задача с параметром. И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами
 Скачать 5.52 Mb.
|
|
Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи ISBN 978-5-4439-1000-0 9 785443 910000 > А. И. Козко, В. С. Панфёров, И. Н. Сергеев, В. Г. Чирский Готовимся к ЕГЭ Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи Готовимся к ЕГЭ 12+ Готовимся к ЕГЭ А. И. Козко В. С. Панфёров И. Н. Сергеев В. Г. Чирский Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2016 УДК 501 ББК 22.1я72 К59 Козко А. И., Панфёров В. С., Сергеев И. Н., Чирский В. Г. Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2016. 229 с. ISBN 978-5-4439-3000-8 В небольшой по объёму книге представлены различные по- становки и методы решений задач с параметрами. Все задачи снабжены ответами. Даны подробные решения большого числа традиционных задач с параметрами и других оригинальных или нестандартных задач. Книга поможет читателю не только подготовиться к решению любого типа алгебраических задач ЕГЭ по математике, но и успеш- но справиться с дополнительными вузовскими вступительными испытаниями или математическими олимпиадами. Кроме того, в книге собраны необходимые справочные сведе- ния, даны диагностические работы разного уровня, предложены задачи для самостоятельного решения, приведён список допол- нительной литературы. Всё это поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения и осуществить самоконтроль знаний по алгебре и началам анализа. Пособие будет полезно старшеклассникам, их учителям и на- ставникам. Издание соответствует Федеральному государственному обра- зовательному стандарту. Подготовлено на основе книги: Козко А. И., Панфёров В. С., Серге- ев И. Н., Чирский В. Г. Задачи с параметрами, сложные и нестандарт- ные задачи. — М.: МЦНМО, 2016. — 232 с. ISBN 978-5-4439-1000-0. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11 тел. (499) 241–08–04 http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-3000-8 ffi Козко А. И., Панфёров В. С., Сергеев И. Н., Чирский В. Г., 2016 ffi МЦНМО, 2016 Оглавление Предисловие 5 Введение 7 Диагностическая работа 8 Подготовительные задачи 10 Часть 1. Решение задач 15 § 1. Простейшие уравнения и неравенства с параметром 15 Тренировочные задачи к § 1 20 § 2. Задачи с модулем 24 Тренировочные задачи к § 2 28 § 3. Решение обратных задач и задач, в которых параметр рассматривается как переменная 30 Тренировочные задачи к § 3 34 § 4. Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения 36 Тренировочные задачи к § 4 44 § 5. Выделение полных квадратов 48 Тренировочные задачи к § 5 51 § 6. Разложение на множители 54 Тренировочные задачи к § 6 59 § 7. Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степени 63 Тренировочные задачи к § 7 67 § 8. Задачи на единственность решения или определение количества решений 68 Тренировочные задачи к § 8 72 § 9. Задачи с использованием симметрий 75 Тренировочные задачи к § 9 82 § 10. Задачи с применением некоторых неравенств 84 Тренировочные задачи к § 10 92 § 11. Решения, основанные на нахождении наибольших и наименьших значений функций 95 Тренировочные задачи к § 11 99 § 12. Решение задач при помощи графика, часть I 102 Тренировочные задачи к § 12 111 § 13. Решение задач при помощи графика, часть II (более сложные задачи) 115 Тренировочные задачи к § 13 130 4 Оглавление § 14. Метод областей 133 Тренировочные задачи к § 14 139 § 15. Задачи на целые числа 143 Тренировочные задачи к § 15 148 § 16. Задачи с целой и дробной частью числа 150 Тренировочные задачи к § 16 154 § 17. Введение новой переменной для решения задач 154 Тренировочные задачи к § 17 157 § 18. Системы уравнений и неравенств 159 Тренировочные задачи к § 18 163 § 19. Использование особенностей функций (монотонность, чётность, нечётность, непрерывность) 167 Тренировочные задачи к § 19 173 § 20. Функциональные уравнения и задачи с итерациями 175 Тренировочные задачи к § 20 181 § 21. Задачи с условием для всех значений параметра или переменной 183 Тренировочные задачи к § 21 185 § 22. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром 187 Тренировочные задачи к § 22 197 § 23. Геометрические задачи с элементами алгебры 201 Тренировочные задачи к § 23 202 § 24. Задачи алгебры с использованием геометрии 203 Тренировочные задачи к § 24 210 Часть 2. Диагностические работы и задачи для самостоятельного решения 212 Диагностическая работа 1 212 Диагностическая работа 2 213 Диагностическая работа 3 214 Диагностическая работа 4 215 Диагностическая работа 5 216 Диагностическая работа 6 217 Задачи для самостоятельного решения 218 Ответы к диагностическим работам 226 Литература 228 Предисловие В практике конкурсных задач по элементарной математике обыч- но выделяют особый раздел так называемых задач с параметрами. Задачи этого раздела традиционно считаются трудными для боль- шинства школьников (впрочем, и для многих школьных учителей). Это объясняется, во-первых, годами выработанной у учащихся при- вычкой к заданиям с более простыми формулировками, такими как «решить уравнение», «решить неравенство» или «решить систему». Ос- новная же масса задач с параметром почти никогда не предполагает от школьника выполнения именно такого, привычного задания (порой просто невыполнимого) и формулируется логически более сложно. Во-вторых, задачи с параметрами довольно слабо представлены в школьных учебниках по алгебре и началам анализа. Там разбира- ются лишь простейшие их варианты, в которых наличие параметра, как правило, не усложняет задачу — она сводится к элементарному разбору случаев, сопровождающемуся решением семейств однотип- ных уравнений, неравенств или систем. В-третьих, среди задач с параметрами нередко встречаются дей- ствительно трудные, требующие от школьника не только уверенного владения школьным математическим аппаратом, но и глубокого по- нимания логической сути задач, применения новых, творческих или даже нестандартных подходов к их решению. Это последнее качество роднит их с трудными задачами самой разной тематики (не обяза- тельно содержащими параметры), что, кстати, и отражено в назва- нии настоящей книги. Наконец, в-четвёртых, дело усложняется ещё и тем, что в учебной литературе по задачам с параметрами наблюдается некоторый дефи- цит. Такая литература, конечно, существует и даже весьма многочис- ленна. Но выпускаемые книги, задачники и методические пособия на эту тему нередко имеют очень узкую направленность или ориен- тированы на уже подготовленного школьника, а значит, недоступны учащимся обычных школ или классов, пытающимся готовиться к эк- заменам самостоятельно. В предлагаемой книге рассмотрены основные и наиболее попу- лярные типы задач с параметрами, а также различные приёмы и ме- 6 Предисловие тоды их решений. Нам кажется, что она поможет качественно сдви- нуть в положительном направлении решение проблемы подготовки школьников к решению задач с параметрами и других сложных или нестандартных задач. Надеемся, что навыки решения задач, которые читатель приобре- тёт в процессе работы над книгой, позволят ему в будущем успешно сдавать самые разные экзамены по математике. В подготовке настоящего издания большую помощь