лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
Энергетические методы расчета деформаций Прогибы и углы поворота сечений балок можно вычислять, не только используя уравнение изогнутой оси балки, но и с помощью общего метода, пригодного для определения деформаций любых упругих конструкций, ос- нованного на применении закона сохранения энергии. Ранее было установлено (стр.44), что при возрастающей статической нагрузке потенциальнаяэнергия действующей на стержень внешней силы полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня вн нагр деф U U = . Действительно, если нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его концу очень малых грузов, то при добавлении каждого груза подвешенная часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится. Заменяя величины вн нагр U и деф U численноравными им значениями работ вн нагр A и деф A , получим другой вид закона сохранения энергии: 0 вн нагр деф A A − = Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называ- емым принципом возможных перемещений. То есть, для системы, нахо- дящейся в равновесии сумма работ всех сил, приложенных к точкам те- ла, равна нулю. Таким образом, принцип возможных перемещений в приме- нении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии и потенциальная энергия деформации деф U равна работе внешних сил вн нагр A : деф вн нагр U A = (7.1) При растяжении (сжатии) стержня величина работы, а, следова- тельно, и величина энергии U равняется: 2 1 2 2 P l U P l EA = = При кручении: 2 1 2 2 кр кр М l U M GJ = = При чистом изгибе: 2 1 2 2 изг изг М l U M ЕJ = = 95 Как видно из приведенных формул потенциальная энергия деформации численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствую- щую ей координату: 2 P U = , где Р - обобщенная сила, δ - обобщенная координата. Элементарная работа усилий (нормальных) вырезанного элемента бал- ки длиной dz равна: 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 М z dz dA dU M z d M z ЕJ = = = или 2 ( ) 2 М z dz dU ЕJ = Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием элемен- тарных работ по длине балки 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 l l М z dz U М z dz ЕJ ЕJ = = Если балка имеет несколько участков, то интеграл разбивается на сум- му интегралов. 7.1. Теорема Кастильяно Рассмотрим случай (рис.7.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3 дей- ствуют только силы F 1 , F 2 и F 3 . Под действием этих статических сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии. Прогибы сечений 1, 2 и 3, в которых приложены силы F 1 , F 2 и F 3 обозначим у 1 , у 2 и у 3 . Найдем один из этих прогибов, например v 1 - прогиб сечения, в котором приложена сила F 1 Добавив к силе F 1 элементарное приращение dF 1 , переведем балку из положения I в смежное положение II (рис.7.1). 96 Рис.7.1. Изгиб балки под действием сосредоточенных сил При переходе от состояния балки I к состоянию II все нагрузки опу- стятся, то есть их потенциальная энергия вн нагр dU уменьшится, а потенциаль- ная энергия деформаций балки деф dU увеличится. Изменение деф dU потен- циальной энергии деформации, являющейся функцией сил, произошло за счет элементарного приращения одной из этих независимых переменных dF 1 , поэтому дифференциал такой сложной функции равен: 1 1 U dU dF F = (7.2) Работу внешних сил вн нагр A определим как разность работы нагрузок для положений II и I: 2 1 вн нагр dA A A = − Работа А 1 при одновременном и постепенном возрастании сил равна: 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 A F y F y F y = + + Полная работа А 2 , проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение II с учетом того, что её величина определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка, будет равна: 2 1 1 1 1 1 1 2 A dF dy A dF y = + + Тогда изменение потенциальной энергии деформаций балки равно 2 1 1 1 1 1 1 2 вн нагр dA A A dF dy dF y = − = + Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем: 1 1 вн нагр dA dF y = (7.3) Подставляя полученные значения (7.2) и (7.3) в исходное уравнение (7.1), получим: 1 1 1 1 U dF y dF F = или 1 1 U y F = Таким образом, прогиб точки приложения сосредоточенной силы F 1 равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе. Полученный результат можно обобщить и на случай, когда на балку действует сосредоточенный момент М. Весь ход рассуждений останется без 97 изменений, надо будет лишь при вычислении работы момента умножать его не на прогиб, а на углы поворота θ сечения, где приложен момент. Тогда в итоге получим: 1 U M = Так как прогиб у - перемещение, соответствующее силе F, а угол пово- рота сечения θ - перемещение, соответствующее силе М, то можно сказать, что частная производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе - теорема Кастильяно. Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной си- лы F 1 равен: 1 1 1 ( ) ( ) l U M z dz M z y F EJ F = = , (7.4) а угол поворота сечения, в котором приложен сосредоточенный момент М: ( ) ( ) l U M z dz M z M EJ M = = Предыдущие выводы сделаны для балки, однако их можно использо- вать для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука. 7.2. Теорема Максвелла—Мора Рассмотрим балку в сечениях которой действуют силы F 1 , F 2 и F 3 , мо- менты М 1 , М 2 и М 3 и сплошные нагрузки q 1 , q 2 и q 3 . Тогда момент ( ) M z в лю- бом сечении такой балки выражается линейной функцией от нагрузок: 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) M z a F a F b M c q = + + + + + + , (7.5) где коэффициенты а 1 , а 2 и так далее являются функциями пролета балки, рас- стояний точек приложения сил и моментов от опор и абсциссы z взятого се- чения. Так, в точке приложения силы F 1 прогиб будет равен 1 1 1 ( ) M z y a F = = , так как все остальные члены выражения (7.5) в этом случае постоянны. С другой стороны а 1 можно рассматривать как численную величину момента М в любом сечении балки от действия единичной нагрузки, т. е. силы 1 1 F = 98 Подставляя в формулу (7.5) вместо силы F 1 её частное значение 1 1 F = и при- равнивая все остальные