лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
10. Статически неопределимые системы Системы, в которых число неизвестных сил реакций превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, назы- ваются статически неопределимыми. Например, для системы сил, изобра- женной на рис.9.1, число неизвестных реакций составляет 4, а число уравне- ний равновесия для плоской системы сил равно 3. Отсюда видно, что эта си- стема статически неопределенна, а задача является один раз статически неопределимой. Рис.10.1. Один раз статически неопределимая система (балка) Решение статически неопределимых задач изначально сводится к нахождению неизвестных реакций, а затем уже к решению поставленной за- 126 дачи. Для нахождения неизвестных сил реакций связей необходимо соста- вить: - уравнения равновесия, в которые войдут искомые силы или моменты; - уравнение совместности деформаций, которое определяет математическую зависимость деформаций элементов системы. После замены деформаций со- гласно закону Гука силами получим еще одно уравнение, в которое войдут неизвестные силы. 10.1. Статически неопределимые системы при растяже- нии (сжатии) Рассмотрим стержень с жестко защемленными концами, к которому приложена сила Р (рис.10.2). Рис.10.2. Статически неопределимый стержень Из реакций заделок А и С только реакции Z A и Z С не равны нулю. Найдем сумму проекций всех сил на ось z: 0 kz A C F Z Z P = + + = (10.1) В это уравнение входят две неизвестные силы реакции. Другие уравне- ния статики не позволят нам найти их. Составим уравнение совместности деформаций. Для этого необходимо рассмотреть геометрию стержня в деформированном состоянии. Из рисунка видно, что несмотря на деформацию стержня под действием силы Р, пере- мещения точек заделок равны нулю. Следовательно, уравнение перемещения , например, точки С 127 0 C w = (10.2) является уравнением совместности деформаций. Мысленно отбросив правую заделку, найдем перемещение тоски С и приравняем его нулю. Используя принцип суперпозиции, заметим, что пере- мещение точки С будет складываться из перемещений точки С от действия сил Р и Z С : 0 C C CP CZ W W W = + = , где CP W - перемещение точки С от действия силы Р, которое определяется из выражения BP CP P l Pl W W E A EA = = = ; C CZ W - перемещение точки С от действия силы Z С , которое определяется из выражения 2 2 C C CP Z l Z l W E A EA = = Тогда 2 0 C C P l Z l w EA EA = + = . Из последнего выражения определим неизвестную реакцию Z С : 2 C P Z = − Из выражения (10.1) получим: 2 A P Z = − В конструкциях при растяжении могут возникать монтажные и темпе- ратурные напряжения. Рассмотрим стержень, изображенный на рис.10.3. 128 Рис.10.3. Температурные напряжения в стержне При нагревании на t стержень удлинится на величину l tl = , где β - коэффициент температурного расширения материала. Если удлинение стержня превысит величину зазора δ, то стержень упрется в правую заделку, и в нем возникнут температурные напряжения вследствие появления сил реакций в заделках А и В. Сумма проекций всех сил на ось z в этом случае имеет вид: 0 kz A B F Z Z = + = А уравнение совместности деформаций составим из условия, что пере- мещение точки В равное зазору δ будет равно удлинению стержня вследствие его нагревания и укорочения от силы Z B : B B B t BZ W W W = + = Подставив в это выражение B t w l tl = = и B B BZ Z l W EA = , получим еще одно уравнение, содержащее неизвестную силу реакции: B Z l t l EA + = Монтажные напряжения в деталях и элементах возникают вследствие неточного изготовления или сборки конструкций и узлов. Рассмотрим стер- жень, изображенный на рис.10.4. Рис.10.4. Монтажные напряжения в стержне 129 Из-за неточного изготовления стержня он оказался короче на величину δ. При сборке узла стержень принудительно растянули таким образом, что точка В совместилась с точкой С, как этого требовалось изначально. Вслед- ствие принудительного удлинения в стержне возникли монтажные напря- жения. Условие равновесия в этом случае имеет следующий вид: 0 kz A C F Z Z = + = Уравнение совместности деформаций составим из условия, что пере- мещение точки В равное зазору δ будет равно удлинению стержня от силы Z С : C B CZ W W = = Подставив в это выражение B C BZ Z l W EA = , получим еще одно уравнение, содержащее неизвестную силу реакции: C Z l EA = 10.2. Статически неопределимые системы при кручении Рассмотрим стержень круглого сечения с жестко защемленными кон- цами, к которому в сечении В приложен сосредоточенный момент М, плос- кость действия которого перпендикулярна продольной оси бруса (рис.10.5). 