Практикум по Электротехника и электроника. Задача расчет линейных электрических цепей постоянного тока

• Название: Задача расчет линейных электрических цепей постоянного тока
• Дата: 06.03.2022
• Размер: 4.06 Mb.
• Имя файла: Практикум по Электротехника и электроника.docx
• Тип: Задача; #384302
• страница: 1 из 15

Задача 1. РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Условие задачи.

Для заданной электрической схемы (табл. 1.1) с известными парамет­рами (табл. 1.2) определить токи в ветвях цепи следующими методами:

- составления уравнений электрического равновесия по законам Кирхгофа;

- контурных токов;

- наложения;

- узловых потенциалов;

- эквивалентного генератора.
Метод составления уравнений электрического равновесия

по законам Кирхгофа

Методические указания.

Этот метод основан на составлении и совместном решении системы уравнений электрического равновесия, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Общее число независимых уравнений (и) должно быть равно числу неизвестных токов, то есть числу ветвей электрической схемы (р) за исключением ветвей, содержащих источник тока.

Последовательность решения.

Выбрать условное положительное направление токов в ветвях. По первому закону Кирхгофа для схемы, содержащей (q) узлов, составить (q-1) уравнений электрического равновесия. По второму закону Кирхгофа составить [р - (q- 1)] уравнений электрического равновесия для независи­мых контуров. При составлении уравнений электрического равновесия сле­дует обратить внимание на знаки. Если заданное или произвольно выбран­ное направление токов и э. д. с. совпадают с выбранным обходом контуров, то перед ними в уравнениях электрического равновесия ставят знак плюс, знак у падений напряжений берется в соответствии со знаком тока.

Решить полученную систему уравнений электрического равновесия относительно неизвестных токов в ветвях.

Выполнить проверку полученного решения по первому закону Кирх­гофа для узлов заданной электрической схемы.
Электрические схемы для задачи 1

Таблица 1.1.

№	Схема варианта		№		Схема варианта
1			2
3			4
5			6
7			8
№	Схема варианта		№		Схема варианта
9			10
11			12
13			14
15			16
№	Схема варианта		№		Схема варианта
17			18
19			20
21			22
23			24

Исходные данные для задачи

Таблица 1.2

Номер вариа-нта	Значение параметров
	Е, В	J1, А	J2, А	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	RВН, Ом	GВН, См
1	42	35	17	10	20	5	7	0,5
2	126	6	8	1	3	2	5	0,25
3	21	5	2	5	9	3	3	0,2
4	29	3	6	2	3	4	4	0,2
5	200	25	25	8	3	1	4	0,5
6	40	10	3	5	8	5	2	0,5
7	50	3	25	3	5	2	З	0,2
8	20	10	8	4	8	2	6	1
9	50	22	6	4	5	2	3	0,1
10	140	20	7	5	1	4	6	0,2
11	104	28	13	5	2	3	2	0,1
12	150	4	6	3	4	6	5	0,2
13	43	4	28	2	5	1	3	0,2
14	82	2	3	6	4	5	6	0,2
15	52	2	1	3	1	2	2	0,2
16	204	1	5	2	3	1	3	0,4
17	110	11	9	2	3	3	2	0,5
18	72	2	1	4	1	3	6	0,2
19	42	2	5	3	3	4	5	0,1
20	8	6	2	6	1	2	2	0,05
21	187	10	6	2	6	7	4	0,5
22	144	5	15	4	3	2	4	0.5
23	84	6	5	3	3	б	3	0,5
24	103	12	6	4	3	1	3	0,5

Метод контурных токов

Методические указания.

Этот метод заключается в представлении действительных токов в вет­вях, являющихся общими для двух или большего числа смежных контуров, алгебраической суммой составляющих, каждая из которых является током, замыкающимся в одном из выбранных контуров. Эти составляющие назы­ваются контурными токами. При решении задачи этим методом в расчет вводят контурные токи, составляют уравнения электрического равновесия только на основании второго закона Кирхгофа. Вычислив контурные токи, определяют действительные токи в ветвях.

