ВеллсР., ОлниМ
 Скачать 16.3 Mb.
|
|
Графики двух переменных На рис. 2А.1 показан типичный график двух переменных. Он иллюстрирует данные, приведенные в расположенной рядом таблице, где отражен ожидаемый типичным поставщиком объем продаж газированной воды на стадионе при про- ведении одного бейсбольного матча в зависимости от температуры воздуха. В пер- вой колонке показаны значения температуры воздуха (первая переменная), а во второй — количество проданных банок газировки (вторая переменная). В третьей колонке показаны пять парных комбинаций значений этих переменных, каждая из которых обозначена буквами от А до Е. Теперь рассмотрим, как отражаются в системе выбранных нами координат данные этой таблицы. В любом графике двух переменных одна переменная на- зывается переменной х, а другая — переменной у. Теперь мы должны обозначить температуру воздуха как переменную х, а количество проданных банок газиров- ки — как переменную у. Сплошная горизонтальная линия на графике называет- ся горизонтальной осью, или осью х, и значения переменной х (в данном случае температуры воздуха) откладываются на ней. Аналогично сплошная вертикаль- ная линия на графике называется вертикальной осью, или осью у, и значения Показатель, который может иметь различ- ные значения, называ- ется переменной. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 97 переменной у (в данном случае количество проданных банок газировки) откладываются на ней. В начале ко- ординат — точке, в которой встречаются две оси, каж- дая из переменных равна нулю. При движении вправо от начала координат по горизонтальной оси значения переменной х увеличиваются, оставаясь при этом все время положительными. При движении вверх от нача- ла координат по вертикальной оси значения перемен- ной у увеличиваются, оставаясь при этом все время по- ложительными. Вы можете отложить каждую из пяти точек от А до Е на этом графике, используя парные комбинации чи- сел — значений переменных х и у для данной точки. На рис. 2А.1 в точке C значение переменной х равно 40, а значение переменной у — 30. Вы размещаете точку C на графике на пересечении двух линий: проведенной вверх от значения 40 на оси х вертикальной линии и проведенной вправо от значения 30 на оси у горизонтальной линии. Точку В мы обозначаем координатами (40, 30), а начало координат — (0, 0). Рассматривая точки А и B на рис. 2А.1, вы можете увидеть, что при значении одной из переменных, равном нулю, точки располагаются на осях. Если значение х равно 0, точка располагается на вертикальной оси, как точка А. Если значение у равно 0, точка располагается на горизонтальной оси, как точка B. Рис. 2А.1. Откладывание точек на графике двух переменных Данные взяты из таблицы; температура воздуха (независимая переменная) откла- дывается на горизонтальной оси, а количество проданных банок газировки (зави- симая переменная) — на вертикальной оси. Каждая из пяти комбинаций темпера- туры и количества проданной газировки представлена точками А, B, C, D и Е. Каждая точка на графике определена парой значений. К примеру, размещение точки С определяется парой (40, 30) — температурой воздуха 40 °F (значение перемен- ной х) и количеством — 30 — банок проданной газировки (значение переменной у) Линия, на которой откла- дываются значения пере- менной х, называется го- ризонтальной осью, или осью х. Линия, на которой откладываются значения переменной у, называется вертикальной осью, или осью у. Точка, в которой встречаются оси графика двух переменных, называ- ется началом координат. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 98 Большинство графиков, которые отражают взаи- мосвязь двух переменных, представляют причинно- следственную связь — взаимосвязь, в которой значе- ние одной переменной непосредственно влияет или определяет значение другой переменной. В при чинно- следственной связи определяющая переменная назы- вается независимой переменной, а определяемая — зависимой переменной. В нашем примере с продажей газировки температура воздуха — независимая пере- менная. Она непосредственно влияет на количество проданных банок напитка — зависимую переменную в этом случае. По умолчанию принято соглашение, что независи- мая переменная располагается на горизонтальной оси, а зависимая — на вертикальной оси. Рисунок 2А.1 построен в соответствии с этим принятым по умолчанию правилом: независимая переменная (температура воз- духа) — на горизонтальной оси, а зависимая переменная (количество проданных банок газировки) — на вертикальной оси. Важным ис- ключением из этого соглашения являются графики, показывающие экономические взаимосвязи цены про- дукта и его количества: хотя цена в общем случае яв- ляется независимой переменной, которая определяет количество, она всегда располагается на вертикальной оси. Кривые на графике Рисунок 2А.2, а содержит ту же информацию, что и рис. 2А.1, а также линию, проведенную через точки В, С, D и E. Такая линия на графике называется кривой вне зависимости от того, является ли она в действи- тельности кривой или представляет собой прямую. Ес- ЛОВУШКА ЛОВУШКА ПОЧЕМУ Y — НЕ ВСЕГДА Y Обучаясь математике, вы, скорее всего, называли горизонтальную ось «осью х», а вертикальную ось — «осью у». Некоторые экономисты поступают так же. Но это мо- жет привести к ошибкам! При изучении экономикс мы используем символ Y для обозначения дохода. Представляя на гра- фике взаимосвязь доходов и расходов до- машних хозяйств, мы будем откладывать доход Y по горизонтальной оси. «Постойте! — скажете вы. — Но это зна- чит, что мы откладываем Y по оси х, а не по оси у». Да, и это абсолютно правиль- но. И поэтому лучше всего сразу начинать думать не в терминах «ось х» и «ось у», а «горизонтальная ось» и «вертикаль- ная ось». Кривая — это линия на графике, которая пока- зывает взаимосвязь двух переменных. Она может иметь форму прямой или кривой линии. Если кривая является пря мой линией, между перемен- ными существует линей- ная зависимость. Если кривая не является пря- мой линией, между пере- менными существует не- линейная зависимость. Причинно-следственная связь существует между двумя переменными, когда значение одной переменной непосред- ственно влияет или определяет значение другой переменной. В причинно-следственной связи определяющая переменная называется независимой перемен- ной, а определяемая — зависимой переменной. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 99 ли кривая, показывающая взаимосвязь двух переменных, является прямой, между переменными существует линейная зависимость. Когда кривая не является пря- мой, между переменными существует нелинейная зависимость. Точка на кривой показывает значение переменной у при определенном значе- нии переменной х. К примеру, точка D показывает, что при температуре 60 °F по- ставщик может ожидать продажи 50 банок газировки. Форма и направленность (вверх или вниз) кривой за- висят от природы взаимосвязи двух переменных. На- правленность вверх кривой на рис. 2А.2, а говорит о том, что поставщик может ожидать продажи большего количества напитка при повышении температуры воз- духа. Когда переменные взаимосвязаны таким образом — рост значения одной переменной вызывает увели- чение значения другой переменной, — говорят, что Рис. 2А.2. Построение кривых Кривая на рис. а иллюстрирует взаимосвязь двух переменных, температуры воз- духа и количества проданных банок газировки. Две переменные имеют положи- тельную линейную зависимость: положительную — потому что кривая наклонена вверх, линейную — потому что она имеет форму прямой линии. Это отражает тот факт, что увеличение х (температуры воздуха) приводит к увеличению у (количе- ство проданных банок напитка). Кривая на рис. б также имеет форму прямой ли- нии, но она наклонена вниз. Здесь двумя переменными являются температура воз- духа и количество проданных горячих напитков, которые имеют отрицательную линейную зависимость: увеличение х (температуры воздуха) приводит к снижению у (количество проданных горячих напитков). Кривая на рис. а имеет горизонталь- ное пересечение в точке B, где она пересекается с горизонтальной осью. Кривая на рис. б имеет горизонтальное пересечение в точке Е, где она пересекается с вер- тикальной осью, и горизонтальное пересечение в точке И, где она пересекается с горизонтальной осью Две переменные имеют положительную зави- симость, когда рост зна- чения одной переменной вызывает увеличение значения другой перемен- ной. Это иллюстрирует кривая, которая имеет на- клон вверх слева направо. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 100 переменные имеют положительную зависимость. Это иллюстрирует кривая, которая имеет наклон вверх слева направо. Поскольку эта кривая является также и линейной, взаимосвязь температуры воздуха и коли- чества проданной газированной воды, проиллюстри- рованная на рис. 2А.2, а, является положительной ли- нейной зависимостью. Когда рост значения одной переменной вызывает снижение значения другой переменной, говорят, что переменные имеют отрицательную зависимость. Это иллюстрирует кривая, которая имеет наклон вниз сле- ва направо, такая, как показана на рис. 2А.2, б. Посколь- ку эта кривая также является линейной, отраженная на рисунке взаимосвязь является положительной ли- нейной зависимостью. Две переменные, которые могут иметь такую взаимосвязь, — это температура воздуха и количество горячих напитков, которое ожидает про- дать поставщик на бейсбольном стадионе. Возвратившись к кривой на рис. 2А.2, а, мы можем увидеть, что она встречается с горизонтальной осью в точке В. Эта точка называется горизонтальным пере- сечением, показывающим значение переменной х при значении переменной у, равном нулю. На рис. 2А.2, б кривая встречается с вертикальной осью в точке J. Эта точка, называемая вертикальным пересечением, пока- зывает значение переменной у при значении перемен- ной х, равном нулю. Наклон кривой — ключевая концепция Наклон линии или кривой — это измеритель ее кру- тизны, который показывает, насколько чувствительно значение переменной у к изменению значения пере- менной х. В нашем примере с температурой воздуха и коли- чеством банок газировки, которое поставщик может ожидать продать, наклон кривой будет показывать, сколько банок напитка может ожидать продать по- ставщик при каждом увеличении температуры возду- ха на 1 °F. Поэтому наклон кривой дает очень важную информацию о развитии ситуации. Рассматривая на- клон кривой в разных точках, можно прийти к важным выводам, даже не зная значений х и у. Две переменные имеют отрицательную зависи- мость, когда рост значе- ния одной переменной вызывает снижение значе- ния другой переменной. Это иллюстрирует кривая, которая имеет наклон вниз слева направо. Наклон линии или кри- вой — это измеритель ее крутизны. Наклон прямой измеряется ее «ростом при движении» — измене- нием значений перемен- ной у между двумя точка- ми на прямой, деленным на изменение значений переменной х между двумя этими же точками. Горизонтальное пере- сечение кривой — это точка, в которой кривая встречается с горизон- тальной осью; она показы- вает значение перемен- ной х при значении пере- менной у, равном нулю. Вертикальное пере- сечение кривой — это точка, в которой кривая встречается с вертикаль- ной осью; она показывает значение переменной у при значении перемен- ной х, равном нулю. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 101 Наклон прямой Наклон, или крутизна, прямой измеряется путем деления ее «роста» между двумя точками на прямой на «движение» между двумя этими же точками. Рост — это величина изменения значений переменной у, а движение — величина изменения значений переменной х, поэтому формула расчета наклона будет следующей: В этой формуле символ Δ (греческая прописная дельта) обозначает изменение. Когда значение переменной увеличивается, изменение является положительным; когда значение переменной уменьшается, изменение является отрицательным. Наклон кривой положителен, когда рост (величина изменения значений пере- менной у) имеет такой же знак, что и движение (величина изменения значений переменной х). Так происходит, потому что когда два числа имеют одинаковые знаки, соотношение этих чисел имеет положительный знак. Кривая на рис. 2А.2, а имеет положительный наклон: при движении вдоль по кривой значения и переменной х, и переменной у увеличиваются. Наклон кривой отрицателен, когда рост и движение имеют разные знаки. Так происходит, потому что когда два числа имеют разные знаки, соотношение этих чисел имеет отрица- тельный знак. Кривая на рис. 2А.2, б имеет отрицательный наклон: при движении вдоль по кривой значения переменной х увеличиваются, а значения переменной у снижаются. Рисунок 2А.3 иллюстрирует расчет наклона прямой. Давайте сначала рассмо- трим рис. а. При движении от точки А к точке В значение у изменяется с 25 до 20, а значение х — с 10 до 20. Поэтому наклон прямой между этими двумя точками составит: Поскольку прямая имеет одинаковую крутизну во всех своих точках, ее наклон также будет одинаковым во всех точках. Иными словами, прямая имеет постоян- ный наклон. Вы можете проверить это, рассчитав наклон прямой между точками А и Б и между точками В и Г на рис. 2А.3, б. Между А и В: Между С и D: Горизонтальные и вертикальные кривые и их наклон Если кривая является горизонтальной линией, при движении вдоль нее не проис- ходит изменения значений переменной у, они остаются постоянными. Насколь- Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 102 ко бы мы ни продвинулись вдоль по кривой, изменения значений переменной у останутся равными нулю. А любое число при его делении на 0 дает 0. Поэтому вне зависимости от изменения значений переменной х наклон горизонтальной линии остается равным нулю. Если кривая является вертикальной линией, при движении вдоль нее не проис- ходят изменения значений переменной х, они остаются постоянными. Насколько бы мы ни продвинулись вдоль по кривой, изменения значений переменной х оста- нутся равными нулю. Это значит, что наклон вертикальной линии является соот- ношением, в котором знаменатель равен 0. Значение такого соотношения равно бесконечности — бесконечно большому числу. Поэтому наклон вертикальной ли- нии равен бесконечности. Вертикальные и горизонтальные кривые имеют особый смысл: они означают, что переменные х и у не являются взаимосвязанными. Две переменные являют- ся не связанными друг с другом, когда изменение значения одной из них (не- зависимой переменной) не оказывает влияния на значение другой переменной (зависимая переменная). Или, выражая это несколько по-иному, две переменные являются не связанными друг с другом, когда значение зависимой переменной остается постоянным вне зависимости от значения независимой переменной. Если, как обычно, зависимой является переменная у, кривая будет горизонталь- ной линией. Если зависимой является переменная х, кривая будет вертикальной линией. Рис. 2А.3. Расчет наклона На рис. а и б показаны две прямые. Между точками А и В на прямой на рис. а из- менение значений у (рост) составляет –5, а изменение значения х (движение) равно 10. Поэтому наклон прямой между точками А и В составит Δу/Δх = –5/10 = = –1/2 = –0,5, где отрицательный знак свидетельствует о том, что кривая наклонена вниз. На рис. б наклон прямой между точками А и В составляет Δу/Δх = 10/2 = 5. Наклон прямой между точками С и D составляет Δу/Δх = 20/4 = 5. Наклон является положительным, кривая наклонена вверх. Более того, наклон между точками А и В и между точками С и D одинаков, потому что рассчитан для точек, принадлежащих одной и той же прямой. Наклон линейной кривой является постоянным: он не из- меняется в зависимости от того, на каком участке прямой рассчитан Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 103 Наклон нелинейной кривой Нелинейной называется такая кривая, наклон которой изменяется при движении вдоль по кривой. На рис. 2А.4, а–г представлены различные виды нелинейных кривых. На рис. а и б показаны нелинейные кривые, наклон которых изменяется при движении по кривым, но остается все время положительным. Хотя обе кри- вые направлены вверх, кривая на рис. а становится все круче по мере продвиже- ния по ней слева направо в противоположность кривой на рис. б, которая стано- вится более пологой. Про кривую, направленную вверх и становящуюся более крутой, как на рис. а, говорят, что она имеет положительный нарастающий наклон. Про кривую, направленную вверх, но становящуюся более пологой, как на рис. б, говорят, что она имеет по- ложительный убывающий наклон. Когда мы рассчитываем наклон этих нелинейных кривых, мы получаем различ- ные его значения в различных точках. Как изменяется наклон при движении по кривой, зависит от ее формы. К примеру, на рис. 2А.4, а наклон кривой является положительной и устойчиво растущей величиной по мере продвижения слева на- право, в то время как на рис. б наклон является положительной, но устойчиво сни- жающейся величиной. Наклон