130 Рис.10.5. Статически неопределимый вал Из реакций заделок А и С только реактивные моменты М A и М С не рав- ны нулю. Найдем сумму моментов относительно оси z: 0 z A C m M M M = − + = (10.3) В это уравнение входят две неизвестных момента. Другие уравнения статики не позволят нам найти их. Составим уравнение совместности деформаций. Из рисунка видно, что несмотря на деформацию стержня под действием момента М, угол закручи- вания сечений заделок А и С равны нулю. Следовательно, уравнение вида 0 C = (10.4) является уравнением совместности деформаций. Мысленно отбросив правую заделку, найдем угол закручивания сече- ния С и приравняем его нулю. Используя принцип суперпозиции, заметим, что угол закручивания С будет складываться из угла закручивания сечения С от действия моментов М и М С : 0 C C CM CM = + = , где CM - угол закручивания сечения С от действия момента М, который опре- деляется из выражения CM M l G J = ; C CM - угол закручивания сечения С от действия момента М С , который опре- деляется из выражения 131 2 C C CM M l G J = Напомним, что в этих выражениях G – модуль упругости второго рода и J - полярный момент инерции сечения вала. Тогда 2 0 C C M l M l GJ GJ = + = . Из последнего выражения определим не- известный момент М С : 2 C M M = − Из выражения (10.3) получим: 2 A M M = − 10.3 . Статически неопределимые системы при изгибе Основными приемами раскрытия статической неопределимости балок являются методы, основанные на интегрировании дифференциального урав- нения изогнутой оси или на получении основной системы с добавочным условием по деформациям (условием совместности деформаций). Основной системой называется статически определимая балка, полу- ченная из статически неопределимой путем удаления «лишней» неизвестной опоры. Тождественность основной системы и исходной балки устанавлива- ется с помощью уравнений совместности деформаций для точки балки над удаленной опорой. Решение этого уравнения позволяет раскрыть статиче- скую неопределенность системы. 10.3.1. Применение метода уравнивания постоянных ин- тегрирования к раскрытию статической неопределимости Рассмотрим применение метода на следующем примере (рис.10.6). На балку действуют внешние силы Р = 1 kН и М = 2 kНм. Сначала составим уравнения равновесия для данной системы сил: 132 Рис.10.6. Статически неопределимая балка 0 kz A F Z = = ; 0 ky A B F Y P Y = − + = ; 2 4 0 A A B m M P Y M = + − + = Или A B Y Y P + = ; (10.5) 4 4 A B M Y − = − (10.6) Последние два уравнения содержат три неизвестных реакции. Для со- ставления третьего уравнения возьмем за начало координат точку А и напи- шем дифференциальное уравнение изогнутой оси: 0 ( 2) A A II I EJy M z Y z P z = + − − Проинтегрируем два раза это выражение: 2 2 ( 2) 2 2 A A I II z z EJy C M z Y P − = + + − ; 2 3 3 ( 2) 2 6 6 A A I II z z z EJy D Cz M Y P − = + + + − Константы интегрирования С и D найдем из граничных условий: при 0, 0, 0 A А z v = = = и 4 , 0 В z м v = = Из условий 0, 0, 0 A А z v = = = получим, что 0 0 0 A A I EJ C M Y = + + , то есть С = 0 и 0 0 0 0 A A I EJ D M Y = + + + , то есть D = 0. А из условия 4 , 0 В z м v = = получим: 133 2 3 3 4 4 2 0 0 0 2 6 6 A A I II EJ M Y P = + + + − или 32 4 8 3 3 A A M Y + = (10.7) Решая систему трех уравнений (10.5-10.7), окончательно получим, что 1 16 A Y kH = − , 17 16 B Y kH = и 1 4 A M kHм = Проверим правильность нахождения неизвестных, составив уравнение моментов относительно точки В: 1 1 4 2 4 2 2 0 4 16 B A A m M P Y M = − + + = − − + = 10.3.2. Применение теоремы Кастильяно для раскрытия статической неопределимости Рассмотрим предыдущий пример. Уравнения равновесия будут иметь тот же вид (10.5-10.6). Для данной балки основная система имеет вид, пред- ставленный на рис.10.7. Рис.10.7. Основная система Уравнение совместности деформаций составим из условия, что прогиб балки в точке В равен нулю: 0 B v = Применим теорему Кастильяно для определения прогиба в точке В, где приложена сила Y B 134 ( ) ( ) 0 B B B l U M z dz M z v Y EJ Y = = = Так как балка имеет два участка, то этот интеграл разобьется на два: 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 B B l l M z dz M z M z dz M z EJ Y EJ Y + = , где М 1 и М 2 – изгибающие моменты на первом и втором участках. Заметим, что границы первого участка находятся в пределах 0 2 z м . Начало второго участка удобнее выбрать в точке приложения силы Р (рис.10.7) и тогда гра- ницы второго участка будут находиться в пределах 0 2 z м На первом участке изгибающий момент равен 1 B M Y z M = − , а частная производная потенциальной энергии деформации по силе Y B определяется из следующего выражения: 1 ( ) B M z z Y = . Для второго участка эти величины соот- ветственно равны: 2 ( 2) B M Y z M Pz = + − − и 2 ( ) 2 B M z z Y = + . Тогда уравнение сов- местности деформаций примет вид: 2 2 0 0 ( ) ( ( 2) )( 2) 0 B B Y z M zdz Y z M Pz z dz EJ EJ − + − − + + = Решив это уравнение относительно Y B , получим: 17 16 B Y kH = . Подставив это значение в уравнения статики, найдем остальные неизвестные реакции: 1 16 A Y kH = − и 1 4 A M kHм = 11. Расчет на прочность при напряжениях, циклически изменяющихся во времени 11.1. Понятие об усталостном разрушении Сопротивление материала напряжениям, изменяющимся по величине или знаку, значительно отличается от сопротивления статическому нагруже- нию. Опыт показывает, что при переменных напряжениях, в некоторых слу- чаях, разрушение детали происходит значительно ранее, чем при постоянных по времени и величине напряжениях. 135 Начало разрушения связано с той областью материала, в которой вследствие повышенных напряжений, обусловленных конструктивными, технологическими или структурными факторами начинают происходить не- обратимые процессы накопления микроскопических повреждений, которые могут привести к образованию микротрещины. При многократном измене- нии напряжений материал, расположенный в зоне трещины, разрушается, и микротрещина проникает вглубь тела, превращается в макротрещину - уста- лостной трещину. Причем разрушение происходит без образования значи- тельных остаточных деформаций, даже для пластичного материала. Усталостью называется процесс постепенного накапливания по- вреждений в материале под действием переменных напряжений, приво- дящих к образованию трещин. Свойство материала сопротивляться уста- лостному разрушению называется выносливостью. После разрушения тела на поверхности излома отчетливо наблюдаются две зоны: первая, со сглаженной мелкокристаллической поверхностью, явля- ется зоной докритического роста усталостной трещины, которая характери- зуется значительной продолжительностью во времени, и вторая, образован- ная чистыми, острыми и крупными кристаллами, является зоной долома или быстрого распространения трещины. В настоящее время теория усталостной прочности находится в разви- тии, и современные расчеты базируются на экспериментальных данных и эмпирических формулах. В последнее время для усталостных расчетов все чаще используется аппарат механики разрушения. 11.2. Основные характеристики цикла Число циклов до момента разрушения зависит от знака и величины напряжения и меняется в весьма широких пределах. При высоком уровне напряжений для разрушения бывает достаточно нескольких циклов. При меньших по величине напряжениях деталь выдерживает миллионы или мил- лиарды циклов, а при еще меньших - способна работать неограниченно дол- го. Циклом напряжения называется однократное изменение напряжения, соответствующее полному периоду (рис.11.1). 