Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
483. O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB (( || CD). Докажите, что {AOB { { V {COD. 484. O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD, у которой AB || CD. В ? 10 см, CD ? 5 см, OD ? 4 см. Найдите OB. 485. O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB (( || CD), которая делит диагональна отрезки DO ? 3 см и OB ? 9 см. Найдите AB, если DC ? 2 см В треугольнике) на катете AC и гипотенузе AB отметили точки M итак, что Докажите, что {AMN – прямоугольный. 487. На катете BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника отметили точки P итак, что Докажите, что 488. Угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника. Периметр первого треугольника см. Найдите его стороны, если у второго треугольника боковая сторона относится к основанию как 5 : Даны два равнобедренных треугольника. Угол при вершине одного из них равен углу при вершине другого. Периметр первого треугольника см. Найдите его стороны, если у второго треугольника основание относится к боковой стороне как 1 : 2. ??????????? ??????? 490. На рисунках 139–141 ABCD – параллелограмм. Найдите на этих рисунках все пары подобных треугольников и докажите их подобие 93 ??????? ????????????? Рис. 139 Рис. 140 Рис. На рисунке 142 ABCD – трапеция, ?ABC ? Найдите подобные треугольники на этом рисунке и докажите, что CA 2 ? BC ? AD. 492. Углы одного треугольника относятся как 2 : 3 : 4, а один из углов другого треугольника на 20? больше второго и на 20? меньше третьего. Подобны ли эти треугольники Углы одного треугольника относятся как 1 : 3 : 2, а другой треугольник является прямоугольными один из его острых углов равен половине второго. Подобны ли эти треугольники В параллелограмме ABCD точки E, F, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что ?BFE ? ?DNM. 495. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, Докажите, что ?BCO ? ?ADO. 496. Диагонали трапеции ABCD (AD (( || BC) пересекаются в точке O, BO ? 4 см, DO ? 7 см. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 22 см Диагонали трапеции ABCD (AD (( || BC) пересекаются в точке O, AD ? 11 см, BC ? 5 см. Найдите отрезки и OD, если их разность равна 3 см. В треугольнике см, BC ? 12 см, AC ? 18 см. На стороне AC отложен отрезок CK ? 6 см, на стороне – отрезок CP ? 4 см) Подобны литре угольники и KPC? 2) Параллельны ли прямые AB и KP? 3) Найдите длину отрезка Рис. 142 94 ????? 2 499. Прямая MN параллельна стороне AB треугольника см, MN ? 4 см, MA ? 2 см. Найдите длину стороны Прямая KL параллельна стороне BC треугольника см, BC ? 12 см, KL ? 9 см. Найдите длину стороны AB. 501. На рисунке 143 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. 502. На рисунке 144 найдите подобные треугольники и докажите их подобие Рис. 143 Рис. 144 ??????? ??????? 503. Дано два равнобедренных треугольника. Угол при вершине одного из них равен углу при вершине другого. Периметр первого треугольника равен 90 см. Найдите его стороны, если стороны второго треугольника относятся как 4 : 7. Сколько случаев следует рассмотреть Дано два равнобедренных треугольника. Угол при основании одного из них равен углу при основании другого. Стороны одного треугольника относятся как 5 : 8, а периметр второго равен 126 см. Найдите стороны второго треугольника. Сколько случаев следует рассмотреть. {ABC { { V {A { { 1 B 1 C 1 , CD и C 1 D 1 – биссектрисы данных треугольников. Докажите, что {ADC { { V {A { { 1 D 1 C 1 506. {ABC { { V {A { { 1 B 1 C 1 , AM и A 1 M 1 – медианы данных треугольников. Докажите, что {AMC { { V {A { { 1 M 1 C 1 507. На стороне BC треугольника отметили точку F так, что ?BAF ? ?C, BF ? 4 см, AB ? 6 см. Найдите BC. 508. На стороне AC треугольника отметили точку K так, что ?ABK ? ?C. Найдите KC, если AB ? 2 см, AK ? 1 см. В прямоугольный треугольник с катетами a см и b см и прямым углом A вписан квадрат. Найдите сторону квадрата Периметр параллелограмма равен 24 см, а его высоты относятся как 5 : 3. Найдите стороны параллелограмма Периметр параллелограмма равен 30 см, а его высоты – 4 см и 8 см. Найдите стороны параллелограмма В треугольник вписан ромб AKFP так, что угол у них общий, P ? AB, F ? BC, K ? AC. Найдите сторону ромба, если CK ? 4 см, PB ? 9 см. 513. В равнобедренный треугольник, основание которого равно см, а боковая сторона – 10 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружности к боковым сторонам ??? ?????????? 