лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
плюс выбирается для максимального момента инерции, а знак минус для минимального. Часто вместо формулы (4.21) для определения углов поворота осей, при условии, что x y J J , используют следующие формулы: 1 max xy y J tg J J = − − и 2 min xy y J tg J J = − − , где α 1 – угол между осью х и осью максимального момента инерции J max , α 2 – угол между осью х и осью минимального момента инерции J min . 4.8. Радиусы инерции сечения При решении ряда задач используется понятие радиуса инерции. Ради- усом инерции сечения относительно какой либо оси называется величина i, определяемая из выражения 2 J A i = Зная момент инерции J x и площадь сечения А, найдем радиус инерции / x x i J A = (4.24) Радиусы инерции относительно главных осей инерции определяются по формулам: max max / i J A = и min min / i J A = 61 5. Кручение. Чистый сдвиг Кручение – вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают только один силовой фактор - крутящий момент М кр Рассмотрим цилиндрический стержень, работающий на кручение - вал, к крайним сечениям которого в плоскости перпендикулярной оси приложены внешние скручивающие моменты М (рис.5.1). Мысленно рассекая стержень поперечным сечением, рассмотрим рав- новесие правой отсеченной части. На правую часть действует внешний мо- мент М, который стремится эту часть провернуть. На самом деле кроме де- формации материала никакого движения не наблюдается. Значит, какая-то внутренняя сила в сечении уравновешивают этот внешний момент. Она представляет собой момент M z относительно оси z , а значит, является крутя- щим моментом М кр . Из условия равновесия правой отсеченной части для данного нагружения кр M М = Обобщив полученные результаты, получим правило определения кру- тящего момента: крутящий момент М кр в поперечном сечении равен сумме внешних скручивающих моментов, действующих на отсеченную часть, с учетом правила знаков. Будем считать, что если внешний момент М со сто- роны внешней нормали вращается по часовой стрелке, то крутящий момент положительный и наоборот. На рис.5.1 направление оси z совпадает с направлением внешней нормали, значит М кр >0. Рис.5.1. Внутренние усилия при кручении вала 62 5 .1. Напряжения при кручении Исследование деформаций при кручении вала с нанесенной на его по- верхности ортогональной сеткой рисок позволяет сформулировать следую- щие гипотезы теории кручения: - поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли); - расстояния между поперечными сечениями не изменяются; - контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие дис- ки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси z . Отсюда следует, что любые деформации в плоскости выделенного элемента на по- верхности равны нулю. Из условия равновесия сил, лежащих в плоскости поперечного сечения стержня и выраженных через их интенсивности – касательные напряжения τ zx и τ zу получаем выражение для определения крутящего момента (рис.5.2): ( ) кр zy zx A M x y dA = − Рис.5.2. Касательные напряжения и крутящий момент в сечении Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и будем считать, что левое сечение неподвижно (рис.5.3). 63 Рис.5.3. Деформации вала при кручении Выделим на поверхности горизонтальное волокно ОВ. При повороте правого сечения на угол закручивания - d в соответствии с гипотезой о не- деформируемости радиусов, правый конец волокна ОВ, отстоящий от оси ва- ла на величину полярного радиуса ρ , будет перемещаться по дуге ВВ 1 , вызы- вая поворот волокна на угол сдвига. С учетом малости деформаций: 1 BB d OB dz = = Заметим, что в соответствии с рис.5.3 касательное напряжение τ пер- пендикулярно радиусу ρ . Воспользуемся законом Гука для чистого сдвига d G G dz = = , (5.1) где d dz - погонный угол закручивания. Из условия равновесия для сечения (рис.5.3) получим выражение для М кр : кр A M dA = (5.2) Подставив (5.1) в (5.2) и учитывая, что полярный момент инерции 2 A J dA = , получим 2 2 кр A A d d d M G dA G dA GJ dz dz dz = = = , то есть 64 кр M d dz GJ = = (5.3) Подставляя выражение (5.3) в (5.1), получаем формулу для касатель- ных напряжений в любой точке сечения при кручении вала кр M J = , (5.4) где J p – полярный момент инерции; М кр - крутящий момент в исследуемом