ВВедение в теорию управления организационными системами. В теорию управления организационными
 Скачать 1.89 Mb.
|
|
(веерной) иерархией называ- ется иерархия с единственным менеджером, который непосредст- венно управляет всеми исполнителями. Определение 6.5 [9]. Последовательной иерархией называется 2-иерархия, в которой каждый менеджер непосредственно управля- ет, как минимум, одним исполнителем. Основным для организационных структур понятием является понятие сферы ответственности менеджера (его обязанностей). Для формализации «роли» менеджера в организации введем понятие группы, управляемой менеджером. Группой исполнителей N s Í называется любое непустое под- множество множества исполнителей. По определению 6.1 в любой иерархии H каждый менеджер имеет, по крайней мере, одного непосредственного подчиненного. Начав с любого менеджера m, мы можем двигаться по иерархии «сверху вниз» к подчиненным менеджера m. В итоге можно опреде- лить множество исполнителей, подчиненных менеджеру m. Будем называть это множество подчиненной группой исполнителей и обо- значать N m s H Í ) ( . Будем также говорить, что менеджер m управ- ляет группой исполнителей s H (m). Ниже в обозначении группы s H (m) будем опускать нижний индекс, если ясно, о какой иерархии идет речь. 202 Также будем считать, что исполнитель w Î N «управляет» про- стейшей группой s H (w) = {w}, состоящей из него самого. На рис. 6.3. плоскость соответствует технологической сети, над которой надстраивается иерархия. Над плоскостью изображена часть иерархии, подчиненная менеджеру m. Она состоит из непо- средственных подчиненных менеджера m и подчиненных, которыми менеджер m не управляет непосредственно. Подчиненная группа исполнителей s H (m) обведена на рисунке эллипсом. менеджер m подчиненная группа исполни- телей s H (m) подчиненный непосредственный подчиненный подчиненный непосредственный подчиненный Рис. 6.3. Менеджер и подчиненная ему группа исполнителей Сформулируем простую лемму [21], необходимую для даль- нейшего изложения. Лемма 6.1. Для любой иерархии H и любого менеджера M m Î выполнено ) ( ) ( ) ( 1 k H H H v s v s m s È È = K , где v 1 , …, v k – все непо- средственные подчиненные менеджера m. Для любого подчиненного v менеджера m выполнено ) ( ) ( m s v s H H Í Проиллюстрируем результат леммы на примере. На рисунке 6.4 a) менеджеру m непосредственно подчинены менеджеры m 1 и m 2 Менеджеру m подчинена группа s(m)={w 1 , w 2 , w 3 , w 4 }. Менеджерам m 1 и m 2 подчинены группы s(m 1 )={w 1 , w 2 } и s(m 2 )={w 3 , w 4 } соответ- ственно. Таким образом, группа s(m) разбивается на две подгруппы s(m 1 ) и s(m 2 ): {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 }={w 1 , w 2 } È{w 3 , w 4 }. В данном примере подгруппы не пересекаются. В общем случае, как показано на ри- сунке 6.4 б), пересечения могут иметь место. 203 1 w 2 w 3 w 4 w 1 w 2 w 3 w 4 w a) б) m 1 m 2 m Рис. 6.4. Примеры иерархий над производственной линией Сформулируем полезную лемму [21] – критерий древовидности иерархии. Лемма 6.2. Пусть в иерархии H только один менеджер не имеет начальников. Иерархия H будет деревом тогда и только тогда, когда непосредственные подчиненные любого менеджера управляют непересекающимися группами исполнителей. Таким образом, при наличии единственного менеджера без на- чальников в дереве и только в нем непосредственные подчиненные любого менеджера не «дублируют» обязанности друг друга, то есть не управляют одним и тем же исполнителем. В рассматриваемой модели объем выполняемой менеджером работы определяется потоками технологической сети между испол- нителями управляемой им группы и потоками между управляемой группой исполнителей и остальной организацией. Считается, что любой менеджер выполняет обязанности двух типов: 1) Управляет теми потоками внутри подчиненной группы, ко- торые не управляются подчиненными менеджерами. Например, на рисунке 6.4 а) менеджер m управляет потоком f(w 2 , w 3 ). 