Последовательность решения.

Выбрать для рассматриваемой схемы независимые контуры, не со­держащие источники тока (J).

Задавшись положительными направлениями обхода контуров, соста­вить для выбранных независимых контуров уравнения электрического рав­новесия по второму закону Кирхгофа, принимая направления контурных токов, совпадающими с выбранным обходом контуров. В уравнениях элек­трического равновесия учитывать и падения напряжений, обусловленные источниками тока (J) на соответствующих сопротивлениях рассматривае­мого контура. Определить контурные токи.

Вычислить действительные токи ветвей как алгебраические суммы токов как контурных, так и источников тока, протекающих через рассмат­риваемую ветвь.
Метод наложения

Методические указания.

Этот метод основан на том, что действительный ток в рассматривае­мой ветви равен алгебраической сумме составляющих токов в этой ветви, вызванных каждой из э. д. с. и источника тока в отдельности при исключе­нии действия остальных источников э. д. с. и тока.

Последовательность решения.

Составить (нарисовать) электрические цепи с одним источником э. д. с. или тока, при этом зажимы остальных источников тока размыкать, а источники э. д. с. замыкать накоротко.

Задаться положительными направлениями токов в ветвях.

Определить составляющие - токов в ветвях, вызванных рассматри­ваемым источником.

Определить действительные токи ветвей как алгебраическую сумму составляющих.
Метод узловых потенциалов

Методические указания.

Этот метод заключается в определении потенциалов узлов, на основа­нии чего вычисляются токи в ветвях по закону Ома. Потенциалы узлов оп­ределяются на основании системы уравнений электрического равновесия (1.1), составленных по первому закону Кирхгофа. При этом токи в уравне­ниях электрического равновесия выражают через потенциалы согласно за­кону Ома для участка цепи. Потенциал одного из узлов принимается рав­ным нулю.

(1.1)

Где φ₁, φ₂, φ₃, - потенциалы узлов; G₁₁, G₂₂, G₃₃ - собственная (узловая) проводимость, равная сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в этом узле, без учета проводимостей ветвей с источниками тока; G₁₂, G₂₁, G₃₁, G₁₃, G₂₃, G₃₂ - взаимная проводимость, равная сумме проводи­мостей ветвей между двумя узлами, без учета проводимостей ветвей с ис­точниками тока; I₁₁, I₂₂, I₃₃,… - узловой ток, равный алгебраической сум­ме токов (J) источников тока и произведений (G-E) (э. д. с. ветвей, сходя­щихся в рассматриваемом узле, на их проводимости); эти величины вхо­дят в выражения узловых токов со знаком плюс, если токи (J) и э. д. с. (E) направлены к рассматриваемому узлу.
Последовательность решения.

Пронумеровать узлы. Потенциал одного из узлов принять равным ну­лю.

Составить систему (q - 1) уравнений электрического равновесия (1.1) Вычислить собственные и взаимные проводимости, узловые токи и подста­вить в систему уравнений электрического равновесия (1.1).

Определить потенциалы узлов, решив систему уравнений электриче­ского равновесия (1.1). Определить токи ветвей по закону Ома.

Ток ветви равняется разности потенциалов двух узлов, деленной на сопротивление ветви,

I_ветви= [ (φ_к – φ_(к-1) ) ] /ΣR_ветви (1.2)

Метод эквивалентного генератора

Методические указания.

Этот метод основан на применении теоремы об активном двухполюснике. Согласно теоремы любой активный двухполюсник, содержащий один или несколько источников энергии, можно заменить эквивалентным генератором, э. д. с. которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рис. 1.1).


Рис. 1.1. К методу эквивалентного генератора
При определении тока, например, в ветви abлюбой электрической схемы, эту схему представляют в виде двух частей: рассматриваемой ветви abи остальной части схемы - эквивалентного генератора (Е_эг). Ток в ветви abопределяют по формуле:

I_ab = U_abxx / (R_ab+R_вх) (1.3)

где Uabxx - напряжение холостого хода активного двухполюсника (эквивалентного генератора) относительно зажимов рассматриваемой ветви; R_вх - входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов ab; R_ab - сопротивление рассматриваемой ветви ab.