нагрузки нулю, получим 1 M a = Аналогично, частная производная изгибающего момента ( ) M z по мо- менту М 1 численно представляет собой изгибающий сосредоточенный мо- мент равный единице, приложенный в том же сечении и направленный в ту же сторону. Таким образом, вычисление производных изгибающего момента можно заменить вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки M Максвеллом было предложена следующая формулировка: для отыс- кания перемещения δ (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражения для изгибающего момента М от заданной нагрузки и момента M от соответствующей единичной нагрузки, приложенной в сечении, где определяется перемеще- ние: ( ) l M z Mdz EJ = (7.6) Если требуется в каком-либо сечении определить прогиб, необходимо вычислить момент M от сосредоточенной единичной силы, приложен- ной в том же сечении; при вычислении угла поворота в качестве единич- ной нагрузки прикладывается момент, равный единице. Сравнивая формулу Кастильяно с формулой Мора, нетрудно заметить, что они отличаются лишь одним множителем. Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе — это то же самое, что изги- бающий момент от единичной силы. 7.3. Метод Верещагина А. Н. Верещагин предложил упрощенный способ вычисления инте- гралов Мора. Так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредото- ченная сила, либо пара сил, то эпюра M оказывается ограниченной прямыми линиями. Пусть эпюра М (рис.7.2) имеет криволинейное очертание, а эпюра M - прямолинейное. Тогда вычисление интеграла вида 1 ( ) M z Mdz EJ при лю- бом очертании эпюры М можно произвести следующим образом: 99 C y EJ = , (7.7) где Ω - площадь грузовой эпюры М; C y - ордината эпюры M от единичной нагрузки под центром тяжести С площади Ω; EJ - жесткость балки. Рис.7.2. Грузовая и единичная эпюры. 8. Сложное сопротивление Сложным называется такой вид нагружения, при котором в попереч- ном сечении стержня возникают два и более силовых факторов. Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов - растяже- ние, изгиб, кручение, если использовать принцип независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если зави- симость между функцией и аргументом линейная, то есть напряжения в ка- кой-либо точке тела от одной или нескольких сил не превышают предел про- порциональности σ пц и не нарушается линейная зависимость между деформа- циями и нагрузкой. 8 .1. Косой изгиб стержня Косой изгиб – такой вид изгиба, при котором плоскость действия внешних сил пересекает центр тяжести и не проходит через главную ось по- перечного сечения. Если разложить внешние силы и моменты по главным осям инерции х и у, то получим две системы сил, каждая из которых вызыва- 100 ет прямой изгиб с изгибающими моментами соответственно в горизонталь- ной плоскости - M y и вертикальной плоскости - М x (рис.8.1). Рис.8.1. Косой изгиб балки Применяя принцип независимости действия сил, нормальные напряже- ния в любой точке сечения определим как алгебраическую сумму напряже- ний от моментов M x и М y : y x Mx My x y M M y x J J = + = , (8.1) где sin x M M = и cos y M M = ; у, х – координаты точки, в которой определяется напряжение. Чтобы не свя- зывать себя правилами знаков, слагаемые будем определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Прогибы балки определим как геометрическую сумму прогибов от прямых изгибов: 2 2 x y f f f = + Расчет на косой изгиб с применением принципа независимости дей- ствия сил сводится к расчету на два прямых изгиба с последующим алгебра- ическим суммированием напряжений и геометрическим суммированием про- гибов. В сечении можно найти такую линию, для которой у всех её точек де- формации равны нулю, а, следовательно, и напряжения равны нулю. Такая линия называется нейтральной. Найдём уравнение нейтральной линии, при- равняв к нулю выражение (8.1) и учитывая знаки моментов в первой четверти (рис.8.2): 101 0 y x x y M M y x J J + = Тогда нейтральная линия определяется следующей зависимостью: y x x y M J y x M J = − (8.2) В случае поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и угловые точки с равными по модулю и максимальными одноименными координата- ми, напряжения в этих точках будут равны: max max y y x x x y x y M M M M y x J J W W = = (8.3) Слагаемые в этом выражении рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Например, на рис.8.2 верхний ряд знаков соответ- ствует напряжениям от М x , а нижний ряд — от M y , и напряжения в точках А, В,D и Е будут равны: y x A x y M M W W = − + , y x B x y M M W W = − − , y x D x y M M W W = − и y x E x y M M W W = + Рис.8.2. Расстановка знаков напряжений по четвертям сечения Докажем, что нейтральная линия не перпендикулярна следу плоскости действия изгибающего момента. Известно, что две линии перпендикулярны, если их угловые коэффициенты находятся в следующей зависимости: 1 2 1 k k = − ; (8.4) 102 Так, угловой коэффициент следа плоскости действия изгибающего мо- мента 1 k tg = , а из выражения (8.2) угловой коэффициент нейтральной линии равен 2 x y J k ctg J = − , так как cos sin y x x x x y y y M J M J J y x x ctg x M J M J J = − = − = − Подставив значения k 1 и k 2 в (8.3), получим, что 1 y y x x J J tg tg ctg J J − − Из последнего выражения видно, что равенство (8.4) не выполняется, а значит, нейтральная линия не перпендикулярна следу плоскости действия из- гибающего момента (плоскость изгиба не совпадает с плоскости действия из- гибающего момента), что и требовалось доказать. Только в частных случаях (квадратное, круглое и др. сечения), когда 1 y x J J = нейтральная линия пер- пендикулярна следу плоскости действия изгибающего момента. В общем случае при косом изгибе условие прочности для балок из пластичного материала имеет вид неравенства max В первую очередь определяются опасные сечения балки с наибольши- ми по модулю величинами моментов М х и М у из эпюр изгибающих моментов. Эти сечения могут совпадать, а могут и не совпадать. В этом случае расчет на прочность следует проводить по двум сечениям. Затем, в опасном сечении определяется |