Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
558. Может ли диагональ AC трапеции ABCD делить пополам как угол A, таки угол C? 559. В треугольнике проведена высота CH, причем AH ? BH и точка H принадлежит стороне AB. Докажите, что в треугольнике угол C – прямой 103 ??????? ????????????? ?????????? ??????? ??? ????????? 560. 1) Решите задачу и узнаете фамилию выдающегося украинца ученого в отрасли ракетостроения и космонавтики, конструктора первых искусственных спутников Земли и космических кораблей. Найдите углы A и B параллелограмма ABCD, если … ??A ?B ??A на 20? больше ??B Л Р ??A втрое меньше КВО) Поинтересуйтесь (используя разные источники информации) биографией и достижениями нашего выдающегося земляка. Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач. Пропорциональность отрезков хорд. Т е орем а 1 (о пропорциональности отрезков хорд. Если хорды AB и CD пересекаются в точке S, то ? BS ?? CS ? Доказательство. Пусть хорды AB и пересекаются в точке S (рис. Рассмотрим {SAD и {SCB, у которых ? ASD ? ? CSB (как вертикальные ? ?DCB (как вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу. Тогда {SAD V {SCB по двум углам), а значит, откуда ? BS ? CS ? Следствие. Если O – центр окружности, R – ее радиус, AB – хорда, S ? ? AB, то AS ? BS ?? R 2 – a 2 , где a ?? SO. ?????????? ??????? ??? ????? ????? ? ??????? Рис. 150 104 ????? Доказательство. Проведем через точку S диаметр рис. 151). Тогда AS ? BS ? MS ? NS, AS ? BS ? (R + a)(R – R a), AS ? BS ? R 2 – a 2 . Окончательно имеем AS ? BS ? MS ? NS ? R 2 – a 2 ? Рис. 151 Рис. Задача 1. AL – биссектриса треугольника. Докажите формулу биссектрисы AL 2 ? AB ? AC – BL ? Доказательство. Опишем около треугольника окружность и продлим AL до пересечения с окружностью в точке T рис. 152). 1) ?ABC ? ?ATC (как вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу AC), ?BAL ? ?CAL (по условию. Поэтому {ABL V {ATC по двум углам) Имеем, откуда AL ? AT ? AB ? AC; AL ? (AL (( + LT) ? AB ? AC; AL 2 + AL ? LT ? AB ? Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд AL ? LT ? BL ? CL. 3) Следовательно+ BL ? CL ? AB ? AC, то есть AL 2 ? AB ? AC – BL ? CL. ? 2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной. Т е орем а 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной. Если из точки S, лежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках A и B, и касательную SC, где C – точка касания, то SC 2 ?? SA ? Доказательство. Рассмотрим рис. 153. ?ABC как вписанный угол, ?SCA задача 243, сто есть ?SCA ? ?ABC. Поэтому {CSA V {BSC (по двум углам, значит. Откуда SC 2 ? SA ? SB. ? 105 ??????? ????????????? Рис. 153 Рис. Следствие. Если из точки S провести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках A и B, а другая – в точках M и N, то N N SA ? SB ?? SM ? Так как по теореме каждое из произведений SA ? SB и ? SN равно SC 2 , то следствие очевидно. С лед ст в и е 2. Если O – центр окружности, O R – ее радиус, SC – касательная – точка касания, то C SC 2 ?? a 2 – R 2 , где a ?? Доказательство. Проведем из точки S через центр окружности O секущую (рис. 154), M и N – точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме SM ? SN, но SM ? a – R, SN ? a + поэтому SC 2 ? SA ? SB ? a 2 – R 2 ? 3. Измерительные работы на местности. Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели M 1 N 1 (рис. Для этого установим на некотором расстоянии отели жердь MN с планкой, которая вращается вокруг точки Направим планку на верхнюю точку ели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку A, в которой планка упирается в поверхность земли. Рассмотрим {ANM (?M ? 90?) и {AN 1 M 1 (?M 1 ? 90?). ?A ? у A них общий, поэтому {ANM V {AN 1 M 1 (по острому углу. Тогда, откуда Если, например, MN ? 2 мм м, то (м). Рис. 155 106 ????? 