Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
595 . Стороны треугольника относятся как 2 : 5 : 6. Найдите периметр подобного ему треугольника, у которого) средняя по длине сторона равна 20 см) сумма большей и меньшей сторон равна 40 см. 596 . В треугольнике проведена средняя линия. Подобен ли образовавшийся треугольник данному треугольнику К § К § 13 114 ????? 2 597. При каких условиях два треугольника подобны) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого) три угла одного треугольника равны трем углам другого. На катете AC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника отмечены точки P итак, что ?APL ? 90?. Докажите, что {APL V {ACB. 599. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, OB ? 3 OA, OC ? 3 OD. Докажите, что {AOD V {BOC. 600. Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите большее основание трапеции. Утре угольников и K 1 L 1 M 1 ? K ? ?K 1 , а стороны треугольника, образующие угол K, в 2,5 раза больше сторон, образующих угол K 1 . Найдите LM, если L 1 M 1 ? 4 см – трапеция, AD || BC, ?BAC ? ?ADC. 1) Найдите подобные треугольники и докажите их подобие. 2) Докажите, что AC 2 ? AD ? BC. 603. На сторонах AC и BC треугольника отметили точки M и N такие, что AC ? CM ? BC ? CN. Найдите подобные треугольники и докажите их подобие. На стороне AC треугольника выбрана точка K так, что ?BKC ? ?ABC, причем ?BKC – тупой. Найдите BC, если AK ? 16 см, CK ? 9 см. В треугольнике через точку N, принадлежащую стороне BC, проведены прямые, пересекающие стороны и AC соответственно в точках M и K и параллельные AC и AB. Докажите, что MN ? NK ? BM ? CK. 606 . {ABC V { A 1 B 1 C 1 , точки I и I 1 – точки пересечения биссектрис данных треугольников. Докажите, что. В треугольник вписан прямоугольнику которого KN ? 16 см, LK ? 10 см, причем K ? AC, N ? AC, M ? BC, L ? AB. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B, если AC ? 24 см. К § 14 115 ??????? ????????????? 608. BD и AE – высоты остроугольного треугольника Докажите, что DC ? AC ? EC ? BC. 609. Начертите прямоугольный треугольники проведите в нем высоту KP. Какие отрезки являются проекциями катетов KL и KM на гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки см и 8 см. Найдите меньший катет треугольника. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна 24 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу – 18 см. Найдите проекцию второго катета на гипотенузу и катеты треугольника биссектриса равнобедренного треугольника. Из точки M к стороне BC проведен перпендикуляр. Найдите BM и периметр тре уголь ника, если KC ? 9 см, MK ? 12 см. Перпендикуляр, проведенный из вершины угла прямоугольника к диагонали, делит ее на отрезки, длины которых относятся как 9 : 16. Найдите периметр прямоугольника, если длина перпендикуляра 12 см. Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит сторону ромба на отрезки 3,6 см и 6,4 см. Найдите диагонали ромба. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Высота трапеции равна 6 см, а средняя линия – 9 см. Найдите основания трапеции. BM – биссектриса треугольника. Найдите отношение, если 617. BD – биссектриса треугольника. Найдите сторону, если AD : DC ? 3 : 5, BC ? 20 см. Одна из сторон параллелограмма на 9 см больше другой. Биссектриса угла параллелограмма делит диагональ параллелограмма на отрезки 4 см и 10 см. Найдите периметр параллелограмма. К § К § 16 116 ????? 2 619. Периметр прямоугольника равен 60 см. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональна отрезки, отношение которых равно 7 : 8. Найдите стороны прямоугольника. Точка D лежит на стороне AB треугольника. Сравните углы ACD и BCD, если AC ? 6 см, BC ? 8 см, AD ? 3 см, DB ? 7 см. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности враз меньше высоты, проведенной косно- ванию треугольника. Найдите стороны тре уголь ника, если его периметр равен 90 см. S – точка пересечения хорд AB и CD. AS ? 4, SB ? 1. Чему равно произведение CS ? DS? 623. Секущие a и b выходят из точки M, лежащей вне окружности. Секущая a пересекает окружность в точках и B, а секущая b – в точках C и D. Известно, что ? MB ? 28, MC ? 4. Найдите MD и CD. 624. Из точки A к окружности проведены касательная AM и секущая рис. 171). Найдите длины отрезков и PK, если AM ??8 см, AP ? 16 см. Из точки A к окружности проведены касательная AM и секущая M AP (рис. 171). AM ? 10 см, AP : AK ? 4 : 1. Найдите AK, AP и KP. 626. Продолжение медианы AM равнобедренного треугольника) пересекает окружность, описанную около треугольника, в точке P. AM ? 6 см, BC ? 8 см. Найдите AP. 627. Из вершины В треугольника проведена биссектриса. Известно, что BL ? 5 см, AL ? 4 см, LC ? 5 см. Найдите AB и BC. 628. Постройте треугольник поданному углу A, отношению сторон AC : AB ? 4 : 3 и биссектрисе К § Рис. 171 117 ??????? ????????????? Гранд геометрии го века ?????? 80-? ????? XX-?? ???? ???????????? ?????????????? ???????? ???????? ????? ???? ??? ????? ????????? «?????????? ?????????? ??-?? ????». ??? ? ??????????? ???????????? ??????? ??????? ??????????? ?????????? «???????? ?????–??????» ????? ??? ??????? 4. ? ??????? ????????? ?? ???????????? ???? ????? ??? ?????? «??????? ????????? ??-?? ????». ?????? ??? ??????? ????? ?????? ???????????????? ? ???????? ????????? – ????? ?? ????- ?????? ???? ?? Алексей Погорелов родился 3 марта 1919 года в маленьком городе Короча Курской губернии (Россия. В 1929 году семья Погореловых переезжает в Харьков. Родители маленького Алеши работали на строительстве Харьковского тракторного завода, а затем и на самом заводе. Семья долгое время жила в крошечной, отгороженной от соседей клетушке барака. Кроватей на всех членов семьи не хватало, и отцу приходилось специально работать в ночную смену, чтобы Алеша и его сестра могли нормально выспаться. Несмотря на такие условия жизни, в школе Алексей хорошо успевал по всем предметам, но больше всего интересовался математикой. Впоследствии на одном из его юбилеев друзья детства вспоминали, что он еще тогда заработал в среде одноклассников прозвище Паскаль. С 1935 года в Киеве стали ежегодно проводить математическую олимпиаду, а в 1937 году одним из ее победителей стал харьковский десятиклассник Алексей Погорелов. Талантливого юношу заметили и пригласили учиться на физико-мате- матический факультет ХГУ (в настоящее время – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина). О незаурядности студента Погорелова свидетельствует, например, то, что в 1943–1944 гг., вовремя Второй мировой войны, его направили в Военно-воздушную академию им. Жуковского – один из элитных военно-учебных и научных центров СССР. После стажировки в действующей армии и окончания академии в году Погорелова направляют на конструкторскую работу в знаменитый Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ) в Москве. Одновременно он учится заочно в аспирантуре Математического института МГУ. Именно в эти годы окончательно сформировался редкий сплав классического О становлении и развитии украинского математического олимпиадного движения можно прочитать в учебнике Алгебра. 