Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
11. Точка D – середина катета BC равнобедренного прямоугольного треугольника. Расстояние от точки D до гипотенузы треугольника на 15 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника. Начертите четырехугольник. Запишите вершины, стороны и углы этого четырехугольника. Могут ли в четырехугольнике три угла быть прямыми, а четвертый 1) острым 2) тупым. Два угла четырехугольника равны 40? и 80?, а два других между собой равны. Найдите неизвестные углы четырехугольника. Запишите всевозможные варианты обозначения четырехугольника. Один из углов четырехугольника на 10? меньше второго, на 50? меньше третьего и вдвое меньше четвертого. Найдите углы четырехугольника. Все стороны четырехугольника равны. Докажите, что сумма любых двух соседних углов этого четырехугольника равна К § 1 71 ???????????????? 349. Начертите параллелограмму которого угол K – тупой. Проведите диагонали параллелограмма и обозначьте их точку пересечения через O. Укажите на рисунке пары равных отрезков. На рисунке 119 ABCD – параллелограмм, ?1 ? Найдите ?2. 351. В четырехугольнике. Докажите, что четырехугольник параллелограмм. На рисунке 120 AD ? BC, ?1 ? ?2. Докажите, что – параллелограмм Рис. 119 Рис. 120 353. Прямые a и b пересекаются. Постройте параллелограмм так, чтобы его диагонали лежали на этих прямых. Дан параллелограмм ABCD и треугольник Возможно ли, чтобы одновременно выполнялись равенства. В параллелограмме ABCD точка M – середина AD, N середина BC. Докажите, что отрезки AN и BM точкой пересечения делятся пополам. Дано три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько параллелограммов с вершинами в этих точках можно построить. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. Докажите, что биссектрисы противолежащих углов параллелограмма или параллельны, или совпадают. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен 30?. Найдите эти высоты, если стороны параллелограмма равны 8 см и 20 см. К § 2 72 ????? 1 360. Постройте параллелограмм по двум непараллельным сторонами высоте, проведенной к одной из них. Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и найдите его периметр. В четырехугольнике точка пересечения диагоналей делит диагонали на четыре равных отрезка. Определите вид четырехугольника. Биссектриса угла A прямоугольника пересекает продолжение стороны DC в точке N. Найдите ?AND. 364. Постройте прямоугольник по) стороне и диагонали) диагонали и углу, который она образует с одной из сторон) диагонали и углу между диагоналями. Биссектриса угла A прямоугольника пересекает сторону CD в точке M. Найдите периметр прямоугольника, если DM ? 5 см, MC ? 2 см. Точка пересечения диагоналей прямоугольника находится от меньшей стороны на 2 см дальше, чем от большей. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 56 см. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла прямоугольника к диагонали, делит ее в отношении 1 : Найдите меньшую сторону прямоугольника, если диагональ равна a см. Биссектрисы углов A и D прямоугольника пересекают его сторону BC в точках L и K соответственно ? 7 см, LK ? 2 см. Найдите периметр прямоугольника. Сколько случаев следует рассмотреть. Начертите ромб MKLN с тупым углом M и проведите в нем высоты MA и MB. 370. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O, ? BAO ? 25?. Найдите углы ромба. Найдите углы ромба, если отношение двух из них равно 2 : К § КВ ромбе ABCD из вершины острого угла A проведены высоты AM и AN. Докажите, что AM ? AN. 373. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, а его периметр равен m см. Найдите стороны параллелограмма. Угол между продолжением высоты ромба, проведенной из вершины острого угла, и продолжением диагонали, которая соединяет вершины тупых углов, равен Найдите углы ромба. Высота ромба равна 10 см, а его периметр – 80 см. Найдите: 1) углы ромба) угол между высотой, проведенной из вершины тупого угла ромба, и его меньшей диагональю. Постройте ромб по диагонали и высоте. На сторонах прямоугольника вне его построены равносторонние треугольники. Докажите, что вершины треугольников являются вершинами ромба. Начертите квадрат, сторона которого равна 3 см. Найдите периметр квадрата. Разность между периметром квадрата и суммой трех его сторон равна 8 см. Найдите сторону квадрата и его периметр. В данную окружность, положение центра которой известно, впишите квадрат. Диагональ прямоугольника делит его угол пополам. Является ли прямоугольник квадратом. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата отметили точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 так, что AA 1 ? BB 1 ? CC 1 ? Определите вид четырехугольника. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит по одной его вершине, а стороны прямоугольника параллельны диагоналям квад рата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна d см. Начертите прямоугольную трапецию NMLK и равно- бокую Н. Назовите основания трапеций и их боковые стороны. К § К § 6 74 ????? 1 385. Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой 8 см и 5 см, а боковые стороны равны меньшему основанию. В равнобокой трапеции один из углов на 20? больше другого. Найдите углы трапеции. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона вдвое больше высоты. Найдите углы трапеции. Найдите углы равнобокой трапеции, если противолежащие ее углы относятся как 4 : 5. 389. В трапеции ABCD с большим основанием AD через точку K – середину CD – провели прямую BK, которая пересекает прямую AD в точке M. Докажите, что {BKC ? {MKD. 390. Высота прямоугольной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной угол 30? и делит пополам большее основание. Найдите большее основание трапеции, если большая боковая сторона равна m см. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а ее основания равны 10 см и 6 см. Найдите периметр трапеции. ABCD – прямоугольная трапеция, ?D ? ?C ? 90?, AD – большее основание, ?BDC ? 45?, ?ABD ? 90?, AD ? 10 см. Найдите BC и CD. 393. В равнобокой трапеции меньшее основание равно 5 см, боковая сторона – 3 см, а угол между боковой стороной и большим основанием равен 60?. Найдите периметр трапеции. В равнобокой трапеции диагональ равна большему основанию, а боковая сторона – меньшему. Найдите углы трапеции. Постройте трапецию по ее основаниями диагоналям. В трапеции ABCD BC – меньшее основание. Через точку C проведена прямая, параллельная AB и пересекающая в точке E. Найдите периметр треугольника, если периметр трапеции равен см, а BC ? 10 см. На рисунке 121 точка O – центр окружности) ?1 ? 40?. Найдите ?2. 2) ?2 ? 25?. Найдите Рис. К § 7 75 ???????????????? 398. На рисунке 121 точка O – центр окружности. Найдите ?2, если) ?1 – ?2 ? 15?; 2) ?1 + ?2 ? 54?. 399. Остроугольный треугольник вписан в окружность с центром в точке O. Найдите ??BOC, если ?A ? ?. 400. В окружность вписан угол ABC, равный 30?. Найдите длину хорды AC, если радиус окружности равен 2 см. Продолжение биссектрисы угла A треугольника пересекает окружность, описанную около тре уголь ника, в точке K. Докажите, что ?BK ? ?CK. 402. Окружность разделена четырьмя точками на части, которые относятся как 1 : 2 : 3 : 4, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного четырехугольника. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок MN видно под заданным углом ?. 404. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, если) AB ? 5 см, BC ? 3 см, CD ? 4 см, DA ? 6 см) AB ? 3 дм, BC ? 7 дм, CD ? 8 дм, DA ? 10 дм. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого в порядке следования относятся как) 2 : 7 : 10 : 5; 2) 3 : 5 : 8 : 4? 406. ABCD – четырехугольник, описанный около окружности см, BC ? 9 см, CD ? 