поперечном сечении; - расстояние от центра тяжести сечения до исследуе- мой точки. Из этой формулы видно, что касательные напряжения пропорциональ- ны расстояний от оси стержня. Максимальные напряжения действуют на поверхности вала, а минимальные, равные 0 – на оси вала. Распределение касательных напряжений по диаметру сечения приведено на рисунке 5.4. или Рис.5.4. Эпюра касательных напряжений в сечении вала Условие прочности при кручении вала имеет вид: max max max кр M J = , (5.5) где - допускаемое касательное напряжение; max - максимальное напря- жение в опасном сечении стержня; max кр M - наибольший крутящий момент в опасном сечении (выбирается из эпюры М кр ); max - наибольший полярный радиус в опасном сечении. 65 Для круглого сечения max 2 D = . Полярным моментом сопротивле- ния называется отношение полярного момента инерции к наибольшему по- лярному радиусу: max J W = Для круглого сечения 3 16 D W = , а для кольцевого 3 4 (1 ) 16 D W = − , где d D = - отношение меньшего и большего диаметра кольца (трубки). Тогда условие прочности примет следующий вид: max max кр M W = (5.6) На основание условия прочности выполняются два вида расчетов: про- верочный и проектировочный. Проверочный – известны внешние моменты, размеры поперечного се- чения и материал стержня (М кр , D, ) , проверяется выполнения неравенства (5.6). Проектировочный – неизвестен один из трех параметров (М кр , D, ). Из неравенства определяется неизвестный параметр: 1. Подбор сечения: в этом расчете при заданной нагрузке и материалу определяются размеры поперечного сечения при выполнении условия прочности. Минимальное значение диаметра D поперечного сечения получим, если в условии прочности принять знак равенства: max 3 16 кр M D = (5.7) Если задана мощность, передаваемая валом N и угловая частота враще- ния ω, то диаметр определяется из выражения: 3 16N D = 2. Определение допускаемой нагрузки: в этом расчете определяется мак- симально допустимое значение нагрузки кр M , которую выдерживает 66 данный стержень при выполнении условия прочности, при условии, что диаметр поперечного сечения и материал известны: 3 16 кр D M = 5.2. Деформации при кручении Мерой деформации стержня при кручении является погонный (отно- сительный) угол закручивания стержня θ, определяемый по (5.3). Вели- чину GJ называют жесткостью поперечного сечения при кручении, так как с увеличением знаменателя угол закручивания уменьшается. Пользуясь (5.3) для определения угла закручивания элемента длиной dz кр M d dz GJ = определим полный угол закручивания стержня длиной l: 0 l кр M dz GJ = В случае, если по длине стержня крутящий момент М кр и жесткость GJ постоянны, получаем кр M l GJ = (5.8) Когда эти величины постоянны на участках вала, то полный угол за- кручивания вала представляет собой сумму углов закручивания по участкам: 1 ( ) k n кр k k k M l GJ = = , где k – количество участков вала. Условие жесткости при кручении: max max кр M GI = , (5.9) где - допускаемый относительный угол закручивания, рад/м. Обыч- но = 0,2- 1,0 град/м . На основание условия жесткости выполняются два вида расчетов: про- верочный и проектировочный. 67 Проверочный – известны внешние моменты, размеры поперечного се- чения и материал стержня (М кр , D, G, ) , проверяется выполнения неравен- ства (5.6). Проектировочный – неизвестен один из параметров (М кр , D). Из нера- венства определяется неизвестный параметр. Подбор сечения: в этом расчете при заданной нагрузке и материалу определяются размеры поперечного се- чения при выполнении условия прочности. Минимальное значение диаметра D поперечного сечения получим, если в условии жесткости принять знак ра- венства: max 4 32 кр M D G = (5.10) Диаметр вала должен удовлетворять и условию прочности и усло- вию жесткости. То есть из диаметров рассчитанных по формулам (5.7) и (5.10) выбирается наибольший. Пример 5.1: Подобрать диаметр вала по условию жесткости и постро- ить эпюру углов закручивания сечений, если G=8*10 10 Па и =0,5град/м (рисунок 5.5). Решение. Вал имеет три участка: 1-й (от точки 3 до точки 2) и 2-й (от точки 2 до точки 1 -заделки) и 3-й (от точки 1 до точки 0 - заделки). Определим крутя- щий момент на участках, используя метод сечений. Проведем поперечное се- чение на I участке на произвольном расстоянии