Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
УДК 514(075.3) ББК я 89 ?-89 © Истер АС, 2016 © Издательство «Генеза», оригинал макет, 2016 оригинал-макет, 2016 ISBN 978-966-11-0750-1 (рус 978 966 11 0701 3 (укр 978-966-11-0701-3 (укр.) ?-89 Истер А.С. Гео метрия : учебн. для 8 кл. обще образоват. учебн. завед. / АС. Истер. — Киев : Генеза, 2016. — 216 с Учебник соответствует новой программе по математике, содержит достаточное количество дифференцированных упражнений и прикладных задач, упражнений для повторения, заданий для подготовки к тематическому оцениванию, в т. ч. в тестовой форме, материал для повторения курса геометрии 7 класса, задачи повышенной сложности, предметный указатель, ответы к большинству упражнений, а для самых любознательных – подборку нестандартных задачи дополнительный материал. УДК 514(075.3) ББК 22.151я721 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (Приказ Министерства образования и науки Украины от 10.05.2016 ? Эксперты, которые осуществили экспертизу учебника при проведении конкурсного отбора проектов учебников для учеников класса общеобразовательных учебных заведений и пришли к выводу о целесообразности предоставления учебнику грифа Рекомендовано Министерством образования и науки Украины»: Дунай СМ, учитель специализированной общеобразовательной средней школы ? 1 с углубленным изучением иностранных языков г. Чернигова; Тесленко О.В., методист методического центра Управления образования администрации Коминтерновского района Харьковского городского совета; Чорный В.З., заведующий кафедры математики и методики ее обучения Тернопольского национального педагогического университета имени Владимира Гнатюка, кандидат физико-математических наук, доцент. Переведено по изданию: Гео метр?я : п?друч. для 8 кл. за галь но осв?т. навч. заклад?в / ОС. стер Ки?в : Генеза, 2016. — 216 с. ISBN Выдано за счет государственных средств. Продажа запрещена Уважаемые учащиеся! В этом учебном году вы продолжите изучать геометрию, а учебник, который выдержите в руках, поможет вам в этом. Изучая теоретический материал, обратите внимание на текст, напечатанный жирным шрифтом. Его надо запомнить. В учебнике вы увидите условные обозначения – ???????????, ?????? ?????????????? ??????????? (?????- ??, ???????, ????????); – ??????? ? ?????????? ?????????????? ?????????; ? – ????????? ?????????????? ??????? ??? ??????; – «????????» ??????, ?????? ??????? ???????????? ??? ????- ??? ?????? ?????; – ?????????? ??? ??????????; – ??????? «?????? ? ????????????? ? ???????? ?????? ??????- ???»; – ?????????? ?????????? ?????????; – ??????? «?????????? ??????? ??? ?????????» ? ???????- ??????? Черным цветом обозначены номера упражнений для работы в классе, а синим – для работы дома. Все упражнения распределены согласно уровням учебных достижений и выделены так, что: с отметки начинаются упражнения начального уровня; с отметки начинаются упражнения среднего уровня; с отметки начинаются упражнения достаточного уровня; с отметки начинаются упражнения высокого уровня. Проверить свои знания и подготовиться к тематическому оцениванию можно, выполнив задания Домашней самостоятельной работы, представленные в тестовой форме, и «Задания для проверки знаний. После каждой главы идут упражнения для ее повторения, а в конце учебника – Задания для проверки знаний за курс геометрии класса и Задачи повышенной сложности. Занятия геометрией будут еще интереснее, если решать упражнения из рубрики Интересные задачки для неленивых». Вспомнить и повторить ранее изученный материал вам помогут Сведения из курса геометрии 7 класса и Упражнения на повторение курса геометрии 7 класса, размещенные в конце учебника. Автор старался представить теоретический материал учебника простым, доступным языком и проиллюстрировать большим количеством задач. После изучения теоретического материала в школе его обязательно нужно проработать дома. Учебник содержит много упражнений, большинство из которых вы рассмотрите на уроках и вовремя выполнения домашнего задания, остальные упражнения рекомендуем решить самостоятельно. В конце учебника в приложении Готовимся к ВНО» представлена подборка геометрических задач, которые в разные годы предлагались