Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
98. В параллелограмме ABCD с острым углом A диагонали пересекаются в точке O. На отрезках AO и OC отмечены точки M итак, что OM ? OB, ON ? OD. Докажите, что BMDN – прямоугольник Точки В и D принадлежат окружности с центром О, AC – диаметр окружности, AD ? BC (рис. Докажите, что ABCD – прямо уголь ник. Рис. Рис. 45 25 ???????????????? 100. Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника к двум его соседним сторонам, равны 4 см и 9 см. Найдите периметр прямоугольника Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его большая сторона равна 20 см. 102. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 8 дм ??????? 103. На рисунке 46 ABCD – прямоугольник. Найдите DB и AB; 2) AC ? m. Найдите AK и На рисунке 46 ABCD – прямоугольник. Найдите BD и OK. 105. В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой BC ? 35 см вписан прямоугольник так, что точки K и L лежат на гипотенузе тре уголь ника, а точки M и N – на катетах. KL : KN ? 3 : 2. Найдите периметр прямоугольника В равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 20 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол, а вершина, противолежащая этому углу, лежит на гипотенузе. Найдите периметр прямоугольника. Из вершины тупого угла B параллелограмма проведена высота BK. Найдите углы параллелограмма, если BK ? 0,5AB 55 108. 1) Градусная мера одного из углов треугольника равна среднему арифметическому градусных мер двух других углов треугольника. Найдите этот угол) Градусная мера одного из углов четырехугольника равна среднему арифметическому трех других углов четырехугольника. Найдите этот угол. Через точку P, принадлежащую внутренней области угла ABC, проведите прямую так, чтобы ее отрезок, лежащий между сторонами угла, делился точкой Р пополам. Рис. 46 26 ????? 1 ?????? ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 110. Дано AB ? BC ? CD ? DA (рис. Доказать ?A ? ?C, ?B ? ??D. ?????????? ??????? ??? ????????? 111. Можно ли разрезать квадрат размером ? 6 на прямоугольники размером 1 ? 4? 4. ?????? ???????? ??????????????, ? ???????? ??? ?????- ? ?? ????? (???. Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма. ????? ????? ???? ???????? ????? ????? ????? 180°. 2. ? ????? ?????????????? ???? ?????. 3. ????????? ????? ?????? ??????????? ??????? ???????. 4. ???????? ????? P ABCD P = Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство. ????????? ????? ??????? ??????????????? ? ????? ??? ???? ???????. Рис. 48 Рис. Доказательство. Пусть AC и BD – диагонали ромба ABCD (рис. 49), O – точка их пересечения. Поскольку AB ? AD и DO ? OB, то AO – медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию BD. Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника Следовательно, AC ? BD и ?DAO ? Рис. 47 ???? ? ??? ???????? Аналогично можно доказать, что диагональ AC делит пополам угол DCB, а диагональ BD делит пополам углы ABC и ADC. ? Задача 1. Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28?. Найдите углы ромба. Р е ш е ни е. Пусть BD – диагональ ромба ABCD, а BK – его высота (рис. 50), ?KBD ? Рис. 50 1) В {BKD ?BDK ? 90? – 28? ? 62?. 2) Так как BD делит угол ADC пополам, то ?ADC ? ? 2 ? 62? ? 124?. 3) Тогда ?ABC ? ?ADC ? 124?; ?A ? ?C ? 180? – 124? ? Ответ, Рассмотрим признаки ромба. Т е орем а (признаки ромба. Если в параллелограмме 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, – то параллелограмм является ромбом. Д ока за тел ь ст во) Пусть ABCD – параллелограмм (рис. 48). Так как AB ? AD (по условию) и AB ? CD, AD ? по свойству параллелограмма, то AB ? AD ? BC ? СD. Следовательно, ABCD – ромб) Пусть AC ? BD (рис. 49). Поскольку OB ? OD (по свойству параллелограмма, то {AOB ? {AOD (по двум катетам). Следовательно, AB ? AD. Поп этой теоремы ABCD – ромб) Диагональ BD делит пополам угол D параллелограмма рис. 49), то есть ?ADB ? ?BDC. Так как AB || DC, BD – секущая, то ?ABD ? ?BDC (как внутренние накрест лежащие. Следовательно, ?ADB ? ?ABD. Поэтому по признаку равнобедренного треугольника равнобедренный и AD ? AB. Поп этой теоремы ABCD – ромб. ? 