10 см. Найдите AD. 407. В четырехугольнике. Найдите ?BAC. 408. Три угла четырехугольника, вписанного в окружность, относятся в порядке следования как 3 : 4 : 6. Найдите углы четырехугольника. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем ее диаметр. Точка O – точка пересечения диагоналей. Найдите ?AOD, если ?BAC ? 30?, ?CAD ? 58?. 410. Острый угол прямоугольной трапеции, описанной около окружности, враз меньше тупого. Найдите периметр трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна a см. К § 8 76 ????? 1 411. На рисунке 122 прямые A 1 B 1 , и A 3 B 3 – параллельны. Найдите на этом рисунке и другие пары равных отрезков. Разделите данный отрезок на 9 равных частей, используя линейку без делений. Разделите данный отрезок на 3 части, длины которых относятся как 3 : 1 : 2, используя линейку без делений. Точка K делит медиану AN треугольника в отношении 2 : 1, считая от точки A. Докажите, что прямая CK делит сторону K AB пополам. Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, равен 5 см. Найдите третью сторону треугольника. Начертите прямоугольный треугольники проведите в нем наибольшую среднюю линию. EF – средняя линия треугольника см, CF ? 5 см, EF ? 7 см. Найдите периметр треугольника. Одна из средних линий равностороннего треугольника равна 2 см. Найдите периметр треугольника. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна см, а периметр – 20 см. Найдите среднюю линию, концы которой принадлежат боковым сторонам. Точки D, E, F – соответственно середины сторон AB, и CA треугольника. Докажите, что четырехугольник параллелограмм. Сторона треугольника равна 12 см. Найдите две другие стороны треугольника, если одна из его средних линий равна 5 см, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 18 см. В треугольнике проведены средние линии. Периметры параллелограммов, которые образовались при этом, равны 22 см, 24 см и 26 см. Найдите периметр данного треугольника и треугольника, образованного его средними линиями. К § Рис. К § 10 77 ???????????????? 423. Постройте треугольник потрем точкам – серединам его сторон. Последовательно соединили середины сторон квад рата, диагональ которого равна d см. Определите вид четырехугольника, который при этом образовался, и вычислите его периметр. Начертите трапецию ABCD и проведите в ней среднюю линию EF. Измерьте основания трапеции и вычислите длину ее средней линии. Сумма боковых сторон трапеции равна 17 см, а средняя линия – 8 см. Найдите периметр трапеции. Разность оснований трапеции равна 2 см, а средняя линия – 14 см. Найдите основания трапеции. Основания трапеции равны 20 см и 12 см. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, содержащиеся между сторонами трапеции. Найдите основания трапеции, средняя линия которой см и делится диагональю на отрезки, один из которых вдвое больше другого. Средняя линия трапеции втрое больше меньшего основания и на 12 см меньше большего основания. Найдите основания трапеции. Средняя линия трапеции диагоналями делится на отрезки, отношение которых равно 2 : 3 : 2. Найдите отношение оснований трапеции. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. В равнобокой трапеции большее основание равно a см, боковая сторона – c см, а острый угол 60?. Найдите среднюю линию трапеции. К § 11 78 ??????? ????????????? ? ???? ????? ??: ? ? ??????? ? ???????? ??? ????? ????? ? ?? ?????????; ? ????- ??? ???????????????? ???????? ? ????? ???????? ??? ?????- ???? ? ?? ????????; ? ???????? ??????????? ??? ????? ????; ? ? ????????? ???????????? ??????? ??? ????? ?????, ??????- ?????? ?????????? ??????? ?????? ? ??????? ??? ?????- ????? ??? ??????? ?????. 12. Напомним, что отношением отрезков AB и CD называют отношение их длин, то есть Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональные отрезками, если Например, если AB ? 6 см CD ? 8 см A 1 B 1 ? 3 см C 1 D 1 ? 