лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
В.В. Сёмкин КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ Новороссийск 2011 2 УДК 539.3/.6 Сёмкин В.В. Краткий курс сопротивления материалов. – Новороссийск: МГА имени Ф.Ф.Ушакова, 2011. – 101 с.: ил. В сжатом виде изложен курс сопротивления материалов в соответствии с государственными образовательными стандартами для студентов механи- ческих специальностей академии. В пособии детально рассмотрены выводы основных формул сопротивления материалов с использованием иллюстра- ций. Многие разделы содержат подробные примеры, позволяющие понять ход решения аналогичных задач и закрепить теоретические вопросы. Для студентов и курсантов очной и заочной форм обучения. Рецензенты: кафедра механики МГА имени Ф.Ф.Ушакова (начальник кафед- ры, д.т.н., проф. А.В.Файвисович) 3 Оглавление Предисловие ............................................................................................................ 5 1. Основные понятия и определения ..................................................................... 6 1.1. Введение ............................................................................................................ 6 1.2. Внутренние силы. Метод сечений .................................................................. 8 1.3. Напряжения..................................................................................................... 10 1.4. Перемещения и деформации ......................................................................... 11 1.5. Связь между деформациями и напряжениями. Закон Гука ....................... 13 1.6. Общие методы расчета конструкций ........................................................... 14 2. Теория напряженного и деформированного состояния ................................ 16 2.1. Основные понятия .......................................................................................... 16 2.2. Линейное напряженное состояние ............................................................... 18 2.3. Плоское напряженное состояние .................................................................. 20 2.4. Экстремальные напряжения при плоском напряженном состоянии ........ 22 2.5. Обобщённый закон Гука ............................................................................... 25 2.6. Гипотезы прочности (пластичности) ........................................................... 27 3. Центральное растяжение (сжатие) .................................................................. 30 3.1. Внутренние силы при растяжении (сжатии) ............................................... 30 3.2. Напряжения при растяжении (сжатии) ........................................................ 31 3.3. Деформации при растяжении (сжатии) ....................................................... 33 3.4. Растяжение (сжатие) стержня с учетом собственного веса стержня ........ 37 3.5. Напряженное состояние при растяжении (сжатии) .................................... 38 3.6. Механические характеристики конструкционных материалов. ............... 38 3.7. Потенциальная энергия деформации образца ............................................. 44 4.1. Статические моменты сечений ..................................................................... 45 4.2. Моменты инерции сечений ........................................................................... 48 4.3. Моменты инерции и моменты сопротивлений простых сечений ............. 50 4.4. Зависимость между моментом инерции сечения при параллельном переносе осей ......................................................................................................... 52 4.5. Моменты инерции сложных сечений ........................................................... 53 4.6. Зависимость между моментами инерции при повороте осей ................... 56 4.7. Главные оси и главные моменты инерции .................................................. 58 4.8. Радиусы инерции сечения ............................................................................. 60 5. Кручение. Чистый сдвиг ................................................................................... 61 5.1. Напряжения при кручении ............................................................................ 62 4 5.2. Деформации при кручении ........................................................................... 66 5.3. Чистый сдвиг .................................................................................................. 69 5.4. Напряженное состояние при кручении ........................................................ 71 5.5. Расчёт цилиндрических пружин с малым шагом витка ............................. 72 6. Изгиб ................................................................................................................... 74 6.1.Определение внутренних усилий при поперечном изгибе ......................... 