Последовательность решения.

Определить напряжение U_abxxс помощью одного из известных мето­дов расчета электрических цепей, согласно исходной схеме без рассматри­ваемой ветви ab.

Вычислить входное сопротивление R_вхпассивного двухполюсника, т. е. сопротивление исходной электрической цепи относительно точек abбез ветви ab, при замкнутых источниках токов э. д. с. и разомкнутых ис­точников токов.

Вычислить ток в рассматриваемой ветви ab(см. рис. 1.1) по формуле (1.3).
Пример решения задачи
Для заданной электрической цепи (рис. 1.2) с параметрами: E=65,5 В; J₁=3,5 A; J₂= 8 А; R₁ = 9 Ом; R₂ = 7 Ом; R₃ = 5 Ом; R_вн = 3 Ом; G_вн = 0,5 См, определить токи в ветвях.



Рис. 1.2. Схема заданной электрической цепи
Метод составления уравнений электрического равновесия

по законам Кирхгофа

В рассматриваемой электрической цепи неизвестными являются три тока (I₃, I₄, I₅ ), для определения этих токов необходимо иметь систему из трех уравнений электрического равновесия, которые составляем по законам Кирхгофа: два уравнения электрического равновесия по первому закону Кирхгофа, предварительно задавшись положительными направлениями то­ков в ветвях (для узлов 1 и 2); третье уравнение электрического равновесия по второму закону Кирхгофа. Принимаем контур (R₃– G_вн – R₁ – R_вн - E), минуя ветви с источниками тока, и задаемся положительным направлением его обхода (см. рис. 1.2.)
(1.4)
(1.5)
В результате решения системы уравнений (1.5) получим: I₃ = 3 А; I₄ = 1,5 А; I₅ = 6,5 А.
Метод контурных токов
Для определения трех неизвестных токов выбираем три независимых контура (рис 1.3) и задаемся положительными направлениями их обхода, совмещая положительные направления контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃с на­правлениями их обхода I₁₁= J₁= 3,5 А ; I₂₂ = J₂ = 8 А.



Рис. 1.3. Схема электрической цепи для метода контурных токов
Таким образом, неизвестным является лишь контурный ток I₃₃. Для третьего контура (R₃ - G_BH – R₃ – R_вн- E) составляем уравнение электриче­ского равновесия по второму закону Кирхгофа и определяем контурный ток I₃₃

-I₁₁(R₁+R_вн)-I₂₂*1/G_вн+I₃₃(R₁+R_вн+R₃+1/G_вн)= Е; (1.6)
-3,5(9 + 3) - 8 * 1/0,5 + I₃₃ (9 + 3 + 5 + 1/0,5) = 65,5;

отсюда I₃₃ = 6,5 А.

Действительные токи в ветвях:

I₃=I₃₃-I₁₁=6,5-3,5 = 3А;

I₄ = I₂₂-I₃₃ = 8-6,5 = l,5A,

I₅ = I₃₃=6,5А.
Метод узловых потенциалов
Заземляем один из узлов (например 3, рис. 1.4), потенциал этого узла ( ) теперь равен нулю. Для определения потенциалов двух других узлов составляем систему из двух уравнений электрического равновесия по пер­вому закону Кирхгофа:

(1.7)
G₁₁ = G_вн+ 1/R₃= 0,5 + 1/5 = 0,7 См ;

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₃ = 1/5 = 0,2 См ;

G₂₂ = 1/R₃ + l/(R₁ + R_вн) = 1/5 + 1/(9 + 3) = 0,28 См.

I₁₁ = -J₂= - 8 A; I₂₂= J₁ + E/(R₁+ R_вн) = 3,5 + 65/(9 + 3) -=9 A.



откуда φ₁ = -3 В ; φ₂ = 29,5 В.



