лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
Условие прочности в этом случае имеет следующий вид: III III изг M W = (8.10) Аналогично найдем эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности по критерию Губера - Мизеса : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 0, 75 кр кр изг изг IV IV изг изг изг изг M M M M М W W W W W = + = + = + = , где 2 2 0,75 IV изг кр М M M = + - эквивалентный момент по четвертой гипотезе проч- ности. Условие прочности в этом случае имеет следующий вид: IV IV изг M W = (8.11) Пример 8.3. Рассмотрим, как производится такой расчет на примере ва- ла редуктора с диаметром D (рис.8.13). Сначала построим эпюры внутренних усилий - изгибающих М х , М у и крутящих М z моментов. При условии, что 1 4 P P P = = , 2 3 2 P P P = = и 2 M Pa = , составим уравнение моментов относительно опор А и В для нахождения про- екций реакций на оси х и у: ( ) 0 A ky m F = ; 2 3 2 0 B P a P a Y a − + = 0 B Y = ( ) 0 B ky m F = ; 3 2 3 2 0 A P a P a Y a + − = 4 A Y P = ( ) 0 A kx m F = ; 1 4 2 0 B Pa P a X a − + − = 0 B X = ( ) 0 B kx m F = ; 1 4 3 2 0 A P a P a X a − − + = 2 A X P = 115 Применяя метод сечений, строим эпюры моментов (Рис.8.13). Из по- строения видно, что наибольший суммарный момент ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 изг x y M M M Pa Pa Pa = + = + = Крутящий момент в сечении вала на первых двух участках кр М М = Рис.8.13. К расчету вала на совместное действие изгиба и кручения Таким образом, сечение проходящее через опору А наиболее опасное и, поэтому, расчёт вала будем производить по этому сечению. Наибольшие по модулю напряжения от изгиба возникают в точках А и В, наиболее уда- ленных от нейтральной оси (рис.8.12). 116 Эквивалентные моменты: 2 2 2 2 2 2 5 4 3 III изг кр М M M P a P a Pa = + = + = и 2 2 2 2 2 2 0, 75 5 0, 75 4 2 2 IV изг кр М M M P a P a Pa = + = + = Следовательно, в этом случае эквивалентное напряжение для точки А по третьей гипотезе больше эквивалентного напряжения по четвертой гипо- тезе. 3 3 3 32 30, 6 III III изг M Pa Pa W D D = = = , 3 3 2 2 32 28,5 IV IV изг M Pa Pa W D D = = = 8.4. Общий случай сложного сопротивления Рассмотрим общий случай сложного сопротивления, когда в попе- речном сечении возникают все шесть силовых факторов. Используя прин- цип суперпозиции (принцип независимости действия сил), найдём нормаль- ные и касательные напряжения, которые возникают в поперечном сечении. Максимальные нормальные напряжения определяются для опасной точки по формуле: y x z x y M M N y x A J J = , где знак выбирается в зависимости от вида напряжений - сжатия или рас- тяжения по четвертям сечения. Максимальные касательные напряжения в сечение определяются для точек, в которых суммируются касательные напряжения от кручения с каса- тельными напряжениями от поперечных сил Q x и Q y . На рис.8.13 это точки А и В. 117 Рис.8.13. Суммирование касательных напряжений в сечении Для выявления опасной точки в сечении при сложном нагружении необходимо сравнить максимальные по модулю напряжения от косого изгиба с растяжением (сжатием) с эквивалентными напряжениями в точках с максимальными касательными напряжениями. 9 . Устойчивость длинных сжатых стержней 9.1. Основные понятия об устойчивости Разрушение стержня может произойти не только из-за нарушения условия прочности, но и вследствие потери устойчивости (стержень не со- храняет первоначальную форму). Вследствие изменения формы происходит перераспределение внутренних усилий по стержню и изменяется характер напряженного состояния. Например, рассмотрим сжатый стержень. Из условия прочности стер- жень работает на осевое сжатие до разрушения. Однако, если мы будем сжи- мать достаточно длинный стержень, то разрушение может произойти до до- стижения напряжения допускаемой величины для материала вследствие воз- никновения в нём дополнительных напряжений от изгиба. Поэтому в ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на проч- ность, необходима и проверка на устойчивость. 