74 6.2. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями ........... 77 6.3. Определение нормальных напряжений при чистом изгибе ...................... 80 6.4. Условие прочности при чистом изгибе ....................................................... 84 6.5. Определение касательных напряжений при................................................ 85 поперечном изгибе ................................................................................................ 85 6.6. Напряженное состояние при поперечном изгибе. Условие прочности при прямом поперечном изгибе. ................................................................................. 87 6.7. Определения деформаций при прямом изгибе ........................................... 88 6.8. Применение метода уравнивания постоянных интегрирования для расчета деформаций .............................................................................................. 90 6.9. Рациональные формы поперечных сечений при изгибе ............................ 92 7. Энергетические методы расчета деформаций .............................................. 94 7.1. Теорема Кастильяно....................................................................................... 95 7.2. Теорема Максвелла—Мора ........................................................................... 97 7.3. Метод Верещагина ......................................................................................... 98 8. Сложное сопротивление ................................................................................... 99 8.1. Косой изгиб стержня ...................................................................................... 99 8.2. Внецентренное растяжение (сжатие) ......................................................... 106 8.3. Совместное действие изгиба и кручения. .................................................. 112 8.4. Общий случай сложного сопротивления ................................................... 116 9. Устойчивость длинных сжатых стержней .................................................... 117 9.1. Основные понятия об устойчивости .......................................................... 117 9.2. Формула Эйлера для определения критической силы ............................. 119 9.3. Влияние способа закрепления стержня ..................................................... 121 9.4. Пределы применимости формулы Эйлера ................................................ 123 9.5. Проверка сжатых стержней на устойчивость ........................................... 124 10. Статически неопределимые системы .......................................................... 125 10.1. Статически неопределимые системы при растяжении (сжатии) .......... 126 10.2. Статически неопределимые системы при кручении .............................. 129 10.3. Статически неопределимые системы при изгибе ................................... 131 5 10.3.1. Применение метода уравнивания постоянных интегрирования к раскрытию статической неопределимости ....................................................... 131 10.3.2. Применение теоремы Кастильяно для раскрытия статической неопределимости ................................................................................................. 133 11. Расчет на прочность при переменных напряжениях, циклически изменяющихся во времени ................................................................................. 134 11.1. Понятие об усталостном разрушении ...................................................... 134 11.2. Основные характеристики цикла ............................................................. 135 11.3. Предел выносливости ................................................................................ 136 Предисловие Курс «Сопротивления материалов» входит в образовательные стандар- ты для всех инженерных специальностей. Для освоения образовательных программ по специальностям и направлениям требуется освоение этой дис- циплины в большей или меньшей степени. В связи с этим опубликовано зна- чительное количество учебников по «Сопротивлению материалов». Однако, из-за большого объема материала учебного пособия, как правило, студент не видит общей направленности курса и взаимосвязи между его разделами и не осваивает общую методологию решения практических задач, уделяет боль- шее внимание второстепенному, не главному. Эти обстоятельства подтолк- нули автора к попытке создания учебного пособия, лишенного второстепен- ных вопросов и позволяющего воспринять курс «Сопротивления материа- лов» как единое целое с общим подходом к методике решения задач. Учебное пособие будет полезно при освоении этой дисциплины кур- сантами и студентами эксплуатационных специальностей. 