абитуриентам на внешнем независимом оценивании по математике. Для их решения достаточно знаний геометрии го класса. Решив эти задачи, вы сделаете еще один шаг в успешной подготовке к будущим испытаниям, ожидающим вас при поступлении в выбранный ВУЗ. Интересные факты из истории развития геометрии как науки вы найдете в рубрике А еще раньше Уважаемые учителя! Предлагаемый учебник содержит большое количество упражнений упражнения большинства параграфов поданы «с запасом. Поэтому выбирайте их для использования на уроках ив качестве домашних заданий в зависимости от поставленной цели, уровня подготовки учащихся, степени индивидуализации и дифференциации обучения. Упражнения, которые не рассматривались на уроке, можно использовать на дополнительных, факультативных или индивидуальных занятиях. Дополнительные упражнения в Заданиях для проверки знаний предназначены для учащихся, которые справились с основными заданиями раньше других. Правильное их решение учитель может оценить отдельно. Упражнения для повторения разделов и задачи из приложения Готовимся к ВНО» можно предложить учащимся, например, вовремя обобщающих уроков по теме или повторения и систематизации учебного материала в конце учебного года. Организовать повторение курса геометрии 7 класса вначале учебного года и вспомнить соответствующий теоретический материал можно, предложив учащимся решить «Упражнения на повторение курса геометрии 7 класса и прочитать соответствующие теоретические сведения, размещенные в конце учебника. Уважаемые родители! Если ваш ребенок пропустит один или несколько уроков в школе, нужно предложить ему самостоятельно проработать этот материал по учебнику дома. Сначала желательно, чтобы он прочитал теоретический материал, изложенный простым, доступным языком и проиллюстрированный значительным количеством задач. После этого – нужно решить задачи и упражнения из рассмотренного параграфа, которые ему по силам. При изучении ребенком курса геометрии 8 класса вы можете предлагать ему дополнительно решать дома упражнения, которые не рассматривались на уроке. Это будет способствовать наилучшему усвоению учебного материала. Каждая тема заканчивается тематическим оцениванием. Перед его проведением предложите ребенку решить задания «Домашней самостоятельной работы, представленные в тестовой форме, и Задания для проверки знаний. Это поможет вспомнить основные типы задачи качественно подготовиться к тематическому оцениванию. В конце учебника Задачи повышенной сложности помогут вашему ребенку углубить знания по геометрии и подготовиться к математическим соревнованиям 6 ? ???????????????? ? ???? ????? ??: ? ? ????????? ??????? ????? ????? ???? ? ???? ????; ? ? ??????? ? ??????????????? ? ??? ?????????, ????????; ???- ???????? ? ????????? ?????; ????????? ? ????????? ??????? ????? ?????; ??????? ????? ??? ????? ???? ? ????- ??? ????? ????????; ??????? ??????; ? ? ????????? ?????????? ??? ??????? ????? ???? ? ???????????? ???, ????????? ????????? ??????????? ? ??????? ? ????- ??? ?????. 1. ????????????????? ???????? ??????, ????????? ?? ? ??????? ????? ? ??????? ??????????????? ??????????? ?? Никакие три из этих точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны иметь никаких других общих точек, кроме данных. Любой четырехугольник ограничивает некоторую часть плоскости, являющуюся внутренней областью четырех уголь ника. На рисунке 1 изображен четырехугольник. Точки A, B, C, D называют вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки AB, BC, CD и DA – A сторонами четырех уголь ника. Вершины четырехугольника, являющиеся концами его стороны, называют соседними, несоседние вершины называют противолежащими. На рисунке 1 вершины и B – соседние, A и C – противо- лежащие. Стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, называют соседними, а не имеющие общей вершины – противолежащими. На рис. 1 стороны AB и BC – соседние и CD – противолежащие, ??? ????????. ????? ????? Рис. 1 Сумму длин всех сторон четырехугольника называют его периметром. Периметр обозначают буквой. Например, периметр четырехугольника можно обозначить как P ABCD P : P ABCD P ? AB + BC + CD + Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называют диагоналями