляемого менеджера m 1 и изменения затрат менеджера m (у него уменьшается количество непосредст- венных подчиненных). Поэтому для того, чтобы функция затрат была сужающей, как минимум необходимо, чтобы затраты менед- жера m не увеличивались при замене нескольких его непосредствен- ных подчиненных менеджером m 1 Содержательно определение сужающей функции затрат означа- ет, что при наличии в иерархии менеджера с более чем двумя непо- средственными подчиненными всегда выгодно нанять ему «помощ- ника», сняв с менеджера часть его нагрузки. При расширяющей функции затрат, наоборот, всегда выгодно увольнять промежуточ- ных менеджеров. Эти соображения иллюстрируют идею доказатель- ства (см. [9]) следующего результата. Утверждение 6.4 [9]. При сужающей функции затрат на множе- стве W(N)существует оптимальная 2-иерархия, при расширяющей функции затрат оптимальна веерная иерархия. Таким образом, если функция затрат сужающая, то на множест- ве W(N) (или на произвольном множестве W, включающем все 2- иерархии) оптимальную иерархию можно искать только среди 2- иерархий. Если функция затрат – расширяющая, и веерная иерархия допустима, то эта иерархия и будет оптимальной 40 40 Найти 2-дерево с минимальными затратами позволяют алгоритмы, предложенные в [9]. 231 Если функция затрат одновременно и монотонная по группам, и сужающая, то, пользуясь утверждениями 6.3 и 6.4, несложно пока- зать, что оптимальная иерархия будет 2-деревом. Более того, для монотонной по группам функции затрат определение 6.11 можно ослабить, требуя его выполнения только в случае, когда все сотруд- ники v 1 , …, v r управляют непересекающимися группами исполните- лей. При выполнении такого ослабленного условия функция затрат называется сужающей на непересекающихся группах [21]. Для монотонной функции расширение на непересекающихся группах влечет оптимальность веерной иерархии. Результат утверждения 6.4 использует невозрастание (или не- убывание) затрат иерархии при последовательных операциях пере- подчинения – для сужающей функции каждое переподчинение не увеличивает затрат иерархии, а для расширяющей – не уменьшает их. При этом оптимальными оказываются иерархии, которые не могут быть преобразованы никаким переподчинением. Таким же образом можно вводить и другие преобразования иерархии и поль- зоваться неубыванием или невозрастанием затрат иерархии относи- тельно них. Пусть, например, на множестве допустимых иерархий W(N) ищется оптимальная иерархия при сужающей функции затрат. Со- гласно утверждению 6.4 оптимальную иерархию можно искать среди 2-иерархий. Допустим, в некоторой 2-иерархии H менеджер m имеет непосредственно подчиненных ему менеджеров m 1 и m 2 , причем первый из них управляет некоторым сотрудником v и ис- полнителем w, а второй – некоторым сотрудником v ¢ и исполните- лем w ¢ (см. рисунок 6.16 а). У всех этих сотрудников могут быть и другие начальники, не изображенные на рисунке. Обозначим через s 1 и s 2 группы, управляемые соответственно менеджерами m 1 и m 2 Преобразуем изображенную на рисунке часть иерархии: удалим связи от менеджеров m 1 и m 2 к m, добавим нового менеджера m 3 , которого подчиним менеджеру m и назначим менеджеру m 3 в непо- средственные подчиненные сотрудника v и менеджера m 2 . Кроме того, непосредственно подчиним исполнителя w менеджеру m (см. рисунок 6.16 б). Легко проверить, что при таком преобразовании затраты менеджеров иерархии, не изображенных на рисунке, не меняются, и затраты иерархии изменятся на величину: ) , ( }) { , }) { \ (( ) }, { \ ( 2 1 2 1 2 1 s s c w s w s c s w s c - È + Точно такую же операцию можно проделать и с менеджером m 2 232 Рис. 6.16. К определению сильно сужающей функции затрат Определение 6.12[21]. Сужающая функция затрат называется сильно сужающей, если для любых групп s 1 и s 2 из двух или более исполнителей выполнено по крайней мере одно из двух условий: 1) для любого 1 s w Î }) { , }) { \ (( ) }, { \ ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 w s w s c s w s c s s c È + ³ ; 2) для любого 2 s w Î }) { }), { \ ( ( }) { \ , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 w w s s c w s s c s s c È + ³ Таким образом, для сильно сужающей функции затрат всегда можно, не увеличив затрат иерархии, проделать описанное выше преобразование. Это преобразование не может быть проделано только в том случае, если иерархия является последовательной иерархией, что приводит к следующему утверждению. Утверждение 6.5 [21]. Для сильно сужающей функции затрат на множестве W(N)существует оптимальная последовательная иерар- хия. Следовательно, при сильно сужающей функции затрат опти- мальную на ) (N W иерархию можно искать только среди последова- тельных иерархий, для чего в [9] разработаны как аналитические методы, так и численные алгоритмы. Несложно показать 41 , что как монотонные по группам функции, так и функции, не являющиеся монотонными по группам, могут быть сужающими, могут быть расширяющими, могут не быть ни сужающими, ни расширяющими. Кроме того, в предельных случаях функция может быть и сужающей, и расширяющей одновременно. 41 См. примеры, приведенные в [21]. 233 В общем виде секционная функция затрат менеджера c(s 1 , …, s r ) представляет собой функцию множеств и потому является довольно сложным объектом. Задание такой функции затрат в общем случае сводится к прямому перечислению ее значений для всех возможных наборов групп, что обычно невозможно из-за огромного количества таких наборов. Для иллюстрации свойств секционных функций представим функцию затрат менеджера в компактной форме, поставив в соот- ветствие каждой группе или набору групп одну или несколько чи- словых характеристик и считая функцию затрат менеджера завися- щей уже от этих характеристик. Проще всего это сделать, введя меру на множестве исполните- лей. Каждому исполнителю N w Î ставится в соответствие поло- жительное число ) (w m – его мера. Мерой ) (s m группы исполните- лей s Í N называется суммарная мера исполнителей, входящих в группу, то есть å Î = s w w s ) ( : ) ( m m . Тогда считаем, что функцию затрат менеджера можно записать в виде функции r + 1 переменных: с(s 1 , …, s r ) = c( m 1 , …, m r , m), где m 1 , …, m r – это меры групп, управ- ляемых непосредственными подчиненными менеджера, а m – мера группы, которой управляет он сам. Такую функцию затрат будем называть зависящей от мер 42 . Содержательно мера исполнителя может соответствовать, например, сложности выполняемой им работы. Тогда мера группы соответствует суммарной сложности или объему работ, выполняемых группой, и именно от этой сложности зависят затраты по управлению группой. Пример 6.4. Пусть все исполнители считаются одинаковыми, и каждый из них имеет меру, равную единице. Тогда мера группы равна количеству входящих в нее исполнителей, а функция затрат менеджера зависит от количества подчиненных ему исполнителей и от количества исполнителей, которыми управляют непосредственно подчиненные ему сотрудники. · Задание меры исполнителей, конечно, является далеко не един- ственным, хотя и самым простым способом введения числовых характеристик групп. В частности, выше рассматривались «потоко- вые» функции затрат менеджера, зависящие от материальных, фи- 42 Функция затрат менеджера задается для любого количества его непо- средственных подчиненных r и симметрична по перестановке аргументов m 1 , …, m r (но не последнего аргумента m ). 234 нансовых и информационных потоков между подчиненными груп- пами исполнителей. Приведем несколько примеров функций затрат, зависящих от мер. Пример 6.5. Пусть затраты менеджера пропорциональны мере управляемой им группы, то есть с( m 1 , …, m r , m) = m. В этом случае среди всех возможных иерархий оптимальна веерная иерархия, поскольку любая иерархия по определению включает менеджера, управляющего группой N из всех исполнителей, и только в веерной иерархии этот менеджер будет единственным. Однако оптимальные иерархии будут уже не столь тривиальными, если ограничиться поиском только среди r-иерархий, где r > 1 – некоторое заданное число. · Пример 6.6. Пусть функция затрат зависит от количества r не- посредственных подчиненных менеджера и меры m группы, которой управляет сам менеджер. Частным видом такой функции является мультипликативная функция затрат вида с(r, m) = j(r)c(m), где j(×) и c(×) – некоторые неотрицательные монотонно возрастающие функ- ции. В мультипликативной функции затраты по работе с непосредст- венными подчиненными j(r) умножаются на «коэффициент ответ- ственности» c(m), зависящий от меры управляемой менеджером группы. · Пример 6.7. В [9, 21] были введены и исследованы несколько более сложных зависящих от мер функций затрат менеджера: (I) b a a a a m m m m m m m )] , , max( [ ) , ,..., ( 1 1 1 r r r c K K - + + = , (II) b a a m m m m m ] [ ) , ,..., ( 1 1 r r c + + = K , (III) b a a a m m m m m m ] 1 ) ,..., max( / [ ) , ,..., ( 1 1 - = r r c , (IV) b a a m m m m m ] ) ( [ ) , ,..., ( 1 1 å = - = r i i r c Здесь a и b – некоторые неотрицательные параметры, позво- ляющие «подстроить» эти функции затрат к конкретным условиям. Ниже мы будем ссылаться на эти функции затрат по их номеру, то есть говорить о функции затрат (I), (II) и т.