136 Рис.11.1. Характеристики цикла изменения напряжения Обозначим наибольшее и наименьшее напряжения цикла через max p и min p . Отношение min max p r p = называется коэффициентом асимметрии цикла. Когда знаки напряжений max p и min p противоположны, цикл называется знакопеременным, а когда одинаковы – знакопостоянным. Если одно из напряжений max p , min p равно нулю, то цикл называется пульсационным или отнулевым. Для пульсационного цикла r = 0 или . Циклы, имеющие оди- наковые коэффициенты r, называются подобными. В случае, когда наибольшее и наименьшее напряжения находятся в за- висимости max min p p = − , то 1 r = − и цикл называется симметричным. Любой цикл характеризуется двумя параметрами: средним постоянным напряжени- ем цикла m p и амплитудой напряжения a p , которые определяются по форму- лам: max min 2 m p p p + = и max min 2 m p p p − = 11.3. Предел выносливости Для расчетов на прочность при циклически изменяющихся напряжени- ях необходимо знать характеристики выносливости материала ,которые определяются путем специальных испытаний. Наиболее распространенными являются испытания в условиях симметричного цикла. 137 Путем испытаний, как правило, 10-20 образцов на разных уровнях напряжений определяется число циклов, которое выдерживает образец до разрушения и строится зависимость величины max p от числа циклов (Рис.11.2). Для сталей число циклов испытаний должно достигать 6 10 10 цик- лов, а для мягких металлов - 8 20 10 циклов. Рис.11.2. Кривая усталости Для большинства черных металлов из кривой усталости можно опреде- лить такое наибольшее напряжение, при котором материал не разрушается при любом числе циклов. Такое напряжение называется пределом устало- сти или пределом выносливости r p , где индекс r соответствует коэффици- енту асимметрии цикла. Для цветных металлов и некоторых сталей не удается установить такое число циклов, выдержав которое, образец не разрушился бы в дальнейшем, то есть отсутствует горизонтальная часть кривой. В этом случае вводится по- нятие условного предела выносливости - напряжение, при котором образец способен выдержать 8 10 циклов. По накопленным результатам многочисленных экспериментов получе- ны эмпирические зависимости, предел усталости с механическими характе- ристиками материала: - для сталей предел выносливости при изгибе составляет 1 (0, 4 0,5) в − = − ; - для цветных металлов 1 (0, 25 0,5) в − = − 138 Применяя вышеуказанные соотношения, следует иметь в виду, что они получены только для определенных материалов и в определенных условиях испытаний. Предел усталости не является характеристикой только свойств матери- ала, как, например, модуль упругости. Он зависит также от условий и метода ведения испытаний. Расчетное напряжение для образца не определяет полно- стью процесс усталостного разрушения. В результате образования трещины величина напряжений и законы их распределения в образце непрерывно меняются в зависимости от условий дальнейшего развития трещины. Последние же в свою очередь зависят от аб- солютных размеров образца и характера приложения внешних сил. Все это неминуемо сказывается на предельном числе циклов и на величине предела усталости. Кроме этого отметим другие факторы, влияющие на усталость матери- алов: - местные напряжения, которые возникают в области резких изменений в форме упругого тела (входящие углы, отверстия, выточки и т.п.), а также в зоне контакта деталей. В таких местах возникают повышенные напряжения с ограниченной зоной распространения, так называемые местные напряжения. - состояние поверхности детали. При грубой обработке детали наличие мел- ких поверхностных дефектов приводит к снижению показателей усталостной прочности, так как начало разрушения связано с зарождением местной по- верхностной трещины. - размеры детали или масштабный фактор. Многочисленные эксперименты показали, что с увеличением размеров образцов их усталостная прочность снижается. Объясняется это тем, что усталостное разрушение определяется не только напряжением в наиболее опасных точках, но также и общими зако- нами распределения напряжений в объеме тела в процессе образования и развития трещин. - остаточные напряжения, которые возникают вследствие термообработки материала детали, могут увеличивать или уменьшать усталостную проч- ность. |