четырехугольника. На рисунке 2 отрезки KM и M LN – диагонали четырехугольника. Каждый четырехугольник имеет две диагонали. Углами четырехугольника называют углы DAB, ABC, BCD ирис. Углы четырехугольника называют противолежащими, если их вершины – противолежащие вершины четырехугольника, и соседними, если их вершины соседние вершины четырехугольника. На рисунке углы A и C – противолежащие, A и B – соседние. Один из углов четырехугольника может быть больше развернутого угла. Например, на рисунке 3 в четырехугольнике угол A больше развернутого. Такой четырехугольник называют невыпуклым. Если все углы четырехугольника меньше 180?, его называют выпуклым. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются (риса невыпук лого не пересекаются (рис. 4). Рис. 3 Рис. 4 Рис. Теорема (о сумме углов четырехугольника. Сумма углов четырехугольника равна Доказательство. Пусть АВСD – некоторый четырехугольник. Проведем в нем диагональ АС (рис. 5). Тогда АС. Учитывая, что ?2 + ?B + ?3 ? как сумма углов { АВС), ?1 + ?D + ?4 ? 180? (как сумма углов { АС, будем иметь А + А ?В + СВ+ В + ?3) + (?1 + ?D + ?4) ? ? 180??+ 180??? Рис. 2 8 ????? Задача. Найдите углы четырехугольника, если их градусные меры относятся как 3 : 10 : 4 : 1. Выпуклым или невыпук- лым является этот четырехугольник Решение. Пусть углы четырехугольника равны 3x, 10x, 4x и x. Имеем уравнение 3x + 10x + 4x + x ? 360, откуда x ? 20. Следовательно, углы четырехугольника равны ? 20? ? 60?, 10 ? 20? ? 200?, 4 ? 20? ? 80? и 20?. Так как один из углов четырехугольника больше 180?, то этот четырехугольник невыпук лый. О т в е т. 60?, 200?, 80?, 20?; невыпук лый. ????????? ??????? 1. Устно) Какие из фигур (рис. 6–9) являются четырехугольниками Назовите выпуклые и невыпук лые четырехугольники Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 2. Назовите пары противолежащих сторон четырехугольника (рис. 9), пары соседних сторон, пары соседних вершин, пары противолежащих вершин. Какую фигуру называют четырехугольником. Что называют вершинами четырехугольника, сторонами четырехугольника. Какие вершины четырехугольника называют соседними, а какие – противолежащими. Что называют диагоналями четырехугольника. Какие стороны четырехугольника называют соседними, а какие – противолежащими. Что называют периметром четырехугольника. Что называют углами четырехугольника. Какие углы четырехугольника называют противолежащими, а какие – соседними. Какой четырехугольник называют невыпук лым, а какой – выпуклым. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов четырехугольника Начертите четырехугольник. Назовите пары его противолежащих сторон, соседних сторон, противолежащих вершин, соседних вершин. Проведите диагонали этого четырехугольника. Начертите выпуклый четырехугольники невыпук- лый PMLK. Проведите диагональ в каждом из них. 5. Существует ли четырехугольник с углами) 80?, 90?, 100? и 110?; 2) 150?, 60?, 70? и 80?? 6. Могут ли углы четырехугольника равняться) 120?, 80?, 90? и 70?; 2) 130?, 110?, 80? и 50?? ??????? ??????? 7. Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 1) 150?, 110? и 80?; 2) 80?, 60? и Выпуклым или невы пук лым является этот четырехугольник Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 1) 20?, 70? и 80?; 2) 120?, 50? и 40?. Выпуклым или невы пук лым является этот четырехугольник. Найдите периметр четырехугольника, стороны которого равны 32 мм, 2,5 см, 0,4 дм и 0,07 м. 10. Найдите периметр четырехугольника, стороны которого равным дм, 6,3 см и 54 мм. Могут ли все углы четырехугольника быть 1) острыми 2) прямыми) тупыми. Один из углов четырехугольника равен 120?, а остальные – равны между собой. Найдите неизвестные углы четырех уголь ника. 13. Периметр четырехугольника равен см, а одна из его сторон 24 см. Найдите неизвестные стороны четырехугольника, если они равны между собой. В четырехугольнике (рис. 10) BC ? CD и ?ACB ? ?ACD. Докажите, что ?B ? В четырехугольнике (рис. 11) ? BAC ? ?ACD, ?BCA ? Докажите, что AB ? Рис. Рис. 11 10 ????? 1 ??????????? ??????? 16. Найдите стороны четырехугольника, если они пропорциональны числами, а периметр четырехугольника равен 65 см. 17. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числами Найдите неизвестные углы четырехугольника, один из углов которого равен 90?, второй и третий относятся как : 5, а четвертый равен полусумме второго и третьего. 19. Найдите неизвестные стороны четырехугольника, периметр которого равен 54 см, одна из сторон 18 см, вторая и третья относятся как 7 : 3, а четвертая равна полураз- ности второй и третьей. Докажите, что в каждом четырехугольнике есть угол, не больше чем Докажите, что в каждом четырехугольнике есть угол, не меньше чем 90?. 22. Может ли угол четырехугольника быть больше суммы остальных его углов ??????? 23. Постройте четырехугольник со сторонами 6 см, 6 см, 3 см, 4 см и углом 50? между равными сторонами. Сколько решений имеет задача? 24. Постройте четырехугольник со сторонами см, 5 см, 4 см, 3 см и углом между равными сторонами. Сколько решений имеет задача. Выпуклый четырехугольник называют дельтоидом, если он имеет две пары равных соседних сторон (рис. 12). Докажите, что) диагональ BD делит пополам как угол B, таки угол D; 2) диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны. Периметр четырехугольника равен 29 см, периметр треугольника см, а треугольника см. Найдите длину диагонали Рис. 12 11 ???????????????? ?????????? ??? ?????????? 27. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 70?. Найдите остальные семь углов. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 70?. Сколько решений имеет задача. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60?, а сумма меньшего катета и медианы, проведенной к гипотенузе см. Найдите гипотенузу этого треугольника. Прямая AB является секущей для прямых KL ирис. Запишите все пары внутренних односторонних углов, внутренних накрест лежащих углов и соответственных углов Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 31. Каково взаимное расположение прямых a ирис, если) ?2 + ?4 ? 180?; 2) ?1 > ?4; 3) ?3 ? 120?; ?4 ? 121?; 4) ?2 ? 60?; ?4 ? 119?; 5) ?1 ? ?4 ? 122?; 6) ?3 ? ?4? 32. 1) Докажите, что {ABC ? {CDA (рис. 15), если ? и ?BAC ? ?ACD ? 2) Докажите, что BC ? AD и ?BCA ? ?CAD. 3) Параллельны ли прямые BC и AD? ?????????? ??????? ??? ????????? 33. Всеукраинская математическая олимпиада, 1964 г) Найдите наибольшее значение n, при котором на плоскости можно разместить n точек так, чтобы каждые три из них были вершинами прямоугольного треугольника На рисунке 16 изображен параллелограмму которого Рассмотрим свойства параллелограмма. ????? ???? ????? ???????? ????? ??????????????? ????? Действительно, углы A и A B параллелограмма рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых AD и BC и секущей. Поэтому ?A + A ?B ? 180?. Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма. ?????????????? ???????? ???????? ??????? ????? Так как ?A + ?B ? 180?, то ?A < 180?, ?B < 180?. Аналогично ?C < 180?, ?D < 180?. Поэтому параллелограмм выпуклый четырехугольник Доказательство. Диагональ разбивает параллелограмм ABCD на два треугольника ирис их общая сторона, ?CAD ? ?ACB и CAB ? ?ACD (как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых AD и BC, AB и CD и секущей AC). Тогда {ABC ? {CDA (по стороне и двум прилежащим углам. Откуда и ?B ? ?D как соответственные элементы равных треугольников. Так как BAC + ?CAD ? ?BCA + ?DCA, то ?BAD ? ?BCD. ? 4. ???????? ??????????????? ? ???D ? = 2( D ?? + ??). 5. ????????? ??????????????? ?????? ??????????? ??????? ???????. ??????????????, ??? ???????? ? Рис. Рис. 17 Доказательство. Пусть O – точка пересечения диагоналей и BD параллелограмма ABCD (рис. 18). AD ? как противолежащие стороны параллелограмма CAD ? ?ACB, ?BDA ? ?DBC (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых AD и BC и секущих и BD соответственно. Следовательно, {AOD ? по стороне и двум прилежащим углам. Тогда AO ? OC, BO ? OD как соответственные стороны равных треугольников Рис. 18 Рис. Задача 1. Дано параллелограмм, А – биссектриса угла A, BK ? 5 см, KC ? 3 см (рис. 19). Найдите Решением (как внутренние накрест лежащие углы A для параллельных прямых AD и BC и секущей AK); 3) ?KAD ? ?KAB (по условию, тогда ?BKA ? Тогда {ABK – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника (см) P ABCD P ? 2(AB (( + BC) ? 2(5 + 8) ? 26 (см). О т в е т. 26 см ??????????????? |