28 ????? Задача 2. Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник ромб. Д ока за тел ь ст во. Пусть AB ? BC ? CD ? DA (рис. 48). 1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то ABCD – параллелограмм по признаку параллелограмма) У параллелограмма ABCD соседние стороны равны. Поэтому ABCD – ромб (по признаку ромба. ? ????? «????» ?????????? ?????????????, ??????? ? ??????? ?????- ?? ???????? ??????????? ????, ????????, ??????. ???? ????? ???????- ?? ? ???????? ????????, ?? ??????? ???????? ????. ? «???????» ??????? ?????? «????» ??????????? ????????, ? ????- ???? ????? ?????? ?????? ?? ????????????. 1. Какую фигуру называют ромбом. Сформулируйте и докажите свойства ромба. Сформулируйте и докажите признаки ромба ??????? 112. (Устно) Какие из четырехугольников на рисунках являются ромбами Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53 Рис. 54 Рис. Начертите ромбу которого угол B тупой. 114. Начертите ромбу которого угол A острый Периметр ромба равен 28 см. Найдите его сторону. 116. Сторона ромба равна 5 дм. Найдите его периметр Острый угол ромба равен 50?. Какой угол образует диагональ, проведенная из этого угла, со стороной ромба? 118. Тупой угол ромба равен 110?. Какой угол образует диагональ, проведенная из этого угла, со стороной ромба 29 ???????????????? 119. Диагональ ромба образует сего стороной угол Найдите тупой угол ромба. 120. Диагональ ромба образует сего стороной угол Найдите острый угол ромба ??????? 121. В ромбе ABCD угол A равен 36?. Найдите углы треугольника, где O – точка пересечения диагоналей ромба – точка пересечения диагоналей ромба ABCD, ?B ? 118?. Найдите углы треугольника. Сумма длин трех сторон ромба равна 15 см. Найдите его периметр. 124. Сумма длин двух сторон ромба равна 18 см. Найдите периметр ромба. ABCD – ромб, ?2 ? 66? (рис. 56). Найдите ?1. 126. ABCD – ромб, ?1 ? 58? (рис. 56). Найдите ?2. 127. ABCD – ромб, ?1 ? 55? (рис. 56). Найдите ?3. 128. ABCD – ромб, ?3 ? 50? (рис. 56). Найдите ?1. 129. В ромбе ABCD AB ? BD. Найдите углы ромба. Устно) Какие общие свойства имеют ромб и параллелограмм Найдите углы ромба, если) сумма двух его углов равна 80?; 2) один из них на 20? больше другого. 132. Найдите углы ромба, если) сумма двух его углов равна 210?; 2) один из них на 50? меньше другого (Устно) Верно ли утверждение) если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом) если в четырехугольнике диагонали не взаимно перпендикулярны, то он не может быть ромбом) существует ромб, являющийся прямоугольником) ни один прямоугольник не является ромбом? Рис. 56 30 ????? 1 ??????????? ??????? 134. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна 10?. 135. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как 2 : 3. 136. Постройте ромб) по стороне и диагонали) по диагоналям. Постройте ромб по стороне и углу В ромбе ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN. Докажите, что BM ? BN. 139. В ромбе ABCD из вершин тупых углов проведены высоты BK и DL. Докажите, что BK ? DL. 140. Высоты, проведенные из вершины острого угла ромба, образуют между собой угол 110?. Найдите углы ромба. 141. Высоты, проведенные из вершины тупого угла ромба, образуют между собой угол 50?. Найдите углы ромба ??????? 142. Диагональ ромба, проведенная из вершины тупого угла, образует с высотой, проведенной из этой же вершины, угол 30?. Меньшая диагональ ромба равна a см. Найдите) углы ромба 2) периметр ромба Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите) углы ромба) периметр ромба, если его меньшая диагональ равна b см На диагонали AC ромба ABCD отметили точки M итак, что AM ? CN. Докажите, что четырехугольник является ромбом (рассмотрите два случая расположения точек M и M N). 145. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. В равносторонний треугольник вписан ромб так, что треугольники ромб имеют общий угол A, а точка лежит на стороне BC. Найдите периметр тре уголь ника, если периметр ромба равен 40 см 31 ???????????????? ?????????? ??? ?????????? 147. Стороны параллелограмма относятся как 5 : Найдите периметр параллелограмма, если разность этих сторон равна 15 см. Один из углов треугольника равен сумме двух других. Найдите наибольшую сторону этого тре уголь ника, если медиана, проведенная к ней, равна 5 см. Периметр треугольника равен 2p 2 см. Может ли одна из его сторон равняться) (p (( – 1) см 2) p см 3) (p (( + 1) см. В четырехугольнике биссектриса угла A пересекает биссектрисы углов B и D под прямым углом. Определите вид четырехугольника. Найдите периметр и площадь квадрата, сторона которого равна 1) 5 см 2) 2,1 дм 3) м 4) дм ??????? ??? ????????? 152. Киевская городская олимпиада, 1987 г) Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке Докажите, что отрезок AK длиннее диаметра окружности. ????????? ???????? ????? ????? ???, ? ???????? ??? ???- ? ???? На рисунке 57 изображен квадрат. Так как прямоугольник является параллелограммом, то квадрат параллелограмму которого все стороны равны, то есть он является ромбом. Таким образом, квадрат имеет свойства и прямоугольника, и ромба. Сформулируем свойства квадрата 32 ????? 1 4. ????????? ???? ???? ??????? ??????????????? ? ???- ??? ??????????? ??????? ??????? (???. 58). 5. ????????? ???? ???? ????? ??? ???? ???????, ?? ???? ???????? ???? ?? 45° ?? ????????? ???? ???? (???. 58). 6. ????? ??????????? ?????????? ???? ???? ???????????? ?? ???? ??? ??????: AO = O BO = O CO = O DO. Рис. 57 Рис. 58 Рис. Задача 1. Точки K и M принадлежат соответственно диагоналями квадрата, причем, . Докажите, что {ADM ? {BAK (рис. Доказательство (по свойству квадрата, AD ? AB (как стороны квадрата) Так как AC ? BD (по свойству диагоналей квадрата) и , , то AM ? BK. 3) Тогда {ADM ? {BAK (по двум сторонами углу между ними). ? Рассмотрим признаки квадрата Теорема (признаки квадрата) Если упрямо угольника диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом) Если у ромба диагонали равны, то он является квад ратом. Д ока за тел ь ст во) Данный прямоугольник является параллелограммом, а параллелограмм со взаимно перпендикулярными диагоналями – ромбом. Следовательно, у данного прямоугольника все стороны равны, поэтому он является квадратом) Данный ромб является параллелограммом, а параллелограмм с равными диагоналями – прямоугольником. Следовательно, у данного ромба все углы прямые, поэтому он является квадратом Задача 2. Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник квад рат. Д ока за тел ь ст во) Так как в четырехугольнике все углы равны, то, по признаку прямоугольника, он является прямоугольником) Так как в прямоугольнике все стороны равны, то он является квадратом ????????????? ?????????, ??? ???? ???». 1. Какую фигуру называют квадратом. Сформулируйте свойства квадрата. Сформулируйте и докажите признаки квадрата. Периметр квадрата равен 20 см. Найдите его сторону. 154. Сторона квадрата равна 7 дм. Найдите его периметр (Устно) На рисунке 58 изображен квадрат Найдите на этом рисунке равные отрезки. Если четырехугольник является квадратом, то его диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Верно ли обратное утверждение Приведите пример ??????? 157. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от одной из его вершин на 2 см. Найдите сумму длин диагоналей этого квад рата. 158. Сумма длин диагоналей квадрата равна 32 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его вершин. Сумма длин двух сторон квадрата равна 10 см. Найдите периметр квад рата. 160. Сумма длин трех сторон квадрата равна 18 дм. Найдите периметр квадрата. Устно) Какие общие свойства у квадрата и ромба (Устно) Какие общие свойства у квадрата и прямоугольника Разность периметра квадрата и его стороны равна 18 см. Найдите сторону квадрата и его периметр. Соседние стороны прямоугольника равны. Докажите, что он является квадратом Один из углов ромба – прямой. Докажите, что этот ромб является квадратом (Устно) Верно ли утверждение) каждый квадрат является прямоугольником) существует квадрат, который не является ромбом) каждый ромб является квадратом) каждый квадрат является ромбом) любой прямоугольник является квадратом) отношение периметра квадрата к его стороне является одинаковым для всех квадратов квадрат рис. 60). Найдите ?BFE. 168. ABCD – квадрат рис. 61). Найдите ?OKA. Рис. 60 Рис. 61 ??????????? Постройте квадрат) по его периметру 2) по его диагонали Постройте квадрат по сумме его диагоналей. Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от его стороны на 3 см. Найдите периметр квадрата Периметр квадрата равен 32 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до его сторон 35 ???????????????? 173. ABCD – квадрат (рис. 62). Докажите, что – ромб – квадрат (рис. 63). Докажите, что EFGH – прямоугольник Рис. 62 Рис. 63 175. Из точки A к окружности с центром O проведены две взаимно перпендикулярные касательные AB и AC, B и – точки касания. Докажите, что ABOC – квадрат В равнобедренный прямоугольный треугольник) вписан квадрат так, что прямой угол у них общий, а точка N принадлежит стороне AB. Катет треугольника равен b см. Найдите периметр квадрата В равнобедренный прямоугольный треугольник) вписан квадрат так, что точки K и лежат на гипотенузе треугольника, а точки L и N – на катетах AC и BC соответственно. Периметр квадрата равен 12 см. Найдите гипотенузу треугольника Вне квадрата на его сторонах построены равносторонние треугольники. Докажите, что вершины треугольников, не являющиеся вершинами данного квадрата, являются вершинами другого квадрата. В ромбе ABCD диагональ образует сего стороной угол 30?. Найдите углы ромба. Найдите углы четырехугольника, у которого A : ?B : ?C : ?D ? 1 : 3 : 4 : 10. Выпуклым или невы- пуклым является этот четырехугольник. Биссектриса угла B прямоугольника делит сторону на отрезки AK итак, что AK : K KD ? 3 : 5. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 110 см ? ????????????? ? ???????? ?????? ????????? 182. 1) Начертите четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие – непараллельны. 2) Какое наибольшее количество острых углов может быть в таком четырехугольнике. В 12 часов часовая и минутная стрелки совпадают. Через какое наименьшее количество минут стрелки опять совпадут? Домашняя самостоятельная работа ? Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А–Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. Укажите отрезок, являющийся диагональю четырехугольника А. AB; Б. BD; В. BC; Г. AD. 2. Найдите тупой угол параллелограмма, если острый его угол равен А 125?; Б 135?; В 145?; Г 155?. 3. Найдите сторону квадрата, если его периметр равен 36 см. А. 4 см Б 6 см В 9 см Г 12 см. Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его сторон на 2 см больше другой. Найдите длину меньшей стороны прямо уголь ника. А. 5 см Б 6 см В 7 см Г 8 см. ABCD – ромб, ?A ? 50? (рис. Найдите А 55?; Б 75?; В 50?; Г 65?. 6. Укажите правильное утверждение: А. если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом; Б. отношение периметра ромба к его стороне одинаково для всех ромбов; Рис. 64 В если диагонали четырехугольника равны, то он – прямоугольник Г отношение периметра прямоугольника, не являющегося квадратом, к его наибольшей стороне одинаково для всех прямоугольников. Найдите наибольший угол четырехугольника, градусные меры углов которого пропорциональны числами А 120?; Б 130?; В 150?; Г 160?. |