лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011

• Название: В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
• Анкор: лекции сопромат
• Дата: 17.02.2022
• Размер: 2.04 Mb.
• Имя файла: Лекции_сопр (1).pdf
• Тип: Документы; #365291
• страница: 9 из 11

точка с наибольшим напряжением (точка Е на рис. 8.2 и 8.3) вычисляется для неё напряжение: max max max
y
x
E
E
E
x
y
M
M
y
x
J
J


=
=
+
Максимальное напряжение в сечение возникает в точках наиболее уда- ленных от нейтральной линии (рис.8.3), так как величина напряжения в точ- ках поперечного сечения пропорциональна расстоянию от нейтральной ли- нии и рассчитывается в общем случае по формуле (8.1).
Приведём порядок построения эпюры нормальных напряжений в сече- нии: 1) рассчитываем уравнение нейтральной линии и наносим её на чертеж сечения; 2) проводим через наиболее удаленные точки от нейтральной линии
(точки В и Е) параллельные ей линии; 3) определяем напряжения в указан- ных точках (максимальное напряжение σ
max
действует в точке Е, минималь- ное σ
min
– в точке В) и в масштабе строим эпюру нормальных напряжений.

103
Рис.8.3. Эпюра нормальных напряжений при косом изгибе
Условие прочности для балок из пластичного материала с поперечны- ми сечениями, имеющими две оси симметрии и угловые точки с равными по модулю и максимальными одноименными координатами, имеет следующий вид:
 
max max max
y
x
x
y
M
M
W
W


=
+

Пример 8.1. Определить в балке прямоугольного сечения, изображен- ной на рис.8.4, точку с максимальным напряжением max

. Дано:
1 2
P
P
P
=
=
,
3 2
P
P
=
, Р = 1 kH, b = 4 см, h = 8 см.
Решение. На балку действуют внешние силы, как в вертикальной плос- кости, так и в горизонтальной. От вертикальных сил в сечениях будет возни- кать изгибающий момент М
х
, а от горизонтальных - изгибающий момент М
у
Применяя принцип независимости действия сил, рассмотрим сначала прямой изгиб в вертикальной плоскости, а затем в горизонтальной.
Определим проекции реакций опор А и В на ось у:
( )
0
A
k
m
F
=

;
2 1
8 6
2 0
B
Y
P
P
 −  −  =

1
B
Y
P
kH
= =

104
Рис.8.4. Построение эпюр изгибающих моментов при косом изгибе.
Из условия симметрии нагружения
1
A
Y
P
kH
= =
. Балка при нагружении вертикальными силами имеет три участка. С помощью метода сечений найдем изгибающий момент М
х
по участкам и построим эпюру М
х
:
Участок I:
1 0
2
z
м
 
Изгибающий момент на первом участке равен:
1 1
1
B
M
Y z
Pz
=
=
При z
1
= 0 м
1
(0)
0
M
=
, а при z
1
= 2,0 м
1
(2, 0)
1 2 2
M
kНм
=  =
На втором участке сечение проведем справа на расстоянии z
2
от право- го конца.
Участок II:
2 2
6
м z
м


Изгибающий момент на втором участке равен:
2 2
2 2
2
(
2)
(
2)
2 2
B
M
Y z
P z
Pz
P z
P
kHм
=
−
−
=
−
−
=
=
На втором участке момент постоянен.
На третьем участке сечение проведем слева на расстоянии z
3
от левого конца балки.
Участок III:
3 0
2
z
м


Изгибающий момент на первом участке равен:

105 3
3 3
A
M
Y z
Pz
=
=
При z
3
= 0 м
3
(0)
0
M
=
, а при z
1
= 2,0 м
3
(2, 0)
1 2 2
M
kНм
=  =
Определим проекции реакций опор А и В на ось x:
( )
0
A
k
m
F
=

;
3 8
4 0
B
X
P
 −  =

1
B
X
P
kH
= =
Вследствие симметрии нагружения
1
A
X
P
kH
= =
Балка при нагружении горизонтальными силами имеет два участка. С помощью метода сечений найдем изгибающий момент М
х
по участкам и по- строим эпюру М
х
:
Участок I:
1 0
4
z
м
 
Изгибающий момент на первом участке равен:
1 1
1
B
M
X z
Pz
= −
= −
При z
1
= 0 м
1
(0)
0
M
=
, а при z
1
= 4,0 м
1
(4, 0)
1 4 4
M
kНм
=  =
Вследствие симметрии нагружения эпюра М
х
на втором участке сим- метрична эпюре первого.
Из эпюр видно, что наиболее опасным в балке является сечение посе- редине балки при z = 4м, для которого М
х
= 2 kHм и М
у
= 4 kHм.
Перейдем к нахождению опасной точки в этом сечение. Построим ри- сунок с распределением знаков напряжений в опасном сечении (рис.8.5).
Наиболее опасной точкой для пластического материала является угловая точка В, для которой напряжение найдем из формулы (8.3):
3 3
2 6
2 6
2 10 6 4 10 6 46,9 187,5 234, 4 4 8 10 8 4 10
y
x
B
x
y
M
M
МПа
W
W