кривых на рис. в и г имеет отрицательные значения. Экономисты предпочитают выражать от- рицательные величины по их абсолютному значению (по модулю), то есть без учета знака «минус». Мы обо- значаем абсолютное значение числа двумя параллель- ными черточками слева и справа от него; к примеру, абсолютное значение –4 записывается как –4 = 4. На рис. в абсолютная величина наклона кривой устойчиво возрастает при движении слева направо. Поэтому кри- вая имеет отрицательный нарастающий наклон. На рис. г абсолютная величина наклона кривой устойчиво снижается при движении по ней. Поэтому кривая име- ет отрицательный убывающий наклон. Расчет наклона нелинейной кривой Мы только что увидели, что в случае с нелинейной кривой значение ее наклона зависит от того, какой ее участок мы рассматриваем. Так как же тогда рассчитать наклон нелинейной кривой? Чтобы рассчитать наклон нелинейной кривой, необходимо провести прямую между двумя точками на кривой. Наклон этой прямой будет представлять собой среднее значение наклона кривой между этими двумя точками. Из рис. 2А.4, а можно увидеть, что прямая, проведенная между точками А и В, дает рост значения по оси х с 6 до 10 (то есть Δх = 4), в то время как увеличение значения по оси у про- исходит с 10 до 20 (то есть Δу = 10). Следовательно, наклон прямой, проходящей через точки А и В, составляет Нелинейная кривая — кривая, наклон которой изменяется при дви- жении вдоль по ней. Абсолютное значение (по модулю) отрица- тельной величины — значение этой величины без учета знака «минус». Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 104 Рис. 2А.4. Нелинейные кривые На рис. а наклон кривой между точками А и B составляет Δу/Δх = 10/4 = 2,5, а между точками C и D: Δу/Δх = 15/1 = 15. Наклон имеет положительное и все возрастающее значение; это делает кривую все более крутой по мере продвижения вправо. На рис. б наклон кривой между точками А и B составляет Δу/Δх = 10/1 = 10, а между точками C и D: Δу/Δх = 5/3 = 1 2/3. Наклон имеет положительное и убывающее значение; это делает кривую все более пологой по мере продвижения вправо. На рис. в наклон кривой между точками А и B составляет Δу/Δх = –10/3 = –3 1/3, а между точками C и D: Δу/Δх = –15/1 = –15. Наклон имеет отрицательное и все воз- растающее значение; это делает кривую все более крутой по мере продвижения вправо. И на рис. г наклон кривой между точками А и B составляет Δу/Δх = –20/1 = = –20, а между точками C и D: Δу/Δх = –5/3 = –1 2/3. Наклон имеет отрицательное и убывающее значение; это делает кривую все более пологой по мере продвижения вправо. Наклон в каждом случае может быть рассчитан методом дуги, то есть с по- мощью построения прямой, соединяющей две точки на кривой; среднее значение наклона между этими двумя точками равно наклону данной прямой Это значит, что средний наклон кривой между точками А и B равен 2,5. Теперь рассмотрим ту же кривую, но на участке между точками C и D. Прямая, проведенная между точками C и D, дает рост значения по оси х с 11 до 12 (Δх = 1) и увеличение значения по оси у с 25 до 40 (Δу = 15). Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 105 Поэтому средний наклон кривой между точками C и D составляет: Следовательно, средний наклон кривой между точками C и D больше, чем ее средний наклон между точками А и B. Эти расчеты подтверждают то, что мы уже увидели визуально, — что эта направленная вверх кривая становится все круче по мере перемещения слева направо и поэтому имеет положительный нарастающий наклон. Точки максимума и минимума Наклон нелинейной кривой может меняться с положительного на отрицательный, и наоборот. Когда наклон меняется с положительного на отрицательный, образу- ется точка максимума кривой. Когда наклон меняется с отрицательного на поло- жительный, образуется точка минимума кривой. На рис. 2А.5, а показана кривая, наклон которой ме- няется с положительного на отрицательный при дви- жении слева направо. Когда значения х находятся в пределах от 0 до 50, наклон кривой положителен. При х = 50 кривая достигает своей наивысшей точки — са- мого большого значения у на кривой. Эта точка назы- вается максимумом кривой. Когда значения х превы- шают 50, наклон кривой становится отрицательным, поскольку кривая направлена вниз. Многие важные кривые в экономикс, такие как кривая изменения прибыли фирмы в зависимости от объема производства, имеют выпуклую форму, подобно представленной на этом рисунке. В противоположность этому кривая на рис. 2А.5, б имеет вогнутую, U-образную форму: ее наклон меня- ется с отрицательного на положительный. При х = 50 кривая достигает своей низшей точки — самого малень- кого значения у на кривой. Эта точка называется ми- нимумом кривой. Разные важные кривые в экономикс, такие как кривая изменения издержек фирмы в зави- симости от объема производства, имеют U-образную форму, подобно представленной на этом рисунке. Представление численной информации Графики и диаграммы могут также использоваться в качестве удобного способа представления данных, не предполагающих наличие каких-либо взаимосвязей. Графики, которые просто отображают численную информацию, называются чис- ловыми графиками. Здесь будут рассмотрены четыре вида числовых графиков: графики временных рядов, диаграммы разброса, секторные диаграммы и гисто- Нелинейная кривая может иметь точку мак- симума — наивысшую точку кривой. В точке максимума наклон кривой меняется с положитель- ного на отрицательный. Нелинейная кривая может иметь точку минимума — низшую точку кривой. В точке минимума наклон кривой меняется с отрицатель- ного на положительный. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 106 граммы. Они широко используются для отображения реальных, эмпирических данных о различных экономических переменных, потому что часто помогают эко- номистам и политикам идентифицировать модели и тенденции в экономике. Но, как мы увидим, необходимо быть внимательными, чтобы не допустить ошибочной интерпретации или получения неверных выводов на основе числовых графиков. Виды числовых графиков В газетах вы, вероятно, видели графики, показывающие изменение во времени экономических переменных, таких как уровень безработицы или цены на акции. Графики временны х рядов строятся путем откладывания дат на горизонтальной оси и значений переменной на эти даты на вертикальной оси. К примеру, на рис. 2А.6 показан уровень безработицы в США с 1989 до середины 2004 года. Линия, которая соединяет точки, соответствующие уровням безрабо- тицы для каждого года, четко показывает тенденцию изменения уровня безработицы в этот период. На рис. 2А.7 приведен пример другого вида число- вого графика. Он представляет информацию выборки по 158 странам о средней ожидаемой продолжительно- сти жизни и валовом национальном продукте (ВНП) на душу населения — грубом измерителе уровня жизни в стране. Каждая точка на этом графике показывает среднюю ожидаемую продолжительность жизни и показатель ВНП на душу на- селения для данной страны (экономисты считают, что именно этот показатель, а не просто уровень ВНП более тесно связан со средней ожидаемой продолжи- тельностью жизни). Точки, расположенные в правом верхнем углу графика, кото- Графики временны´ х рядов строятся путем откладывания дат на горизонтальной оси и зна- чений переменной на эти даты на вертикальной оси. Рис. 2А.5. Точки максимума и минимума На рис. а показана кривая с точкой максимума — точкой, в которой наклон кривой меняется с положительного на отрицательный. На рис. б показана кривая с точкой минимума — точкой, в которой наклон кривой меняется с отрицательного на по- ложительный Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 107 Рис. 2А.6. График временного ряда Графики временных рядов показывают даты по оси х и значения переменной по оси у. Этот график временного ряда представляет скорректированный на се- зонность уровень безработицы в США в период с 1989 до середины 2004 года. Источник: Bureau of Labor Statistics Рис. 2А.7. Диаграмма разброса На диаграмме разброса каждая точка соответствует фактически наблюдаемым значениям переменных х и у. В данном случае каждая точка показывает среднюю ожидаемую продолжительность жизни и ВНП на душу населения для каждой стра- ны по совокупной выборке из 158 стран. Направленная вверх кривая выражает наибольшее приближение общей взаимосвязи этих двух переменных. Источник: Eduard Bos et al., Health, Nutrition, and Population Indicators: A Statistical Handbook (Washington, DC: World Bank, 1999) Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 108 рые представляют комбинации высокой ожидаемой продолжительности жизни и высокого уровня ВНП на душу населения, характеризуют ситуацию в экономиче- ски развитых странах, таких как США. Точки, расположенные в левом нижнем углу графика, которые представляют комбинации низкой ожидаемой продолжи- тельности жизни и низкого ВНП на душу населения, характеризуют ситуацию в экономически менее развитых странах, таких как Афганистан и Сьерра-Леоне. Вырисовывающаяся из точек модель показывает наличие положительной зависи- мости между ожидаемой продолжительностью жизни и ВНП на душу населения: в странах с более высоким уровнем жизни люди живут дольше. Такой вид графика называется диаграммой разброса — диаграммой, в которой каждая точка соот- ветствует фактически наблюдаемым значениям пере- менных х и у. На диаграмме разброса кривая обычно соответствует модели, представляемой совокупностью точек, то есть кривая строится так, чтобы максимально соответствовать общей взаимосвязи точек. Как вы мо- жете увидеть, такая кривая на рис. 2А.7 направлена вверх, что показывает положительную зависимость между двумя переменными. Диаграммы разброса часто используются, чтобы по- казать общие взаимосвязи большой совокупности данных. Секторная диаграмма показывает долю в общей величине (структуру), кото- рая рассчитывается для различных элементов некоторого целого и обычно выра- жается в процентах. К примеру, на рис. 2А.8 представлена секторная диаграмма, Диаграмма разброса по- казывает точки, которые соответствуют фактически наблюдаемым значениям переменных х и у. Кривая обычно соответствует модели, представляемой совокупностью точек. Рис. 2А.8. Секторная диаграмма Секторная диаграмма показывает долю в общей величине, которая рассчитывает- ся для различных элементов некоторого целого и обычно выражается в процен- тах. Данная секторная диаграмма показывает структуру доходов федерального бюджета США. Источник: Executive Offi ce of the President, Offi ce of Management and Budget Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 109 которая показывает различные источники доходов федерального бюджета США в 2003 году, выражая их в процентах от общей величины доходов в $1782,3 млрд. Как вы можете увидеть, сборы на социальное страхова- ние (доходы Фонда социального страхования, здраво- охранения и страхования от безработицы) составляют 40% от общей величины доходов федерального бюдже- та; еще один важный элемент доходов — поступления подоходного налога с физических лиц, доля которых составила 45%. В гистограммах используются столбики различной высоты или длины, чтобы представить значения переменных. В гистограмме на рис. 2А.9 столбики показывают выраженное в процентах изменение количества безработных в США в период с 2001 