Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
Медианы тре угольника пересекаются водной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины тре- уголь ника. Д ока за тел ь ст во. Пусть M – точка пересечения медиан AK и CN треугольника (рис. 107). 1) Построим четырехугольник, где D – середина AM, T – середина) DT – средняя линия треугольника, поэтому DT || AB и) KL – средняя линия треугольника, поэтому KL || AB и 4) Следовательно, DT || KL и DT ? KL. Значит, DTKL – параллелограмм (по признаку параллелограмма) M – точка пересечения диагоналей TL и DK параллелограмма, поэтому MT ? ML, DM ? MK. Но MT ? BT, DM ? AD. Тогда BT ? TM ? ML и AD ? DM ? MK. Следовательно, точка M делит каждую из медиан AK ив отношении 2 : 1, считая от вершин A и B соответственно) Точка пересечения медиан AK и K CN должна также делить N в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка – точка M, которая в таком отношении делит медиану AK, то медиана CN также проходит через эту точку) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются водной точке и этой точкой делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины тре уголь ника. ? Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом тре уголь ника. Рис. 107 1. Что называют средней линией треугольника. Сформулируйте и докажите свойство средней линии треугольника. Сформулируйте свойство медиан треугольника. Устно) Какие отрезки на рисунке являются средними линиями треугольника, если AM ? MB, BK ? KC, AL ? LC? 285. Начертите произвольный тупоугольный треугольники его наибольшую среднюю линию Начертите равнобедренный треугольники его среднюю линию, концы которой принадлежат боковым сторонам. KL – средняя линия треугольника (рис. 105). 1) AB ? 14 см. Найдите KL; 2) KL ? 6 дм. Найдите AB. 288. KL – средняя линия треугольника (рис. 105). 1) AB ? 20 см. Найдите KL; 2) KL ? 7 дм. Найдите AB. ??????? ??????? 289. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон равнобедренного треугольника, равен 5 см. Найдите основание треугольника Основание равнобедренного треугольника равно 18 дм. Найдите длину отрезка, соединяющего середины боковых сторон треугольника. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 7 см, 8 см и 10 см Стороны треугольника равны 12 дм, 16 дм и 18 дм. Найдите периметр треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника Дано ED – средняя линия треугольника. Доказать ?CED ? ?CAB. 294. (Устно) Определите вид треугольника, если) две его средние линии равны между собой) три его средние линии равны между собой Периметр треугольника равен 24 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого являются серединами сторон данного тре уголь ника. Рис. 108 62 ????? 1 296. Периметр треугольника, вершины которого – середины сторон данного треугольника, равен 18 см. Найдите периметр данного треугольника. Стороны треугольника относятся как 4 : 3 : 5. Найдите его стороны, если периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен 60 см Периметр треугольника равен 80 см. Стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, относятся как 4 : 9 : 7. Найдите стороны данного треугольника. Сторона треугольника равна 10 см, а одна из средних линий – 6 см. Найдите остальные стороны треугольника, если одна из них в 1,5 раза больше другой. Сколько случаев следует рассмотреть. E, F, G, H – середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника. Найдите периметр четырехугольника, если AC ? 16 см, BD ? 10 см. 301. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Чему равен периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Точки M и K – середины сторон AD и DC соответственно. Докажите, что MK ? OD. 303. AK – медиана равнобедренного треугольника с основанием С. Точки P и F – середины сторон AB и AC соответственно. Докажите, что PF ? AK. 304. Докажите, что если два треугольника равны, то равны и треугольники, вершинами которых являются середины сторон данных треугольников Точка M – середина катета AC равнобедренного прямоугольного треугольника. Расстояние от точки M до гипотенузы равно a см. Найдите гипотенузу Точка K – середина катета BC равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой AB ? 20 см. Найдите расстояние от точки K до гипотенузы Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника точка пересечения медиан равнобедренного треугольника. Известно, что AM ? 8 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны до основания треугольника Середина боковой стороны равнобедренного треугольника) удалена от основания треугольника на 9 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до вершины K. ?????????? ??? ?????????? 310. В треугольнике центр описанной окружности. Найдите ?AOB, ?BOC, ?COA. 311. Одна из диагоналей ромба образует сего стороной угол 30?, а другая диагональ равна 7 см. Найдите периметр ромба. В равнобокой трапеции основания равны a и b (a > b), а острый угол – 60?. Найдите 1) боковую сторону трапеции) периметр трапеции) условие, при котором в трапецию можно вписать окружность ??????? ??? ????????? 