7 клас» (автор – АС. Истер, издательство Генеза 118 ????? математика, изучающего абстрактные проблемы геометрии, и инженера-конструктора, имеющего дело с конкретной техникой. В 1947 году Погорелов начинает преподавательскую деятельность в Харьковском университете. В 1950 году ему было присвоено звание профессора. В течение следующих двадцати лет его деятельность отмечалась многими государственными и международными премиями, он был избран членом-корреспондентом, а затем и действительным членом Академии наук УССР, а в 1976 году он становится академиком АН СССР. В 1960 году в Харькове организуется Физико-технический институт низких температур (ФТИНТ) и Погорелов возглавил отдел геометрии в его математическом отделении. Здесь он проработал 40 лети создал в механике и геометрии новое направление – геометрическую теорию устойчивости тонких упругих оболочек, заниматься которой начал еще выдающийся российский математик, академик АД. Александров, которого сам Погорелов, кстати, считал своим учителем. Проведенные в ФТИНТе сложные технические исследования полностью подтвердили теорию Погорелова. Инженерный талант этого классического математика ярко проявился в успешном сотрудничестве с машиностроителями при создании уникальных криотур- богенераторов со сверхпроводящей обмоткой и внедрении при этом двух авторских свидетельств. А сколько оригинальных технических идей Погорелова таки не получили официального признания, поскольку это требовало немалых хлопот и усилий, не связанных с творчеством Среди них – безынерционная спиннинговая катушка, необычный плуг, двигатель внутреннего сгорания принципиально новой схемы. Но главным делом его жизни, бесспорно, была чистая математика, геометрия. Целую библиотеку – около 40 монографий, переведенных на многие языки мира, оставил после себя Алексей Васильевич. Есть среди них те, которые будут понятны лишь узкому кругу специалистов, а есть и учебники геометрии, написанные для десятков тысяч студентов-матема- тиков. Но самым известными значимым для классической математики стал его учебник геометрии для средней общеобразовательной школы, изданный впервые в 1972 году, по которому в течение почти 30-ти лет учились десятки миллионов школьников СССР, и еще несколько лет – украинские школьники после обретения Украиной независимости. Умер Алексей Васильевич Погорелов в декабре 2002 года. Нашему выдающемуся соотечественнику удалось решить задачи, которые были сформулированы известнейшими математиками го и начала го века Коши, Дарбу, Гильбертом, Вейлем, Минковским, Кон-Фессетом и Бернштейном. 119 ??????? ??????? ?? ?? ? ??? ??? ???? ? ? ? ????????????? ?? ???? ????????????? ? ???? ? ???? ????? ??: ? ? ????????? ???????? ???????? ????? ???????? ??? ????? ?????; ? ? ????????????? ? ???????? ????????; ????????? ??????, ???????? ? ???????? ??????? ???? ????? ????????? ??? ?????- ????; ?????????? ????????? ? ?? ????????; ? ? ????????? ???????? ??????????? ????? ????????? ? ????- ?? ? ????? ???????? ??? ????? ????, ?????? ????? ???????? ??? ????? ????. 18. Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного тре уголь ника. Т е орем а 1 (теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них. Д ока за тел ь ст во. Пусть ABC данный прямоугольный треугольнику которого ?C ? 90? (рис. 172). Докажем, что AB 2 ?? AC 2 + BC 2 . 1) Проведем высоту CD. 2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем AC 2 ? AB ? AD и BC 2 ? AB ? BD. 3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что + BD ? AB, получим AC 2 + BC 2 ? AB ? AD + AB ? BD ? AB ? (AD (( + BD) ? ? AB ? AB ? AB 2 4) Следовательно, AB 2 ? AC 2 + Рис. 172 120 ????? Если в треугольнике ABC (? C ? 90?) обозначить рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой+ Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема c 2 – a 2 a 2 ? c 2 – b 2 c 2 ? a 2 + Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу. Р е ш е ни е. Пусть a ? 7 см, b ? 24 см, тогда (см). О т в е т. 25 см. Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов – 15 см. Найдите второй катет. Р е ш е ни е. Пусть a ? 15 см, c ? 17 см, тогда (см). О т в е т. 8 см. Задача 3. Найдите диагональ квад рата, сторона которого равна Решение. Рассмотрим квадрату которого AB ? AD ? a рис. 174). Тогда О т в е т. Задача 4. Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a, BK – его медиана (рис. Так как BK – медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой. Рис. Рис. Рис. 175 121 ??????? ????????????? Из {ABK: , AB ? a, . Тогда Отв е т. Задача 5. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона см. Найдите высоту трапеции. Р е ш е ни е. Пусть ABCD – данная трапеция, AD || BC, AD ? 22 см, BC ? 12 см, AB ? CD ? 13 см (рис. 176). 1) Проведем высоты BK и CM. 2) {ABK ? {DCM (по катету и гипотенузе, поэтому (см) Из {ABK по теореме Пифагора имеем (см). О т в е т. 12 см. Задача 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет тре уголь ника. Р е ш е ни е. Пусть a ? 8 см и b ? x см – катеты треугольника, тогда c ? (x + 2) см – его гипотенуза. Так как по теореме Пифагора c 2 ? a 2 + b 2 , получим уравнение, откуда x ? 15 (см). Следовательно, неизвестный катет равен 15 см. О т в е т. 15 см. Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора. Т е орем а 2 (обратная теореме Пифагора. Если для треугольника справедливо равенство AB 2 ?? AC 2 + BC 2 , то угол C этого треугольника прямой. Д ока за тел ь ст во. Пусть в треугольнике. Докажем, что ?C ? 90? (рис. Рассмотрим {A 1 B 1 C 1 , у которого ?C 1 ? 90?, A 1 C 1 ? AC, B 1 C 1 ? BC. Тогда по теореме Пифагора , а следовательно, Рис. 176 122 ????? Рис. Но AC 2 + BC 2 ? по условию, поэтому, то есть A 1 B 1 ? Таким образом, {ABC ? {A 1 B 1 C 1 (потрем сторонам, откуда. Так как 5 2 ? 3 2 + 4 2 , то треугольник со сторонами 3, 4 и является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам. Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, – пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п. Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что ????? ??? ???????? ????? ???????? ????? ? ?????? ?????, ????? ???? ??? ?????????? ??????? ??? ????? ???? ????? ????? ???? ????? ???? ?????? ??? Задача 7. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами Решение) Так как 10 2 ? 6 2 + 8 2 (100 ? 100), то треугольник является прямоугольным) Так как 9 2 ? 5 2 + 7 2 (81 ? 74), то треугольник не является прямо угольным. О т в е т. 1) Да 2) нет, ????????? ? ????? ??????????????- ?? ???????? ? ?????????? ????????, ???? ???????? ??????? ?? ????. ? ??????? ?????? ????- ????? ? ??? ???????????? ??? ?? 1200 ??? ?? ????????. ?????? ?????, ?????????? ??? ??????? ?????????? ?? ?????, ? ??????????? ????? Пифагор (ок. 580– 500 дон. э 123 ??????? ????????????? ????????????? ???? ? ??????????? ????? ????????? ??? ????? ???? ?????????? ??????? ?????. ????? ??? ??????? ???? ???????? ? ??????? ?????? ? ?????. ?????????, ??? ??????? – ??????, ??? ????????? ??????? ?????????????? ???????. ?? ????????????? ??????? ???: «??????? ???? ????, ???????????? ?? ?????????? ?????- ????????? ??? ????? ????, ????? ????? ?????- ??? ???? ?????, ??????????? ?? ???????». ?????? ? ????? ???????????? ??? ? ???? ???????? ?????????. ??????? ? ????? ?????????????? ??? ????- ???? «???????????? ???????». ????, ??? ??? ????? ??? ?? ????????? 3, 4 ? 5 ???????? ????? ????????, ????????? ????- ???? ?????? ???????????? ??? ??? ?????????? ??????? ????. ??????? ?????? ?????? ?? 12 ?????? ?????? ? ????????? ?? ?????. ????? ??????? ??????????? ? ? ??????? ???????? ?????????- ?? ?? ????? ? ???? ??? ????? ???? ?? ????????? 3; 4; 5. ? ?????????? ????, ?????????????? ???????, ????? ??????? 5, ??? ??????. 1. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. Какой треугольник называют египетским. Какие тройки чисел и треугольники называют пифагоровыми (Устно) {MKL – прямоугольный (рис. 178). Какие из равенств верны 1) KM 2 ? ML 2 – KL 2 ; 2) KL 2 ? ML 2 + KM 2 ; 3) ML 2 ? KL 2 + KM 2 ; 4) KM 2 ? KL 2 – ML 2 ; 5) KL 2 ? ML 2 – KM 2 ; 6) ML 2 ? KL 2 – KM 2 ? |