по 2002 год отдельно по белым, черным, или афроамериканцам, и азиатам. Значение перемен- ной может быть записано на конце столбика, как на данном рисунке. К примеру, количество безработных азиатов в США выросло на 35% в период 2001–2002 го- дов. Но даже без указания значений переменной срав- нение высоты или длины столбиков может оказаться полезным, потому что дает возможность увидеть отно- сительную величину различных значений перемен- ной. Проблемы интерпретации числовых графиков Хотя в начале этого приложения внимание акцентировалось на том, что графики представляют собой визуальные образы, которые облегчают понимание идей или информации, они могут быть построены (умышленно или ненамеренно) таким образом, что будут искажать реальную ситуацию и приводить к неверным выво- Секторная диаграмма показывает долю различ- ных элементов в общей величине некоторого це- лого (структуру) и обычно выражается в процентах. Гистограмма использует столбики различной вы- соты или длины, чтобы показать сравнитель- ные величины раз- личных переменных. Рис. 2А.9. Гистограмма Гистограмма представляет переменную с использованием столбиков различной высоты или длины. На этой гистограмме показано изменение количества безра- ботных в процентах в период 2001–2002 годов раздельно по белым, черным, или афроамериканцам, и азиатам. Источник: Bureau of Labor Statistics Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 110 дам. В этом параграфе рассматриваются некоторые проблемы, которых вам необ- ходимо избегать при интерпретации графиков. Особенности построения графика. Прежде чем делать выводы на основе чис- ловых графиков, необходимо убедиться в правильности шкалы или размерности приращения по осям. Маленькая размерность приводит к визуальному преуве- личению изменений переменных, в то время как большая размерность визуально сглаживает их. Поэтому шкала, выбранная для построения графика, может повли- ять на вашу интерпретацию значимости иллюстрируемых им изменений, возмож- но, не соответствующую реальной ситуации. Рассмотрим, к примеру, рис. 2А.10, который показывает уровень безработицы в США в 2002 году с использованием масштаба 0,1%. Вы можете увидеть, что уро- вень безработицы вырос с 5,6% в начале 2002 года до 6,0% в конце года. Рост уров- ня безработицы всего на 0,4%, представленный на построенном с таким мелким масштабом графике, выглядит чрезмерно большим и может привести политиков к заключению, что это является значимым процессом. Но если вернуться назад, к графику на рис. 2А.6, который показывает уровень безработицы в США в пери- од с 1989 по 2004 год, вы увидите, что этот вывод будет неверным. Рисунок 2А.6 включает в себя те же данные, которые показаны на рис. 2А.10, но в масштабе 1%, а не 0,1%. Из него видно, что рост уровня безработицы на 0,4% в 2004 году факти- чески является несущественным изменением, по крайней мере если сравнивать его с изменениями, произошедшими в период с 1990 по 2001 год. Это сравнение показывает, что, если вы не будете обращать внимание на фактор используемого масштаба при интерпретации графика, вы можете прийти к очень разным и, воз- можно, ошибочным выводам. Связанным с выбором масштаба является использование усечения при постро- ении графика. Ось является усеченной, когда пропускается часть шкалы. Это по- казывается двумя наклонными черточками (//) на оси рядом с началом коорди- нат. Вы можете видеть, что вертикальная ось на рис. 2А.10 является усеченной — здесь пропущен кусок шкалы с уровнями от 0 до 5,6, и на оси появился знак //. Усечение экономит место при представлении графика и позволяет использовать больший масштаб при его построении. В результате отображаемые на графике с усечением шкалы изменения переменной могут быть представлены лучше, чем если бы такое усечение не использовалось и приходилось бы применять более мелкий масштаб. Вы должны также обратить особое внимание на точное понимание того, что ил- люстрирует график. К примеру, вы должны четко понимать, что на рис. 2А.9 по- казаны процентные изменения количества безработных, а не изменения их числа. Уровень безработицы работников азиатской расы вырос больше всего, на 35% в этом примере. Если вы спутаете процентные изменения с абсолютными, то може- те прийти к неверному выводу о том, что наибольшее число людей, ставших без- работными, относятся к азиатской расе. Но правильная интерпретация рис. 2А.9 показывает, что наибольшее число людей, ставших безработными, относятся к белой расе: их количество выросло на 1 168 000 человек, и это намного больше, чем рост числа безработных азиатской расы, составивший 101 тыс. человек в дан- Ось является усеченной, когда пропускается часть шкалы, обычно в целях экономии места при представлении графика. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 111 ном примере. Хотя произошел высокий процентный рост количества безработных азиатской расы, рост их числа в абсолютном выражении в США в 2001 году был намного меньшим, чем рост числа белых безработных. Пропущенные переменные. Из диаграммы разброса, которая показывает две переменные, имеющие положительную или отрицательную взаимосвязь, легко сделать вывод о существовании причинно-следственной связи. Однако взаимо- связь двух переменных не всегда является непосредственной. Вполне возможно, что наблюдаемая взаимосвязь двух переменных существует благодаря влиянию некоторой неучтенной третьей переменной на каждую из них. Ненаблюдаемая переменная, которая посредством ее влияния на другие переменные создает яв- ляющееся ошибочным представление о наличии прямой причинно-следственной связи между этими переменными, называется пропущенной