313. Существует литре угольник, две биссектрисы которого взаимно перпендикулярны. ??????? ?????? ???????? ???????? ???????, ????????- ??? ???????? ?? ??????? Рассмотрим свойство средней линии трапеции. Т е орем а (свойство средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниями равна их полу- сумме. Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – данная трапеция – ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что EF || AD, EF || BC и ??????? ????? ????????, ?? ???????? 64 ????? Рис. 109 1) Проведем луч BF до его пересечения с лучом AD. Пусть – точка их пересечения. Тогда ?BCF ? ?MDF (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AM и секущей CD), ?CFB ? ?DFM (как вертикальные ? FD (по условию. Следовательно, {CFB ? {DFM (по стороне и двум прилежащим углам, откуда BF ? FM, BC ? DM как соответственные стороны равных треугольников) Поскольку BF ? FM, то EF – средняя линия треугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, а значит, EF || F AD. Но так как AD || BC, то EF || F BC. 3) Кроме того, ? Задача 1. Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований. Д ока за тел ь ст во. Пусть EF – средняя линия трапеции ABCD, M – точка пересечения AC и EF, N – точка пересечения ирис. Пусть AD ? a, BC ? b. Докажем, что) Так как EF || AD, EF || BC и ? BE, то, по теореме Фалеса, M середина AC, N – середина N BD. Поэтому EM – средняя линия треугольника средняя линия треугольника. Тогда ; 2) EF – средняя линия трапеции, поэтому 3) ? Задача 2. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции – 48 см. Рис. 110 Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, EF – ее средняя линия, BC : AD ? 3 : 7, ?CAD ? ?BAC (рис. 111). 1) Обозначим BC ? 3x, AD ? 7x. Тогда (см) ? CAD ? ? BAC (по условию CAD ? ?BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей AC). Поэтому BCA ? ?BAC. Следовательно, {BAC равнобедренный, у которого AB ? BC (по признаку равнобедренного треугольника. Но AB ? CD (по условию, значит ? BC ? CD ? 3x (см) Учитывая, что P ABCD P ? 48 см, получим уравнение 7x + 3x + 3x + 3x ? 48, откуда x ? 3 (см) Тогда EF ? 5 ? 3 ? 15 (см). О т в е т. 15 см, ??? ??????? ????? ???????? ????? ????????? ?????????, ???? ? ???????? ??? ??????? ?????????; ??? ?????????? ???????? ??????? ?????? (???????? XVII ?. ?? ?. ?.). ? ???????? ??????? ????? ???????? ????? ????? ? ??????????? ???- ??????; ??? ???????? ??????????? ? ? ?????? ?????? ???????????????? (?????? ???????? I ?. ?. ?.). 1. Что называют средней линией трапеции. Сформулируйте и докажите свойство средней линии трапеции ??????? 314. Устно) На каких из рисунков 112–115 отрезок является средней линией трапеции Рис. 112 Рис. 113 Рис. 114 Рис. Рис. 111 66 ????? 1 315. Основания трапеции равны 8 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 7 см и 11 см ??????? 317. Найдите основание трапеции, если ее другое основание равно 9 см, а средняя линия – 7 см Одно из оснований трапеции равно 5 см, а средняя линия – 10 см. Найдите другое основание трапеции Одно из оснований трапеции равно 8 см, а другое – вдвое больше. Найдите расстояние между серединами боковых сторон трапеции Средняя линия трапеции равна 30 см. Найдите основания трапеции, если) одно из них на 8 см больше другого) одно из них в 4 раза меньше другого) они относятся как 3 : 2. 321. Средняя линия трапеции равна 16 см. Найдите основания трапеции, если) одно из них на 2 см меньше другого) одно из них втрое больше другого) их отношение равно 3 : 5. 322. K – точка пересечения диагонали BD трапеции с ее средней линией MN. Докажите, что BK ? KD. 323. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 9 см, а ее средняя линия – 10 см. Найдите периметр трапеции Боковые стороны трапеции равны 10 см и 12 см, а ее периметр – 52 см. Найдите среднюю линию трапеции ??????? 325. Может ли средняя линия трапеции) равняться одному из оснований) быть меньше меньшего основания) быть больше большего основания) быть вдвое меньше большего основания. EF – средняя линия трапеции, пересекающая диагональ в точке N. EN ? 5 см, NF ? 3 см. Найдите основания трапеции 67 ???????????????? 327. MN – средняя линия трапеции ABCD, пересекающая диагональ AC в точке K. Найдите MK и KN, если основания трапеции равны 18 см и 12 см В трапеции ABCD AD ? 30 см, BC ? 12 см – основания, а точки E и T – середины AB и AE соответственно. Через и T проведены прямые, параллельные AD. Найдите отрезки этих прямых, содержащиеся между боковыми сторонами трапеции В трапеции ABCD M – середина боковой стороны, N середина MB. Через точки M и M N параллельно проведены прямые, пересекающие CD в точках K и K L соответственно см, NL ? 