514. Найдите углы треугольника, если три его средние линии равны. В равнобокой трапеции ABCD ( D AD (( || D BC) точки E, F, K середины AD, BC и C AB соответственно. Докажите, что B KE ? KF. 516. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна a см. Из точки, взятой на основании треугольника, проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислите периметр образовавшегося параллелограмма. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника, не являющегося квадратом, пересекаясь, образуют квадрат. Могут ли биссектриса и медиана, выходящие из вершины прямого угла треугольника, образовывать равнобедренный треугольник Если да, то найдите меньший из острых углов прямоугольного треугольника. Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному тре уголь нику. Д ока за тел ь ст во. Пусть ABC – прямоугольный треугольник высота треугольника (рис. Докажем, что {ABC { { V {ACD { { , {ABC { { V {CBD и {ACD { { V {CBD. ??????? ???????????????? ??????? ? ????? ???????? ??? ????? ???? 96 ????? 2 1) Упрямо угольных треугольников и ACD угол A – общий. Поэтому (по острому углу) Аналогично {ABC { { V {CBD (?B общий, ?BCA ? ?BDC ? 90?). Откуда A ? ?BCD. 3) Утре угольников) и CBD (?D ? 90?) ?A ? ?BCD. Поэтому {ACD { { V {CBD (по острому углу). ? Отрезок AD называют проекцией катета AC на гипотенузу, а отрезок BD – проекцией катета BC на гипотенузу AB. ??????? k ???????? k ??????? ???????????????? (??? ? ??????? ??????????????) ???????? m ? n, ???? k 2 = m · Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим рисунок 145. 1) {ACD { { V {CBD (по лемме. Поэтому или CD 2 ? AD ? BD. 2) {ABC { { V {ACD { { (по лемме. Поэтому или AC 2 ? AB ? AD. {ABC { { V {CBD (по лемме. Поэтому или BC 2 ? AB ? BD. Задача 1. CD – высота прямоугольного треугольника с прямым углом С. Докажите, что Доказательство. Рассмотрим рисунок 145. Так как AC 2 ? AB ? AD, то атак как BC 2 ? AB ? AD, то Поэтому откуда Задача 2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр тре уголь ника. Рис. 145 97 ??????? Решение. Рассмотрим рисунок 145, где AD ? 9 см ? 16 см) AB ? AD + DB ? 9 + 16 ? 25 (см) AC 2 ? AB ? AD, то есть AC 2 ? 25 ? 9 ? 225. Так как 2 ? 225, то AC ? 15 (см) BC 2 ? AB ? BD, BC 2 ? 25 ? 16 ? 400. Так как 20 2 ? 400, то ? 20 (см) P ABC P ? 25 + 15 + 20 ? 60 (см). О т в е т. 60 см. При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел. Сформулируйте и докажите лемму из этого параграфа. Какой отрезок называют средним пропорциональным двух отрезков. Сформулируйте и докажите теорему о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Устно) На рисунке 146 NK – высота прямоугольного треугольника. Назовите) проекцию катета NM на гипотенузу) проекцию катета NP на гипотенузу (Устно) NK – высота прямоугольного треугольника (рис. 146). Какие из равенств верны) NK ? PK ? KM; 2) NM 2 ? KM ? PM; 3) PN ? PK ? KM; 4) PK ? KM ? NK 2 ? 521. NK – высота прямоугольного треугольника с прямым углом N (рис. 146). Заполните пропуски) NK 2 ? ...; 2) NM 2 ? ...; 3) PK ? PM ? ...; 4) PK ? KM ? ... . 522. Найдите среднее пропорциональное отрезков, длины которых) 2 см и 8 см 2) 27 дм и 3 дм Найдите среднее пропорциональное отрезков, длины которых) 16 дм и 1 дм 2) 4 см и 9 см. Рис. 146 98 ????? 2 ??????? ??????? 524. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 25 см. 525. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки 2 см и 8 см Найдите катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 4 см, а гипотенуза – 16 см. 527. Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза треугольника равна 25 см, а проекция катета на гипотенузу – 9 см. 528. Катет прямоугольного треугольника равен 18 см, а его проекция на гипотенузу – 9 см. Найдите гипотенузу треугольника Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза см. Найдите проекцию этого катета на гипотенузу. 530. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 8 см и 4,5 см. Найдите катеты треугольника Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 50 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу – 18 см. Найдите катеты треугольника Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к его боковой стороне, делит ее на отрезки 1 см и 8 см, считая от вершины угла при основании. Найдите периметр треугольника Перпендикуляр, проведенный из середины основания равнобедренного треугольника к его боковой стороне, делит ее на отрезки 6 см и 2 см, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки в отношении 9 : 16. Найдите катеты треугольника, если его высота равна 24 см 99 ??????? ????????????? 535. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 16 см, а другой относится к высоте как 3 : 4. Найдите высоту треугольника Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит его сторону на отрезки 1 см и 4 см. Найдите радиус окружности Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 13 см и 5 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне Окружность, вписанная в трапецию, точкой касания делит ее боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите высоту трапеции Окружность, вписанная в трапецию, точкой касания делит одну боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 8 см, а другую – на отрезки, один из которых равен 4 см. Найдите периметр трапеции ??? ?????????? 541. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника образует со стороной треугольника угол 18?. Найдите углы треугольника. О треугольниках и KLM известно, что ?A ? ?B ? ? ? K + ?L, ?B ? ?C ? ?L + ?M. Подобны ли эти треугольники. В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Докажите, что тупой угол трапеции равен тупому углу между диагоналями ??????? ??? ????????? 544. (Олимпиада Нью-Йорка, 1976 г) Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке O, а на отрезках и OC отмечены точки B 1 итак, что ?AB 1 C ? ? ? AC 1 B ? 90?. Докажите, что AB 1 ? AC 1 100 ????? 2 16. Теорема (свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Д ока за тел ь ст во. Пусть AL – биссектриса треугольника рис. 147). Докажем, что) Проведем через точку C прямую, параллельную AB, и продлим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке K. Тогда ? LKC ? ? BAL (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и CK и секущей AK). 2) { AKC – равнобедренный (так как BAL ? ? LAC и ? BAL ? ? LKC, то KAC ? ?AKC), а значит, AC ? KC. 3) ?BLA ? ?CLK (как вертикальные, поэтому { ABL V {KCL (по двум углам. Следовательно, Но KC ? AC, таким образом ? Из пропорции можно получить и такую: Задача 1. В треугольнике ABC AB ? 8 см, AC ? 4 см, BC ? 9 см, AL – биссектриса треугольника. Найдите BL и Решение. Рассмотрим {ABC рис. 147). Пусть BL ? x см, тогда LC ? BC – BL ? (9 – x) см. Так как, имеем уравнение, откуда x ? 6 (см. Следовательно, BL ? 6 см, LC ? 9 – 6 ? 3 (см). О т в е т. 6 см, 3 см. Задача 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в тре уголь ник. Р е ш е ни е. Пусть в треугольнике медиана (рис. 148). ???????? ??????????? ??? ????? Рис. 147 101 ??????? Тогда BK является также высотой ибис- сектрисой. Поскольку точка I – центр вписанной окружности – является точкой пересечения биссектрис треугольника, то ? BK, IK – радиус окружности. Учитывая, что AB : AC ? 3 : 2, обозначим. Так как K – середина, то AI – биссектриса треугольника, поэтому Пусть IK ? r. Тогда BI ? 24 – r. Имеем , откуда ? 6 см. О т в е т. 6 см. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве биссектрисы треугольника биссектриса треугольника (рис. 149). Какие из равенств являются пропорциями 2) ; 3) ; 4) ? 546. BP – биссектриса треугольника рис. 149). AP : PC ? 1 : 2, AB ? 4 см. Найдите BC. 547. BP – биссектриса треугольника (рис. 149). AB : BC ? 1 : 2, AP ? 7 см. Найдите PC. ??????? ??????? 548. BD – биссектриса треугольника см, DC ? ? 9 см. Найдите отношение сторон – биссектриса треугольника см, MN ? ? 16 см. Найдите отношение отрезков Рис. Рис. 149 102 ????? 2 550. М – биссектриса треугольника см, MP ? ? 6 см. Меньший из отрезков, на которые биссектриса делит сторону KP, равен 3 см. Найдите KP. 551. В треугольнике см, BC ? 12 см. Больший из отрезков, на которые биссектриса BK делит сторону AC, равен 6 см. Найдите AC. ??????????? ??????? 552. AL – биссектриса треугольника см, AC ? 12 см, BC ? 18 см. Найдите BL и Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, разность которых равна 1 см. Найдите периметр треугольника, если две его другие стороны равны 8 см и 6 см Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых тот, что ближе к основанию, равен 12 см. Найдите периметр треугольника В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой стороны на 9 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, отношение которых равно 2 : 5. Найдите периметр треугольника В треугольнике, стороны которого равны 15 см, 21 см и см, проведена полуокружность, центр которой лежит на большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон. Какова длина отрезков, на которые центр полуокружности делит большую сторону? 557. В треугольник вписан ромб CKLM так, что угол у них общий, K ? AC, L ? AB, M ? BC. Найдите длины отрезков AL и LB, если AC ? 18 см, BC ? 12 см, AB ? 20 см ??? ?????????? |