6 1. Основные понятия и определения 1.1. Введение Сопротивление материалов – это наука о прочности, жесткости и устойчивости строительных конструкций и деталей машин. Основные понятия сопротивления материалов: прочность – способ- ность тела выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь (на части); де- формирование – изменение геометрических размеров и формы тела под дей- ствием внешних сил; жесткость – способность тела сопротивляться дефор- мированию; устойчивость – способность тела сохранять начальную форму равновесия при действии внешних сил. В сопротивление материалов рассматривается процесс деформации тела, при котором деформации не превышают 5% и применяется принцип начальных размеров: размеры тела во время деформирования почти не из- меняются. Основная цель курса сопротивления материалов – научить студента вы- полнять проверочные и проектировочные расчеты на прочность, жесткость и устойчивость типовых элементов конструкций и деталей. Сопротивление материалов является составной частью механики дефор- мируемого твердого тела (теоретическая механика, теория упругости, меха- ника разрушения, теория пластичности и др.). Для изучения сопротивления материалов необходимы базовые знания по теоретической механике, высшей математике, физике и материаловедению. В отличие от теоретической меха- ники сопротивление материалов рассматривает тело не как абсолютно твер- дое, а как способное к деформациям. В сопротивлении материалов, как и во всех естественных науках, иссле- дование реального объекта начинается с выбора расчетной модели, или рас- четной схемы. Реальный объект, освобожденный от несущественных 7 особенностей, носит название расчетной схемы. Она включает известные ограничения, которые накладываются на свойства материалов, геометрию, формы изделия, способы нагружения, а также модель разрушения. Материалы принято рассматривать как однородную, изотропную и сплошную среду. Однородность материала – одинаковость различных свойств материала тела. Изотропный материал представляет собой материал, свойства которого не зависят от направления (изо – одинаковый). Пример анизотропного мате- риала – древесина (сопротивление древесины зависит от направления дей- ствия внешних сил: вдоль волокон или поперек волокон). Сплошная среда – материал занимает всё отведенное для него место (нет пустот, раковин). Сплошная среда наделяется свойствами, отвечающими свойствам реаль- ного материала, например, упругостью. Упругостью называется свойство тела восстанавливать свои исходные размеры и форму после снятия внешних нагрузок. Пластичностью называется свойство тела сохранять часть полученной при нагружении деформации после прекращения действия нагрузки. Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при по- стоянных внешних нагрузках. При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реально- го объекта. Тела рассматриваются как: стержень (брус или балка); пласти- на (оболочка); массивное тело. Стержень – геометрическое тело, одно из- мерение которого на порядок больше двух других. Пластина - геометриче- ское тело, одно измерение которого на порядок меньше двух других. Упрощению подвергаются силы, действующие на тело. Различают внеш- ние и внутренние силы. Внешние силы подразделяются на активные и ре- активные (реакции связей); на сосредоточенные - силы, действующие на небольших (точечных) участках поверхности детали; распределенные силы приложены на значительном участке поверхности и объемные, которые при- ложены к каждой частице материала. Внутренние силы возникают между смежными частями тела при нагружении. Для решения задач используется принцип независимости действия сил (суперпозиции): результат дей- ствия на тело нескольких сил не зависит от порядка их приложения и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности. 8 Сопротивление материалов зависит не только от величин действующего усилия, но и от характера и длительности их воздействия. Поэтому процесс разрушения рассматривается как статический или как динамический. Статическое нагружение – нагружение, при котором внешние силы не изменяются по величине и направлению, или изменяются с малой скоростью. При динамическом нагружении происходит резкое изменение величины и/или направления приложенных сил (удар, циклическое нагружение пере- меной нагрузкой и др.). 1.2. Внутренние силы. Метод сечений Внутренние силы – это силы взаимодействия между частями тела, ко- торые возникают при действии на тело внешних сил (нагрузок). Внутренние силы определяются с помощью метода сечений. Рассмотрим стержень, который находится в равновесии под действием внешних равных по величине и противоположно направленных сил Р (рис.1.1). Мысленно рассечем его на две части. Под действием сил Р части стремятся разъединиться, но удерживаются вместе за счет внутренних сил, возникающих в сечение. Рис.1.1. Сечение нагруженного стержня Из условия равновесия всего тела в сечении с двух сторон возникают равные по величине и противоположные по знаку внутренние усилия А 1 =А 2 (рис.1.2). 