8 см. Найдите основания трапеции В равнобокой трапеции ABCD перпендикуляр, проведенный из вершины B к большему основанию AD, делит его на отрезки 3 см и 7 см. Найдите среднюю линию трапеции Из вершины B тупого угла равнобокой трапеции к основанию AD проведена высота BK. Найдите среднюю линию трапеции, если AK ? 4 см, BC ? 6 см. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой Расстояние до нее от точки A равно 7 см, а от точки M, являющейся серединой AB, – 5 см. Найдите расстояние от точки B до прямой По одну сторону от прямой a на расстоянии 10 см и см от нее отметили точки M и N. Найдите расстояние от середины отрезка MN до прямой a. ??????? ??????? 334. Основания трапеции равны 6 см и 14 см. Диагонали трапеции делят ее среднюю линию натри части. Найдите длину каждой из этих частей. 335. Диагонали делят среднюю линию трапеции натри части, длины которых 7 см, 8 см и 7 см. Найдите основания трапеции. В трапеции ABCD (AD (( || BC) ?A ? 90?, ?C ? 135?, AB ? 6 см. Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол пополам, а среднюю линию – на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр трапеции. 338. Диагональ равнобокой трапеции делит ее острый угол пополам, а среднюю линию – на отрезки 3 см и 7 см. Найдите периметр трапеции 68 ????? 1 ?????????? ??? ?????????? 339. Найдите углы M и N четырехугольника, вписанного в окружность, если ?K ? 37?, ?L ? 119?. 340. Окружность вписана в равнобокую трапецию. Найдите периметр трапеции, если ее боковая сторона равна a см. В прямоугольной трапеции тупой угол равен 120?, большее основание – 14 см, а большая боковая сторона – 8 см. Найдите меньшее основание трапеции ??????? ??? ????????? 342. Все стенки и дно картонной коробки без крышки имеют форму квадрата со стороной a. Разрежьте развертку коробки двумя разрезами так, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат, площадь которого равна Домашняя самостоятельная работа ? Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А–Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. На рисунке 116 изображена трапеция. Укажите ее основания. А. KN и ML; Б. KL и MN; В. KN и MN; Г. ML и MN. 2. Найдите градусную меру центрального угла, если градусная мера соответствующего ему вписанного угла равна А. 40?; Б 20?; В 80?; Г 30?. 3. На рисунке 117 M 1 M M N 1 N N || M 2 M M N 2 N N , ON 1 N N ? N 1 N N N 2 N N ; OM 2 M M ? 16 см. Найдите M 1 M M M 2 M M А. 4 см Б 8 см В 6 см Г найти невозможно. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. ??A ? 20?, ??B ? Найдите углы C и D этого четырех уголь ника. А. ?C ? 80?; ?D ? 160?; Б. ?C ? 150?; ?D ? 80?; В. ?C ? 20?; ?D ? 100?; Г. ?C ? 160?; ?D ? 80?. 5. Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого – середины сторон данного тре уголь ника. А. 11 см Б 12 см В 14 см Г 16 см. Рис. Рис. 117 69 ???????????????? 6. Средняя линия трапеции равна 20 см, а ее основания относятся как 2 : 3. Найдите длину меньшего основания. А. 16 см Б 24 см В 18 см Г 8 см. Хорды MN и KL пересекаются в точке A; ?MKL ? 30?; ??KLN ? 70?. Найдите А. 30?; Б 70?; В 80?; Г 100?. 8. Окружность вписана в равнобокую трапецию, боковая сторона которой равна 10 см. Найдите периметр трапеции. А. 50 см Б 20 см В 30 см Г 40 см. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60?, а большая боковая сторона и меньшее основание – по 18 см. Найдите большее основание трапеции. А. 36 см Б 24 см В 27 см Г 30 см. Диагональ равнобокой трапеции делит ее острый угол пополам, а среднюю линию – на отрезки 4 см и 5 см. Найдите периметр трапеции. А. 32 см Б 34 см В 36 см Г 38 см. Точка N – середина медианы AD треугольника пересекает AC в точке F. Найдите F F AF, если ? 18 см. А. 6 см Б 9 см В 3 см Г 2 см. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36 см. Найдите расстояние от середины катета до гипотенузы. А. 12 см Б 6 см В 18 см Г 9 см. Задания для проверки знаний к § 6–11 1. Начертите трапецию MKPF (MK || PF). Укажите ее основания и боковые стороны. Найдите градусную меру вписанного угла, если соответствующий ему центральный угол равен 70?. 3. На рисунке 118 A 1 B 1 || A 2 B 2 , OB 1 ? B 1 B 2 , OA 1 ? 2 см. Найдите ? OA 2 4. Найдите углы A и четырехугольника, вписанного в окружность, если ? 140?, ?D ? 70?. 5. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и см. Найдите периметр тре уголь ника, сторонами которого являются средние линии данного тре уголь ника. Рис. 118 70 ????? 1 6. Средняя линия трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 4 см больше другого. Окружность вписана в равнобокую трапецию, периметр которой 20 см. Найдите боковую сторону трапеции. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60?, а большая боковая сторона и большое основание равны по 12 см. Найдите меньшее основание трапеции. Диагональ равнобокой трапеции делит ее тупой угол пополам, а среднюю линию – на отрезки 9 см и 7 см. Найдите периметр трапеции. Дополнительные задания. Точки K, L, M делят медиану BD треугольника на четыре равные части (BK ? KL ? LM ? MD). AM пересекает в точке F. Найдите CF : FB. |