2) Участвует в управлении потоками между подчиненной груп- пой и всеми остальными исполнителями, внешней средой. Эта компонента потока указана в приведенных выше выражениях в скобках. Например, на рисунке 6.4 а) менеджер m 1 участвует в управлении потоками f(w env , w 1 ) и f(w 2 , w 3 ). Введем формальное определение обязанностей менеджера. Определение 6.6. В иерархии ) (N H W Î менеджер m выполня- ет обязанности двух типов: 1) Управляет потоками ) '' ,' ( w w f между подчиненными ис- полнителями ) ( '' ,' m s w w H Î , которые не управляются ни одним из 204 подчиненных менеджера m. Сумму таких потоков назовем внутрен- ним потоком менеджера m и обозначим ) ( int m F H 2) Участвует в управлении потоками ) '' ,' ( w w f между подчи- ненным исполнителем ) ( ' m s w H Î и неподчиненным исполнителем ) ( \ '' m s N w H Î или внешней средой env w w = '' .Сумму таких пото- ков назовем внешним потоком менеджера m и обозначим ) (m F ext H Таким образом, менеджер управляет внутренним потоком и участвует в управлении внешним. Потоком менеджера назовем сумму его внутренних и внешних потоков. Из определения 6.6 следует, что внешний поток менеджера m равен: (6.2) å È Î Î = } { )) ( \ ( '' ), ( ' ) '' ,' ( ) ( env H H w m s N w m s w ext H w w f m F Величина внутреннего потока определяется следующей леммой. Лемма 6.3. [21]. Пусть v 1 , …, v k – все непосредственные подчи- ненные менеджера m в иерархии H. Тогда внутренний поток менед- жера m равен: (6.3) å £ £ Ë ¢¢ Í ¢¢ = k j v s w w m s w w H j H H w w f m F 1 всех для ) ( } ,' { ), ( } ,' { int ) '' ,' ( ) ( . Таким образом, при суммировании потоков ) '' ,' ( w w f внутри группы s H (m) достаточно проверить, чтобы поток не входил в груп- пы, управляемые непосредственными подчиненными. В этом и только в этом случае поток не будет управляться ни одним подчи- ненным менеджера, то есть будет входить в его внутренний поток. Получим, что при заданных N и f внутренний и внешний поток менеджера m зависит только от ) ( , ), ( 1 k H H v s v s K , то есть от групп исполнителей, которыми управляют непосредственные подчинен- ные менеджера m. По определению 6.1 в любой иерархии H найдется менеджер m, управляющий всеми исполнителями (топ-менеджер). Поэтому каж- дый поток внутри технологической сети управляется либо топ- менеджером, либо его подчиненными. Таким образом, любая иерархия обеспечивает управление всеми потоками. Однако в различных иерархиях различается количество менед- жеров и «нагрузка» каждого из менеджеров. Поэтому из всего мно- 205 жества иерархий ) (N W необходимо выбрать иерархию, наилучшую с точки зрения некоторого критерия. В качестве такого критерия рассмотрим управленческие расходы – суммарные затраты на со- держание всех менеджеров иерархии. В базовой модели будем считать, что затраты на содержание менеджера зависят только от суммы потоков, которыми он управляет, и в управлении которыми он участвует. Сформулируем строгое определение. Определение 6.7. Затратами менеджера M m Î в иерархии ) (N H W Î назовем величину: (6.4) )) ( ) ( ( )) ( , ), ( ( int 1 m F m F v s v s c ext H H k H H + = j K , где v 1 , …, v k – все непосредственные подчиненные менеджера m, s H (v 1 ), …, s H (v k ) – управляемые ими группы, + + ® R R p : j – моно- тонно неубывающая по всем переменным функция, ставящая в соответствие вектору ) ( ) ( int m F m F ext H H + затраты менеджера. Суммарные затраты всей иерархии складываются из затрат ме- неджеров. Оптимальной будет та иерархия, которая минимизирует суммарные затраты. Дадим строгое определение. Определение 6.8. Затратами иерархии ) ( ) , ( N E M N H W Î È = на- зовем сумму затрат всех ее менеджеров 29 : (6.5) å å Î Î + = = M m ext H H M m k H H m F m F v s v s c H c )) ( ) ( ( )) ( , ), ( ( ) ( int 1 j K , где v 1 , …, v k – все непосредственные подчиненные менеджера m. Оптимальной иерархией назовем иерархию H * ,затраты кото- рой минимальны: ) ( min Arg * H c H H W Î Î Считаем, что после нахождения оптимальной иерархии можно принять на работу менеджеров, которые будут выполнять свои обязанности, если им компенсировать их затраты (например, выпла- чивать зарплату) 30 . Разумеется, для этого необходима полная ин- формация о функции затрат. Ниже функция c( ×) затрат менеджера предполагается известной. Эта функция может определяться непо- средственно по данным о затратах менеджеров. Кроме того, можно рассматривать некоторые «типичные» функции затрат (например, 29 В выражении (6.5) и ниже одной и той же буквой ) ( × c обозначается и функция затрат иерархии, и функция затрат менеджера. 30 Затраты могут включать не только зарплату менеджера, но и затра- ты на организацию его работы – рабочее место, обслуживающий персо- нал и т.д. 206 ниже исследуется степенная функция). При этом подбираются пара- метры, при которых значения функции в наибольшей степени соот- ветствуют реальным затратам менеджеров 31 Очевидно, что даже в простейших случаях множество всевоз- можных иерархий настолько обширно, что отыскание оптимальной иерархии методом перебора всех вариантов требует огромных вы- числительных ресурсов. Ниже будут изложены методы, которые при определенных ограничениях позволяют найти оптимальную иерар- хию, либо сузить множество иерархий, в котором содержится опти- мальная. Утверждение 6.1. [21]. Для любой иерархии ) ( 1 N H W Î най- дется иерархия ) ( 2 N H W Î , имеющая не бóльшие затраты ( ) ( ) ( 1 2 H c H c £ ), и удовлетворяющая следующим свойствам: (i) все сотрудники управляют различными группами исполнителей; (ii) только один менеджер не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все остальные менеджеры и все исполнители; (iii) среди сотрудников, непосредственно подчиненных одному менеджеру, ни один не управляет другим. Если H 1 – r-иерархия, дерево или r-дерево, то и H 2 будет соот- ветственно r-иерархией,деревом или r-деревом. Доказательство утверждения 6.1 основано на последовательном перестроении H 1 без увеличения затрат. В итоге перестроений полу- чаем иерархию H 2 , которая удовлетворяет условиям (i)-(iii). Для r- иерархии, дерева и r-дерева перестроения не изменяют вида иерар- хии 32 Условие (i) означает отсутствие полного дублирования, при ко- тором два менеджера управляют одной и той же группой исполни- телей. На рисунке 6.6 а) приведен пример подобного дублирования. Два менеджера управляют одной и той же группой {w 1 , w 2 , w 3 }. При этом один них может быть удален, а всем его непосредственным начальникам можно подчинить другого менеджера без увеличения затрат. В частности, из условия (i) следует, что у любого менеджера имеется не менее двух непосредственных подчиненных (иначе в 31 Затраты могут измеряться, например, в денежном эквиваленте при- ложенных усилий, исходя из средней заработной платы менеджеров на соответствующих позициях. 