переменной. К при- меру, прошедшие в течение недели большие снегопады обычно приводят к увели- чению покупок людьми лопат для уборки снега. Они также станут причиной того, что люди будут покупать большее количество антиобледенителя. Но если вы пропустите (не учтете) влияние снегопадов и просто покажете на графике точки, соответствующие коли- честву купленных лопат для уборки снега и бутылок антиобледенителя, вы получите диаграмму разброса, которая покажет наличие положительной зависимости между количеством купленных лопат и бутылок анти- обледенителя. Однако вывод о наличии причинно- следственной связи между этими двумя переменными будет ошибочным; большее количество проданных ло- Рис. 2А.10. Интерпретация графиков: влияние масштаба Эти же данные по 2002 году были использованы и на рис. 2А.6. Но здесь они по- казаны в масштабе изменений 0,1%, в то время как ранее масштаб составлял 1%. В результате этого изменения масштаба рост уровня безработицы в 2002 году кажется намного большим на этом графике, чем на рис. 2А.6. Источник: Bureau of Labor Statistics Пропущенная пере- менная — это нена- блюдаемая переменная, которая посредством ее влияния на другие переменные создает яв- ляющееся ошибочным представление о нали- чии прямой причинно- следственной связи меж- ду этими переменными. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 112 пат не является причиной увеличения продаж антиобледенителя, и наоборот. Эти переменные ведут себя примерно одинаково, потому что на них обеих оказывает воздействие третья, определяющая переменная — недельный снегопад, — которая не была учтена в данном случае. Поэтому, прежде чем сделать предположение о том, что модель может быть представлена в виде диаграммы разброса, важно убе- диться в отсутствии некоторой третьей переменной, формирующей данную мо- дель в реальности. Кратко говоря, наличие корреляции не равнозначно наличию причинно-следственной связи. Перестановка причины и следствия. Даже когда вы уверены в том, что нет про- пущенных переменных и существует причинно-следственная связь между двумя переменными, показанная на численном графике, вы должны постараться не оши- биться в определении причины и следствия. Перестановка причины и следствия — это получение неверного вывода о том, какая переменная является независимой, а какая — зависимой, в результате чего устанавливается противоположное вер- ному направление причинно-следственной связи между этими двумя перемен- ными. К примеру, вообразим диаграмму разброса, которая отображает средний балл двадцати ваших однокурсников на одной оси и количество часов, которое каждый из них потратил на учебу, — на другой. Линия, показывающая тенденцию изменения этой модели, скорее всего, будет иметь положительный наклон, ото- бражая положительную взаимосвязь среднего балла и затраченного на учебу вре- мени. Мы можем резонно предположить, что часы учебы являются независимой переменной, а средний балл — зависимой переменной. Однако в данном случае может быть допущена и перестановка причины и следствия: вы можете сделать логический вывод о том, что высокий средний балл является причиной большего усердия (и больших затрат времени на учебу) студентов, в то время как низкий средний балл не побуждает их к проведению большего времени за уроками. Важность понимания того, что графики могут вводить в заблуждение или быть неверно интерпретированы, не носит чисто академического характера. Решения в политике и бизнесе, политические аргументы часто основываются на интерпре- тации таких видов численных графиков, которые мы только что обсудили. Про- блемы ошибок при построении, пропущенных переменных и перепутывания при- чины и следствия могут вызывать очень важные и нежелательные выводы. Задания для самостоятельной работы 1. Изучите четыре представленных ниже графика. Рассмотрите следующие утверждения и покажите, какой график соответствует каждому утвержде- нию. Какая переменная будет откладываться по вертикальной оси, а какая — по горизонтальной? Для каждого из этих утверждений определите, будет ли наклон положительным, отрицательным или бесконечным. 1.1. Если цена билета в кино растет, все меньше зрителей будут ходить в кино. 1.2. Более опытные работники обычно имеют более высокие доходы, чем ме- нее опытные работники. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 113 2. В период правления администрации Р. Рейгана экономист Артур Лаффер выдвигал аргументы в пользу снижения ставок подоходного налога с целью увеличения налоговых поступлений. Как и многие другие экономисты, он считал, что при превышении ставками налога определенного уровня нало- говые поступления начинают снижаться из-за того, что высокие налоги сни- жают стремление некоторых людей к работе в результате изъятия все боль- шей суммы заработанных денег. Эта взаимосвязь ставок налога и налоговых доходов получила графическое выражение в виде широко известной кривой Лаффера. Постройте кривую Лаффера исходя из предположения, что она имеет форму нелинейной кривой. Сделать это вам помогут следующие во- просы. 2.1. Что является независимой переменной, а что — зависимой? На какой оси вы будете откладывать значения ставки подоходного налога? А на какой оси — значения налоговых поступлений? 2.2. Какими будут налоговые поступления при ставке налога на уровне 0? 2.3. Максимально возможная ставка подоходного налога равна 100%. Каки- ми будут налоговые поступления при ставке налога на уровне 100%? 