ВВедение в теорию управления организационными системами. В теорию управления организационными
 Скачать 1.89 Mb.
|
|
6.4. Оптимальные древовидные структуры Однородные функции затрат на управление. Определение 6.13 [9]. Функция затрат менеджера c( m 1 , …, m r , m), зависящая от мер, называется однородной, если существует такое неотрицательное число g, что для любого положительного числа A и любого набора мер m 1 , …, m r , m выполняется тождество 44 Для функции (III) и b ≥ 1 в [9] оптимальная 2-иерархия найдена в явном виде. 238 ) , ,..., ( ) , ,..., ( 1 1 m m m m m m g r r c A A A A c = . Число g называется степе- нью однородности функции затрат. Таким образом, при однородной функции затрат пропорцио- нальное увеличение мер групп всех исполнителей в A раз приводит к росту затрат менеджера в A g раз. Определение 6.14. r-мерным симплексом D r называется такое множество r-мерных векторов x = (x 1 , …, x r ) с неотрицательными компонентами, что x 1 + … + x r = 1. Элементы такого симплекса будем называть r-пропорциями или просто пропорциями. Легко видеть, что если менеджер имеет r непосредственных подчиненных, то вектор x := ( m 1 / m, …, m r / m)является r-пропорцией. Будем в этом случае говорить, что менеджер делит подчиненную ему группу исполнителей между своими непосредственными подчи- ненными в пропорции x. Для поиска оптимального дерева в случае функций затрат, зави- сящих от мер, существуют численные алгоритмы (см. [9]). Исследо- вание результатов их работы при различных однородных функциях затрат позволяет выделить ряд общих свойств, которыми обладают оптимальные деревья, формализованных в определении 6.15. Определение 6.15. Дерево называется (r, x)-однородным, если каждый его менеджер имеет ровно r непосредственных подчинен- ных и делит между ними подчиненную ему группу исполнителей в пропорции x = (x 1 , …, x r ). Число r называется нормой управляемости однородного дерева. Пример 6.8. На рисунке 6 .18 изображены три однородных дере- ва. Для каждого сотрудника на рисунке изображена мера управляе- мой им группы. Иерархия а) – это 3-дерево с пропорцией x = (1/3, 1/3, 1/3). Дерево имеет симметричный вид (однородные деревья всегда симметричны, если исполнители имеют одинаковые меры). Иерархия б) – это 2-дерево с пропорцией (1/2, 1/2), а иерар- хия в) – 2-дерево с пропорцией (1/3, 2/3). · В силу дискретности задачи для заданного множества исполни- телей может не существовать ни одного однородного дерева (кроме веерной иерархии, которая всегда является однородной). В то же время, если однородное дерево существует, его затраты легко вы- числяются. 239 Рис. 6.18. Примеры однородных деревьев Утверждение 6.6 [12]. Пусть заданы множество исполнителей N = {1, …, n}с мерами m(1), …, m(n)и однородная степени g функ- ция затрат менеджера c( m 1 , …, m r ). Если существует однородное дерево H с нормой управляемости r и пропорцией x = (x 1 , …, x r ), то его затраты определяются выражением: (6.6.) ï ï î ï ï í ì = - - ¹ - - = å å å å = = = = , 1 если , ln ) ,..., ( ) ) ( ln ) ( ln ( , 1 если , | 1 | ) ,..., ( | ) ( | ) ( 1 1 1 1 1 1 g m m m m g m m g g g r i i i r n j r i i r n j x x x x c j j x x x c j H C где å = = = n i i N 1 ) ( ) ( : m m m – суммарная мера всех исполнителей. Нижняя оценка затрат оптимального дерева. Имея аналити- ческое выражение для затрат однородного дерева, точно так же можно ставить вопрос о том, какое из всего множества однородных деревьев было бы оптимальным, если бы оно существовало. Для того чтобы найти такое наилучшее однородное дерево, необходимо минимизировать выражение (6.6) по всем возможным нормам управляемости r и пропорциям x. Соответственно, пара (r, x), на которой достигается этот минимум, даст параметры наилучшего 240 однородного дерева, а, подставив их в формулу (6.6), получим его затраты. Понятно, что при фиксированном множестве исполнителей N = {1, …, n} с мерами m(1), …, m(n) топ-менеджер любого дерева будет иметь не более n непосредственных подчиненных, поэтому при поиске наилучшего однородного дерева минимизировать доста- точно по всем r от 2 до n. Кроме того, каждый непосредственный подчиненный топ- менеджера будет управлять, по меньшей мере, одним исполнителем, и, значит, мера управляемой им группы будет не меньше минималь- ной из мер исполнителей. Следовательно, каждая из компонент x i , i = 1, …, r пропорции любого однородного дерева будет не меньше чем å Î Î = N i N i i i ) ( / ) ( min : m m e Для произвольного неотрицательного числа e обозначим через D r ( e) ту часть симплекса D r , на которой каждая компонента вектора больше или равна e. Тогда при фиксированной функции затрат минимальные затра- ты однородного дерева определяются количеством n и мерами m(1), …, m(n) исполнителей и задаются следующим выражением: (6.7) ï ï î ï ï í ì = - - ¹ - - = = å å å å = Î = = = Î = = , 1 если , ln ) ,..., ( min min ) ) ( ln ) ( ln ( , 1 если , | 1 | ) ,..., ( min min | ) ( | ) ( 1 1 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 g m m m m g m m e g e g g k i i i k D y n k n j k i i k D y n k n j L y y y y с j j y y y c j N C k k где å Î = N i i) ( m m , m m e / ) ( min i N i Î = 45 Эмпирически установлено, что оптимальная (на множестве всех деревьев) древовидная иерархия «стремится» быть однородным деревом. В связи с этим возникает предположение о том, что, если для заданного множества исполнителей существует наилучшее однородное дерево (с нормой управляемости r(n, e) и пропорцией x(n, e)), то оно и будет оптимальным на множестве всех деревьев. На 45 Поскольку D r ( e ) – компактное множество, минимумы в формуле (6.7) достигаются при достаточно слабых условиях на функцию затрат (дос- таточно потребовать ее полунепрерывности снизу на симплексе), и ниже считается, что они достигаются. 241 самом деле оказывается, что справедлив даже более сильный ре- зультат. Утверждение 6.7 [12]. Пусть заданы множество исполнителей N = {1, …, n}с мерами m(1), …, m(n)и однородная степени g функ- ция затрат менеджера c( ×). Тогда затраты оптимального дерева будут не меньше, чем C L (N). Иначе говоря, функция C L (N)является ниж- ней оценкой затрат оптимального дерева. Если ставится задача поиска оптимального r-дерева, то есть де- рево, каждый из менеджеров которого имеет не более r подчинен- ных, то нижняя оценка его затрат будет определяться затратами наилучшего однородного r-дерева, то есть однородного дерева с нормой управляемости не более чем r. Легко видеть, что затраты наилучшего однородного r-дерева за- даются формулой: (6.8) ï ï î ï ï í ì = - - ¹ - - = = å å å å = Î = = = Î = = 1 если , ln ) ,..., ( min min ) ) ( ln ) ( ln ( , 1 если , | 1 | ) ,..., ( min min | ) ( | ) ( 1 1 ) ( ] , min[ 2 1 1 1 ) ( ] , min[ 2 1 g m m m m g m m e g e g g k i i i k D y r n k n j k i i k D y r n k n j r L y y y y с j j y y y c j N C k k Таким образом, справедливо следующее утверждение: Утверждение 6.8 [12]. В условиях утверждения 6. 6 затраты оп- тимального r-дерева будут не менее C L r (N). Описанная нижняя оценка затрат оптимального дерева имеет широкий спектр применения. Например, оказывается, что при боль- шом количестве исполнителей она обычно достаточно точно ап- проксимирует затраты оптимального дерева. Более подробно каче- ство нижней оценки C L (N) обсуждается в [12]. Модель организационной иерархии, решающей проблемы. Система управления представляет собой иерархию (см. определение 6.1) над множеством исполнителей N = {1, …, n}. Объем работы менеджера определяется количеством принимае- мых менеджером решений, направленных на решение стоящих перед его подчиненными проблем. Если менеджеру в единицу вре- мени приходится принимать P решений, то затраты на его содержа- ние равны P b , где b – константа, описывающая скорость роста за- трат. Логично считать, что маржинальные затраты не убывают с ростом объема работы, то есть b ³ 1. Параметр b описывает эффек- тивность работы менеджеров – более квалифицированные менедже- 242 ры при одинаковом числе проблем несут меньшие затраты, а при одинаковых затратах решают большее число проблем. Менеджер принимает решения на основе отчетов, предостав- ляемых его непосредственными подчиненными. Будем считать, что объем отчета, который готовит подчиненный для своего начальника, равен m a , где m – мера управляемой этим подчиненным группы исполнителей. Кроме того, предположим, что количество прини- маемых начальником решений пропорционально суммарному объе- му получаемых им отчетов. Параметр a, принимающий значения из отрезка [0, 1], интер- претируется как коэффициент сжатия информации о проблемах в отчете. Этот коэффициент определяется типичностью проблем, возникающих у исполнителей – если у многих исполнителей возни- кают одинаковые проблемы, то объем отчета об этих проблемах слабо зависит от количества исполнителей, и значение a существен- но меньше единицы. Итак, если k непосредственных подчиненных менеджера управ- ляют группами мер m 1 , …, m k , то суммарный объем подготовленного ими отчета равен m 1 a + … + m k a , и затраты менеджера с точностью до константы равны: (6.9) c( m 1 , …, m k ) = ( m 1 a + … + m k a ) b Построение оптимальной организационной структуры сводится к поиску иерархии с минимальными суммарными затратами менед- жеров. Помимо собственно получения оптимальной иерархии инте- рес представляет и анализ зависимости ее основных характеристик – нормы управляемости менеджеров и затрат иерархии – от парамет- ров модели (степени