лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
наклепом. Если в неко- торый момент нагружения (точка К на рис.3.7) прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка образца пойдет по линии КL, параллельной ли- нейному участку диаграммы OA. Дальнейшая нагрузка образца на диаграмме LK будет почти совпадать с линией КL. Рис.3.7. Явление наклепа При этом полная деформация в точке К будет равна: уп ост K К К = + , 41 где уп К - упругая деформация; ост К - остаточная (пластическая) деформация. Это уравнение справедливо для любой точки диаграммы. Точка Е соответствует максимальной нагрузке на диаграмме. В непо- средственной близости от этой точки в образце образуется местное сужение – шейка. В области шейки будет происходить локальная пластическая де- формация образца и разрушение. Дальнейшая деформация образца происходит без увеличения или даже с уменьшением нагрузки вплоть до разрушения (точка F). Если провести испытание образца из того же материала, но с другой площадью поперечного сечения, то диаграмма изменится. Чтобы исключить влияние размеров поперечного сечения на вид диаграммы и получить меха- нические характеристики материала образца, диаграмму ( ) P f l = преобра- зовывают к диаграмме ( ) f = , то есть устанавливают зависимость меж- ду напряжениями σ и относительной деформацией ε . После преобразования диаграмма растяжения имеет вид представленный на рисунке 3.8. Рис.3.8. Диаграмма деформирования малоуглеродистой стали в координатах σ и ε В соответствии с диаграммой ( ) f = определяются механические характеристики материала. Механические характеристики прочности: 1. Отношение силы Р а к площади поперечного сечения А является преде- лом пропорциональности: а пц P А = 42 Пределом пропорциональности пц называется максимальное напря- жение, до которого выполняется закон Гука. Значение модуля упругости Е материала стержня численно равно тангенсу угла наклона линейного участка к оси абсцисс. 2. Отношение силы Р b к площади поперечного сечения А является преде- лом упругости: b уп P А = Пределом упругости уп называется наибольшее напряжение, до кото- рого образец деформируется без образования остаточных деформаций. 3. Отношение силы Р с к площади поперечного сечения А является преде- лом текучести: с т P А = Пределом текучести уп называется напряжение, при котором обра- зец значительно деформируется при практически постоянной нагрузки. 4. Напряжение, соответствующее точке Е является пределом прочности: е в P А = Пределом прочности (временным сопротивлением) σ в называется напряжение соответствующее максимальной нагрузке. Механические характеристики пластичности: 1. Относительное удлинение при разрыве: 100% к н н l l l − = , где l н , — длина рабочей части образца до деформации; l к — длина рабочей ча- сти образца после разрыва. 2. Относительное сужение при разрыве 100% к н н А А А − = , где А н —площадь поперечного сечения до деформации; А к - конечная пло- щадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва. 43 Материалы, имеющие к моменту разрушения достаточно большие зна- чения удлинения 5% , относятся к пластичным материалам. К хруп- ким относят материалы с относительным удлинением 5% Пластичными материалами называются такие материалы, которые в процессе деформирования могут существенно изменять форму и размеры, при этом к моменту разрушения в них развиваются остаточные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки. Для хрупких материалов разрушение наступает при весьма малых деформациях (Рис.3.9.). Рис.3.9. Диаграмма деформирования хрупкого материала Однако, одни и те же конструкционные материалы, находящиеся в раз- личных условиях деформирования, ведут себя по-разному: при одних усло- виях проявляют себя как пластичные материалы, при других - как хрупкие. В связи с этим, основные макромеханические характеристики материалов - упругость, пластичность, вязкость и др. правильнее относить не к их свой- ствам, а к состояниям материала. Экспериментальное изучение свойств материалов при сжатии прово- дится на коротких образцах с тем, чтобы исключить возможность искривле- ния образца. Для пластичных материалов характер диаграммы при сжатии примерно до возникновения текучести такой же, как и при