от свободного конца стерж- ня. На правую отсеченную часть действует только внешний момент М 1 : М кр1 =100 Нм. Теперь проведем поперечное сечение на II и III участках. Получим: М кр2 =100+200=300 Нм, М кр3 =100+200-400=-100 Нм. Построим эпюру крутящего момента М кр . Для этого отложим значения М кр по участкам от нулевой горизонтальной линии в масштабе. Положитель- ные - выше нулевой линии эпюры, отрицательные - ниже. Из эпюры видно, что наиболее опасным является II участок, то есть max 300 кр M Нм = . Определим диаметр вала по наиболее опасному участку: max 2 4 4 10 32 32 300 4,5 10 5 8 10 0,5 180 кр M D м см G − = = = = 68 Рис.5.5. Эпюры крутящего момента и углов закручивания сечений вала Примем, что диаметр вала равен D = 5см. Чтобы построить эпюру уг- лов закручивания (Эп φ) сечений стержня, определим углы закручивания се- чений, которым принадлежат точки 1, 2 и 3. Из схемы нагружения стержня видно, что крайнее левое сечение стержня принадлежит заделке, а значит, сечение с точкой 0 не закручивается 0 0 = . Так как точки 0 и 1 принадлежат 3-му участку, то угол закручивания сечения с точкой 1 будет равен углу за- кручивания сечения с точкой 0 сложенному с углом закручивания третьего участка стержня от крутящего момента М кр3 : 3 3 3 1 0 10 8 100 0,5 1,02 10 8 10 61,3 10 кр М l рад G J − − − = + = = − , где 4 2 4 8 4 (5 10 ) 61,3 10 32 32 D J м − − = = = то есть сечения с точкой 1 повернулось против хода часовой стрелки на 0,001 рад. Аналогично, угол закручивания сечения с точкой 2 будет равен углу закручивания сечения с точкой 1 сложенному с углом закручивания второго участка стержня от крутящего момента М кр2 (точки 1 и 2 принадлежат 2-му участку): 69 2 2 2 3 2 1 10 8 300 0, 4 ( 0,102 0, 245) 10 1, 43 10 8 10 61,3 10 кр М l рад G J − − − = + = = − + = Сечения с точкой 2 повернулось по ходу часовой стрелки на 0,0014 рад. Угол закручивания сечения с точкой 3 будет равен углу закручивания сечения с точкой 2 сложенному с углом закручивания первого участка стержня от крутящего момента М кр1 (точки 3 и 2 принадлежат 1-му участку): 1 1 2 3 3 2 10 8 100 0, 4 (0,143 0,082) 10 2, 25 10 8 10 61,3 10 кр М l рад G J − − − = + = = + = Для построения эпюры углов закручивания сечений по длине стержня отложим в масштабе от нулевой линии значения углов поворота сечений для точек 1,2,3 и соединим прямой линией полученные точки. 5.3. Чистый сдвиг Сдвигом называют такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила. Сдвиг, как вид нагру- жения, встречается редко и имеет место в заклепочных и сварных соедине- ниях. При чистом сдвиге (рис. 5.6) в окрестности точки можно выделить элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под дей- ствием одних лишь касательных напряжений. Рис. 5.6. Чистый сдвиг в заклепочном соединении 70 Поперечная сила при чистом сдвиге определяется методом сечений. Распределение касательных напряжений принимается равномерным и тогда связь между поперечной силой и касательным напряжением имеет вид: A Q dA = при τ = Const получаем Q=τA. Окончательно: A Q = (5.11) Как было отмечено раннее, любые линейные деформации в плоскости выделенного элемента равны нулю. Исходя из вышеизложенного, можем за- писать, что 0 x y z = = = , и тогда из обобщенного закона Гука получа- ем 0 x y z = = = . В поперечных сечениях стержня возникают лишь каса- тельные напряжения. Вследствие закона парности касательных напряже- ний, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечени- ях. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Найдём главные напряжения и положение главных площадок для вы- деленного элемента согласно формулам (2.11) и (2.13): 1 max xz = = , 2 min xz = = − и 0 2 2 xz x z tg = = − , так как 0 x z = = и 3 0 = . На ри- сунке 5.7 показаны положения главных площадок и главные напряжения при чистом сдвиге. Рис. 5.7. Положение главных площадок и главные напряжения при чистом сдвиге 71 Таким образом, главные напряжения 1,2 xz = действуют на площад- ках, наклоненных к оси трубки под углами 45 ; главное напряжение 3 0 = При чистом сдвиге длины ребер элементарного параллелепипеда не изменя- ются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями. Первоначально прямые углы становятся равными 90 ◦ +γ и 90 ◦ - γ (рис. 5.8). Величина δ называется |