Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
 Скачать 4.21 Mb.
|
49. Модель дуополии по Бертрану.Рассмотрим теперь ситуацию, когда две фирмы A и B производят однородный продукт. Предположим, что A и B одновременно и независимо объявляют цены, соответственно  и  , по которым они готовы продавать свою продукцию. Тогда величина спроса на рынке для фирм A и B будет формироваться по следующему правилам соответственно: и  Рассмотрим условия, при которых пара  образует равновесие по Нэшу. Предположим равенство предельных затрат c фирм на выпуск продукции. Очевидно, что  ,  , т.к. назначение цены ниже предельных затрат приведёт к отрицательной прибыли фирм.С другой стороны,  не может быть выше c. Рассмотрим это утверждение более подробно. Предположим для определённости, что  , тогда если  , то фирма B, сталкивающаяся в этом варианте в лучшем случае с половинным спросом, может «перехватить» весь спрос, назначив цену  ,  . Если же  , то фирма A, аналогично, может назначить цену  , «перехватывая» весь спрос.Таким образом, в равновесии по Бертрану (или в равновесии по Нэшу в дуополии по Бертрану)  , и фирмы получают нулевую прибыль. Эту ситуацию называют парадоксом Бертрана.Случай дифференцируемых продуктов. Фирмы A и B выбирают цены и  одновременно и независимо. Предположим, что спрос, с которым сталкиваются фирмы, описывается для фирм A и B соответственно функциями: ,  .Стратегии фирм обозначим символами:  ,  .Прибыли (выигрыши) фирм (игроков) могут быть определены в соответствии с функциями:  , .Если равновесная по Нэшу пара  существует, то для её поиска фирмы решают следующие задачи: ,  .Решение задач запишем в виде:    .Итак, оптимальные стратегии фирм A и B заключаются в выборе цен . В соответствии с определением равновесия Нэша, отклоняясь от данных уровней цен в единоличном порядке, фирмы могут лишь ухудшить своё положение, а именно, снизить свою прибыль.50. Модель «Проблема общего».Рассмотрим теоретико-игровую проблему, связанную с использованием некоторого общего ресурса. Данная проблема поставлена в следующей её интерпретации. Пусть в игре участвуют K фермеров. Летом их козы пасутся на зелёном поле. Обозначим через  – число коз у k-го фермера. Тогда численность всего стада будет составлять величину  . Затраты на покупку и содержание козы равны величине c. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию  .Предполагая, что козе необходим определённый уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться,  . Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом: , если  , но  , если  .Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько заводить коз, т.е. определяют величину . Выигрыш  k-го фермера определим с помощью функции  .Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация  , то величина  должна максимизировать функцию в условиях существования оптимальной ситуации для других игроков  .Решив задачи оптимизации  ,  для всех участвующих в игре фермеров, получим систему: ,  , .Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков. |