авторам ока- зала О. А. Васильева, которая вычитала рукопись, прорешала задачи и выверила ответы к ним. А. И. Козко, В. С. Панфёров, И. Н. Сергеев, В. Г. Чирский. Введение Начало настоящей книги представлено вводной диагностической работой и несколькими десятками подготовительных задач. Выпол- нив диагностическую работу, содержащую 15 различных задач, чита- тель сможет для себя понять, какие из них вызывают у него наиболь- шие трудности. Подготовительные же задачи предназначены менее опытным ученикам для предварительной самопроверки. Первый раздел книги представлен 24 параграфами, характери- зующимися определёнными типами задач или методами их реше- ний. В начале каждого параграфа подробно разбираются типичные задачи, при решении которых демонстрируются конкретные мето- ды. Ознакомившись с этими решениями, читатель может приступить к решению тренировочных задач того же параграфа и проверить степень овладения тем или иным методом. Во втором разделе книги читателю предлагаются несколько на- боров диагностических задач, каждый из которых включает в себя различные их типы, а также и дополнительные задачи для закрепле- ния всей тематики в целом путём самостоятельного их решения. Наши рекомендации по диагностическим работам таковы: — выполните начальную диагностическую работу и сверьте ответы, полученные вами, с ответами в книге; — каждая нерешённая задача и каждый неверный ответ являются для вас сигналом к действию; — внимательно прочитайте предложенные в первом разделе книги методические рекомендации и примеры решений всех задач диа- гностической работы, сравнив их с текстами ваших решений и об- ратив особое внимание на имеющиеся различия между ними; — последовательно решайте диагностические работы 1–6, перемежая их с тренировочными и подготовительными задачами, прежде все- го по тем темам, которые вызывают наибольшие затруднения. В конце книги приведён список рекомендованной литературы для возможного дальнейшего изучения материала (однако для овладения предлагаемыми в книге приёмами и методами читателю не требуется изучать что-то выходящее за её пределы). Эти книги читатель может 8 Введение использовать, например, для дополнительной проверки и совершен- ствования своих навыков. В заключение отметим, что читателю, готовящемуся к какому- либо экзамену по математике (будь то ЕГЭ, дополнительное вступи- тельное испытание или вузовская олимпиада), целесообразно создать в своих знаниях, умениях и навыках определённый запас прочно- сти. Ему нужно знать и уметь несколько больше того минимума, который вытекает из опыта предыдущих экзаменов. Ведь не секрет, что варианты экзаменационных заданий постепенно развиваются и усложняются: то, что раньше казалось новым и трудным для вос- приятия, со временем становится привычным и элементарным. В об- щем, нельзя ориентироваться только на вчерашний день. Подготовка к экзамену по математике состоит не в натаскивании выпускника на какие-то определённые типы задач, а в системати- ческом и обстоятельном изучении самого предмета как на уроках в школе, так и в процессе самостоятельной работы ученика. Таким образом, для подготовки к экзаменам рекомендуем читателю при- обретать и прорабатывать современные пособия, содержащие гра- мотные подборки задач и возможных методов их решения, — одним из таких пособий и является настоящая книга! Диагностическая работа 1. При каком наибольшем отрицательном значении a функция y = sin 24x + a π 100 имеет максимум в точке x 0 = π? 2. При каждом значении a решите неравенство |x + a| > a. 3. Найдите все такие значения x, при которых неравенство (4 − 2a)x 2 + (13a − 27)x + (33 − 13a) > 0 выполняется для всех a, удовлетворяющих условию 1 < a < 3. 4. При каждом значении a решите неравенство ax 2 + x + 3a 3 > 0. 5. Найдите все значения a, при которых уравнение (x 2 − 6|x| + a) 2 + 10(x 2 − 6|x| + a) + 26 = cos 16π a имеет ровно два корня. Диагностическая работа 9 6. При каждом значении a решите неравенство ax 4 + x 3 + (2a + 3a 3 )x 2 + 2x + 6a 3 > 0. 7. Определите все значения a, при каждом из которых три различных корня уравнения x 3 + (a 2 − 9a)x 2 + 8ax − 64 = 0 образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни. 8. Найдите все значения a, при которых неравенство cos x − 2 p x 2 + 9 ¶ − x 2 + 9 a + cos x − a имеет единственное решение. 9. Найдите все значения a, при каждом из которых система нера- венств ¨ y ¾ x 2 + 2a, x ¾ y 2 + 2a имеет единственное решение. 10. Решите уравнение 25 p x − 1 + 4 p y − 2 = 14 − p x − 1 − p y − 2. 11. При каких значениях a уравнение 3 𝑥 2 +2𝑎𝑥+4𝑎−3 − 2 = a − 2 x + a имеет ровно два корня, лежащих на отрезке [−4; 0]? 12. Найдите все значения a, при которых уравнение 4x − |3x − |x + a|| = 9|x − 1| имеет хотя бы один корень. 13. При каждом значении a решите неравенство p x + 2a > x + p 2a. 14. При каждом значении a найдите все натуральные числа x, y, удовлетворяющие неравенству xy ¶ 3 − a 2 15. При каких значениях a системы уравнений ¨ sin(x + y) = 0, x 2 + y 2 = a и ¨ x + y = 0, x 2 + y 2 = a равносильны? 10 Введение Ответы 1 . a = −150. 2 . Если a < 0, то x ∈ (−∞; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; −2a) ∪ (0; +∞). 3 . x ∈ [3 − p 6; 2] ∪ [5; 3 + p 6]. 4 . При a ¶ − 1 4 p 12 решений нет; если − 1 4 p 12 < a < 0, то x ∈ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; −1 − p 1 − 12a 4 2a ; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если 0 < a ¶ 1 4 p 12 , то x ∈ −∞; −1 − p 1 − 12a 4 2a ∪ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; +∞ ; если a > 1 4 p 12 , то x ∈ (−∞; +∞). 5 . a = 4; a = −8. 6 . При a ¶ − 1 4 p 12 решений нет; если − 1 4 p 12 < a < 0, то x ∈ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; −1 − p 1 − 12a 4 2a ; если a = 0, то x ∈ (0; +∞); если 0 < a ¶ 1 4 p 12 , то x ∈ − ∞; −1 − p 1 − 12a 4 2a ∪ −1 + p 1 − 12a 4 2a ; +∞ ; если a > 1 4 p 12 , то x ∈ (−∞; +∞). 7 . a = 7, корни уравнения 2, 4, 8. 8 . a = 2. 9 . a = 1/8. 10 . x = 26, y = 6. 11 . a ∈ [1; 2) ∪ (2; 3]. 12 . a ∈ [−8; 6]. 13 . При a < 0 решений нет; если a ∈ [0; 1/8), то x ∈ (0; 1 − 2 p 2a); при a = 1/8 нет решений; если a ∈ (1/8; 1/2], то x ∈ (1 − 2 p 2a; 0); если a > 1/2, то x ∈ ∈ [−2a; 0). 14 . Если 1 < |a| ¶ p 2, то решение (1; 1); если 0 < |a| ¶ 1, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2); если a = 0, то решения (1; 1), (2; 1), (1; 2), (3; 1), (1; 3); при |a| > p 2 решений нет. 15 . a ∈ (−∞; π 2 /2). Подготовительные задачи 1. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть двух отрезков [−1; 1] и [a; a + 1]: а) является отрезком, б) состоит из одной точки, в) пустая. 2. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть по- луинтервала (0; 2] и интервала (a − 1, a): а) является интервалом, б) является полуинтервалом, в) является отрезком, г) пустая. Подготовительные задачи 11 3. Найдите все значения a, при каждом из которых общая часть двух множеств {x : |x| ¾ 1} и [a − 2; a + 2]: а) является отрезком, б) состо- ит из точек двух отрезков, в) состоит из отрезка и отдельной точки, г) пустая. Для каждого значения a решите относительно x уравнение или неравенство. 4. ax = 1. 5. ax < 1. 6. ax ¾ 1. 7. (a 2 − 9)x = a + 3. 8. x − a x − 5 = 0. 9. x − a a + 2 = 0. 10. x + 1 x 2 − a 2 = 0. 11. a(x − a) x − 4 = 0. 12. x 2 = a. 13. x 2 = −a. 14. x 2 > a. 15. x 2 ¶ −a. 16. x 3 = a. 17. x 3 > a. 18. x 3 ¶ −a. 19. |x| = a. 20. |a| = x. 21. |x − 3| < a. 22. |x − 3| > a. 23. p x = −a. 24. a p x = 0. 25. p x > a. 26. p x ¶ −a. 27. x ¾ a x 28. x < a x 29. 2 𝑥 < a. 30. 1 2 𝑥 < a. 31. 1 2 𝑥 ¾ a. 32. 2 𝑥 ¾ a. 33. log 𝑎 x < 1. 34. log 𝑥 a < 1. 35. sin x = a. 36. cos 2 x = a. 37. tg x = a. 38. |sin x| = a. 39. cos |x| = a. 40. arccos x = a. 41. arcsin x = a. 42. sin x < a. 43. sin x ¾ a. 44. cos x ¶ a. 45. cos x > a. 46. sin x = 1 2 a + 1 a 47. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 2 − x + a = 0 не имеет действительных корней. 48. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a − 2)x 2 + 2(a − 2)x + 2 = 0 не имеет действительных корней. 12 Введение 49. Найдите все целые значения a, при каждом из которых уравнение (a − 12)x 2 + 2(a − 12)x + 2 = 0 не имеет действительных корней. 50. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x 2 − − 2ax + 2a − 1 = 0 имеет ровно два различных корня. 51. Для каждого значения a решите уравнение ax 2 +2(a+1)x +2a=0. 52. Найдите все значения a, при каждом из которых отношение кор- ней уравнения ax 2 − (a + 3)x + 3 = 0 равно 1,5. 53. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнения x 2 − ax + a − 2 = 0 минимальна. 54. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (2 − x)(x + 1) = a имеет два различных неотрицательных решения. 55. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a − 3)x 2 − 2ax + 5a = 0 имеет решения и все решения этого уравнения положительные. 56. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (a − 2)x 2 − 2(a + 3)x + 4a = 0 имеет два корня, один из которых больше 3, а другой меньше 2. 57. Для каждого значения a решите систему ¨ ax + y = a 2 , x + ay = 1. 58. Для каждого значения a решите систему ¨ ax + y = a 3 , x + ay = 1. 59. Для каждого значения a решите систему ¨ |x| + |y| = a, x 2 + y 2 = 1. 60. Найдите все значения a, при каждом из которых система ( y − x 2 = x 2 − 3 2 x − 1 , y + 4x = a имеет единственное решение. Укажите это решение. Подготовительные задачи 13 Ответы 1 . a) a ∈ (−2; 1), б) a = −2; a = 1, в) a ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞). 2 . a) a ∈ (0; 2], б) a ∈ (2; 3), в) ∅, г) a ¶ 0; a ¾ 3. 3 . a) a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞), б) a ∈ (−1; 1), в) a = −1; a = 1, г) a ∈ ∅. 4 . Если a = 0, то x ∈ ∅; если a 6= 0, то x = 1/a. 5 . Если a = 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ (−∞; 1/a); если a < 0, то x ∈ (1/a; +∞). 6 . Если a = 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ [1/a; +∞); если a < 0, то x ∈ (−∞; 1/a]. 7 . Если a = −3, то x ∈ R; если a = 3, то x ∈ ∅; если a 6= ±3, то x = 1/(a − 3). 8 . Если a = 5, то x ∈ ∅; если a 6= 5, то x = a. 9 . Если a = −2, то x ∈ ∅; если a 6= −2, то x = a. 10 . Если a = ±1, то x ∈ ∅; если a 6= ±1, то x = −1. 11 . Если a = 0, то x 6= 4; если a = 4, то x ∈ ∅; если a 6= 0; 4, то x = a. 12 . Если a < 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x = ± p a; если a = 0, то x = 0. 13 . Если a > 0, то x ∈ ∅; если a < 0, то x = ± p −a; если a = 0, то x = 0. 14 . Если a < 0, то x ∈ R; если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; − p a) ∪ ( p a; +∞). 15 . Если a > 0, то x ∈ ∅; если a = 0, то x = 0; если a < 0, то x ∈ [− p −a; p −a]. 16 . x = 3 p a при любом a. 17 . x ∈ ( 3 p a; +∞) при любом a. 18 . x ∈ (−∞; − 3 p a] при любом a. 19 . Если a < 0, то x ∈ ∅; если a ¾ 0, то x = ±a. 20 . x = |a| при любом a. 21 . Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (3 − a; 3 + a). 22 . Если a < 0, то x ∈ R; если a ¾ 0, то x ∈ (−∞; 3 − a) ∪ (3 + a; +∞). 23 . Если a > 0, то x ∈ ∅; если a ¶ 0, то x = a 2 24 . Если a = 0, то x ∈ [0; +∞); если a 6= 0, то x = 0. 25 . Если a < 0, то x ∈ [0; +∞); если a ¾ 0, то x ∈ (a 2 ; +∞). 26 . Если a > 0, то x ∈ ∅; если a = 0, то x = 0; если a < 0, то x ∈ [0; a 2 ]. 27 . Если a ¶ 0, то x ∈ (0, +∞); если a > 0, то x ∈ [− p a; 0) ∪ [ p a; +∞). 28 . Если a ¶ 0, то x ∈ (−∞; 0); если a > 0, то x ∈ (−∞; − p a) ∪ (0; p a). 29 . Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (−∞; log 2 a). 30 . Если a ¶ 0, то x ∈ ∅; если a > 0, то x ∈ (− log 2 a; +∞). 31 . Если a ¶ 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ (−∞; − log 2 a]. 32 . Если a ¶ 0, то x ∈ R; если a > 0, то x ∈ [log 2 a; +∞). 33 . При a ¶ 0 выражение не определено; если a ∈ (0; 1), то x ∈ (a; +∞); если a > 1, то x ∈ (0; a). 34 . При a ¶ 0 выражение не определено; если a ∈ (0; 1), то x ∈ (0; a) ∪ (1; +∞); если a ¾ 1, то x ∈ (0; 1) ∪ (a; +∞). 35 . Если |a| ¶ 1, то x = (−1) 𝑛 arcsin a + πn, n ∈ Z; если |a| > 1, то x ∈ ∅. 36 . Если a ∈ (−∞; 0), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; 1], то x = ±(1/2) arccos(2a − 1) + πn, n ∈ Z; если a > 1, то x ∈ ∅. 37 . x = arctg a + πn, n ∈ Z, при любом a. 38 . Если a ∈ (−∞; 0), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; 1], то x = ± arcsin a + πn, n ∈ Z; если a > 1, то x ∈ ∅. 14 Введение 39 . Если |a| > 1, то x ∈ ∅; если a ∈ [−1; 1], то x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. 40 . Если a ∈ (−∞; 0) ∪ (π; +∞), то x ∈ ∅; если a ∈ [0; π], то x = cos a. 41 . Если a ∈ (−∞; −π/2) ∪ (π/2; +∞), то x ∈ ∅; если a ∈ [−π/2; π/2], то x = sin a. 42 . Если a ∈ (−∞; −1], то x ∈ ∅; если a ∈ (−1; 1], то x ∈ (π − arcsin a + 2πn; arcsin a + 2π + 2πn), n ∈ Z; если a > 1, то x ∈ R. 43 . Если a ∈ (−∞; −1], то x ∈ R; если a ∈ (−1; 1), то x ∈ [arcsin a + 2πn; π − arcsin a + 2πn], n ∈ Z; если a = 1, то x = π/2 + 2πn, n ∈ Z; если a > 1, то x ∈ ∅. 44 . Если a ∈ (−∞; −1), то x ∈ ∅; если a = −1, то x = π + 2πn, n ∈ Z; если a ∈ (−1; 1), то x ∈ [arccos a + 2πn; − arccos a + 2π + 2πn], n ∈ Z; если a ¾ 1, то x ∈ R. 45 . Если a ∈ (−∞; −1), то x ∈ R; если a ∈ [−1; 1), то x ∈ (− arccos a + 2πn; arccos a + 2πn), n ∈ Z; если a ¾ 1, то x ∈ ∅. 46 . При a = 0 выражение не определено; если a ∈ R\{±1; 0}, то x ∈ ∅; если a = −1, то x = −π/2 + 2πn, n ∈ Z; если a = 1, то x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 47 . a ∈ (1/4; +∞). 48 . a ∈ [2; 4). 49 . a = 12; a = 13. 50 . a ∈ R\{1}. 51 . Если a ∈ (−∞; 1 − p 2), то x ∈ ∅; если a ∈ [1 − p 2; 0), то x = −a − 1 ± p −a 2 + 2a + 1 a ; если a = 0, то x = 0; если a ∈ (0; 1 + p 2], то x = −a − 1 ± p −a 2 + 2a + 1 a ; если a ∈ (1 + p 2; +∞), то x ∈ ∅. 52 . a = 2; a = 9/2. 53 . a = 1. 54 . a ∈ [2; 9/4). 55 . a ∈ [3; 15/4]. 56 . a ∈ (2; 5). 57 . Если a ∈ R\{±1}, то единственное решение ((a 2 +a+1)/(a+1); −a/(a+1)); если a = −1, то решений нет; если a = 1, то решения (1 − y; y), y ∈ R. 58 . Если a ∈ R\{±1}, то единственное решение (a 2 + 1; −a); если a = ±1, то решения (1 − ay; y), y ∈ R. 59 . Если a ∈ (−∞; 1), то x ∈ ∅; если a = 1, то решения (0; 1), (0; −1), (1; 0), (−1; 0); если a ∈ (1; p 2), то решения ± a + p 2 − a 2 2 ; ± a − p 2 − a 2 2 , ± a − p 2 − a 2 2 ; ± a + p 2 − a 2 2 ; если a = p 2, то решения 1 p 2 ; 1 p 2 , 1 p 2 ; − 1 p 2 , − 1 p 2 ; 1 p 2 , − 1 p 2 ; − 1 p 2 (8 пар); если a ∈ ( p 2; +∞), то решений нет. 60 . Если a = −57/32, то решение (−5/8; 23/32). Часть 1 Решение задач |