лекции сопромат. Лекции_сопр (1). В. В. Сёмкин краткий курс сопротивления материалов новороссийск 2011
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
равнобедренного треугольника определяются по следующим формулам: 3 36 x bh J = ; 3 48 y hb J = Для кольцевого сечения удобнее пользоваться формулами: 4 4 (1 ) 32 D J = − ; 4 4 (1 ) 64 x y D J J = = − , где / d D = 52 Для стандартных прокатных профилей, выпускаемых прокатными заводами (двутавр, швеллер, уголок и т.д.), их размеры и величины геомет- рических характеристик S, W, J, i выбираются из таблиц ГОСТов (сортамен- та), представленных в Приложение № 1. 4.4. Зависимость между моментом инерции сечения при парал- лельном переносе осей Рассмотрим произвольное сечение (рис.4.5). Через его центр тяжести С проведем центральные оси х и у. Будем считать, что моменты инерции отно- сительно этих центральных осей J x и J y известны. Проведем параллельные оси х 1 на расстоянии а от оси х и ось у 1 на расстоянии b от оси у. Определим, как связаны между собой моменты инерции параллельных осей. Из рисунка видно, что x 1 = x + b, y 1 = y + a. Значит момент инерции фигуры относительно оси х 1 равен ( ) 2 2 2 2 1 1 2 x A A A A A J y dA y a dA y dA a ydA a dA = = + = + + Рис.4.5. Сечение для определения моментов инерции для параллельных осей Первый из трех интегралов представляет собой момент инерции J y от- носительно центральной оси у, второй – статический момент S x относитель- 53 но той же оси, который равен нулю, так как ось центральная, а третий инте- грал дает площадь сечения А. Следовательно, 2 1 x x J J a A = + . (4.11) Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инер- ции относительно центральной оси, параллельной данной, сложенному с произведением площади сечения на квадрат расстояния между осями. Из выражения (4.12) следует, что момент инерции относительно центральной оси - наименьший среди моментов инерции относительно па- раллельных осей. 2 1 x x J J a A = − . Аналогично получим момент инерции относительно оси у 1 : ( ) 2 2 2 2 1 1 2 y A A A A A J x dA x b dA x dA b xdA b dA = = + = + + , то есть 2 1 y y J J b A = + (4.12) Теперь найдем центробежный момент инерции относительно осей х 1 и у 1 , параллельных центральным, учитывая что момент инерции J xy известен. ( )( ) 1 1 1 1 x y A A A A A A J x y dA x b y a dA xydA a xdA b ydA ba dA = = + + = + + + Учитывая, что второй и третий интегралы представляют собой статиче- ские моменты инерции относительно центральных осей и, поэтому равны ну- лю, окончательно получаем 1 1 x y xy J J a b A = + (4.13) Центробежный момент инерции сечения относительно взаимно- перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно центральных осей сложенному с произведе- нием площади сечения на координаты центра тяжести относительно новых осей. Если одна из центральных осей является осью симметрии, то последнее выражение упрощается, так как в этом случае, момент инерции J xy равен ну- лю: 1 1 x y J a b A = . 4.5. Моменты инерции сложных сечений 54 Для сложного поперечного сечения (рис.4.6), которое можно разделить на простейшие, момент инерции относительно оси рассчитывается как сумма моментов инерции составных частей относительно той же оси. Рис.4.6. Составное сечение Момент инерции любой фигуры относительно оси х: 2 x A J y dA = Разделим данную фигуру на три составные части с площадями А 1 , А 2 и А 3 (Рис.4.6). Тогда этот интеграл разделится на три интеграла: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x A A A I I I I ydA ydA ydA = + + = + + (4.14) Пример 4.2. Определить координаты центра тяжести