9 Рис.1.2. Правая и левая отсеченные части Правая и левая части в отдельности также находятся в равновесии. Из условия равновесия для левой отсеченной части 1 0 kz F A P = − = получим, что внутренние силы определяются через внешние, то есть А 1 =Р. Для правой от- сеченной части получим аналогично: 2 0 kz F A P = − = и А 2 =Р. Таким образом, внутренние силы можно определить рассмотрев равновесие любой отсечен- ной части. Приведем систему внутренних сил к центру тяжести О сечения, напри- мер правой части А 2 , то есть к двум векторам – главному вектору R и глав- ному моменту o M , так как в общем случае внутренние усилия в сечение рас- пределены неравномерно. Через центр тяжести сечения проведем координат- ные оси и разложим вектора по осям (рис.1.3). Каждый из векторов имеет три составляющих: ; x y z R R R R = + + o x y z M M M M = + + Рис.1.3. Проекции вектора R на координатные оси Проекции векторов имеют в сопротивление материалов своё название: 10 - Z Z R N = - продольная (нормальная) сила вызывает растяжение (сжатие) стержня; - , , X Y Y X R R Q Q = - поперечные силы приводят к сдвигу; - M x , M y – изгибающие моменты приводят к вертикальному или горизон- тальному изгибу; - M z = М кр – крутящий момент вызывает закручивание стержня. Величины N z , Q x , Q y , M x , M y , M кр – называются шестью силовыми факторами, действующими в сечении. Вид нагружения определяется силовыми факторами, возникающими в поперечном сечении. Если в сечении действует только один силовой фактор (внутреннее усилие), то такое нагружение называется простым. В против- ном случае нагружение называется сложным. Например, если в поперечном сечении стержня возникает только крутящий момент М кр , то такой вид нагружения называется кручением. По аналогии производится опреде- ление основных видов нагружения: растяжение или сжатие, чистый изгиб, поперечный изгиб, сложное сопротивление, совместное действие кручения и изгиба и т.д. 1.3. Напряжения Чтобы охарактеризовать закон распределения и интенсивность внут- ренних сил по сечению, вводят числовую меру, называемую механическим напряжением. Внутренняя сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади, выделенную в какой-либо точке сечения, называют напряжением в этой точке. Напряжение имеет размерность – Па (Паскаль) = н/м 2 или кг/см 2 . Часто используется мегапаскаль: 6 1 10 МПа Па = Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис.1.4). В окрестностях точки К выделим элементарную площадку ∆А. Покажем равнодействующую внут- ренних усилий на этой площадке R . Векторная величина p представляет собой полное напряжение в точке К в сечение А, которая определяется как предел среднего напряжения в этой точке ср R p A = , при ∆А стремящимся к нулю (площадка ∆А превращается в точку К), то есть 0 0 lim lim ср A A R p p A → → = = (1.1) 11 Рис.1.4. Напряжения в точке К Разложим полное напряжение p на составляющие по осям n (нормаль к сечению А) и τ(ось, перпендикулярная n и принадлежащая сечению А). Проекция вектора полного напряжения на нормаль называется нормальным напряжением σ в точке К, а на плоскость сечения касательным напряже- нием τ. Из рисунка 1.4 видно, что p = + (1.2) Если волокна тела при нагружении растягиваются (сжимаются), то в теле возникают нормальные напряжения. Если волокна тела подвержены сдвигу или срезу, то в теле возникают касательные напряжения Если через точку К провести другую секущую площадку, полное напряжение p в той же точке будет другим. Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке. 1.4. Перемещения и деформации Под действием внешних сил тело деформируется, и точки тела меняют свое положение в пространстве. Рассмотрим точку А (рис.1.5), принадлежа- щую телу в недеформированном и деформированном состоянии (штриховая линия). Вектор, имеющий начало в точке А недеформированного тела, а ко- нец в соответствующей точке деформированного А 1 , называется вектором полного перемещения точки T . Его проекции на оси координат, равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации, носят название перемещений точки по осям и обычно обозначаются u,v и w. 12 Рис.1. 5. Перемещение точки А Для оценки степени деформированности материала в окрестности точки введем понятие деформации. Рассмотрим элементарный параллелепи- пед с размерами x y z , выделенный в окрестностях точки А (рис. 1.6). Рис.1.6. Линейные а) и угловая б) деформации Из рисунка видно, что материал в окрестностях точки А может иметь линейные и угловые деформации. Причем линейные деформации связаны с изменением размеров тела, а угловые – с изменением формы тела. Относительная линейная деформация (рис.1.6,а), например, относи- тельно оси х, определяется по следующей формуле: x x x = , (1.3) где ∆x - разность между конечным и исходным значением размера паралле- лепипеда по оси х; х - исходное значение размера параллелепипеда по оси х. 13 Относительная деформация, показывающая интенсивность деформиро- вания тела – величина безразмерная и для реальных объектов составляет зна- чение 10 -3 -10 -4 Угловые деформации или углы сдвига γ связаны с изменением перво- начальных углов. Рассмотрим прямой угол у нижней левой вершины парал- лелепипеда (рис.1.6,б). В деформированном состоянии этот угол уменьшился на величину yz Совокупность линейных по различным направлениям и угловых де- формаций в различных плоскостях для точки образует деформированное со- стояние в точке. 