лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
часть удельной потенциальной энергии деформации, которая обусловлена изменением формы. Условие прочности по этой гипо- тезе: 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) [ ] 2 IV = − + − + − 30 Эквивалентное напряжение по четвертой гипотезе IV определяется по формуле: 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 IV = − + − + − (2.22) Эта гипотеза хорошо подтверждается экспериментально для пластич- ных материалов с одинаковыми пределами текучести при растяжении и сжа- тии. 3. Центральное растяжение (сжатие) 3.1. Внутренние силы при растяжении (сжатии) Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении тела возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила N z Рассмотрим стержень, который растягивается силами Р (рис.3.1). Рис.3.1. Внутренние усилия при растяжении стержня Мысленно рассекая стержень поперечным сечением, рассмотрим рав- новесие правой отсеченной части. На правую часть действует сила Р, которая стремится эту часть передвинуть вправо. На самом деле кроме деформации материала никакого движения не наблюдается. Значит, какая-то внутренняя сила в сечении уравновешивают внешнюю силу. Она должна действовать по оси стержня, а значит, является продольной силой N z . Из условия равновесия правой отсеченной части для данного нагружения z N P = Обобщив полученные результаты, получим правило определения про- дольной силы для решения задач: продольная сила в поперечном сечение 31 равна сумме внешних сил (F i ), действующих на одну из отсеченных ча- стей, с учетом правила знаков. Будем считать, что если внешняя сила Р растягивает отсеченную часть, то продольная сила N z положительная и наоборот, если сила Р является сжимающей, то продольная сила N z отрица- тельная. Если стержень имеет несколько участков, то продольная сила опреде- ляется на каждом участке. Участок - часть стержня, в пределах которой не происходит изменений в приложении внешних сил и материале, а также размере, форме поперечного сечения. 3.2 . Напряжения при растяжении (сжатии) Для вывода формулы определения напряжений при растяжении (сжа- тии) и в дальнейшем для других видов нагружения будем использовать принцип Сен-Венана и гипотезу Я. Бернулли: 1. Принцип Сен-Венана: распределение напряжений в части стержня одно- родно, если рассматриваемая часть удалена от захватов или концентраторов напряжений на величину более, чем наибольший размер поперечного сече- ния. 2. Гипотеза Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и перпендику- лярные его продольной оси до деформации, остаются такими же и после де- формации. Учитывая вышеизложенное, будем считать, что поперечные сечения в центральной части стержня (рис.3.2) остаются плоскими и перпендикуляр- ными оси, а значит, продольные волокна стержня удлиняются одинаково. Следовательно, согласно закону Гука, и напряжения в сечениях тоже должны быть одинаковыми и равномерно распределенными по сечению, т.е. величи- на и направление напряжений во всех точках сечения одинаковы. Рис.3.2. Графические пояснения к определению напряжений при растяжении стержня 32 Внутренние силы в сечении А приводятся к равнодействующей z z A N dA = , а так как в сечении σ z = const , то получается, что z z z A N dA A = = Следовательно, нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня определяются по формуле z z N A = , (3.1) где N z – продольная сила в сечении; А – площадь поперечного сечения. Условие прочности при растяжении (сжатии) для стержня из пласти- ческого материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) имеет вид: max max z N A = , (3.2) где - допускаемое напряжение , определяется материалом стержня; max - максимальное напряжение в опасном сечении стержня; max z N - макси- мальное напряжение в стержне (выбирается из эпюры N z ). На основание условия прочности выполняются два вида расчетов: про- верочный и проектировочный. Проверочный – известны внешние силы, размеры поперечного сечения и материал стержня (N z , A, ) , проверяется выполнения неравенства (3.2). Иногда проверочный расчет проводят по коэффициенту запаса прочно- сти. Заключается он в том, что определяется фактический коэффициент запа- са прочности n и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n]: max max пред пред z A n n N = = , (3.3) где пред - предельное напряжение. Проектировочный – неизвестен один из трех параметров (N z , A, ). Из неравенства (3.2) определяется неизвестный параметр: 1. Подбор сечения: в этом расчете при заданной нагрузке и материалу определяются размеры поперечного сечения при выполнении условия 33 прочности. Минимальное значение площади поперечного сечения А получим, если в условии прочности принять знак равенства: max z N A = (3.4) 2. Определение допускаемой нагрузки: в этом расчете определяется мак- симально допустимое значение нагрузки z N , которую выдерживает данный стержень при выполнении условия прочности, при условии, что площадь поперечного сечения А и материал известны: max z N A = (3.5) Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющих- ся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение. В этом случае условие прочности записывается отдельно для растяжения и сжатия: max, max, p z p p N A = и max, max, c z c c N A = , где max, p и max,c - наибольшие напряжения растяжения и сжатия, а p и c - соответствующие им допускаемые напряжения. 