и моменты инер- ции сечения (рис.4.7) относительно горизонтальной и вертикальной цен- тральных осей. Решение. Представим, что сечение состоит из прямоугольника I и вы- резанного в нем круга II. Прямоугольник и круг имеют общую горизонталь- ную ось симметрии х. Поэтому центр тяжести будет находиться на этой оси у с =0 и она будет центральной осью сечения. Проведем через точку О вспомогательную ось у 0 , а через центры тяже- сти С 1 и С 2 соответственно оси у 1 и у 2 55 Рис.4.7. Определение центральных моментов инерции составного сечения Координаты центра тяжести С по оси х найдем относительно системы координат хОу 0 : 1 1 2 2 1 2 c x A x A x A A − = − , где А 1 – площадь прямоугольника; А 2 – площадь круга; х 1 – координата цен- тра тяжести прямоугольника С 1 ; х 2 – координата центра тяжести круга С 2 Знак минус указывает на то, что круг вырезается. Из рис.4.7 видно, что 1 3 5 15 A = = см 2 ; 2 2 1,5 1,77 4 A = = см 2 ; х 1 = 2,5 см ; х 2 = 3,75 см. Тогда 2,5 15 3,75 1,77 2,33 15 1,77 c x − = = − см. Через точку С проведем верти- кальную центральную ось сечения у. Момент инерции сечения относительно центральных осей х и у найдем как разность моментов инерции прямоугольника и круга относительно этих осей. 1 2 x x x J J J = − , 1 2 y y y J J J = − Момент инерции прямоугольника относительно оси у определим с по- мощью формулы (4.13), так как эта ось не является центральной для прямо- угольника: 56 1 1 2 1 1 1 y y J J b A = + , где 1 1 y J - момент инерции прямоугольника относительно оси у 1 , b 1 - расстояние между параллельными осями у и у 1 Подставив значения, получаем: 3 3 1 1 3 5 31,25 12 12 y hb J = = = см 4 , 1 1 2,5 2,33 0,17 c c b x x = − = − = см, 1 2 1 31,25 0,17 15 31,68 y J = + = см 4 Аналогично для круга: 2 2 2 2 2 2 y y J J b A = + , где 2 2 y J - момент инерции круга относительно оси у 2 , b 2 - расстояние между параллельными осями у и у 2 Из рисунка видно, что 2 1, 25 0,17 1, 42 b = + = см и 4 4 2 2 1,5 0,25 64 64 y D J = = = см 4 , тогда 1 2 1 0,25 1,42 1,77 3,82 y J = + = см 4 Окончательно получаем 31, 68 3,82 27,86 y J = − = см 4 Момент инерции сечения относительно оси х: 3 4 3 4 5 3 1,5 11, 25 0, 25 11 12 64 12 64 x bh D J = − = − = − = см 4 4.6. Зависимость между моментами инерции при повороте осей Рассмотрим произвольное сечение площадью А (рис.4.8). Через точку О, принадлежащую сечению, проведем две взаимно перпендикулярные оси х и у. Будем считать, что моменты инерции J x , J y и J xy известны. Теперь прове- дем через точку О новые взаимно перпендикулярные оси х 1 и у 1 , повернутые к первоначальным на угол α. Предположим, что J x ›J y , тогда положительное направление угла α отсчитывается от оси х против хода часовой стрелки. Определим зависимость между моментами инерции J x1 , J y1 и J x1y1 и мо- ментами инерции J x , J y и J xy . Моменты инерции относительно осей поверну- тых на угол α: 57 2 1 1 x A J y dA = , 2 1 1 y A J x dA = и 1 1 1 1 x y A J x y dA = (4.15) Рис.4.8. Определение моментов инерции при повороте осей Установим зависимости между координатами элементарной площадки dA в исходной системе хОу и новой х 1 Оу 1 . Из рисунка видно, что 1 cos sin x OB OA AB OA DC x y = = + = + = + , 1 cos sin y BF FC BC FC AD y x = = − = − = − Подставим эти значения в выражения (4.15): ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin cos sin 2 cos sin x A A A A A J y dA y x dA y dA x dA xydA = = − = + − , ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 cos sin cos sin 2 cos sin y A A A A A J x dA x y dA x dA y dA xydA = = + = + + В этих выражениях первый и второй