2.4. Как можно показать, что точка максимума на кривой Лаффера достига- ется (приблизительно) при ставке налога на уровне 80%? Как бы вы опи- сали взаимосвязь ставок налога и величины налоговых поступлений для ставок налога, меньших 80%, и как бы эта взаимосвязь отражалась через наклон кривой? Как бы вы описали взаимосвязь ставок налога и величи- ны налоговых поступлений для ставок налога, превышающих 80%, и как бы эта взаимосвязь отражалась через наклон кривой? 3. На представленных ниже графиках не указаны числа на осях. Все, что вам известно, — это то, что единицы измерения переменной, показанной по вер- 1.3. Вне зависимости от температуры воздуха на улице американцы потреб- ляют одинаковое количество гамбургеров в день. 1.4. Потребители покупают больше замороженного йогурта, когда растет це- на на мороженое. 1.5. Исследование показало отсутствие взаимосвязи количества про данных книг по диетическому питанию и количества жира, «сброшенного» сред- ним худеющим. 1.6. Американцы покупают одинаковое количество соли вне зависимости от ее цены. Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 114 тикальной оси, такие же, как и единицы измерения переменной, показанной по горизонтальной оси. 3.1. Каково значение наклона прямой на рис. а? Покажите, что наклон явля- ется постоянным на протяжении всей прямой. 3.2. Каково значение наклона прямой на рис. б? Покажите, что наклон явля- ется постоянным на протяжении всей прямой. 4. Представленная ниже таблица показывает взаимосвязь количества отрабо- танных работниками часов в неделю и их часовой ставки заработной пла- ты. За исключением того, что эти пять работников имеют различные часо- вые ставки заработной платы и работают разное количество часов, во всем остальном данные по ним одинаковы. Имя Количество работы, часов в неделю Ставка заработной платы, $/ч Афина 30 15 Борис 35 30 Курт 37 45 Диего 36 60 Эмили 32 75 4.1. Какая переменная является независимой, а какая — зависимой? 4.2. Постройте диаграмму разброса, иллюстрирующую эту взаимосвязь. По- стройте (нелинейную) кривую, соединяющую эти точки. Ставку часо- вой заработной платы откладывайте по вертикальной оси. 4.3. Как изменяется количество часов работы при росте ставки часовой зара- ботной платы с $15 до $30 согласно представленной здесь зависимости? Каким будет средний наклон кривой на участке между точками, соот- ветствующими данным Афины и Бориса? 4.4. Как изменяется количество часов работы при росте ставки часовой зара- ботной платы с $60 до $75 согласно представленной здесь зависимости? Каким будет средний наклон кривой на участке между точками, соот- ветствующими данным Диего и Эмили? Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 115 5. Исследования показали наличие взаимосвязи годовых темпов экономическо- го роста страны и годовых темпов роста выброса вредных веществ от автомо- билей в атмосферу. Это объясняется тем, что более высокие темпы экономи- ческого роста позволяют населению иметь больше автомобилей и совершать больше поездок, вследствие чего возрастает и количество вредных выбросов от автомобилей в атмосферу. 5.1. Какая переменная является независимой, а какая — зависимой? 5.2. Предположим, что в стране Судланд, где годовой темп экономическо- го роста снизился с 3,0 до 1,5%, годовой темп роста выброса вредных веществ от автомобилей в атмосферу снизился с 6 до 5%. Какое значе- ние имеет средний наклон нелинейной кривой между этими двумя точ- ками? 5.3. Теперь предположим, что когда годовой темп экономического роста вы- рос с 3,5 до 4,5%, годовой темп роста выброса вредных веществ от авто- мобилей в атмосферу вырос с 5,5 до 7,5%. Какое значение имеет средний наклон нелинейной кривой между этими двумя точками? 5.4. Как бы вы описали взаимосвязь этих двух переменных? 6. Страховая компания обнаружила, что величина материального ущерба при пожаре имеет положительную зависимость с количеством пожарных расче- тов, прибывающих на место пожара. 6.1. Постройте график, который будет отражать эту взаимосвязь, на котором количество пожарных расчетов будет показано на горизонтальной оси, а величина ущерба — на вертикальной оси. Какие выводы можно сделать из этого графика? Предположим, вы поменяете местами на осях пере- менные. Какие теперь выводы можно сделать из графика? 6.2. Должна ли страховая компания обратиться к властям города с просьбой высылать несколько пожарных расчетов на каждый пожар, для того что- бы снизить величину своих выплат страхователям? 7. Представленная ниже таблица иллюстрирует величину годового дохода (за- работной платы) и уплачиваемой суммы подоходного налога пяти человек. За исключением того, что эти люди имеют различные доходы и уплачива- ют различные суммы подоходного налога, во всем остальном данные по ним одинаковы. Имя Годовой доход (зара- ботная плата), $ Годовая сумма уплачиваемого подоходного налога, $ Сюзанна 22 000 3304 Билл 63 000 14 317 Джон 3000 454 Мэри 94 000 23 927 Питер 37 000 7020 Приложение к главе 2. Использование графиков в экономикс 116 ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС 7.1. Если вы отложите эти точки на графике, каким будет средний наклон кривой между точками, характеризующими доходы и налоги для Билла и Мэри? Как бы вы интерпретировали эту величину наклона? 7.2. Каким будет средний наклон кривой между точками, характеризующи- ми доходы и налоги для Джона и Сюзанны? Как бы вы интерпретирова- ли эту величину наклона? 7.3. Что будет происходить с величиной наклона при росте доходов? Что эта взаимосвязь говорит о том, как уровень подоходного налога воздейству- ет на стремление людей зарабатывать более высокие доходы? ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ∙ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРО ЧАСТЬ ЧАСТЬ II II ПРЕДЛОЖЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ И СПРОС И СПРОС |