Законы сложения и приведения переменных сил те же, что и для постоянных сил

• Название: Законы сложения и приведения переменных сил те же, что и для постоянных сил
• Анкор: Lektsii_po_Teor_mekh_dinamika
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 1.63 Mb.
• Имя файла: Lektsii_po_Teor_mekh_dinamika.doc
• Тип: Закон; #248961
• страница: 9 из 9

. ( .5)

Выразим обобщенные силы через проекции сил на неподвижной оси декартовых координат. рис

( ) ( )

Чтобы найти обобщенную сумму , соответствующую обобщенной координате , сообщим - элементарное приращение , тогда



Сумма работ всех сил, действующих на систему, на возможных перемещениях точки , вызванных приращением координаты



т.к. , то в нашем случае получим:

( .6)

выразив скалярное произведение через проекции векторов сомножителей на декартовые оси, получим:

( .7)

Для обобщенной силы инерции



Случай сил, имеющих потенциал.

Проекции этих сил определяются по формулам

, ,

Подставим это в ( .7)



т.к. , ( )

( )

( ) , то

t

если связи нестационарные.

Найдем частную производную от потенциальной энергии П по обобщенной координате .

( .10)

Сравнивая ее с формулой

( )

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна, взятой со знаком «-» частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Уравнения Лагранжа второго разряда.

Общее уравнение динамики в системе материальных точек



можно в обобщенных координатах записать



т .к. , , …, являются независимыми обобщенными возможными перемещениями, то коэффициенты, стоящие при возможных перемещениях, равны нулю.



уравнения Лагранжа второго рода

………………….



Число уравнений равно числу степеней свободы механической системы.

Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел, ни от того как эти тела движутся.

Интегрируя эти уравнения и определяя по н.у. const интегрирования, получим S – уравнений движения механической системы в обобщенных координатах.

( )

Случай потенциальных сил.

( )

( )

Преобразуем уравнение Лагранжа, введем функцию Лагранжа L = Т – П, называемой кинетическим потенциалом.

Т = Т ( )

П = П ( )

L = L ( ).

Т = L + П , а .

+

Тогда уравнение Лагранжа примет вид:

( )

уравнение Лагранжа для потенциальных сил.