Рис. 1.4. Схема электрической цепи для метода узловых потенциалов
Токи в ветвях:

I₃ = [(φ₃- φ₂) + E] * 1/ (R₁ + R_вн) = [(0 - 29,5) + 65,5] * 1/(9 + 3) - 3 А;

I₄= (φ₃ - φ₁)-G_вн = (0 + 3)*0,5 = 1,5 А;

I₅= (φ₁ – φ₂) • 1/R₃= (-3 - 29,5)*1/5 = -6,5 А.

Знак "-" у тока I₅указывает на то, что действительное направление то­ка противоположно выбранному.

Метод наложения

Определяем составляющие токов в ветвях (I`<sub>3</sub>, I`₄, I`₅), вызванные ис­точником э. д. с. (E) при исключении источников тока (J₁) и (J₂) (рис. 1.5, а). Направление токов в цепи определяется согласно направлению источника э. д. с. (E)

I`<sub>3</sub>=I`₄=I`₅= E/(R₁+ R_вн + R₃ + 1/G_вн) = 65,5/(9 + 3 + 5 + 1/0,5) = 3,45 А.

Определяем составляющие токов в ветвях (I₃", I₄", I₅"), вызванные ис­точником тока (J₁) (рис. 1.5, б) при исключении источника тока (J₂) и источ­ника, э. д. с. (Е) которого закорачивается. Направление токов в ветвях опре­деляется согласно направлению (J₁).

I₃"=J₁(R₃+ 1/G_вн)/(R₁+R_вн+R₃+1/G_вн)=3,5(5+2)/(9+3+5 + 2) = 1,3 А;

I₄" = I₅" = J₁– I₃" = 3,5 -1,3 = 2,2 А.

Определяем составляющие токов в ветвях (I₃"', I₄'", I₅'"), вызванные источником тока (J₂) (рис. 1.6, а) при исключении источника тока (J₁) и ис­точника, э. д. с. (E) которого закорачивается. Направление токов в ветвях определяется согласно направлению (J₂).

I₃"'= I₅'"=J₂(1/G_вн)/(R₁ + R_вн + R₃+1/G_вн )= 8*2/(9 + 3 + 5 + 2) = 0,85 A;

I₄"'=J₂- I₃"'=8-0,85= 7,15A


Рис. 1.5. Схема электрической цепи для метода наложения при исключении источника тока (а) и вызванные источником тока (б)



Рис. 1.6. Схема электрической цепи для определения составляющих токов в ветвях, вызванных источником тока (а) и при исключении (б)
Действительные токи в ветвях определяем, как алгебраическую сумму составляющих, вызванных каждым из источников энергии (см. рис. 1.6, б):

I₃ = I₃' - I₃" + I₃"'=3А; I₄= - I₄' - I₄" + I₄'"= 1,5 А;

I₅ =I₅ ' + I₅" + I₅'"= 6,5 А

Проверку решений выполняем, применяя первый закон Кирхгофа для трех узлов.
Метод эквивалентного генератора
Определить ток ветви ab.

Определяем напряжение U_аbxx. При размыкании ветви abисходная схема (см. рис. 1.2) преобразуется в схему, изображенную на рис. 1.7, а.



Рис. 1.7. Схема электрической цепи для метода эквивалентного генератора: а - исходная; б – преобразованная
По второму закону Кирхгофа составляем уравнение электрического равновесия для контура а-b-с-а, не содержащего источников тока, обходя контур по часовой стрелке,

U_аbxx-J₂*1/G_вн-J₁*(R_вн-R₁)=E (1.8)

U_аbxx - 8 -1/0,5 - 3,5 * (9 + 3) = 65,5 ; U_abxx =123,5 В.

Определяем входное сопротивление относительно зажимов выделен­ной ветви U_аbxx, при этом зажимы источника э. д. с. закорачиваем, а зажимы источников тока размыкаем. В результате получается электрическая цепь (рис. 1.7,б)

U_аbxx = 1/G_вн + R₁ + R_вн=17 Ом;

I_ab =U_{ab xx}(R_{вх ab}+ R₃) = 123,5/(14 + 5) = 6,5 А.

Задача 2. РАСЧЕТ ОДНОФАЗНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА