Истер ас, 2016 Издательство Генеза

• Название: Истер ас, 2016 Издательство Генеза
• Дата: 18.06.2022
• Размер: 5.1 Mb.
• Имя файла: 1953-geometriya.-8-klass_ister-o.s_2016-213s-ukraina.pdf
• Тип: Учебник; #601613
• страница: 2 из 17

???????? ?????????????,
??????????? ?? ????? ????? ??????? ???????????????
? ??????, ?????????? ?????????????? На рисунке 20 MN – высота параллелограмма, MN ? AD,
MN ? Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 BF и – высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонами Рис. 20 Рис. 21

14
????? Рассмотрим признаки параллелограмма.
Т е орем а (признаки параллелограмма. Если в четырехугольнике) две стороны параллельны и равны, или
2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, – то четырехугольник является параллелограммом.
Д ока за тел ь ст во) Пусть в четырехугольнике ирис. Проведем диагональ AC. Рассмотрим {CAD и {ACB. ?CAD ? ?BCA (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей общая сторона, AD ? BC по условию).
Следовательно, {CAD ? {ACB (по двум сторонами углу между ними. Тогда ?ACD ? ?CAB как соответственные. Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и секущей AC. Поэтому AB || CD по признаку параллельности прямых. Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому ABCD параллелограмм) Пусть в четырехугольнике ирис. Проведем диагональ AC. Тогда {CAD ? {ACB (потрем сторонам. Поэтому ?ACD ? ?CAB, и следовательно, AB || по признаку параллельности прямых. Аналогично доказываем, что AD || BC. Следовательно, ABCD – параллелограмм Рис. 22 Рис. 23 3) Пусть в четырехугольнике диагонали AC и BD пересекаются в точке O ирис как вертикальные. Поэтому {AOD ? {COB (по двум сторонами углу между ними. Отсюда AD ? BC. Аналогично доказываем,
что AB ? CD. Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что ABCD – параллелограмм) Пусть в параллелограмме ABCD ?A ? ?C, ?B ? рис. 16). Так как ?A + ?B + ?C + ?D ? 360?, тот. е. 2(?A + ?B) ? 360?; откуда
? A + ?B ? 180?. Но ?A и ?B – внутренние накрест лежащие углы для прямых AD и BC и секущей AB. Поэтому AD || BC

по признаку параллельности прямых. Аналогично доказываем, что AB || CD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
?
Задача 2. В четырехугольнике ABCD, AD ? BC,
? CAD ? ?ACB. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим {CAD и {ACB
{
{
. AC – их общая сторона, AD ? BC, ?CAD ? ?ACB (по условию. Тогда ? {ACB (по двум сторонами углу между ними).
Следовательно, AB ? CD. Но тогда в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом ????????? ????? ??????? ????? ????? (???? ????, ????? ????? ????,
?????????? ? ????? ???????? ????????) ????? ??? ???????????????? ?
??????????? ??????????.
?????? «??????????????» ?????????? ?????????????, ???????, ???
?? ??? ?????? ???????? (????? 300 ?. ?? ?. ?.). ????? ????????, ??? ???
?????? ? ??????????????? ? ????????? ??? ????????? ??? ????? ?????-
?? ????? ???????? («???????????»).
? «???????» ??????? ???????? ????????? ???????: ? ?????????????-
?? ?????????????? ??????? ????? ? ?????????????? ???? ?????, ?
????????? ????? ??? ???????, ?? ?? ??????????? ? ???, ??? ????? ????-
??????? ?????????? ??????????????? ????? ?????? ?? ??? ???????.
?????? ????? ?? ????????? ?? ? ????? ????? ????, ?? ? ?????.
?????? ?????? ???????????????? ???? ??????????? ???? ? ?????
?????????????, ? ? ????????? ??? ????????? ? XVII ?. ??? ??????? ?
???????? ??????????????? ? ???? ????????? ???????????? ?? ???????
?????????????? ???????.
?????? «?????????» – ?????????? ?????????????; «???» ????????
«?????», ? «??????» – «????», ??? ????? ???????? ??? ???????, ????????-
??? ??????? ?????.
??????? ????????, ??? ??????, ??? ? ??????????? ??????????? ????
???????, ??? ???????? ???????, ???????????? ?????????????? ?????-
?? ??????? ????? ????, ? ????????? ????? ????? ????, ?????????? ??????
?????? – «???????». ??? ????? ????????? ???, ??? ?????? ????????
???? ??????????? ?????????? ?? ????????? ? ?????????? ????? ?????-
?????. ? ??????? ???? ??? ???????? ??????????? ??????? ????????????
??? ???????. ???? ? XVIII ?. ?????? «?????????» ???? ????????????.
1. Какую фигуру называют параллелограммом. Сформулируйте и докажите свойства параллелограмма. Что называют высотой параллелограмма. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма

16
????? 1
????????? ???????
34. Среди четырехугольников на рисунках 24–29 укажите параллелограммы.
Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29
35. Начертите параллелограмму которого угол D тупой.
36.
Начертите параллелограмму которого угол острый (Устно) Одна из сторон параллелограмма равна 5 см.
Какова длина противолежащей ей стороны. Один из углов параллелограмма равна 70?. Найдите остальные его углы Найдите углы параллелограмма, если один из них равен 100?.
??????? ???????
40. Найдите периметр параллелограмма, у которого одна сторона равна 12 см, а вторая – на 3 см больше Найдите периметр параллелограмма, у которого одна сторона равна 18 см, а вторая – вдвое меньше Найдите все углы параллелограмма, если) сумма двух из них равна 120?;
2) один з них на 20? больше, чем другой) один из них втрое меньше, чем другой) два из них относятся как 2 : Найдите все углы параллелограмма, если) сумма двух из них равна 200?;
2) один з них на 40? меньше, чем другой) один из них вдвое больше, чем другой) градусные меры двух из них относятся как 4 : 5.
44. В параллелограмме ABCD ?BAD ? 80?, ?ACD ? 50?. Найдите ? ACB и ? В параллелограмме ABCD ?BAC ? 35?, ?BCA ? 40?. Найдите углы параллелограмма

17
????????????????
46. (Устно) Какие ошибки допущены в изображении параллелограмма на рисунках 30–32?
Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32
47. Периметр параллелограмма равен 40 см. Найдите его стороны, если) одна из них на 4 см больше, чем другая) они относятся как 3 : Периметр параллелограмма равен 36 дм. Найдите его стороны, если) одна из них на 2 дм меньше, чем другая) одна из них враз больше, чем другая. O – точка пересечения диагоналей параллелограмма Найдите диагональ AC, если BD ? 20 см, AB ? 15 см,
а периметр треугольника равен 32 см В четырехугольнике (рис. 33)
? 1 ? ?2, ?3 ? ?4. Докажите, что – параллелограмм ? {CDA (рис. 33). Докажите,
что ABCD – параллелограмм Постройте параллелограмм по двум сторонами углу между ними.
53.
Постройте параллелограмм по двум сторонами диагонали ???????
54. Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону под углом 48?. Найдите углы параллелограмма В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону на отрезки BM ? 5 см и MC ? 7 см. Найдите периметр параллелограмма В параллелограмме ABCD AB ? 4 см, BC ? 12 см. Биссектриса угла A пересекает сторону
A
BC в точке P. Найдите BP и PC.
57. Постройте параллелограмм по стороне и диагоналям Постройте параллелограмм по двум диагоналями углу между ними.
Рис. 33

18
????? 1
59. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD (рис. 34) отмечены точки M итак, что ?ABM ? ?CDK. Докажите,
что BMDK – параллелограмм На сторонах AD и BC параллелограмма (рис. 34) отмечены точки итак, что AM ? KC. Докажите, что
BMDK – параллелограмм Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны В параллелограмме острый угол равен 60?. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону на отрезки 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла.
Найдите периметр параллелограмма В параллелограмме ABCD AB ? 6 см, ?B ? 120?. Высота делит сторону AD на два равных отрезка. Найдите периметр параллелограмма В параллелограмме ABCD из вершины острого угла A проведены высоты AL и AK. ?LAK ? 140?. Найдите угол параллелограмма В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B проведены высоты BM и BN. ?MBN ? 70?. Найдите угол параллелограмма ???????
66. Биссектриса угла B параллелограмма ABCD делит сторону на два отрезка AK итак, что AK – KD ? 1 см.
Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40 см Биссектриса угла A параллелограмма
A
ABCD делит сторону на два отрезка BK итак, что BK : KC ? 3 : 7. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 78 см. Два угла параллелограмма относятся как 5 : 7. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его 1) тупого угла 2) острого угла Один из углов параллелограмма на 12? больше другого. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины его) острого угла 2) тупого угла.
Рис. 34

19
????????????????
70. Докажите, что три высоты треугольника или их продолжения пересекаются водной точке (ортоцентре треугольника Доказательство) Пусть AH
1
, BH
2
, CH
3
– высоты остроугольного треугольника (рис. 35). Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим треугольник Четырехугольник ABA
1
C – параллелограмм (по построению. Поэтому BA
1
? AC. Аналогично – параллелограмм и C
1
B ? Следовательно, C
1
B ? BA
1
, точка B середина A
1
C
1
. Так как BH
2
? AC и
AC || A
1
C
1
, то BH
2
? A
1
C
1
. Поэтому принадлежит серединному перпендикуляру к стороне A
1
C
1
треугольника. Аналогично и CH
3
принадлежат серединным перпендикулярам к двум другим сторонам этого треугольника. Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются водной точке. Следовательно, AH
1
, BH
2
и пересекаются водной точке) Если {ABC – прямоугольный, например ?C ? 90?, очевидно, что три высоты пересекаются в точке C.
3) Если {ABC – тупоугольный, то продолжения трех высот треугольника пересекаются водной точке.
Доказательство аналогично доказательству в п. 1.
?
?????????? ??? ??????????
71. Найдите второй острый угол прямоугольного треугольника, если первый равен 1) 20?; 2) 65?.
72. Две стороны треугольника равны 7,2 см и 2,5 см.
Какому наибольшему целому числу сантиметров может равняться третья сторона. Внешний угол треугольника в 2 раза больше одного из внутренних углов, не смежного с ним. Докажите, что треугольник является равнобедренным. Можно ли построить четырехугольник со сторонами см, 6 см, 4 см и 2 см и углом 60? между равными сторонами Рис. 35

20
????? 1
?????? ? ????????????? ? ???????? ?????? ?????????
75. Найдите периметр и площадь прямоугольника, стороны которого равны) 5 см и 7 см 2) 2 дм и 14 см ??????? ??? ?????????
76. Выдающиеся украинцы Впишите по горизонтали фамилии выдающихся украинцев (при необходимости используйте дополнительную литературу и Интернет) и получите в выделенном столбце имя древнегреческого философа, математика, религиозного и политического деятеля 2
3 4
5 6
7 1. Выдающийся украинский ученый в области процессов сварки, доктор технических наук, Герой Украины. Украинский политик, публицист, литературный критик,
возглавлявший национально-демократическое движение конца 1980 – началах годов, Герой Украины. Украинский писатель, поэт, публицист, переводчик, ученый, общественный и политический деятель (1856–1916).
4. Выдающийся украинский врач мирового уровня, ученый в отраслях медицины, биокибернетики его именем назван Институт сердечно-сосудистой хирургии, который он возглавлял в течение двадцати лет. Политический деятель и публицист, организатор украинской науки Председатель Центрального Совета
Украинской Народной Республики. Величайший украинский поэт, писатель, художник,
общественный и политический деятель, фольклорист,
этнограф.
7. Украинский просветитель-гуманист, философ, поэт,
педагог.

21
????????????????
3.
??????????????? ???????? ??????????????, ? ????????
?
??? ???? ?????? (???. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма. ? ????? ????? ???? ?????????????? ??????? ?????.
2. ???????? ????? ????? ???? P
ABCD
P
= 2(
D
AB + BC).
3. ????????? ????? ????? ???? ?????? ??????????? ?????-
?? Кроме этих, прямоугольник имеет еще свойства. ????????? ????? ????? ???? ?????.
Рис. 36 Рис. Доказательство. Пусть дан прямоугольник рис. 37). {ACD ? {DBA (по двум катетам. Поэтому
A
AC ? BD.
?
5. ????? ??????????? ?????????? ????? ????? ???? ?????-
??????? ?? ???? ??? Так как AC ? BD, а AO ? OC, BO ? OD (рис. 37), то, очевидно, что AO ? BO ? OC ? Задача 1. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении. Найдите угол между диагоналями этого прямо- уголь ника.
Р е ш е ни е. 1) Пусть ?ADO : ?ODC ? 2 : 3 (рис. 37). Обозначим. Получим уравнение 2x + 3x ? 90?, откуда x ? 18?. Следовательно, ?ADO ? 2 ? 18? ? 36?
;
? ODC ? 3 ? 18? ? 54?.
2) Найдем ?COD – угол между диагоналями данного прямоугольника равнобедренный (так как DO ? OC), поэтому
?OCD ? ?ODC ? 54?. ВО т в е т. 72?.
?????????????
? ??? ????????

22
????? Рассмотрим признаки прямоугольника Теорема (признаки прямоугольника. Если у параллелограмма 1) все углы равны, или 2) один угол прямой, или
3) диагонали равны, – то параллелограмм является прямоугольником Доказательство) Так как все углы параллелограмма равны, а их сумма – 360?, то каждый из них равен
360? : 4 ? 90?. А значит параллелограмм является прямоугольником) Пусть угол A параллелограмма ABCD – прямой (рис. Тогда ?C ? ?A ? 90?, ?B ? ?D ? 180? – ?A ? 180? – 90? ?
? 90?. Следовательно, все углы параллелограмма прямые, а значит он является прямоугольником) Пусть у параллелограмма ABCD диагонали AC и равны (рис. 37). AD – общая сторона треугольников и DCA. Следовательно {ABD ? {DCA (потрем сторонам, откуда ?BAD ? ?CDA. Но ?ABC ? ?ADC, ?BCD ? ?BAD. Получаем, что у параллелограмма все углы равны, а значит он является прямоугольником поп этой теоремы. Задача 2. В окружности с центром проведены диаметры AC и BD. Определите вид четырехугольника Решение) Рассмотрим рис. 38. Так как AO ? OC, BO ? OD (как радиусы, то, по признаку параллелограмма,
ABCD – параллелограмм) Так как AC ? BD (как диаметры, то, по признаку прямоугольника, получаем, что параллелограмм ABCD – прямо уголь ник.
О т в е т. Прямоугольник. Какую фигуру называют прямоугольником. Сформулируйте и докажите свойства прямоугольника. Сформулируйте и докажите признаки прямоугольника На каких из рисунков 39–43 изображен прямоугольник В прямоугольнике диагональ AC равна 5 см. Какова длина диагонали Рис. 38

23
????????????????
Рис. 39 Рис. 40 Рис. 41 Рис. 42 Рис. 43
79. Стороны прямоугольника равны 4 см и 7 см. Найдите его периметр Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 2 см и 5 см Если четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны. Верно ли обратное утверждение?
Приведите пример ???????
82. Сторона BC прямоугольника равна 8 см, а диагональ см. Найдите периметр треугольника, если O – точка пересечения диагоналей прямо уголь ника.
83.
Точка O – точка пересечения диагоналей прямоугольника см, периметр треугольника равен 16 см. Найдите сторону AB.
84. (Устно) Что можно сказать про вид параллелограмма,
если:
1) ни один из его углов не является острым) ни один из его углов не является тупым) у него три равных между собой угла Докажите, что если у четырехугольника три угла прямые, то он – прямоугольник Докажите, что если у четырехугольника все углы равны, то он – прямоугольник Периметр прямоугольника равен 40 см. Найдите его стороны, если известно, что) одна из них на 2 см больше другой) стороны относятся как 2 : 3.
88.
Периметр прямоугольника равен 50 см. Найдите его стороны, если известно, что) одна из них на 5 см меньше другой) стороны относятся как 4 : 1.

24
????? 1
89. Устно) На рисунке 44 изображен прямоугольник. Найдите все углы, которые между собой равны Найдите по рисунку 44:
1) ?3, если ?8 ? 52?;
2) ?2, если ?10 ? Найдите по рисунку 44:
1) ?5, если ?2 ? 37?;
2) ?12, если ?3 ? 30?.
92. Диагональ делит угол прямоугольника на два угла, один из которых на 20? больше, чем другой. Найдите эти углы ???????
93. Докажите, что около прямоугольника можно описать окружность Найдите угол между меньшей стороной и диагональю прямоугольника, если он) на 15? меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны) на 50? меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны Найдите угол между большей стороной и диагональю прямоугольника, если он) на 90? меньше угла между диагоналями, лежащего против большей стороны) на 40? меньше угла между диагоналями, лежащего против меньшей стороны В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке O,
E – середина AB, ?CAB ? 70?. Найдите В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке O. OP – биссектриса треугольника. Найдите ?CAB.