118 Рис.9.1. Потеря стержнем прямолинейной формы Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными разме- рами стержень, с заделанным нижним концом (рис.9.1) и нагрузим его свер- ху центрально силой Р, постепенно возрастающей. Пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках от- клонить его в сторону, например путем приложения кратковременно дей- ствующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращать- ся к первоначальной прямолинейной форме. При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному по- ложению при проверках его устойчивости. Силу Р можно довести до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторо- ну, уже не выпрямится, а останется искривленным. Явление перехода из од- ного равновесного состояния к другому называется потерей устойчивости. Значение сжимающей силы, при которой происходит потеря устойчи- вости, называется критическим, а сила критической Р кр Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критиче- ской величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устой- чивой. С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой, при этом стержень может искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов и процесс ис- кривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением. Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. 119 Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое σ кр . Критическое напряжение определяемое, как отношение критической силы Р кр к площади поперечного сечения А являются опасными для сжатого стержня: кр кр P A = (9.1) Чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня необходимо, чтобы помимо условия прочности выполнялось усло- вие устойчивости: кр кр y P A = , где y - допускаемое напряжение на устойчивость. Допускаемое напряжение на устойчивость определяется как отношение критического напряжения σ кр к коэффициенту запаса на устойчивость k y : кр y y k = 9.2. Формула Эйлера для определения критической силы Для нахождения критических напряжений необходимо определить критическую силу Р кр - наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень. Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения длиною l, шарнир- но опертый по концам (рис.9.2). Нагрузим стержень продольной сжимающей силой кр Р . Ось стержня прогнётся в плоскости минимальной жесткости и станет кривой линией. Рис.9.2. Изогнутая ось стержня при продольном сжатии 120 Для решения задачи можно воспользоваться приближенным диффе- ренциальным уравнением упругой линии или изогнутой оси стержня (6.13) , так как считаем, что деформации малы. На расстоянии z от начала координат проведем сечение. Изгибающий момент в сечении будет равен z кр M P у = − Тогда дифференциальное уравнение (6.13) примет вид: кр E J y P y = − или 0 кр E J y P y + = Пусть 2 кр P k E J = (9.2) Тогда последнее выражение можно преобразовать к виду 2 0 y k y + = . (9.3) Решением этого уравнения является выражение sin cos y a kz b kz = + Найдем коэффициенты a , b из краевых (граничных) условий: при 0 z = прогиб (0) 0 y = и при z l = погиб ( ) 0 y l = . Из первого условия получаем, что 0 b = , так как sin 0 0 = и cos 0 1 = . Из второго условия получим, что sin 0 a kl = , а значит kl n = или n k l = , где n – целое число. Подставив в (9.2) значение k, получаем 2 2 2 кр P n l EJ = или окончательно 2 2 2 кр n EJ P l = (9.4) Сила, способная удержать слегка искривленный стержень в равнове- сии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но для практики инте- ресно минимальное значение осевой сжимающей силы, при которой стано- вится возможным продольный изгиб. Этому условию соответствует значение силы при n =1. Тогда получим выражение вида: 121 2 2 кр EJ P l = , (9.5) где J - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. Выражение (9.5) - формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно- опертыми концами. Значению критической силы (9.5) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной. Тогда критическое напряжение кр будет равно: 2 2 кр кр P EJ A l A = = Учитывая, что момент инерции можно выразить через радиус инерции сечения и что величина l i = называется гибкостью сжатого стержня, полу- чаем 2 2 кр E = (9.6) 9.3. Влияние способа закрепления стержня Будем считать, что закрепление сжатого стержня с шарнирно- опертыми концами является основным случаем закрепления. На практике можно столкнуться с другими способами закрепления. Другие виды закреп- ления приведем к основному случаю. Рассмотрим сжатие стержня жестко заделанного одним концом и сво- бодным другим (рис.9.3). Сравнив рисунки 9.2 и 9.3, приходим к заключе- нию, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится совершенно в тех же условиях, что и правая или левая часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами. Значит, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным, а другим свободным концами будет такая же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине 2l: 2 2 (2 ) кр EJ P l = 122 Рис.9.3. Изогнутая ось стержня с жестко закрепленным одним концом Для других способов закрепления значение скобки знаменателя будет изменяться. Можно привести все случаи закрепления к универсальному виду, введя коэффициент длины μ. Тогда выражение для определения критической силы примет вид: 2 2 ( ) кр EJ P l = (9.7) Величину l называют приведенной длиной. При помощи коэффици- ента длины μ любой случай закрепления стержня можно свести к основному. При вычислении гибкости в этом случае вместо действительной длины стержня необходимо применять приведенную длину: l i = Приведем некоторые значения коэффициента μ: = 1 - при шарнир- ных концах (основной случай); = 2 - при одном свободном и другом жест- ко закреплённым концах; = 1 2 - при обоих жестко закреплённых концах (см. Приложение № 2). 123 9.4. Пределы применимости формулы Эйлера При выводе формулы для критических напряжений (9.6) предполага- лось, что материал подчиняется закону Гука, то есть напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности. Значит, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия: 2 2 кр пр E = Из этого условия вытекает, что гибкость стержня должна удовлетво- рять условию: 2 пр E Определим для стали 3 с пределом пропорциональности 200 пр МПа = наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться фор- мулой Эйлера: 2 2 5 2 10 100 200 пр E = = Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для тонких и длинных стержней, обладающих большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни и с малой гибкостью. По настоящее время важнейшим источником для установ- ления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Рассмотрим стержни с малой гибкостью от 0 40 . Их длина срав- нительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Для та- ких стержней критические напряжения будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося некоторого искривления оси стержня), предела теку- чести Т для пластичных материалов и предела прочности в для хрупких. На практике чаще всего приходится иметь дело со стержнями с гибко- стью 40 100 . Эти стержни теряют свою прямолинейную форму и раз- рушаются при явлениях значительного бокового отклонения. Критические напряжения получаются выше предела пропорциональности для пластичных и предела прочности для хрупких материалов. Для стержней средней и ма- 124 лой гибкости проф. Ф. Ясинским был предложена следующая эмпирическая формула: кр a b = − , (9.8) где а и b — коэффициенты, зависящие от материала. Для стали 3 при гибкостях 40 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа; b = 1,47МПа. Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для прак- тических целей точностью. 9.5. Проверка сжатых стержней на устойчивость Для сжатых стержней должны быть произведены две проверки: на прочность и на устойчивость. Условие устойчивости имеет вид: y P A = , (9.9) где кр y y k = , а y k - коэффициент запаса на устойчивость (для стали коэффи- циент находится в пределах от 1,8 до 3,0). Разделим допускаемое напряжение на устойчивость y на допускае- мое напряжение на прочность (1.8): y кр y n k = или кр y y n k = Пусть φ - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряже- ния для сжатых стержней и равен: кр y n k = Тогда получаем: y = (9.10) Величина φ является функцией от гибкости. Данные для различных ма- териалов и гибкостей приводятся в соответствующих таблицах (см. Прило- жение № 3). Рассмотрим, каким образом производится подбор сечения сжатого стержня. Так как величина площади сечения зависит от y , а напряжение в свою очередь через коэффициент φ связано с гибкостью стержня, то есть с 125 формой и размерами сечения, то подбор приходится осуществлять путем по- следовательных приближений. Сначала выбираем форму сечения и задаемся его размерами, вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость. Затем находим по таблице коэффициент φ и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость y и сравниваем действительное напряжение σ с величиной y = . Если условие устойчивости P A = не выполняется, меняем размеры сечения и повторяем расчет. Окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности. В практиче- ских расчетах условие устойчивости иногда имеет такой вид: P A = (9.11) |