4 см, то действительно Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка AB, CD и MN пропорциональны трем отрезками, если О боб щенная теорема Фале с а (теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Д ока за тел ь ст во. Пусть параллельные прямые BC и B 1 C 1 пересекают стороны угла A рис. 123). Докажем, что ??????? ?????? 79 ??????? ????????????? 1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков AC и являются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины h, который можно отложить целое число рази на отрезке AC, и на отрезке Пусть AC ? a, CC 1 ? b, a и b – рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями Поэтому Имеем AC ? ph, СС 1 ? qh. 2) Разделим отрезок AC на p равных частей длины h, а отрезок CC 1 – на равных частей длины h. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой BC (рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок AB 1 на + q) равных отрезков длины h 1 , причем будет состоять из p таких отрезков, а BB 1 – из q таких отрезков. Имеем: AB ? ph 1 , BB 1 ? qh 1 3) Найдем отношение и . Будем иметь и Следовательно, ? Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему. С лед ст в и е 1. Следствие. Доказательство. Поскольку, то Прибавим к обеим частям этого равенства по единице, то есть. Учитывая, что + BB 1 ? AB 1 , AC + CC 1 ? AC 1 , будем иметь: Откуда ? Рис. 123 80 ????? Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них. Задача. Дано отрезки a, b, c. Постройте отрезок Р е ш е ни е. Поскольку то и Для построения отрезка x можно использовать как обобщенную теорему Фалеса, таки одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1. 1) Строим неразвернутый угол с вершиной (рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок OB ? b, а на другой – отрезки OA ? a и AC ? c. 2) Проведем прямую AB. Через точку С параллельно AB проведем прямую, точку пересечения которой со стороной OB угла обозначим через D, то есть CD || AB. 3) Последствию из обобщенной теоремы Фалеса имеем откуда Следовательно, BD ? Построенный отрезок x называют четвертым пропорциональным отрезков a, b итак как для этих отрезков верно равенство a : b ? c : x. ????????? ? ????????? ? ????????? ?????????????? ? ?????? ??????. ?? ???? ??????????????? ???????????????? ?????, ?????? ???????? ?????? ? ?????? ? ?????????? ??????? ? ???? (III ????????- ??? ?? ?. ?.), ?????????? ??????, ?????? ????????? ????????????????- ????? ? ?????? ????????? ?????????. Гробница Менеса Пирамиды в Гизе Рис. 124 81 ??????? ????????????? ? ??????? ????? «?????» ?????? ??????? ?????????????? ?????? ?????? ?? ??????????, ??????? ???????? ?????? ? ??????????? ????- ????? ? ????? ??????. ??? ?????? ??????? ?? ?????? ???????? ???- ????? ? ??????? ? ??????????? ??? ???????????? ??????? ????? ?????. ? ????? ????? ?????? ??????? ????? ?????? ????????? ? ?????????, ? ??????? ???????? ?? 100 ??? ?? ???? ?????????? ??????????????? ??????- ???, ??????? ? ???????? ?????? (408 ?. – 355 ?. ?? ?. ?.). ??? ?????? ????? ? ?????? ?????? ? ??????? ?????, ??????????? ???????? ? ?????? ????? «?????», ??? ????? ???? ?????? ? ?????? ? ??????? ??????? ? ?????? ?????????. ?????????????????? ???????? ??????, ???????????? ??????????? ????????????? ???????, ???? ???????? ??? ??????????? ??????, ???? ?????? ????????-?????????? ??????? ??????? ???????? ???????- ???? ?????? ??????????. 1. Что называют отношением отрезков. Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса. 3. При каком условии отрезок x является четвертым пропорциональным отрезков a, b и c? ????????? ??????? 434. Устно) На рисунке 125 AB || Какие из равенств верны 2) 3) На рисунке 125 AB || CD, OA ? 2, ? AC ? 3, ? BD ? 6. Найдите ? OB. 436. На рисунке 125 AB || CD, OB ? 6, ? BD ? 9, ? OA ? 4. Найдите ? AC. ??????? ??????? 437. Параллельные прямые AB, CD и пересекают стороны угла O (рис. 126). AC ? 6 см, CE ? 2 см, BD ? 5 см. Найдите Параллельные прямые AB, CD и пересекают стороны угла O рис. 126), BD ? 4 см, DF ? 2 см, CE ? 3 см. Найдите Рис. Рис. 126 |