Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
А. см Б 31 см В 25 см Г 23 см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из его катетов – 12 см. Найдите второй катет тре уголь- ника. А. 8 см Б 9 см В 10 см Г см. На рисунке 206 изображен прямоугольный треугольник. Найдите А Б В Г. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба. А. 8 см Б 10 см В 16 см Г 20 см. Точка находится на расстоянии 8 см от прямой. Из нее к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, образующая с перпендикуляром угол 60?. Найдите длину наклонной. А. 8 см Б 12 см В 8 см Г 16 см. AB – гипотенуза прямоугольного треугольника см, ?A ? 50?. Найдите AB с точностью до десятых. А. 12,5 см Б 10,4 см В 12,4 см Г 9,5 см. Рис. 206 150 ????? 3 7. Найдите x по рисунку А 13; Б 7; В 6; Г 8. 8. Из точки к прямой проведены две наклонные, разность которых равна 1 см. Найдите меньшую наклонную, если проекции наклонных равны 4 см и 7 см. А. 15 см Б 16 см В 17 см Г 18 см. В {ABC ?C ? 90?, AB ? 20 см, tgA gg ? 0,75. Найдите А. 50 см Б 38 см В 52 см Г 48 см. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 10 см и 26 см. Найдите гипо- тенузу. А. 36 см Б 38 см В 39 см Г 52 см. Стороны треугольника см, 29 см и 30 см. Найдите проекцию меньшей стороны треугольника на его большую сторону. А. 1,4 см Б 1,6 см В 1,8 см Г 2,4 см. Стороны прямоугольника равны 6 см и 10 см. Найдите угол между диагоналями прямоугольника (с точностью до градуса). А. 31?; Б 61?; В 62?; Г Задания для проверки знаний к § 18–21 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 10 см и 24 см. По рисунку 208 назовите) перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой m; 2) наклонную, проведенную из точки A к прямой m; 3) проекцию этой наклонной. Рис. Рис. Рис. 207 151 ??????? ????????????? ????????????? 3. По рисунку 209 найдите) sinA; 2) cosB; 3) tg A; 4) sin B. 4. Сторона ромба равна 25 см, а одна из его диагоналей – 14 см. Найдите вторую диагональ ромба. Точка находится на расстоянии 6 см от прямой. Из этой точки к прямой проведена наклонная, образующая с прямой угол 30?. Найдите длину наклонной и длину проекции наклонной напрямую гипотенуза прямоугольного треугольника. Решите этот прямоугольный треугольник, если ? 16 см. (Стороны треугольника найдите с точностью до сотых сантиметра. В треугольнике тупой, BC ? 20 см, AB ? 15 см – высота треугольника см. Найдите AC. 8. В {ABC ?C ? 90?, AC ? 24 см, Найдите P ABC P 9. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 6 см и 10 см. Найдите стороны тре уголь ника. Дополнительные задания. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Найдите проекции двух меньших сторон на большую сторону. Диагонали ромба равны 6 см и 12 см. Найдите углы ромба с точностью до минуты ?????????? ??? ?????????? ????? 3 776. Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника его гипотенуза. Найдите) с, если a ? 11 см b ? 60 см) a, если c ? 13 см b ? 12 см) b, если a ? 24 см c ? 25 см. Сторона квадрата см. Найдите его диагональ. В равнобедренном треугольнике см ? 24 см. Найдите длину высоты К § 18 152 ????? 3 779. Является ли прямоугольным треугольник, стороны которого пропорциональны числам 1) 3, 4, 5; 2) 6, 7, 10? 780. Площадь прямоугольника равна 12 см, а одна из его сторон – 3 см. Найдите диагональ прямоугольника. На рисунке 210 AB – касательная к окружности с центром в точке O, OC ? 3 см, CB ? 2 см. Найдите AB. 782. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 17 см, а большая боковая сторона – 15 см. Найдите периметр трапеции. Большее основание равнобокой трапеции равно 26 см, высота – 12 см, а диагональ – 20 см. Найдите меньшее основание трапеции и ее боковую сторону. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 15 см, а катеты относятся как 3 : 4. Найдите периметр треугольника. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к основанию как 5 : 6. Высота треугольника, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите периметр треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 50 см и 80 см, считая от вершины угла между боковыми сторонами. Найдите высоту треугольника, проведенную к основанию. В треугольнике см, BC ? 2 см. На стороне отмечена точка K так, что AK ? KB ? 1 см. Найдите градусную меру угла ABC. 788. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания см и 15 см. Найдите угол, который образуют между собой продолжение боковых сторон. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 25 см. Найдите периметр тре уголь ника, если его наименьшая высота равна 24 см. Из точки к прямой проведена наклонная, длина которой 5 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если проекция наклонной равна 4 см. Рис. К § 19 153 ??????? ????????????? ????????????? 791. Из точки к прямой проведены две наклонные, образующие с прямой равные углы. Расстояние между основаниями наклонных равно 8 см. Найдите проекции наклонных на данную прямую. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, образующая с прямой угол 60?. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если длина наклонной 12 см. Из точки, лежащей на расстоянии 4 см от прямой, проведены к ней две наклонные. Длина одной из них см, а другая образует с прямой угол 45?. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько случаев следует рассмотреть. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 13 : 15, а длины их проекций равны 10 см и 18 см. Найдите длины наклонных и расстояние от точки до прямой. Найдите меньшую из высот треугольника, стороны которого равны 4 см, 13 см и 15 см. На рисунке 211 треугольник прямо угольный. Верны ли равенства) 2) 3) 4) 5) 6) 797. Найдите синус, косинус и тангенс угла M треугольника, если MP ? 24 см, MN ? 25 см. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите) синус острого угла, противолежащего меньшему катету) косинус острого угла, прилежащего к большему катету) тангенсы обоих острых углов. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен R. Диагональ прямоугольника образует со стороной угол ?. Найдите периметр прямоугольника. Угол ромба равен 80?, а диагональ, противолежащая этому углу, – 10 см. Найдите (с точностью до сотых сантиметра) периметр ромба. К § Рис. 211 154 ????? 3 801. В {ABC ?C ? 90?, CK – высота, CA ? b, ?A ? ?. Найдите CK и KB. 802. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,96, а основание – 28 см. Найдите боковую сторону. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r, а один из его острых углов – ?. Найдите катет, прилежащий к этому острому углу. Основания трапеции равны 14 см и 10 смуглы при большем основании равны 60? и 30?. Найдите высоту и диагонали трапеции. Из точки к прямой проведены две наклонные, образующие с прямой углы 30? и 60?. Найдите расстояние от точки до прямой, если расстояние между основаниями наклонных равно a см. Сколько случаев надо рассмотреть. Дано {ABC, С ? 90?. Докажите, что sin 2 A 2 + cos 2 A 2 ? 1. Запись sin 2 A является тождественной записи (sinA) 2 ). 807. По двум элементам прямоугольного треугольника) найдите другие его стороны и углы) AB ? 7 см ?A ? 19?; 2) AB ? 20 дм ?B ? 48?; 3) BC ? 5 см ?B ? 57?; 4) AC ? 18 дм ?B ? 32?. 808. По двум сторонам прямоугольного треугольника) найдите его третью сторону и острые углы) AC ? 9 см BC ? 12 см 2) AC ? 7 дм BC ? 5 дм) AB ? 34 см BC ? 30 см 4) AB ? 8 дм AC ? 7 дм. Для определения ширины l реки выбрали положение двух домов A и B на одном берегу и дома C на другом рис. 212), AB ? a м, ?CAB ? ?, ?CBA ? ?. Найдите ширину реки. Рис. К § 21 155 ?????????????? ??????????????. ? ? ? ? ??. ??????? ??????????????? ??????????????? ? ???? ????? ??: ? ? ????????? ??????? ????? ????? ???? ? ??? ???????; ?????- ?? ??? ?????????? ???????? ????? ????? ???? ? ???? ????; ? ? ???????, ??? ????????? ????? ????? ????? ????? ????, ???- ???? ???????????????, ?????, ??? ????? ????, ????????; ? ? ????????? ????????? ????????? ???????, ???????? ? ???