единообразия технологического процесса a и квалификации менеджеров b). Результаты этого анализа позволяют выбирать наиболее эффек- тивные организационные мероприятия по снижению управленче- ских расходов и предусматривать меры по адаптации организацион- ной структуры к изменению внешних условий. В рассматриваемом примере выражение (6.9) затрат менеджера совпадает с формулой введенной выше в примере 6.7 функции затрат (II). Эта функция затрат монотонна по группам, следователь- но, оптимальная иерархия имеет вид дерева. Из рисунка 6.17 б) видно, что при a ³ 1 или b £ 1 оптимальна веерная иерархия. Поэто- му интерес представляет поиск оптимального дерева в области параметров a < 1, b > 1. Для решения этой задачи найдем параметры 243 наилучшего однородного дерева – норму управляемости и пропор- цию. Пусть степень однородности функции затрат a b ¹ 1. По фор- муле (6.7), чтобы для фиксированной нормы управляемости k найти наилучшую пропорцию, необходимо найти пропорцию (y 1 , …, y k ), минимизирующую выражение (6.10) | 1 | / ) ( 1 1 å = - + + k i i k y y y ab b a a K . Рис. 6.19. Нормы управляемости наилучшего однородного дерева для функции затрат (II) Эту задачу можно решить численно с помощью описанного в [12] алгоритма. Показано, что в наиболее важной с практической точки зрения области параметров ( a Î [0, 1], b Î [1, 6]) наилучшие однородные деревья симметричны (для b > 6.7 имеются области параметров a и b, где оптимальны асимметричные пропорции). Зная оптимальную пропорцию, по формуле (6.7) легко вычислить наи- лучшую норму управляемости однородного дерева. Результаты ее численного расчета приведены на рисунке 6.19. Видно, что для больших значений параметра b оптимальны 2-деревья. Область их оптимальности отмечена на рисунке числом «2» (область, где опти- мальны асимметричные 2-деревья, выделена пунктиром). С умень- 244 шением b, а также со стремлением a к единице, последовательно становятся оптимальными 3-деревья, 4-деревья и т.д. (эти области подписаны на рисунке числами «3», «4», …). Из рисунка 6.19 видно, что с ростом квалификации (с уменьше- нием параметра b) оптимальная норма управляемости растет, то есть более квалифицированным менеджерам назначается большее коли- чество непосредственных подчиненных. Это вполне объяснимо и с содержательной точки зрения – более квалифицированные менед- жеры выполняют больший объем работы. Более неожиданным является то, что оптимальная норма управ- ляемости увеличивается с ростом степени атипичности проблем (параметра a). Действительно, если считать, что меры всех исполни- телей больше единицы, то легко проверить, что с ростом a объем работы менеджера, определяемый выражением m a r 1 – a , увеличивает- ся, а, следовательно, возрастают его затраты. Увеличение нормы управляемости r еще сильнее увеличивает объем выполняемой менеджером работы. Общее количество менеджеров в однородной иерархии равно (n – 1) / (r – 1), то есть с ростом нормы управляемости количество менеджеров убывает. Оказывается, что уменьшение числа менедже- ров – это самый «дешевый» способ противодействия росту степени атипичности проблем, поскольку при усложнении иерархии в реше- нии большого количества проблем участвуют все больше и больше менеджеров, что увеличивает суммарные затраты. Оценим влияние параметров a и b на затраты оптимальной ие- рархии. Затраты топ-менеджера иерархии, определяются формулой: ) 1 ( ) , ( ) ( )) , ( / 1 ..., ), , ( / 1 ( ) ( a - b ab ab b a m = b a b a m r N r r c N Легко проверить, что, с ростом a (степени атипичности про- блем) как затраты оптимальной иерархии, так и затраты топ- менеджера возрастают. Затраты оптимальной иерархии монотонно убывают с ростом уровня квалификации менеджеров (с уменьшени- ем параметра b). Однако зависимость затрат топ-менеджера от параметра b уже не столь очевидна. Из рисунка 6.20 видно, что с ростом квалифика- ции (с уменьшением b) затраты топ-менеджера сначала уменьшают- ся (ведь его квалификация также растет), а затем начинают возрас- тать. Дело в том, что, как было отмечено выше, с ростом квалификации менеджеров растет и оптимальная норма управляемо- 245 сти, уменьшается количество менеджеров в иерархии, и, следова- тельно, растут затраты отдельного менеджера. Рис. 6.20. Пример зависимости затрат топ-менеджера от параметра b при a = 0.2 Следовательно, если высшее руководство организации вклады- вает средства в повышение квалификации менеджеров иерархии, например в их обучение, то эти действия приводят к уменьшению управленческих расходов иерархии, однако затраты самого высшего руководства при этом могут и возрасти, если, конечно, иерархия параллельно изменяется с тем, чтобы наилучшим образом использо- вать новые условия. |