лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
жесткостью попе- речного сечения при изгибе. Подставляя (6.5) в (6.3), получаем формулу для определения нормаль- ных напряжений при прямом изгибе балки в любой точке сечения: x x M y J = (6.6) В практических расчетах напряжение определяется по модулю, а знак ставить по смыслу (растяжение – плюс, сжатие – минус). Нормальные напряжения при чистом изгибе балки являются линейной функцией коорди- наты у и достигают экстремальных значений в волокнах, наиболее удален- 84 ных от нейтральной оси (рис.6.8), то есть на верхней или нижней поверх- ности сечения . max max x x x x M M y J W = = (6.7) Рис. 6.8. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения. В последнем выражении max x x J W y = - геометрическая характеристика се- чения, получившая название момента сопротивления при изгибе. Для пря- моугольного поперечного сечения (см. главу 4.3) W x = bh 2 /6. Аналогично для круга - 3 32 x D W = . Для кругового кольцевого сечения, у которого / d D = по- лучаем 3 4 (1 ) 32 x D W = − 6.4. Условие прочности при чистом изгибе Формулой (6.7) удобно пользоваться для расчета балок из пластичного материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при прямом изгибе балки получает вид max max x x M W = , (6.8) 85 где max x M - значение изгибающего момента в опасном сечении балки, опреде- ляемое по эпюре по наибольшему значению момента; - допускаемое напряжение при растяжении (сжатии). Чистый изгиб балки сводится к нерав- номерному растяжению и сжатию ее волокон в отличие от деформации рас- тяжения стержня, при котором напряжения постоянны по сечению. На основание условия прочности выполняются два вида расчетов: про- верочный и проектировочный. Проверочный – известны внешние моменты, размеры поперечного се- чения и материал стержня (М х , W x , ) , проверяется выполнения неравен- ства (6.8). Проектировочный – неизвестен один из трех параметров (М х ,W x , ). Из неравенства определяется неизвестный параметр: 3. Подбор сечения: в этом расчете при заданной нагрузке и материалу определяются размеры поперечного сечения при выполнении условия прочности. Минимальное значение момента сопротивления поперечно- го сечения получим, если в условии прочности принять знак равенства: max x x M W = Далее по известному значению W x определяются размеры сечения: для простых сечений по вышеприведенным формулам (см. главу 4.3), а для про- катных профилей по таблицам сортамента. 6.5. Определение касательных напряжений при поперечном изгибе При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникают изги- бающий момент М х и поперечная сила Q y (рис.6.9), которые связаны с нор- мальными σ и касательными τ напряжениями следующими зависимостями: x A M ydA = , y zy A Q dA = Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для определения нормальных напряжений неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызывае- мых касательными напряжениями, происходит депланация поперечных сече- нии (отклонение от закона плоских сечений). Кроме этого при поперечном изгибе наблюдаются отклонения от гипотезы ненадавливания продольных 86 волокон. Однако для балок с высотой сечения h < l/4 погрешность невели- ка и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечно- го изгиба как приближенную. Рис. 6.9. Усилия и напряжения при поперечном изгибе Непосредственное определение касательных напряжений затрудни- тельно, поэтому приведем без вывода формулу для касательных напряжений для точек сечения при поперечном изгибе балки, которая называется форму- лой Журавского. отс y x x y Q S J b = , (6.9) где b y — ширина сечения в том месте, где определяются касательные напря- жения; отс x S - статический момент относительно оси х части поперечного се- чения, расположенного выше координаты у. Для прямоугольного поперечно- го сечения (рис.6.10) касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичной параболы, достигая максимума на нейтральной оси: max 3 2 y y Q b h = 87 Рис.6.10. Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения 6.6. Напряженное состояние при поперечном изгибе. Условие прочности при прямом поперечном изгибе. Так как в сечении балки возникают два силовых фактора, то прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. Напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные σ и τ касательные напряжения (рис.6.11), поэтому условие проч- ности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо известного критерия прочности. Рис.6.11. Напряженное состояние при поперечном изгибе Определим главные напряжения при изгибе по формуле (2.13), учиты- вая, что z = , 0 y = и 0 yz = : 88 2 2 1 1 4 2 2 = + + и 2 2 2 1 4 2 2 = − + , σ 3 =0. Тогда, по III гипотезе прочности, условие прочности будет иметь сле- дующий вид: 2 2 1 2 4 III = − = + По IV гипотезе прочности, условие прочности будет иметь следующий вид: 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 [ ] 2 IV = − + − + − = + Расчет на прочность по эквивалентным напряжениям проводится редко, так как наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних во- локнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис.6.10), а наибольшие касательные напряжения имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю. Условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям: max и max Эксперименты и расчеты в большинстве случаев показывают, что определяющую роль в расчетах на прочность балки при поперечном изгибе, играет расчет по нормальным напряжениям по формуле (6.8), так как max max 6.7. Определения деформаций при прямом изгибе Ранее было установлено, что мерой деформации балки при прямом чи- стом изгибе является кривизна нейтрального слоя. С достаточной для инже- нерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Кроме кривизны 1 определяют следующие деформации балки: вер- тикальные перемещенияточек оси балки (центров тяжести отдельных по- перечных сечений) - прогибы v балки и углы поворота θ сечений (рис.6.12). Горизонтальными перемещениями u точек оси пренебрегают. Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения θ равен углу наклона каса- тельной к изогнутой оси балки, который в силу малости деформации равен: 89 dv tg dz = = (6.10) Получим уравнение для функции прогиба ( ) y v f z = = , зная закон из- менения кривизны балки. Как известно из дифференциальной геометрии кривизна определяется из следующего выражения: 2 2 3 2 2 1 1 d v dz dv dz = + (6.11) Учитывая, что в практике применяются достаточно жесткие балки, для которых 1 dv dz , знаменатель (6.11) приблизительно равен единице и выра- жение для кривизны упрощается 2 2 1 d v dz = (6.12) Рис. 6.12. Прогибы и углы поворота сечений балки Подставив выражение (6.12) в (6.5) и приняв, что ось y направлена вверх, получим приближенное дифференциальное уравнение прямого изгиба 90 балки, также известное, как дифференциальное уравнение упругой кривой (изогнутой оси балки): 2 2 II x x d v M v dz EJ = = или II x x EJ v M = (6.13) Решение данного уравнения получаем путем двукратного интегрирова- ния. При первом интегрировании получаем выражение для определения уг- лов поворота сечений по длине балки: ( ) x x dv M z dz C dz EJ = = + (6.14) Повторным интегрированием получаем функцию прогиба ( ) x x M v z dz dz Cz D EJ = + + (6.15) Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из гранич- ных условий. Так, для шарнирно опертой балки с одним участком прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки с одним участком прогиб и угол поворота сечения в заделке v(0) =θ(0) =0. Константы интегрирования С и D представляют собой начальный угол поворота и начальный прогиб соответ- ственно. Если балка имеет несколько участков, для которых правая часть урав- нения (6.13) содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений θ на этих границах, получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегри- рования. 6.8 . Применение метода уравнивания постоянных интегрирова- ния для расчета деформаций Для балок с несколькими участками для уравнивания постоянных инте- грирования, которые возникают на каждом участке, будем использовать сле- дующие правила: • начало координат для всех участков берем в одной точке – в левом или правом конце балки; 91 • выражение для изгибающего момента на последующем участке соста- вим так, чтобы в нем сохранились все члены, входящие в выражение изгибающего момента на предыдущем участке, а вновь появившиеся члены имели бы множитель • при включении в выражение внешней сосредоточенной силы F, её умножаем на множитель ( ) z a − , где а – сумма длин предыдущих участ- ков; • при включении в выражение внешнего сосредоточенного момента М, приложенного на расстоянии b от начала координат, его умножаем на множитель 0 ( ) z b − , равный единице; • при включении в выражение внешней распределенной нагрузки q, её умножаем на множитель 2 ( ) / 2 z a − , где а – сумма длин предыдущих участков; • в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления фактически действующей на балку нагрузки вводят компенсирующую нагрузку обратного направления: • интегрирование производится, не раскрывая скобок. При выполнении вышеперечисленных условий получится два уравнения с двумя неизвестными константами, которые определяются из граничных условий. Рассмотрим применение метода на следующем примере (рис.6.13). Определить прогиб и угол поворота сечения для точки А. Дано: 5 / q kН м = , 1 M kHм = Рис.6.13. Балка для расчета деформаций в точке А 92 Напишем дифференциальное уравнение изогнутой оси, взяв за начало координат точку А: 2 2 0 ( 0,5) ] ( 0,5) ] 2 2 II I II qz q z EJ v M z − = − + − + Проинтегрируем два раза это выражение: 3 3 ( 0,5) ] ( 0,5) ] 6 6 I II qz q z EJ C M z − = − + − + ; 4 2 4 ( 0,5) ( 0,5) ] ] 24 2 24 I II qz M z q z EJ v D Cz − − = + − + + Константы интегрирования С и D найдем из граничных условий: при 1 , 0, 0 O O z м v = = = Из условий 0, 0, 0 A А z v = = = получим, что 3 3 5 1 5(1 0,5) 0 ] 1(1 0,5) ] 6 6 I II EJ C − = − + − + , то есть С = 0,229 и 4 4 2 5 1 5(1 0,5) 0 1 ] 1(1 0,5) / 2 ] 24 24 I II EJ D C − = + − + − + , то есть D = - 0,284. Перепишем уравнения прогибов и углов поворота с учетом величин констант: 3 3 ( 0,5) 0, 229 ] ( 0,5) ] 6 6 I II qz q z EJ M z − = − + − + , 4 2 4 ( 0,5) ( 0,5) 0, 284 0, 229 ] ] 24 2 24 I II qz M z q z EJ v z − − = − + − + + Подставим в выражения координату точки А z=0 и определим дефор- мации этой точки с учетом того, что она принадлежит только 1-му участку: 3 0 0, 229 ] 6 A I q EJ = − и 4 0 0, 284 0, 229 0 ] 24 A I q EJ v = − + − Окончательно получаем: 0, 229 / A EJ = и 0, 284 / A v EJ = − 6.9 . Рациональные формы поперечных сечений при изгибе Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее мини- мальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки с минимальной материалоемкостью нужно стремиться к тому, чтобы как можно больший объем материала работал при напряжени- 93 ях, равных допускаемым или близким к ним. Момент сопротивления для по- перечного сечения находим из условия прочности (6.8): max x x M W = Чтобы получить рациональное сечение, необходимо возможно боль- шую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластично- го материала сечению в форме двутавра, у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках, соединенных стенкой, толщина которой δ назначается из условий прочности стенки по касательным напря- жениям, а также из соображений ее устойчивости (рис.6.14). К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое се- чение. Для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сече- ние в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равно- прочности на растяжение и сжатие. Идея рациональности поперечного сечения балок при изгибе реализо- вана в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машино- строении, транспортном машиностроении. Широко распространены следующие профили: двутавр, швеллер, неравнобокий уголок, равнобокий уголок. Поскольку по соображениям тех- нологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен, то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки. Геометрические характеристики стандартных профилей приведены в нормированных ГОСТом таблицах – сортаментах. |