32 Отметим, что утверждение 6.1 остается верным не только для рас- сматриваемой частной модели, но и в более общих случаях (см. раздел 6.3). 207 силу леммы 6.1 он управлял бы той же группой, что и его единст- венный непосредственный подчиненный). В соответствии с условием (ii) найдется только один менеджер m, который не имеет начальников. Этому менеджеру подчинены все исполнители ( N m s H = ) ( 2 ) и все остальные менеджеры иерархии. Будем называть m высшим менеджером или топ-менеджером. 1 w 2 w 3 w 4 w a) б) 1 w 2 w 3 w 4 w в) 1 w 2 w 3 w 4 w m 1 m 2 m Рис. 6.6. Иерархии a)-в) нарушают свойства (i)-(iii) утверждения 6.1 соответственно Условие (ii) соответствует практике построения организаций, при которой только один высший менеджер может принимать реше- ния, обязательные для всех сотрудников (например, может разре- шить конфликт между любыми сотрудниками). На рисунке 6.6 б) приведен пример, в котором два менеджера не имеют начальников, то есть нарушается условие (ii). Очевидно, что «лишний» менеджер может быть удален без увеличения затрат иерархии. Условие (iii) можно интерпретировать следующим образом. Пусть менеджер m 1 непосредственно подчинен менеджеру m. Тогда m непосредственно не управляет подчиненными менеджера m 1 . Это соответствует «нормальному» функционированию организации, при котором менеджер управляет всеми подчиненными сотрудниками через непосредственных подчиненных, а не напрямую. На рисунке 6.6 в) приведен пример, в котором высший менеджер m непосредст- венно управляет исполнителями w 2 и w 3 , несмотря на то, что ими уже управляют непосредственные подчиненные m 1 и m 2 менеджера m. Ребра (w 2 , m) и (w 3 , m) могут быть удалены без увеличения затрат иерархии. Из утверждения 6.1 следует, что найдется оптимальная иерар- хия, удовлетворяющая условиям (i)-(iii) 33 . Этот факт позволяет в 33 Если в качестве H 1 рассмотреть оптимальную иерархию, то по утвер- ждению 6.1 иерархия H 2 удовлетворяет условиям (i)-(iii) и имеет не бóльшие затраты. Следовательно, H 2 – оптимальная иерархия. 208 ряде случаев значительно упростить задачу поиска оптимальной иерархии, поскольку можно не рассматривать иерархии, нарушаю- щие хотя бы одно из условий (i)-(iii). Кроме того, утверждение 6.1 позволяет доказать следующий факт. Если существует оптимальная r-иерархия, дерево или r-дерево, то существует оптимальная иерархия соответствующего вида, удовлетворяющая условиям (i)-(iii). Рассмотрим условие, при котором оптимальна простейшая двухуровневая иерархия . Утверждение 6.2.[21]. Пусть функция затрат ) ( × j субаддитив- на, то есть для всех p R y x + Î , выполнено неравенство ) ( ) ( ) ( y x y x j j j + £ + . Тогда оптимальна двухуровневая иерархия. Условие субаддитивности означает, что затраты ) ( y x + j одно- го менеджера на управление суммарным потоком x + y не больше, чем затраты двух менеджеров на управление частями этого потока x и y. В этом случае оптимальна простейшая двухуровневая иерархия, в которой все потоки управляются одним менеджером. Из утверждения 6.2 следует, что вогнутость функции затрат влечет оптимальность двухуровневой иерархии, если все потоки технологической сети однотипны (то есть вектор потока содержит одну компоненту). В небольших организациях