интегралы – осевые моменты инерции J x , и J y , а последний – центробежный момент инерции J xy. Следова- тельно 2 2 1 cos sin sin 2 x x y xy J J J J = + − , (4.16) 2 2 1 sin cos sin 2 y x y xy J J J J = + + (4.17) Из выражений (4.16- 4.17) можно установить, что 2 2 2 2 1 1 (cos in ) (cos in ) x y x y x y J J J s J s J J J + = + + + = + = (4.18) Таким образом, сумма моментов инерции относительно любых вза- имно перпендикулярных осей, проходящих через точку О, не изменяется 58 при их повороте и равна полярному моменту инерции относительно полюса О. Иногда для вычисления осевого момента удобнее пользоваться форму- лами (4.16- 4.17), преобразованными с учетом того, что 2 1 cos 2 cos 2 + = и 2 1 cos 2 sin 2 − = Подставив эти значения в (4.17- 4.18), получаем: 1 cos 2 sin 2 2 2 x y x y x xy J J J J J J + − = + − ; (4.19) 1 cos 2 sin 2 2 2 x y x y y xy J J J J J J + − = − + Центробежный момент инерции относительно осей х 1 и у 1 будет равен: 2 1 1 1 1 ( sin ) ( cos sin ) cos x y A A A J x y dA xcos y y x dA xydA = = + − = + 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos sin 2 2 x xy A J y dA x dA xydA J − − = + − 2 sin 2 sin 2 y xy J J − Окончательно получаем: 1 1 sin 2 cos 2 2 x y x y xy J J J J − = + (4.20) 4.7. Главные оси и главные моменты инерции Ранее было установлено, что сумма моментов инерции не изменяется от поворота осей (4.18). Значит, если один из осевых моментов достигает максимальной величины, другой должен быть минимальным. Определим, насколько нужно повернуть оси, чтобы моменты инерции стали экстремаль- ными. Возьмем первую производную от J x1 по α и приравняем нулю: 1 0 0 0 0 2 cos sin 2 cos sin 2 cos 2 0 x x y xy dJ J J J d = − + − = ; ( ) 0 0 sin 2 2 cos 2 0 x y xy J J J − − − = Разделив это выражение на cos2 0 , получаем: ( ) 0 2 0 x y xy J J tg J − − − = и тогда 59 0 2 2 2 xy xy x y y x J J tg J J J J = − = − − (4.21) Выражение (4.21) имеет два решения – угол α 0 и 1 0 0 90 = + , а мо- менты инерции относительно осей повернутых на эти углы становятся один максимальным, другой минимальным. Покажем, что центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю. Для этого приравняем к нулю выражение (4.20): 1 1 0 0 sin 2 cos 2 0 2 x y x y xy J J J J − = + = Разделив это выражение на cos2 0 , получаем: 0 2 0 2 x y xy J J tg J − + = и окончательно 0 2 2 2 xy xy x y y x J J tg J J J J = − = − − Сравнивая между собой последнюю формулу с формулой (4.21), видно, что они идентичны. Таким образом, определив угол α 0 , получим оси с экс- тремальными моментами инерции, и для которых центробежный момент ра- вен нулю. Оси, относительно которых центробежный момент J x1y1 =0 и моменты инерции экстремальны, называются главными. Моменты инер- ции сечения относительно главных осей называются главными. Главные центральные оси инерции - это такие взаимно перпендику- лярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно кото- рых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые мо- менты инерции имеют максимальное и минимальное значения. Главные моменты инерции можно определить, подставив значения α 0 в выражения (4.16- 4.17). Однако, значения главных моментов инерции можно получить и из выражения (4.19),учитывая, что на основании формулы (4.21) 0 0 sin 2 cos x y xy J J J − = − , то есть max 0 0 min cos 2 sin 2 2 2 2 x y x y x y гл xy J J J J J J J J J + − + = = + − = + 0 0 0 0 0 sin 2 1 cos 2 ( ) sin 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2 x y x y x y x y J J J J J J J J − − + − + = + (4.22) Учитывая, что 2 0 0 1 1 2 cos 2 tg = + и 0 2 2 xy x y J tg J J = − − , имеем |