Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
 Скачать 4.21 Mb.
|
|
В этой игре две равновесных по Нэшу ситуации (0, 2) и (2, 1) в чистых стратегиях. Но первая из этих ситуаций представляет собой предсказание, не являющееся разумным. Для того, чтобы исключить ситуации типа  мы рассмотрим принцип последовательной рационализации: стратегия игры должна преписывать оптимальный ход в каждой вершине дерева. Т.е., если игрок находится в некоторой вершине дерева, его стратегия должна предписывать оптимальный выбор, начиная с этой точки, при данных стратегиях его оппонентов. Согласно данному принципу стратегия  не является оптимальной, поскольку равновесной по Нэшу ситуации соответствует стратегия  . Если игрок E вошёл на рынок, оптимальным поведением игрока I будет предоставить возможность E действовать на рынке.Итак, после того как E выбрал стратегию  , оптимальной стратегией для игрока I будет  . Теперь мы можем определить оптимальное поведение фирмы E до её входа на рынок. Это можно сделать, рассмотрев редуцированную позиционную форму, где после входа на рынок игрока E принятие решения игроком I заменено на соответствующие выигрыши, которые возникают при оптимальном его поведении (рис. 8.9).E не входить входить (0, 2) (2, 1) Рис. 8.9. В результате получаем простейшую задачу индивидуального решения, причём очевидным является решение игрока E войти на рынок. 56. Обратная индукция и позиционные игры с совершенной информацией. Для того, чтобы внимательнее посмотреть на обратную индукцию в конечной игре с совершенной информацией, начнём с определения оптимального «действия» в последних вершинах дерева, где принимается решение (т.е. тех вершин, для которых «последователи» – это только терминальные вершины). Решение, принимаемое игроком в такой вершине, не зависит уже от стратегического взаимодействия и потому является простой задачей принятия решения. Затем мы может обратиться к «предпоследней» вершине и найти оптимальное решение там, предвидя, естественно, ход, который будет сделан в последней вершине. И так далее. Рассмотрим следующий пример позиционной игры 1 3 2 3 3 L L R R R L (2, 0, 1) (−1, 5, 6) R L R L (3, 1, 2) (5, 4, 4) (0, −1, 7) (−2, 2, 0) Принимая оптимальные решения для третьего игрока в последних вершинах дерева, приходим к первой редуцированной игре следующего вида 1 2 L R R L (−1, 5, 6) (5, 4, 4) (0, −1, 7) Принимая оптимальное решение для второго игрока, получаем вторую редуцированную игру ( 1 L R (−1, 5, 6) (5, 4, 4) Игровая ситуация  является равновесной по Нэшу. Игрок отклонившись в единоличном порядке от своей оптимальной стратегии может лишь ухудшить своё положение. Найденное решение игры проведено в соответствии с принципом последовательной рациональности.57. Модель дуополии по Штакельбергу. Дуополия по Штакельбергу – это модификация дуополии по Курно. Теперь мы считает, что есть лидер, который делает ход первым. Затем, зная этот выбор, другой игрок делает свой ход. Итак, игра протекает следующим образом:
Для нахождения равновесия воспользуемся обратной индукцией. Определим сначала функцию реагирования фирмы 2, решая задачу  .Привлекая необходимое условие существования экстремума получаем функцию реагирования  . То же самое было и в случае дуополии Курно. Разница, однако, в том, что действительная, а не гипотетическая функция реагирования фирмы 2.Фирма 1, естественно, также может вычислить эту функцию реагирования, а, следовательно, задача фирмы 1 выглядит так:  ,что даёт  и  .Прибыль в случае дуополии по Штакельбергу:  ,  .Для сравнения в модели Курно:  .58. Модель последовательного торга. Рассмотрим следующую игру. Игроки 1 и 2 торгуются о разделе 1 доллара: 1-й игрок предлагает некоторый способ деления, 2-й либо принимает это предложение, либо нет; если нет, то он предлагает способ деления, а 1-й принимает, либо нет и т.д. Каждое предложение занимает один период, но при этом есть дисконтирующий множитель. Итак, формально рассмотрим следующую трёх-периодную игру. 1.а) В начале первого периода игрок 1 предлагает «свою долю»  доллара, оставляя  игроку 2.1.b) Игрок 2 принимает предложение, тогда игра заканчивается, либо отклоняет его. В этом случае игра переходит ко 2-му периоду. 2.a) В начале второго периода игрок 2 предлагает долю  , которую получает игрок 1, оставляя себе  .2.b) Игрок 1 либо принимает предложение, либо нет. В последнем случае игра переходит к 3-му периоду. 3) Игроки в третьем периоде получают доли  ,  , причём d задан экзогенно.Решим данную задачу с помощью обратной индукции. Сначала вычислим, что происходит, если дело доходит до 2-го периода. Игрок 1 может получить d, если отклонит . С учётом дисконтирования (мы сравниваем стоимость в разных (соседних) периодах) игрок 1 примет тогда и только тогда, когда  ,  – коэффициент дисконтирования. Это значит, что задача игрока 2 состоит в выборе между получением  и получением  в следующем периоде. Дисконтированная стоимость последнего действия есть  , что меньше, чем  , а потому игрок 2 во втором периоде предлагает  .Таким образом, если игра доходит до второго периода, то 2-й игрок предложит , и игрок 1 примет это предложение.Однако игрок 1 может предвидеть, что игрок 2 может получить  во втором периоде, отклоняя предложение  . В первом периоде стоимость с учётом дисконтирования составит  . Значит, игрок 2 принимает тогда и только тогда, когда  , или  .Поэтому задача игрока 1 в первом периоде состоит в выборе между получением  в этом периоде и получением  в следующем периоде. Дисконтированная величина составляет  , что меньше, чем . Значит, оптимальное предложение в первом периоде есть  . Следовательно, в первом периоде игрок 1 предлагает  , а игрок 2 принимает это предложение и получает  . Таким образом, выигрыш игроков есть  и  соответственно.59. Модель «инвесторы и банк». Представим следующую ситуацию. Два инвестора вкладывают по D долларов в банк. Банк инвестировал эти средства в долгосрочный проект. Если форс-мажорные обстоятельства заставляют банк ликвидировать свои инвестиции до того, как проект «созревает», то он покрывает некоторую сумму  , где  . Если банк позволяет проекту «созреть», то проект принесёт  ,  .Есть два периода, когда вкладчики могут забрать свой вклад: период 1 – до «созревания», период 2 – после созревания. Для упрощения не будем учитывать дисконтирование. Если оба вкладчика забирают вклады в период 1, то оба получают по r и игра заканчивается. Если только один вкладчик забирает в период 1, то он получает D, а второй получает  . Наконец, если ни один вкладчик не забирает в период 1, то проект «созревает», и оба вкладчика забирают свои деньги в период 2, и каждый получает по R. Если только один вкладчик забирает деньги в период 2, то он получает  , другой получает D. Если, наконец, ни один не забирает в период 2, то банк возвращает по R каждому.Дерево игры изображено на рис. 8.16.  Рис. 8.16. Без строгой формализации игру в период 1 можно изобразить следующим образом:
Для периода 2:
Рассмотрим внимательно матрицу для периода 2. Поскольку и  , то в соответствии с принципом последовательной рациональности можем перейти к матрице для периода 1:
Т.к.  и  , то получаем два равновесия по Нэшу, дающие выигрыши (r, r) и (R, R). Принцип рационализации даёт нам окончательное решение (R, R). |
;
, и после этого она выбирает 
;
, 
.