весьма распространены двухуровне- вые иерархии (так называемые «простые структуры» [18]). При росте организации единственный менеджер чрезмерно загружен, что вынуждает его принимать на работу «помощников» – переходить к многоуровневой иерархии. Одним из интересных вопросов является оптимальность древо- видной иерархии, которая встречается в реальных организациях наиболее часто. Пример 6.1 ниже показывает, что иногда оптималь- ная иерархия не является деревом. Пример 6.1 (снижение затрат при множественном подчинении для несимметричной линии). Пусть в несимметричной производст- венной линии имеется четыре исполнителя и потоки f(w env ,w 1 ) = 3, f(w 1 , w 2 ) = 1, f(w 2 , w 3 ) = 5, f(w 3 , w 4 ) = 1, f(w 4 , w env ) = 3. Рассмотрим следующую функцию затрат менеджера: 3 ) ( x x = j (x – величина потока менеджера) – см. выражение (6.4). Оптимальная иерархия для этого примера изображена на рисунке 6.7. Обозначим ее через 209 H. У менеджера m 1 два непосредственных начальника, то есть в оптимальной иерархии имеет место множественное подчинение. 1 w 2 w 3 w 4 w 3 1 5 1 3 m 1 m 3 m 4 m 2 Рис. 6.7. Пример оптимальной иерархии, управляющей несимметричной производственной линией Определим потоки каждого менеджера: m 1 : c({w 2 }, {w 3 })= 343 )] 1 1 ( 5 [ ))] ( ( ) ( [ 3 1 1 int = + + = + m F m F ext H H j ; m 2 : c({w 1 }, {w 2 , w 3 }) = ; 125 )] 1 3 ( 1 [ ))] ( ( ) ( [ 3 2 2 int = + + = + m F m F ext H H j m 3 : c({w 4 }, {w 2 , w 3 }) = ; 125 )] 3 1 ( 1 [ ))] ( ( ) ( [ 3 3 3 int = + + = + m F m F ext H H j m 4 : ({w 1 , w 2 , w 3 }, {w 2 , w 3 , w 4 }) = 216 )] 3 3 ( 0 [ ))] ( ( ) ( [ 3 4 4 int = + + = + m F m F ext H H j Таким образом, затраты всей иерархии составят: с(H) = c({w 2 }, {w 3 }) + c({w 1 }, {w 2 , w 3 }) + c({w 4 }, {w 2 , w 3 }) + +c({w 1 , w 2 , w 3 }, {w 2 , w 3 , w 4 }) = 343 + 125 + 125 + 216 = 809. Убедимся, что найденные затраты являются минимально воз- можными. Пусть H * – оптимальная иерархия, удовлетворяющая условиям (i)-(iii) утверждения 6.1. В H * должен быть хотя бы один менеджер m нижнего уровня, которому не подчинены другие ме- неджеры. Если m управляет тремя или более исполнителями, то величина потока m не менее 10. Таким образом, затраты m не менее 1000, что больше, чем c(H) = 809. Следовательно, m управляет ровно двумя исполнителями. Если m управляет двумя исполнителями, идущими в производ- ственной линии не подряд (например, w 1 и w 3 ), то 0 ) ( int * = m F H , то есть m не управляет ни одним внутренним потоком, а лишь участву- ет в управлении внешними. Тогда можно удалить менеджера m, подчинив исполнителей из ) ( * m s H непосредственным начальникам m, причем их затраты не изменятся, что противоречит оптимально- сти H * . Таким образом, менеджеру m могут быть подчинены только два исполнителя, идущие в линии подряд. 210 Если менеджеру m подчинены исполнители w 1 и w 2 (или w 3 и w 4 ), то его затраты составляют 9 3 = 729. Кроме того, высший менед- жер по крайней мере участвует в управлении внешними потоками, следовательно его затраты не менее 6 3 = 216. То есть в этом случае с(H * ) > 729 + 216 = 945, что противоречит оптимальности H * . Таким образом, в H * имеется ровно один менеджер m нижнего уровня. Менеджер m управляет исполнителями w 2 и w 3 , то есть наибольшим потоком f(w 2 , w 3 ) = 5. 1 w 2 w 3 w 4 w 1 w 2 w 3 w 4 w 1 w 2 w 3 w 4 w H 1 H 2 H 3 Рис. 6.8. Неоптимальные иерархии над несимметричной производственной линией Рассматриваемый пример иллюстрирует общее правило: |