−
−


=
+
=
+
=
+
=
 
 
Для построения эпюры изгибающих моментов найдем уравнение нейтральной линии:
3 2
3 2
( 4 )
12 2
8 2
12
y
x
x
y
M J
P bh
h
y
x
x
x
x
M J
Phb
b
−
= −
= −
=
=

106
Рис.8.5. Эпюра нормальных напряжений в сечении
Проведя через наиболее удаленные от нейтральной линии точки В и А, линии параллельные нейтральной построим эпюру нормальных напряжений в сечении (рис.8.5).
8.2.
Внецентренное растяжение (сжатие)
Внецентренным растяжением (сжатием)называется – такой вид нагружения, при котором линия действия силы параллельна продольной оси бруса (стержня), но не проходят через центр тяжести поперечного сечения.
Пусть точкой приложения силы будет точка
(
)
;
A
A
A x
y
, а оси у и х являются главными осями инерции сечения. Расстояние от точки А до центра тяжести сечения АС = е называется эксцентриситетом. Определим для стержня, изображенного на рис.8.6 точку с наибольшим напряжением.
Приложим в точках С и С
*
две равные и противоположные силы Р
(рис.8.6). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напря- жений в его сечениях.

107
Рис.8.6. Преобразование нагрузок при внецентренном растяжении
Силы Р, никак не зачеркнутые, вызовут осевое растяжение , а пары сил
Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб с моментом
M
Pe
=
. Так как плоскость действия изгибающих пар может не совпадать ни с одной из глав- ных плоскостей инерции стержня, то в общем случае внецентренное рас-
тяжение (сжатие) заменяется центральным растяжением (сжатием)
и косым изгибом.
Так как при осевом растяжении и чистом изгибе напряжения во всех
сечениях одинаковы, то проверку прочности можно произвести для любого
сечения. Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю.
Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сече- нии, найдем нормальное напряжение в любой точке сечения с координатами
х и у. Напряжения в сечении будут складываться из напряжений осевого рас- тяжения силой Р и напряжений от чистого косого изгиба. Суммируя напря- жения от осевого растяжения (сжатия) и двух плоских изгибов, получаем формулу для напряжения в произвольной точке сечения:
y
y
z
x
x
y
x
y
x
M
M
N
M
P
M
x
y
x
y
A
J
J
A
J
J

= 

 
 =  
 

,
(8.5) где
x
A
M
P y
= 
и
y
A
M
P x
= 
- изгибающие моменты в сечении.
Слагаемые в этом выражении рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить по смыслу (рис.8.7).

108
Подставим значения изгибающих моментов в выражение (8.5) и полу- чим другое выражение для определения напряжений:
A
A
y
x
P
P x
P y
x
y
A
J
J



=  
 

Учитывая, что момент инерции J сечения площадью А связан с радиу- сом инерции i зависимостью
2
y
y
J
i
A
= 
, окончательно получаем другую фор- мулу для определения напряжений:
2 2
1
A
A
y
x
P
x
x
y
y
A
i
i





=
 







(8.6)
Так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то и здесь, как при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси. Найдём положение нейтральной линии, приравняв к нулю выражение (8.6).Уравнение нейтральной линии имеет вид:
2 2
1 0
A
A
y
x
x
x
y
y
i
i


+
+
=
(8.7)
Расстояния a
x
, a
y
от точек пересечения нейтральной линии с осями координат х и у до центра координат С (рис.8.7) найдем из выражения (8.7), делая следующие подстановки:
1) при x = 0 расстояние
2
x
y
A
i
a
y
= −
;
(8.8)
2) при y = 0 расстояние
2
y
x
A
i
a
x
= −

109
Рис.8.7. Положение нейтральной линии при внецентренном растяжении
Из формул (8.8) видно, что чем ближе точка приложения силы А к цен- тру сечения, тем меньше величины
,
A
A
x
y
и тем больше отрезки a
x
, a
y
. Таким образом, с приближением точки приложения силы А к центру тяжести
сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при не- которых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и в сечении будут напряжения одного знака. В окрестностях центра тяжести поперечного сечения существует область, называемая ядром сечения, харак- теризуемая тем, что если внешняя сила приложена внутри этой области, то напряжения в сечении имеют один знак. Можно отметить следующие свой- ства ядра сечения:
1. Если сила приложена внутри ядра, то нейтральная линия находится вне се- чения;
2. Если сила приложена в точках на границе ядра, то нейтральная линия пе- ресекает контур сечения;
3. Если сила приложена в точках сечения за границей ядра, то нейтральная линия пересекает сечение и делит его на две области с противоположными знаками напряжений.
Очевидно, что в случае, приведенном на рис.8.7, достаточно проверить прочность материала в точке А. Условие прочности для материалов одина-