1.5. Связь между деформациями и напряжениями. Закон Гука При приложении внешних сил тело деформируется. Вследствие де- формаций в нем возникают внутренние силы (напряжения), препятствующие изменению размеров или формы. Известно, что перемещения в определен- ных пределах пропорциональны действующим силам. «Каково удлинение, такова и сила» - так формулировал свой закон Гук. В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависи- мость между напряжением и деформацией. Для линейных деформаций: E = , (1.4) где σ – нормальное напряжение в сечение; Е – модуль упругости (модуль Юнга) является физической константой материала и определяется экспери- ментально; ε – относительная линейная деформация. Принятая линейная зависимость между перемещениями и силами со- храняется как при возрастании, так и при убывание сил и предопределяет упругие свойства системы. В пределах указанной линейной зависимости твердое тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму после устранения внешних сил. Размерность модуля упругости такая же, как и у напряжений - Па. Например, для стали модуль упругости Е = 200 ГПа, а для резины Е = 2 МПа. Для угловых деформаций (для сдвига) закон Гука имеет следующий вид: G = , (1.5) 14 где τ – касательное напряжение в сечение; G – модуль упругости второго ро- да является физической константой материала; γ – угол сдвига. Модуль упругости второго рода связан с модулем Юнга зависимостью: 2(1 ) E G = + (1.6) В последней формуле μ - коэффициент Пуассона. Коэффициент Пуас- сона – физическая константа материала, определяемая экспериментально, как отношение поперечной деформации к продольной деформации тела: попер прод = (1.7) 1.6. Общие методы расчета конструкций В результате расчета детали или конструкции с использованием фор- мул данного курса мы должны увидеть удовлетворяет ли деталь тем тре- бованиям, которые к ней предъявляются, чтобы деталь надежно эксплуа- тировалось в течение заданного ресурса. Расчет деталей или конструкций производится в основном на прочность, жесткость и устойчивость. Основным расчетом является расчет на прочность, который произ- водится в основном по напряжениям и на основании которого делается вывод о прочности конструкции: если максимальное напряжение в теле меньше или равно допускаемому, то прочность конструкции обеспе- чена. Условие прочности: max , (1.8) где - допускаемое напряжение для материала тела, σ max – макси- мальное напряжение в одной или нескольких точек опасного сечения. Допус- каемое напряжение при решении задач обычно определяется материалом тела, но при проектировочных расчетах конструктор задает его. Так, при растяжении допускаемое напряжение определяется по формуле: пред n = , где пред - предельное напряжение, при котором деталь не может экс- плуатироваться вследствие поломки или чрезмерной деформации. В качестве 15 предельного напряжения для хрупких материалов принимается предел проч- ности - в , а для пластичных предел текучести - T ; n - коэффициент запаса, показывает во сколько наибольшее напряже- ние в точке конструкции меньше предельного. В строительстве коэффициент запаса обычно принимает значения n = 2…3, а на транспорте n = 1…1,5. Иногда расчет на прочность производится по разрушающим нагрузкам: max пред P P P n = , (1.9) где P - допускаемое нагрузка на деталь, которую она может выдер- жать, не разрушаясь и существенно не деформируясь. Расчет на жесткость производится по перемещениям (линейным или угловым). В этом случае должно выполняться условие: max v v , (1.10) где max v - максимальное значение какого-либо перемещения; v - соот- ветствующее допускаемое перемещение в конструкции или детали, которое определяется условиями безопасной и надежной эксплуатации. На основании расчетов на прочность и жесткость далее могут выпол- няться проверочный и проектировочный расчеты. Порядок выполнения рас- четов представлен на рисунке 1.7. 16 Рис.1.7. Порядок выполнения расчетов на прочность и жесткость 2. Теория напряженного и деформированного состояния 2.1. Основные понятия Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, дей- ствующих на всевозможных площадках, приведенных через эту точку.