- ???? ? ??????? ?????. 22. Рассмотрим фигуру A 1 A 1 2 A 22 3 A 33 4 A 44 5 A 55 6 , изображенную на рисунке 213. Она состоит из отрезков A 1 A 1 2 , A 2 A 22 3 , A 3 A 33 4 , A 4 A 44 5 , A 5 A 55 6 и A 6 A 66 1 . При этом отрезки размещены так, что соседние отрезки (A (( 1 A 1 2 и A 2 A 22 3 , A 2 A 22 3 и A 3 A 33 4 , ..., A 6 A 66 1 и A 1 A 1 2 ) не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником. Точки A 1 , A 2 , ..., A 6 называют вершинами многоугольника, а отрезки 2 , A 2 A 22 3 , ... A 6 A 66 1 – сторонами многоугольника, что количество вершин многоугольника равно количеству его сторон. Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром. Наименьшее количество вершин сторону многоугольника три. В этом случае имеем треугольник. Еще одним отдельным видом многоугольника является четырехугольник. Многоугольнику которого n вершин, называют угольником. На рисунке изображен шестиугольник 2 A 22 3 A 33 4 A 44 5 A 55 Две стороны многоугольника называют соседними, если они имеют общую ? ??? ????????. ????? ????? ????????? ????? ????? ????. ????? ????? ???, ????????? ? ??????????, ? ????? ????? ???, ????????? ????? Рис. 213 156 ????? вершину. Стороны многоугольника, не имеющие общей вершины, называют несоседними. Например, стороны A 1 A 11 2 и A 1 A 1 6 – соседние, аи несоседние (рис. Две вершины многоугольника называют соседними, если они принадлежат одной стороне, а вершины много уголь ника, не принадлежащие одной стороне, называют несоседними. Например, вершины A 1 и A 2 – соседние, A 3 и A 6 – несоседние (рис. Отрезок, соединяющий две несосед- ние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. На рисунке 214 изображены диагонали многоугольника, выходящие из вершины A 1 : A 1 A 11 3 , A 1 A 11 4 , A 1 A 11 5 , A 1 A 11 Задача 1. Сколько диагоналей имеет n-угольник? Р е ш е ни е. Из каждой вершины угольника выходит (n – 3) диагонали. Всего вершина каждая диагональ повторяется дважды, например A 1 A 11 3 и A 3 A 33 1 . Поэтому всего диагоналей у угольника будет О т в е т. Углы, стороны которых содержат соседние стороны многоугольника, называют углами многоугольника. Пятиугольник B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 имеет углы B 5 B 1 B 2 , B 1 B 2 B 3 , B 2 B 3 B 4 , B 3 B 4 B 5 , Если каждый из углов многоугольника меньше развернутого, то такой многоугольник называют выпуклым. Если хотя бы один угол многоугольника больше развернутого, то такой многоугольник называют невыпуклым. Многоугольник B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 – выпуклый (риса многоугольник невыпук лый (рис. 216), так как угол при вершине C 3 больше чем 180?. Рис. 215 Рис. Рис. 214 157 ??????????????. ??????? Теорема (о сумме углов выпуклого угольника. Сумма углов выпуклого угольника равна 180?(n – Доказательство. Выберем во внутренней области многоугольника произвольную точку O и соединим ее со всеми вершинами угольника (рис. 217). Получим n треугольников, сумма всех углов которых равна 180? · n. Сумма углов с вершиной в точке равна 360?. Сумма углов данного угольника равна сумме углов всех треугольников, кроме углов с вершиной в точке O, то есть 180?n – 360? ? 180?(n – Углы выпуклого многоугольника называют еще его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, называют внешним углом многоугольника. На рисунке 218 угол A 3 A 33 4 K – внешний угол многоугольника при вершине Очевидно, что каждый многоугольник имеет по два внешних угла при каждой вершине Рис. 218 Рис. 219 Рис. Задача 2. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Решение. Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине многоугольника равна 180?. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов угольника равна 180? ? n. Так как сумма внутренних углов равна 180?(n – 2), то сумма внешних углов равна – 180?(n – 2) ? 180?n – 180?n + 360? ? 