110 ково сопротивляющихся растяжению и сжатию при внецентренном растяже- нии имеет вид неравенства:
 
max
y
z
x
x
y
M
N
M
y
x
A
J
J


=
+
+

Условие прочности для балок из пластичного материала с поперечны- ми сечениями, имеющими две оси симметрии и угловые точки с равными по модулю и максимальными одноименными координатами, имеет следующий вид:
 
max
1
A
A
y
x
x
y
P
A
W
W




=
+
+







Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня, как в растянутой, так и в сжатой зонах.
Пример 8.2. Определить в колонне прямоугольного сечения, изобра- женной на рисунке 8.8, точки с максимальным max

и минимальным min

напряжением. Дано: Р = 3 kH, b = 5 см, с =4 см, а = 2 см.
Рис.8.8. Внецентренное сжатие колонны
Решение. Как видно из рис.8.8 внецентренное сжатие заменяется на центральное сжатие силой Р и чистым косым изгибом с моментом М = Ре.

111
Все сечения колонны равноопасны. Используя принцип суперпозиции, опре- делим напряжения в сечении по формуле:
y
z
x
y
x
M
N
M
x
y
A
J
J

= 

 

, которая, после подстановок слагаемых и преобразований приводится к виду:
1
A
A
y
x
x
y
P
A
W
W



= −








От продольной силы N
z
и изгибающих моментов М
х
, М
у
в сечение возникает следующее распределение напряжений (рис.8.9).
Из рисунка следует, что точкой с наибольшим напряжением является точка В, а с минимальным – точка А сечения. Для расчета напряжений опре- делим некоторые геометрические характеристики поперечного сечения ко- лонны :
2 2 5 10
A
ab
см
=
=  =
;
2 3
8, 3 6
x
ab
W
см
=
=
;
2 3
3,3 6
y
ba
W
см
=
=
Рис.8.9. Распределение напряжений по сечению
Тогда напряжение в точках А и В будут равны:
2 2
3 6
min
4 6
6 1
2,5 10 2 10 3 10 32, 9 10 33 10 10 3, 3 10 8, 3 10
A
Па
МПа


−
−
−
−
−




=
= − 
+
+
= −

 −







,
2 2
3 6
max
4 6
6 1
2,5 10 2 10 3 10 26, 9 10 27 10 10 3, 3 10 8, 3 10
В
Па
МПа


−
−
−
−
−




=
= − 
−
−
=










112
8.3.
Совместное действие изгиба и кручения.
В некоторых конструкциях, деталях машин в их поперечных сечениях возникают одновременно изгибающие и крутящие моменты. В этом случае стержень рассчитывается прочность при совместном действии кручения и косой изгиба по гипотезам прочности, так как в сечениях действуют два вида напряжений. Расчет производится в следующей последовательности:
1. Строим эпюры внутренних усилий - изгибающих М
х
, М
у
и крутящих М
z
моментов. У кругового и кольцевого поперечных сечений все центральные оси главные, поэтому плоскость изгиба для таких сечений совпадает с плос- костью действия изгибающего момента и косой изгиб вала в этом случае во- обще отсутствует. Следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента M
x
, и M
y
, а целесообразно их заменить суммарным из-
гибающим моментом
2 2
изг
х
у
M
М
М
=
+
(рис.8.10), который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия перпендикулярной нейтральной линии. Эпю- ра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому не- удобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру М
изг
развертывают на плос- кость, помещая все ординаты в одну плоскость.
Рис.8.10. Суммарный изгибающий момент в сечении вала
2. Определяем опасное сечение.
3. В опасном сечение определяем опасные точки. Наибольшие по модулю напряжения от изгиба возникают в точках А и В, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис.8.11), которые определяются по формуле:

113 max
изг
изг
M
W

=
, где
3 32
изг
x
y
D
W
W
W

=
=
=
- момент сопротивления сечения при изгибе вала.
В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения от кручения: max
кр
M
W


=
, где
3 16
D
W


=
- момент сопротивления сечения при кручении.
4. Так как в точке А действуют и касательные и нормальные напряжения
(рис.8.11), то напряженное состояние является плоским и расчёт в этой
точке производится для пластического материала с помощью третьей
или четвертой гипотез прочности.
Определим главные напряжения из выражения:
(
)
2 2
2 2
1,2 1
1 4
4 2
2 2
2
x
z
x
z
xz









+
=

−
+
=

+
Рис.8.12. Эпюры напряжений в сечении и напряженное состояние в точке А
Получим наибольшее главное напряжение
2 2
1 1
4 2
2




=
+
+
и наименьшее
2 2
2 1
4 2
2




=
−
+

114
Согласно третьей гипотезе прочности по критерию Треска и Сен-Вена- на эквивалентное напряжение
1 2
III

 
=
−
. Подставим в это выражение зна- чения главных напряжений и получим:
2 2
4
III



=
+
(8.9)
Учитывая, что
2
изг
W
W

=
, подставим значения напряжений для точки А в выражение (8.9):
2 2
2 2
4 4
кр
изг
III
III
изг
изг
М
M
М
W
W
W








=
+
=
+
=










, где
2 2
III
изг
кр
М
M
M
=
+
- эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.