Одна- ко для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимо- 17 сти задавать бесконечное множество площадок, достаточно определить век- торы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных пло- щадках. Вырежем в окрестностях точки А параллелепипед со сторонами dx,dy,dz и в дальнейшем будем считать, что полные напряжения на его гранях известны. Разложим каждый вектор полного напряжения p на гранях на со- ставляющие вдоль координатных осей (рис.2.1). На каждой площадке дей- ствуют одно нормальное напряжение, индекс которого обозначает направле- ние вектора нормали к площадке и два касательных напряжения τ с двумя индексами, первый из которых указывает направление нормали площадки, где действует касательное напряжение, а второй - направление вектора каса- тельного напряжения. Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Для компонент тензора напряжений общепринятым является следую- щее правило знаков: компонента считается положительной, если на площад- ке с положительной внешней нормалью (направленной вдоль одной из коор- динатных осей), она направлена в сторону положительного направления со- ответствующей оси. В дальнейшем мы убедимся в том, что параллелепипед можно ориен- тировать в пространстве таким образом, что на его гранях будут действовать только нормальные напряжения, а касательные напряжения исчезнут. Напряжения на других произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора нормальных напряжений. 18 Рис.2.1. Напряжения на гранях параллелепипеда Площадки (грани), на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными. На таких площадках действуют главные (только нор- мальные) напряжения. Главные напряжения обозначаются σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , причем 1 2 3 В зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трех направлениях различают соответственно ли- нейное (одноосное), плоское (двуосное), объемное (трехосное) напряженные состояния (рис.2.2). Рис.2.2. Линейное, плоское и объемное напряженные состояния 2.2. Линейное напряженное состояние Рассмотрим пластину, которую растягивают силами P . Если в ней вы- резать элементарный параллелепипед со сторонами параллельными и пер- пендикулярными продольной оси, то внутренние силы будут действовать 19 только в направление продольной оси. То есть мы имеем дело с линейным напряженным состоянием. Найдем напряжения на площадке расположенной под углом к вертикали. Используя метод сечений, мысленно рассечем её на две части и рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис. 2.3). Рис.2.3. Пластина с сечением под углом α Левая часть находится в равновесии, поэтому сила Р равна равнодей- ствующей внутренних усилий р. Таким образом A p A = , где σ – напряжение в поперечной площадке площадью А; р – полное напря- жения на наклонной площадке площадью А α Из рисунка видно, что cos A A = . Тогда cos A p A = Следовательно, cos p = (2.1) Возьмем на наклонной площадке точку В и разложим полное напряже- ние в этой точке на составляющие (рис.2.4). Рис. 2.4. Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке Из последнего рисунка видно, что 20 p = + Учитывая выражение (2.1), получаем 2 cos cos p = = и (2.2) 1 sin cos sin sin 2 2 p = = = (2.3) Определим напряжения на наклонных площадках, проведенных через точку В при различных значениях угла α : 1. 0 = , = , 0 = - поперечное сечение; 2. 45 o = , 2 = , 2 = ; 3. 90 o = , 0 = , 0 = Из расчетов видно, что наибольшее касательное напряжение дей- ствует на площадке с углом 45 o = , а наибольшее нормальное напряже- ние действует на площадке с углом 0 o = . Именно с действием экстре- мальных касательных напряжений τ связывается появление на боковой по- верхности образца из малоуглеродистой стали, испытываемого на растяже- ние, линий скольжения, ориентированных под углом 0 45 = к оси образца. 2.3. Плоское напряженное состояние В технике и строительных сооружениях (например, в средней части двутавра или стеновой панели) точки тел испытывают плоское напряженное состояние. Рассмотрим элементарный параллелепипед, вырезанный около какой-либо точки тела. Будем считать, что напряжения на его гранях извест- ны (рис.2.5). Рис.2.5. Напряжения на гранях элемента при плоском напряженном со- стоянии 21 Рассечем элемент толщиной t на две части плоскостью, расположенной под углом α к вертикали и проходящей через точку В. Найдем напряжения , на этой площадке, рассмотрев равновесие нижней отсеченной части относительно осей y 1 , z 1 , причем, ось z 1 перпендикулярна оси y 1 (рис.2.6). Рис.2.6. Напряжения на наклонной площадке Обозначим площадь нижней грани z dA dz t = , вертикальной y dA dy t = и наклонной dA . Возьмем сумму проекций всех сил на оси y 1 , z 1 : 1 cos sin cos sin 0 kz z y zy y yz z y z F dA dA dA dA dA = − − − − = , (2.4) 1 sin cos sin cos 0 ky z y zy y yz z y z F dA dA dA dA dA = + − + − = . (2.5) Сумма моментов всех сил относительно точки В: ( ) 0 B k m F = , то есть 0 2 2 zy y yz z dz dy dA dA − = Учитывая, что dz dy tg = и z y dA dA tg = , получаем zy yz = (2.6) Закон парности касательных напряжений: касательные напряже- ния на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине. Из рисунка 2.6 видно, что cos y dA dA = и sin z dA dA = . Подставив эти значения в выражения (2.4) и сделав математические преобразования, по- лучим: 2 2 cos sin cos sin sin cos 0 z zy y yz − − − − = или 2 2 cos sin sin 2 z y zy = + + (2.7) 22 Аналогично получим выражение для определения τ α : ( ) 2 2 1 1 sin 2 sin 2 cos sin 2 2 z y zy = − + + − или sin 2 cos 2 2 y z zy − = + (2.8) Если рассчитать нормальное напряжение на площадке с углом +90 о , то сумма этого напряжения с напряжением на площадке ей перпендикуляр- ной будет равна сумме нормальных напряжений на гранях исходного эле- мента. Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках от угла α не зависит, то есть является вели- чиной инвариантной. 90 o y z const + + = + = (2.9) 2.4. Экстремальные напряжения при плоском напряженном со- стоянии Найдем площадки (угол 0 ), на которых действуют экстремальные (максимальное и минимальное) напряжения. Для этого преобразуем выраже- ние (2.7) с учетом того, что 2 1 cos 2 sin 2 − = и 2 1 cos 2 cos 2 + = . Тогда (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) sin 2 cos 2 sin 2 2 2 2 2 y z y z y z yz yz + − = + + − + = + + . (2.10) Возьмём производную d d и приравняем её нулю: ( ) ( ) 2sin 2 2 cos 2 0 2 z y yz − − + = Поделив последнее выражение на cos2 , получим ( ) 2 2 0 z y yz tg − − + = Окончательно получаем формулу для определения угла 0 : 0 2 2 yz z y tg = − (2.11) Теперь найдём угол 0 , при котором на площадках отсутствуют каса- тельные напряжения, то есть на площадках действуют главные напряжения. Для этого приравняем нулю выражение (2.8): sin 2 cos 2 0 2 y z zy − = + = или 23 ( ) 2 0 2 z y yz tg − − + = Таким образом, получаем формулу для определения угла наклона нор- малей главных площадок: 0 2 2 yz z y tg = − Сравнивая между собой последнюю формулу с формулой (2.11), видно, что они идентичны. Значит, касательные напряжения отсутствуют на тех площадках, где действуют экстремальные напряжения max и min . Поэтому экстремальные напряжения являются главными 1 max = и 2 min = Из формулы (2.11) получаются два взаимно перпендикулярных направ- ления с углами 0 и 0 90 + , по которым действуют главные напряжения σ 1 и σ 2 . Положительное значение углов откладывается против хода часовой стрелки (рис.2.7). Направление максимального напряжения max всегда проходит через те четверти координат, где сходятся стрелки касательных напряжений. Рис. 2.7. Углы наклона направлений главных напряжений Найдём выражения для определения главных напряжений. Главные напряжения можно определить, подставив значения α 0 в выражение (2.7). Однако, значения главных напряжений можно получить и из выражения (2.10), учитывая, что на основании формулы (2.11): 24 ( ) 0 0 sin 2 2 cos 2 z y yz − = , то есть ( ) 0 0 0 0 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2 z y z y z y z y z y гл − + − + − = + + = + . (2.12) Учитывая, что 2 0 0 1 1 2 cos 2 tg = + и 0 2 2 yz z y tg = − , имеем ( ) 2 2 2 2 0 2 1 1 1 2 1 4 cos 2 yz z y yz z y z y tg = + = + = − + − − Подставим последнее выражение в (2.12) и окончательно полу- чим ( ) 2 2 max 1,2 min 1 4 2 2 z y гл z y yz + = = = − + , (2.13) Часто вместо формулы (2.11) для определения углов наклона нормали главной площадки используют следующую формулу: 1,2 1,2 zy y tg = − , где α 1 , α 2 – углы наклона нормалей главных площадок, соответственно для σ 1 и σ 2 Найдём значение угла при известных главных напряжениях, при ко- тором касательное напряжение достигает максимального значения. Приняв, что 1 z = , 2 y = и 0 zy = , из выражения (2.8) получается, что 1 2 sin 2 2 − = − Следовательно, максимальное касательное напряжение действуют на площадках, наклонённых к направлению главного напряжения σ 1 под углом = 45 (рис.2.8). При угле = - 45 касательные напряжения принима- ют максимальное значение 2 1 2 max 1 ( ) 4 2 2 z y yz − = = − + (2.14) 25 Рис.2.8. Площадки с максимальными касательными напряжениями. 2.5 . Обобщённый закон Гука Рассмотрим параллелепипед, вырезанный вокруг точки А (рис.2.9). Бу- дем считать, что напряжения на его гранях известны. В общем случае на его гранях действуют и касательные напряжения. Но, так как они вызывают сдвиговые деформации, они не изменяют длину сторон параллелепипеда. Для упрощения рисунка касательные напряжения на гранях не показаны. Найдём деформацию параллелепипеда по трём направлениям. Вос- пользуемся принципом независимости действия сил (принципом суперпози- ции) и определим деформацию элемента вдоль оси z: z z z z = + + , (2.15) где , , - деформации сторон параллелепипеда в направлении оси z от напряжений σ z , σ y и σ x соответственно. Согласно закону Гука (1.4) параллелепипед от напряжения σ z получает продольную деформацию (удлинение) в направлении оси z: z z E = 26 От напряжений σ y и σ x в направлении оси z в параллелепипеде возни- кают поперечные деформации, которые связаны с продольными деформаци- ями в направлении осей y и х законом Пуассона (1.7): попер прод = Рис.2.9. Растяжение