360?. ? ????????????? ???????? ? ????????? ? ??????????, ???? ??? ??? ??????? ????? ?? ??????????. ?????????? ??? ???? ???????? ????????? ????? ????? ????? ???? (???. 219). 158 ????? Около многоугольника не всегда можно описать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (как ив случае треугольника. Не в каждый многоугольник можно вписать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника (как ив случае треугольника. Какую фигуру называют многоугольником. Что называют вершинами, углами, сторонами многоугольника. Что называют периметром многоугольника. Какие стороны многоугольника называют соседними, какие – несоседними; какие вершины – соседними, какие несоседними? 5. Что называют диагональю многоугольника. Какой многоугольник называют выпуклым, а какой – невыпуклым? 7. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов выпуклого угольника. Что называют внешним углом выпуклого многоугольника. Какой многоугольник называют вписанным в окружность, а какой – описанным около окружности ??????? 810. 1) Назовите все вершины, стороны, углы пятиугольника рис. 221). 2) Назовите любую пару соседних сторон, несо- седних сторон) Назовите любую пару соседних вершин, несо- седних вершин) Является ли пятиугольник выпуклым Начертите выпуклый шестиугольник ABCDEF. Запишите все его вершины, стороны и углы. Рис. 221 159 ??????????????. ??????? ??????????????? 812. Начертите выпуклый семиугольники проведите в нем все диагонали, выходящие из вершины A 5 813. Начертите любой невыпук лый многоугольнику которого два угла больше чем 180?. 814. Начертите любой невыпук лый пятиугольник Найдите на рисунках 222–225 вписанные и описанные многоугольники Рис. 222 Рис. 223 Рис. 224 Рис. 225 816. Начертите окружность и впишите в нее пятиугольник Начертите окружность и впишите в нее любой многоугольник Начертите окружность и опишите около нее любой многоугольник Начертите окружность и опишите около нее шестиугольник Вычислите сумму углов выпуклого угольника, если) n ? 12; 2) n ? 18. 821. Вычислите сумму углов выпуклого угольника, если) n ? 7; 2) n ? 22. 822. В выпуклом девятиугольнике все углы равны между собой. Найдите эти углы. В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Найдите эти углы (Устно) Можно ли построить выпуклый пятиугольник, все углы которого равны Ответ объясните (Устно) Четыре угла одного выпуклого пятиугольника соответственно равны четырем углам другого выпуклого пятиугольника. Равны ли между собой их пятые углы Может ли наименьший угол выпуклого пятиугольника быть равным 110?? 827. Может ли наибольший угол выпуклого шестиугольника быть равным 115?? 160 ????? 4 ??????????? ??????? 828. Определите углы выпуклого шестиугольника, если их градусные меры относятся как 3 : 4 : 5 : 5 : 6 : 7. 829. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если каждый из них, начиная со второго, больше предыдущего на 10?. 830. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1) 1080?; 2) 2100?? Если да, то найдите, сколько у него сторон и сколько диагоналей Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1) 2500?; 2) 1260?? Если да, то найдите, сколько у него вершин и сколько диагоналей Каждый из внешних углов многоугольника равен 30?. Найдите количество его сторон Все внешние углы многоугольника прямые. Определите вид этого многоугольника Существует ли многоугольнику которого количество диагоналей равно количеству сторон Сумма внутренних углов многоугольника враз больше суммы его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Сколько вершину многоугольника Найдите количество сторон выпуклого много уголь ника, если сумма его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, на 1980? меньше суммы внутренних углов В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина B соединена равными между собой диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что ?BEA ? ?BDC, ?ABE ? ?CBD. Сравните периметры четырехугольников и BEDC. ?????????? ??? ?????????? |