растяжении. В процессе деформации сжатия образец укорачивается; при этом размеры по- перечного сечения увеличиваются. Из-за трения между опорными плитами нагружающего устройства и торцевыми поверхностями образца он принима- ет бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов обнаружить напряжение, аналогичное временному сопротивлению при растяжении, не удается, так как образец сплющивается. Хрупкие материалы проявляют зна- 44 чительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем деформациям растяжения; для них разрушающее напряжение при сжатии превышает предел прочности при растяжении. Разрушение хрупких материа- лов при сжатии происходит за счет образования трещин. Вышеприведенные диаграммы являются условными. Условность со- стоит в том, что при нахождении напряжений силы относились к первона- чальной площади поперечного сечения образца А. В действительности же при растяжении площадь поперечного сечения образца уменьшается. Если учитывать текущее значение площади поперечного сечения при определении напряжений, то получится диаграмма истинных напряжений. 3.7 . Потенциальная энергия деформации образца При нагружении образца внешние силы совершают работу Q, которая затрачивается на кинетическую энергию движения тела К и накопление по- тенциальной энергии деформации U : Q K U = + Свойство накапливать потенциальную энергию материалом широко используется в технике, например в часах. При медленном приложении силы, то есть при статическом нагружении, можно считать, что кинетическая энер- гия равна нулю. Таким образом, работа внешних сил полностью превращает- ся в потенциальную энергию деформации Q=U. Рассмотрим стержень с се- чением А, который растягивается силой F в упругой зоне диаграммы дефор- мирования на величину ∆l (рис.3.10). Рис.3.10. К определению потенциальной энергии 45 Процесс деформирования представим в виде последовательности бес- конечно малых приращений удлинения d (∆l), вызванных силой F * . Тогда, работа текущей силы на элементарном перемещении d (∆l) будет равна * ( ) dA F d l = , а работа на перемещении ∆l равная * 0 ( ) l A U F d l = = равна площади треугольника на рис.3.10, то есть 1 2 A U F l = = . Учитывая, что удлинение стержня связано с продольной силой зависи- мостью (3.7), окончательно получаем формулу для определения потенциаль- ной энергии, при условии, что продольная сила и площадь сечения постоян- ны по длине стержня 1 1 2 2 Fl U F l F EA = = , или 2 2 Fl U EA = 4 . Геометрические характеристики поперечных сечений При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость необходимо ис- пользовать различные геометрические характеристики поперечных сечений, а именно: статический момент – S, момент инерции – J, радиус инерции – i, момент сопротивления – W и, конечно, площадь поперечного сечения – А. Например, при изгибе линейки мы видим, что она имеет разную жесткость в двух взаимно перпендикулярных направлениях при одной и той же площади поперечного сечения. Таким образом, сопротивление стержня различным ви- дам нагрузки зависит не только от материала и размеров, формы сечения, но и от его пространственного расположения. 4 .1. Статические моменты сечений 46 Статическим моментом сечения относительно какой-либо оси х (рис.4.1) называется сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояние у до данной оси, взятая по всей площади поперечного сечения. Статические моменты сечения относительно осей х и у представляют собой интегралы вида: x A S ydA = ; y A S xdA = (4.1) Статические моменты сечения имеют размерность – единица длины в третьей степени, обычно см 3 или м 3 . Статические моменты могут иметь по- ложительные, отрицательные и равняться нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называет- ся центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести поперечного сечения C(x c ; y c ). Все оси, проходящие через эту точ- ку, центральные. Рис.4.1. Поперечное сечение Согласно теореме Вариньона о моменте равнодействующей x c A S ydA y A = = , (4.2) где А- площадь поперечного сечения (равнодействующая); у с – координата центра тяжести сечения до оси х. Аналогично для оси у: y c A S xdA x A = = (4.3) 47 Из выражений (4.2) и (4.3) получаются формулы для определения ко- ординат