элемента в трех направлениях Тогда деформации в направлении оси z от этих напряжений определяются следующими выражениями: y z E = − и x z E = − Знак минус говорит о том, что в направлении оси z от этих напряжений происходит сужение сторон параллелепипеда. Подставив значения , , в выражение (3.8) получим ( ) ( ) 1 z z y x E = − + (2.16) Аналогично получим деформации сторон параллелепипеда в направле- нии осей у и х: ( ) ( ) 1 y y x z E = − + , (2.17) ( ) ( ) 1 x x y z E = − + (2.18) Выражения (2.16 - 2.18) представляют собой обобщенный закон Гука. Относительное изменение объема параллепипеда: 27 x y z K = + + = , где ( ) / 3 x y z = + + , К – модуль объемной упругости: 3(1 2 ) E K = − Полная удельная потенциальная энергия упругой деформации: 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 ( / 2 u E = + + − + + Удельная потенциальная энергия изменения объема: 2 2 об u К = Удельная потенциальная энергия изменения формы: 2 2 2 1 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) /12 ф u G = − + − + − 2.6. Гипотезы прочности (пластичности) Прочность материала тела зависит от вида напряжённого состояния в исследуемой точке, то есть от главных напряжений 1 2 3 , , . Наступление предельного состояния отождествляется в одних случаях с появлением зна- чительных пластических деформаций (для пластических материалов), а в других – с разрушением (для хрупких материалов). Экспериментально проверять прочность конструкции или детали, со- блюдая условия реального нагружения, очень сложно. Поэтому применяются гипотезы прочности – гипотезы о причине разрушения или возникновения состояния текучести в материале. Гипотезы позволяют оценить проч- ность материала при различных напряженных состояниях. Плоское или сложное напряженное состояние заменяются эквивалентным ему условным растяжением, согласно критерию той или иной гипотезы. Затем эквивалент- ное состояние сравнивается с обычным растяжением (сжатием), то есть эк- вивалентное напряжение сравнивается с допускаемым, полученным из испы- тания образца на растяжение (сжатие). 28 Напряжение, при котором образец материала в условиях рассматрива- емого напряженного состояния находится в равноопасном состоянии с одно- осном состоянием – называется эквивалентным напряжением σ экв : ( ) 1 2 3 , , экв f = Эквивалентное напряжение для какого-либо напряженного состояния, полученное с помощью критериев прочности и пластичности сравнивается с допускаемым напряжением, полученным экспериментально при растяжении (сжатии). Условие прочности имеет вид неравенства: экв Первые две гипотезы применяются в основном для хрупких материа- лов, а третья и четвертая для пластических. 1. Первая гипотеза прочности (не рекомендуется). Согласно этой гипотезе причиной наступления предельного состояния материала считается достижение максимального главного напряжения 1 предельной допустимой величины. Эквивалентное напряжение по первой ги- потезе I определяется по формуле 1 I = (2.19) Условие прочности по первой гипотезе: I [ ] Недостатки первой гипотезы: 1)гипотеза не подтверждается экспери- ментально для материалов, работающих на сжатие;2) она не учитывает дру- гие главные напряжение 2 и 3 2. Вторая гипотеза прочности (не рекомендуется). Согласно ей критерием прочности является относительное удлинение (деформация) и предельное состояние наступает при достижении наибольшей относительной деформации допустимого значения [ ], то есть = [ ]. Подставив значение ε из выражения (3.4) и [ ] из закона Гука, полу- чим условие прочности по второй гипотезе ( ) ( ) 1 2 3 1 E E − + или ( ) 1 2 3 раст − + Эквивалентное напряжение по второй гипотезе II определяется по формуле 29 ( ) 1 2 3 II = − + (2.20) Недостатки гипотезы: эксперимент не подтверждает теоретические ре- зультаты, особенно при всестороннем сжатии. 3.Третья гипотеза прочности (пластичности). В этом случае критерием разрушения, предложенным Треском и Сен- Венаном (в других источниках Кулоном), являются максимальные каса- тельные напряжения, возникающие на площадках с наибольшими сдвига- ми деформациями. Предельное состояние наступает при достижении макси- мальных касательных напряжений допустимого значения [τ], то есть max = [ ]. Для объёмного напряженного состояния максимальные касательные напряжения max = 1 3 2 − , а при растяжении максимальные касательные напряжения max 2 = . Следовательно 1 3 2 2 − Условие прочности по третьей гипотезе: 1 3 III = − Эквивалентное напряжение по третьей гипотезе III определяется по формуле 1 3 III = − (2.21) Для плоского напряженного состояния, когда главное напряжение от- сутствует 1 2 III = − Эта гипотеза хорошо подтверждается экспериментально, но она не учитывает третье главное напряжение. Применяется для пластичных матери- алов с одинаковыми пределами текучести при растяжении и сжатии. 4. Четвертая гипотеза. Критерием разрушения по четвертой гипотезе (критерием Губера – Вон Мизеса) является та |