3.3 . Деформации при растяжении (сжатии) Рассмотрим деформации пластины длиной l и высотой b при его рас- тяжении (рис.3.3). Абсолютная продольная деформация ∆l, если она мала по сравнению с первоначальной длиной l стержня (∆l ‹‹ l), находится как разность конечной и начальной длины пластины: к l l l = − Относительная продольная деформация определяется как отноше- ние абсолютной деформации к начальной длине стержня: l l = , (3.6) 34 Рис.3.3. Продольная и поперечная деформация пластины Теперь установим зависимость между абсолютным удлинением (уко- рочением) стержня и внешней нагрузкой. Подставим для этого в формулу за- кона Гука (1.4) выражения (3.6) и (3.1) и получим z l N l EA = , откуда z N l l EA = (3.7) Знаменатель этого выражения EА называется жесткостью поперечно- го сечения стержня (пластины) при растяжении (сжатии). Действительно, чем больше жесткость, тем меньше удлинение стержня. Формула (3.7) примени- ма только в случае, если ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются по длине стержня (EА = const, N z = const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EА и N z может быть определено как сумма удлинений k ступеней, для которых EА и N z постоянны: 1 n zk k k k k N l l E A = = , где индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов. 35 При растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьша- ются, а при сжатии — увеличиваются. Это явление получило название эф- фекта Пуассона. Изменение размеров поперечного сечения к b b b = − называется абсолютной поперечной деформацией, а b b = - относитель- ной поперечной деформацией. Отношение относительной поперечной де- формации к относительной продольной является константой материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона, который определяется по формуле (1.7). Для изотропных материа- лов значения коэффициента Пуассона находится в следующих пределах 0 0,5 Условие жесткости при растяжении (сжатии) для стержня имеет вид: l l или , (3.8) где , l - допускаемые абсолютная и относительная деформации стержня; , l - фактические деформации проверяемого участка конструк- ции. На основание условия жесткости выполняются два вида расчетов: про- верочный и проектировочный. C продольной деформацией стержня при растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его сечений. Рассмотрим на примере, каким обра- зом определяются перемещения сечений стержня. Пример 3.1. Определить перемещения сечений стержня, которым принадлежат точки 1 и 2, удлинение всего стержня, а так же построить эпюру перемещений сечений стержня вдоль оси z (рис. 3.4). Решение. Стержень имеет два участка: 1-й (от точки 2 до точки 1) и 2-й (от точки 1 до точки 0 -заделки). Определим продольные силы на участках, используя метод сечений. Проведем поперечное сечение на I участке на произвольном расстояние от свободного конца стержня. На правую отсеченную часть дей- ствует только сила F 1 : N 1 =F 1 = 50 кН. 36 Теперь проведем поперечное сечение на участке II. На правую отсе- ченную часть действует две силы: F 1 и F 2 : N 2 =F 1 - F 2 =50 – 100 = - 50 кН. Построим эпюру продольной силы Nz. Для этого отложим значения продольной силы по участкам от нулевой горизонтальной линии в масштабе. Положительные - выше нулевой линии эпюры, отрицательные - ниже. Рис.3.4. Заданный стержень и эпюры продольной силы и перемещений Чтобы построить эпюру перемещений (Эп w) точек оси (сечений) стержня, определим перемещение сечений, которым принадлежат точки 1 и 2. Из схемы нагружения стержня видно, что крайнее левое сечение стержня принадлежит заделке, а значит, точка 0 никуда не перемещается и её пере- мещение равно нулю 0 0 w = . Так как точки 0 и 1 принадлежат 2-му участку, то перемещение сечения с точкой 1 будет равно перемещению сечения с точкой 0 сложенному с укорочением второго участка стержня от продольной силы N 2 : 3 4 2 2 1 0 11 4 2 50 10 0, 45 2,5 10 0, 25 2 10 4,5 10 N l w w м мм EA − − − = + = = − = − , 37 то есть второй участок укоротился на 0,25 мм. Аналогично, перемещение сечения с точкой 2 будет равно перемеще- нию сечения с точкой 1 сложенному с удлинением первого участка стержня от продольной силы N 1 (так как точки 1 и 2 принадлежат 1-му участку): 3 4 4 4 4 1 1 2 1 11 4 1 50 10 0,3 2,5 10 2,5 10 5 10 2,5 10 0,25 2 10 1,5 10 N l w w м мм EA − − − − − = + = − + = − + = = Сечение с точкой 2 переместилось вправо на 0,25 мм, а, значит, и весь стержень удлинился на такую же величину. Для построения эпюры переме- щений сечений по длине стержня отложим в масштабе от нулевой линии зна- чения перемещений точек 1 и 2 и соединим прямой линией полученные точ- ки. 3.4 . Растяжение (сжатие) стержня с учетом собственного веса стержня Если вес стержня на порядок ниже или имеет тот же порядок, что и ве- личина нагрузки, его необходимо учитывать при определении напряжений и деформаций стержня. При известном удельном весе материала γ стержня длиной l вес стержня определяется из выражения: P A l = (3.9) Определим напряжения и деформации стержня с учетом собственного веса (рис. 3.5). Продольная сила в сечение на расстоянии z от нижнего конца: z N A z = (3.10) Напряжение в этом сечение определяется из выражения: z N z A = = (3.11) Перемещение точки 1 найдем, учитывая, что продольная сила пере- менная: 38 2 1 0 0 0 0 2 l l Ndz A zdz l w w E A E A E = + = + = Рис.3.5. Эпюры продольной силы и перемещений сечений стержня с учетом собственного веса 3.5 . Напряженное состояние при растяжении (сжатии) Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным или линейным (рис. 2.3). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными. В случае растяжения 1 2 3 0, 0 = = = , а в случае сжатия 3 1 2 0, 0 = = = . Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом α , определяются по формулам (2.2-2.3) или для плоского напряженного состо- яния при σ 2 = 0. 3.6. Механические характеристики конструкционных материалов. Диаграмма упруго-пластического деформирования 39 Механические характеристики конструкционных материалов опре- деляются экспериментально на специальных испытательных машинах. Фор- ма, размеры образца и методика проведения испытаний определяются соот- ветствующими стандартами, например, ГОСТ 34643—81, ГОСТ 1497-73. Ос- новным является испытание образца на растяжение центрально приложенной силой; при этом в средней части образца реализуется однородное напряжен- ное состояние. В процессе постепенного увеличения нагрузки на образец ав- томатически строится диаграмма зависимости абсолютного удлинения об- разца ∆l от приложенной силы Р (рис.3.6). В начальной стадии деформирования до точки А диаграмма имеет вид наклонной прямой линии. В этой области материал является линейно- упругим, то есть подчиняется закону Гука E = . Участок ОА называется участком упругости. При дальнейшем увеличении нагрузки деформации начинают расти более высокими темпами, и диаграмма искривляется. После этого диаграмма становится почти горизонтальной. Участок СD – так называемая площадка текучести, для которой характерно то, что обра- зец деформируется (течет) по всему объему без увеличения нагрузки, то есть образец как бы перестает сопротивляться нагрузке. Рис.3.6. Диаграмма деформирования малоуглеродистой стали Участок BD – зона общей текучести. При этом полированная поверх- ность образца мутнеет, покрываясь ортогональной сеткой линий (линии Чер- нова—Людерса), расположенных под углом 45 o к оси образца - по направле- нию плоскостей действия максимальных касательных напряжений. У многих конструкционных материалов площадка текучести не выражена столь явно, как у малоуглеродистых сталей. Для таких материалов вводится понятие условного предела текучести s ; это напряжение, которому соот- 40 ветствует остаточная (пластическая) деформация, равная s %. Обычно при- нимается s = 0,2%. После площадки текучести для дальнейшего увеличения деформации необходимо увеличение растягивающей силы. Материал снова проявляет способность сопротивляться деформации. Участок за площадкой текучести до точки Е называется участком упрочнения. Такое название объясняется тем, что при разгрузке образца из этой зоны до нулевого значения напряже- ний, а затем последующей нагрузке материал образца становится почти ли- нейно-упругим со значением пц , превышающим начальное значение пц (рис.3.7). Таким образом, с помощью предварительного нагружения с напряжением большим предела текучести можно улучшить упругие свойства материала образца, но при этом ухудшатся его пластические свойства - мате- риал станет более хрупким (уменьшится остаточное удлинение). Явление по- вышения упругих свойств материала в результате предварительного растя- жения соответствующими напряжениями называется |