д. Функции (I)-(IV) затрат менеджера определяются «сложно- стью» (объемом работ) сотрудников «секции» (отдела, подразделе- ния и т.п.), которая непосредственно подчинена менеджеру. В раз- личных организациях секция может управляться с использованием различных механизмов взаимодействия между менеджером и непо- 235 средственными подчиненными (внутри секции). Ниже функции (I)- (IV) интерпретируются как затраты менеджера для различных спо- собов взаимодействия внутри секции. В менеджменте на качествен- ном уровне рассматривается множество подобных способов взаимо- действия. Предположим, что среди непосредственных подчиненных ме- неджера имеется «полулидер», который полностью справляется со своими обязанностями, не требуя от непосредственного начальника затрат на управление собой. Этому случаю может соответствовать функция (I). В (I) затраты менеджера определяются сложностями групп, которые управляются всеми непосредственными подчинен- ными, кроме «полулидера». Под полулидером подразумевается подчиненный, который управляет группой с наибольшей сложно- стью. Если среди непосредственных подчиненных менеджера от- сутствует «лидер», то менеджер несет затраты на управление всеми непосредственными подчиненными (функция (II)). Предположим, что среди непосредственных подчиненных ме- неджера (внутри секции) имеется «лидер», который помогает ре- шить проблемы взаимодействия других непосредственных подчи- ненных (например, с помощью своего авторитета или опыта). За счет этого снижаются затраты непосредственного начальника. Это- му случаю может соответствовать функция затрат (III). Чем более сложной группой управляет подчиненный менеджеру лидер, тем выше значение «лидера», тем более снижаются затраты его началь- ника. Функция (IV) может описывать затраты в процессе индивиду- альной работы менеджера с каждым непосредственным подчинен- ным. Затраты определяются разностями между сложностью группы, которой управляет менеджер, и сложностями групп, которыми управляют непосредственные подчиненные 43 43 Например, менеджер m, которому подчинена группа s H (m), в процессе управления непосредственным подчиненным m 1 передает ему информацию о той части группы s H (m), которой m 1 не управляет. Объем этой инфор- мации определяется разностью сложностей m (s H (m)) и m (s H (m 1 )). Сумма объемов информации по всем непосредственным подчиненным и определя- ет затраты менеджера (IV). 236 некоторое дерево a) б) Рис. 6.17. Виды оптимальной иерархии для функции I (a) и функции II (б) Очевидно, что функции (I) и (II) монотонны по группам, функ- ции (III) и (IV) не являются монотонными по группам. Несложно проверить свойства сужения и расширения для этих функций. В результате можно доказать (см. [21]), что функция (I) при 1 £ b – 237 расширяющая, а при 1 ³ b – сужающая. Это значит, что при 1 £ b оптимальна веерная иерархия, а при 1 ³ b оптимальным является некоторое 2-дерево (см. рисунок 6.17 a). Также доказывается, что функция (II) при b £ 1 расширяющая, а при b > 1 и a ≥ 1 – расширяющая на непересекающихся группах, то есть в этих случаях оптимальна веерная иерархия (см. рисунок 6.17 б). В области b > 1 и a < 1 функция (II) не является ни расши- ряющей, ни сужающей даже на непересекающихся наборах групп. То есть для этого случая утверждение 6 не может помочь в поиске оптимальной иерархии. Однако функция (II) монотонна по группам, поэтому оптимальным является дерево (см. утверждение 6.3). В [21] показано, что при b ≥ 1 функции (III) и (IV) сужающие, то есть оптимальной является 2-иерархия, имеющая минимальные затраты (см. утверждение 6) 44 . Для 1 < b дерево с минимальными затратами можно найти с помощью алгоритмов (см. [9]). Однако это дерево может не быть оптимальной иерархией, поскольку функции (III) и (IV) не монотонны по группам. · Расширяющие и сужающие функции затрат приводят к опти- мальности крайних случаев – веерной иерархии и 2-иерархии. Как правило, в реальных организациях имеет место «промежуточная» иерархия, в которой норма управляемости +¥ < < r 2 . Поэтому функция затрат, описывающая такую организацию, не будет ни расширяющей, ни сужающей. Таким образом, важна разработка методов решения задачи об оптимальной иерархии для этого случая. На данный момент такие методы разработаны для важного класса так называемых однородных функций затрат. |