Законы сложения и приведения переменных сил те же, что и для постоянных сил
 Скачать 1.63 Mb.
|
 где П – потенциальная энергия внешних и внутренних сил. Следовательно,  или  .Е = П + Т Полная механическая энергия при движении системы в потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной. Если движется твердое тело, то работа всех внутренних сил равна нулю, и следовательно, потенциальная энергия внутренних сил является постоянной величиной, которую можно считать равной нулю. Тогда за потенциальную энергию следует принять только потенциальную энергию внешних сил, которая вместе с кинетической энергией системы является постоянной величиной. Механические системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии называются консервативными. Поверхности уровня. Если рассмотреть точки потенциального силового поля, в которых силовая функция имеет одно и то же значение, например U = C, то все эти точки располагаются на поверхности, которую называют поверхностью равного уровня (равного потенциала). Уравнение поверхности уровня имеет вид.  .Т.к. U – однозначная функция координат, то поверхности уровня не могут пересекаться и через каждую точку поля может проходить только одна поверхность уровня. рис Свойства поверхности уровня. 1) При любом перемещении вдоль поверхности уровня работа сил поля будет равна нулю, т.к. U – const (начальные и конечные точки лежат на одном уровне, т.е. имеют равные силовые функции). 2) Т.к. при этом сила  , то можно сделать вывод, что в любой точке потенциального силового поля сила направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку поля.Силовая функция и потенциальная энергия системы. Система состоит из n точек. то силовая функция  зависит в общем случае от координат всех точек системы.Проекции силы, действующей на каждую точку системы  ;  ;  (i=1, …, n)Сумма элементарных работ сил поля, действующих на механическую систему, равна полному дифференциалу силовой функции.  Сумма работ, которые совершат силы поля на конечном перемещении системы, будет равна разности силовых функций в конечном и начальном положении системы.  Потенциальной энергией системы П в рассматриваемом положении М потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершат при перемещении системы из рассматриваемого положения М в начальное  . ;  ;  Закон сохранения механической энергии а) для материальной точки теорема об изменении кинетической энергии.  Если точка движется в потенциальном силовом поле  Следовательно:   или  Величина Е = П +Т называется полной механической энергией точки. Принцип Даламбера  Имеем систему из n точек. Под действием сил  (входят активные силы и реакции связей) точка ( ) получает ускорение  (по отношению к инерциальной системе отсчета).Введем в рассмотренную величину  , имеющую размерность силы. называют даламберовой силой инерции или просто силой инерции.(эту сумму надо отличать от переносной и кориолесовой силы инерции, вводимых при рассмотрении относительного движения). Тогда движение точки обладает следующим, общим свойством, если в каждый момент времени к силам прибавить силы инерции, то полученная система будет уравновешенная (14.1)Это положение выражает принцип Даламбера для точек. Оно вытекает из 2-го закона Ньютона (   )Применяя аналогичные рассуждения к каждой точке механической системы, для механической системы получаем принцип Даламбера. Если в любой момент времени к каждой точке механической системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие даламберовские силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики. Из статики известно, что при равновесии системы сил геометрической суммы всех сил и геометрической суммы всех моментов относительно любой точки О равны нулю.   (14.2)Введем обозначения:  - главный вектор сил инерции точек системы - главный момент сил инерции точки системы относительно центра О.    по свойству внутренних сил. Получим:   В любой момент времени для механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил и сил инерции равна нулю, их геометрическая сумма главных моментов внешних сил и сил инерции равна нулю. Можно записать:  (14.3) Внутренние силы не входят. Приведение сил инерции точки твердого тела к простейшему виду. В динамик за центр приведения выбирают обычно точку С – центр масс. Тогда в результате приведения сил инерции к центру масс получается сила равная главному вектору сил инерции точек твердого тела и пара сил с моментом равным главному моменту сил инерции точек твердого тела относительно центра масс.   (14.4) радиусы-векторы, проведенные во всех точках тела в/з центра масс. - количество движения системы  .Продифференцируем это выражение по времени.  или  Поэтому получим (при любом движении твердого тела)   (14.5)Определяем главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс. Поступательное движение.   т.к.  радиус-вектор центра масс относительно центра масс равен нулю.При поступательном движении силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс, равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и направленной противоположно этому ускорению.  2. Плоское движение твердого тела. Тело имеет плоскость материальной симметрии и движется параллельно ей. Вследствии симметрии главный вектор и результирующая пара сил инерции, так же как и центр масс С тела лежат в плоскости симметрии. Из (14.3)   из уравнений плоского движения , отсюда заключаем рисСистема сил инерции приводится к результирующей силе, равной  и приложенной в центре масс тела и лежащей в плоскости симметрии паре сил, момент которой равен  .3. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела (тело имеет плоскость материальной симметрии). Частный случай предыдущего  и тогда  . Получим, что система сил инерции приводится к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела и имеющей момент рисЕсли ось не проходит через точку С, то и как известно, из статики можно заменить одной силой, равной  и приложенной по линии действия отстоящей от точки приведения на расстоянии Аналитическая механика. Связи и их классификация. Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называются связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты точек системы и их производные по времени. Для одной точки уравнение связи в общем случае может быть выражено в форме (1)  .Для механической системы: (2)  s = 1 … l.Если в уравнение входят (2) входят только координаты точек, то связь называется геометрической  Если входят и производные по времени, то – кинематической. Из геометрической связи всегда дифференцированием можно получить связи кинематические, а из кинематической связи путем интегрирования - геометрические, но это не всегда возможно, т.к. дифференциальные уравнения не всегда могут быть проинтегрированы. Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называют голономными, а неинтегрируемые кинетические связи неголономными. Связи, в уравнение которых время не входит явно, называют стационарными или склерономными. Если время входит в уравнение связи явно, то связь называют нестационарной или реономной. Связи называются неосвобождающими или двусторонними или они выражаются математически уравнениями и освобождающими или односторонними, если они выражаются неравенствами. рис   Связи можно разделить на реальные и идеальные, к идеальным относятся связи без трения. Несвободная механическая система. Перемещение точки несвободной механической системы не могут быть совершенно произвольными, т.к. они ограничены имеющимися связями. Силы, действующие на механическую систему, делят на задаваемые силы и реакции связей. Задаваемые силы выражают действия на механическую систему тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное ее движение. Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движение механической системы или препятствующих ему. Возможные, виртуальные перемещения системы. Возможным перемещением системы называется любая совокупность воображаемых бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми положенными на системы связями. Возможное перемещение точки и тела системы изображается элементарным вектором  , направленным в сторону перемещения.Для тела системы возможным перемещением будет также поворот его на бесконечно малый угол  рис  Для точек системы в общем случае существует множество различных перемещений. Однако, для каждой системы в зависимости от характера наложенных на нее связей можно указать определенное число таких независимых перемещений, через которые всякое другое элементарное перемещение будет получаться как их геометрическая сумма. Шарик на плоскости |