центра тяжести сечения: y c = x S A ; x c = y S A (4.4) Для сложных (составных) поперечных сечений, которые можно разде- лить на i простые составные части, для которых известны положения центра тяжести (х ci , y ci ) и площади A i , статический момент равняется сумме статиче- ских моментов частей: S x = xi ci i S y A = ; S у = yi ci i S x A = (4.5) Для составных поперечных сечений координаты центра тяжести сече- ния: y c = i ci x i A y S A A = ; x c = y i ci i S A x A A = (4.6) В том случае, если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести се- чения находится на этой оси, а статический момент относительно оси сим- метрии равен нулю. Пример 4.1. Определить положение центра тяжести сечения. Размеры приведены в сантиметрах (рис.4.2). Решение. Разобьем сечение на два прямоугольника. Проведем вспомо- гательные оси х и у, относительно которых найдем координаты центра тяже- сти составного сечения: 1 2 1 2 1 2 3,5 20 2 40 2,5 20 40 c c ci i c y A y A y A y см A A A + + = = = = + + , 1 2 1 2 1 2 2 20 5 40 1 20 40 c c ci i c x A x A x A x см A A A + + = = = = + + 48 Рис.4.2. Составное сечение 4.2. Моменты инерции сечений Осевым моментом инерции сечения относительно какой-либо оси х (рис.4.1) называется сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат их расстояния у до данной оси, численно равная интегралу: 2 x A J y dA = (4.7) Аналогично получим момент инерции относительно оси у: 2 y A J x dA = (4.8) Полярным моментом инерции сечения относительно какой-либо точ- ки (полюс - точка 0) (рис.4.1) называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояния ρ до данной точки, взятая по всей площади поперечного сечения и определяемая интегралом 2 A J dA = , (4.9) где ρ – расстояние от площадки dA до полюса. Из рис.4.1 видно, что 2 2 2 x y = + . Следовательно, 49 ( ) 2 2 2 2 2 y x A A A A J dA x y dA x dA y dA J J = = + = + = + Таким образом полярный момент инерции J ρ равен сумме осевых моментов инерции J х и J y для двух взаимно перпендикулярных осей, прохо- дящих через полюс О. Моменты инерции J ρ , J х и J y всегда положительные и имеют раз- мерность - единица длины в четвертой степени, обычно см 4 или м 4 Центробежным моментом инерции сечения относительно осей х и у (рис.4.1) называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади поперечного сечения и определяемая интегралом вида xy A J x y dA = (4.10) Центробежный момент инерции может принимать любое число- вое значение. В случае, если для фигуры с осями х и у, одна из них является осью симметрии, то относительно этих осей центробежный момент инерции равен нулю. Так, для сечения в виде эллипса (рис.4.3) с осью симметрии х всегда можно установить две элементарные площадки, которые имеют оди- наковую координату х и противоположные по знаку координаты у, а значит ( ) 0 xy A Аверх Аниз J xydA xydA х y dA = = + − = Рис.4.3 Симметричное поперечное сечение 50 4.3. Моменты инерции и моменты сопротивлений простых сече- ний В качестве примера определим моменты инерции сечения относитель- но осей х и у для прямоугольника (рис.4.4). Рис.4.4. Прямоугольное сечение Разобьем сечение А на элементарные площадки dA – прямоугольники с размерами b (ширина) и dy (высота). Площадь элементарной площадки dA b dy = и тогда по формуле (4.7) получим: 3 3 2 2 2 2 2 2 3 12 h h x h h A by bh J y dA y bdy − − = = = = Если разбить сечение на вертикальные площадки dA h dx = , то анало- гично получим: 3 3 2 2 2 2 2 2 3 12 b b y b b A hx hb J x dA x hdx − − = = = = Центробежный момент инерции равен нулю J xy =0, так как оси х и у – оси симметрии. Моменты инерции круглого сечения относительно центральных взаим- но перпендикулярных осей равны: 51 4 64 x y D J J = = ; 4 32 D J = ; J xy =0. Момент сопротивления сечения W x относительно оси х определяется как отношение соответствующего момента инерции J x к максимальной коор- динате сечения по оси у - y max . Так для прямоугольного сечения, для которо- го max 2 h y = , получим момент сопротивления 3 2 max 12 6 2 x x bh J bh W h y = = = Аналогично относительно оси у: 3 2 max 12 6 2 y y hb J hb W b x = = = Для круглого поперечного сечения момент сопротивления определя- ется из следующего выражения 4 3 64 32 2 y x D D W W D = = = Моменты инерции |