2 4. Задачи на построение. Задача 2. Постройте треугольник по двум углами медиане, проведенной из вершины третьего угла. Р е ш е ни е. На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольнику которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку Рис. 156 Рис. 157 1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольнику которого углы A 1 и B 1 равны данным (рис. 157). 2) Проводим медиану треугольника и откладываем на прямой CM 1 отрезок CM, равный данному) Через точку M проводим прямую, параллельную. Она пересекает стороны угла C в некоторых точках A ирис) Так как AB || A 1 B 1 , то ?A ? ?A 1 , ?B ? ?B 1 . Значит, два угла треугольника равны данным. Докажем, что M – середина С (по двум углам. Поэтому M {B 1 СM V {BCM (по двум углам. Поэтому Получаем, что , то есть. Но A 1 M 1 ? B 1 M 1 (по построению, поэтому и AM ? Следовательно, CM – медиана треугольника и треугольник искомый. ? 1. Сформулируйте теорему о пропорциональности отрезков хорд и следствие из нее. Сформулируйте теорему о пропорциональности отрезков секущей и касательной и следствия из нее 107 ??????? ????????????? ????????? ??????? 561. Устно) T – точка пересечения хорд AB ирис. Какие из равенств верны) AT ? TC ? BT ? TD; 2) AT ? TB ? CT ? TD; 3) AT ? DT ? CT ? BT; 4) CT ? DT ? AT ? BT? Рис. 158 Рис. 159 562. (Устно) TA – отрезок касательной к окружности. Две секущие пересекают окружность в точках B и C, M и N соответственно (рис. 159). Какие из равенств верны) TA 2 ? TB ? BC; 2) TA 2 ? TM ? TN; 3) TB ? TC ? TM ? MN; 4) TM ? TN ? TB ? TC? ??????? Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P, AP ? 9, PB ? 2, DP ? 4. Найдите CP. 564. Хорды MN и KL окружности пересекаются в точке A, KA ? 6, AL ? 3, MA ? 4. Найдите AN. 565. SA – отрезок касательной к окружности, A A – точка касания. A Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках B и C, SA ? 6 см, SB ? 4 см. Найдите SC и BC. 566. MP – отрезок касательной к окружности, P – точка касания. Секущая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках B и C. MP ? 4 см, MC ? 8 см. Найдите MB и BC. 567. Хорды AB и CD пересекаются в точке T. Найдите длину хорды CD, если AB ? 16 см, AT ? 2 см, CT ? 1 см Хорда CD, длина которой 13 см, пересекает хорду MN в N точке A. CA ? 4 см, MA ? 2 см. Найдите длину хорды MN. 108 ????? Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках A и A B, а другая секущая, проходящая через точки и центр окружности O, – в точках C ирис см, SB ? 16 см, SC ? 2 см. Найдите радиус окружности Секущая, проходящая через точку S, пересекает окружность в точках A и A B, а вторая секущая, проходящая через точки и центр окружности O, – в точках Си С D рис. 160). SA ? 4 см, SB ? 9 см, SC ? 3 см. Найдите диаметр окружности Для нахождения высоты фонарного столба B 1 C 1 использовали жердь BC длиной 1,5 м (рис. 161). AB ? 1 мм. Найдите высоту фонарного столба B 1 C 1 Рис. 160 Рис. Дворник, измеряя высоту фонарного столба B 1 C 1 , использовал жердь BC с планкой AC (рис. 161). Найдите длину использованной жерди BC, если высота фонарного столба составила 8 мим м. Чтобы найти на местности расстояние от точки A к недоступной точке C, выбрали точку B, а потом на бумаге построили треугольник так, что ?A ? ?A 1 , ? B ? ?B 1 (рис. 162). Найдите AC, если AB ? 30 м, A 1 B 1 ? 5 см, A 1 C 1 ? 7 см ??????? 574. Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E. AE : BE ? 1 : 3, CD ? 20 см, DE ? 5 см. Найдите Через точку M, находящуюся внутри круга, проведены две хорды AB и CD. Найдите AB, если AM ? MB, CM ? 16 см, DM : MC ? 1 : На рисунке 163 AB – касательная к окружности сцен- тром O, AB ? 3 см, AO ? 5 см. Найдите диаметр окружности На рисунке 163 AB – касательная к окружности сцен- тром O, AB ? 8 см, AO ? 10 см. Найдите радиус окружности 109 ??????? Рис. Рис. 163 578. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде CD. AB и CD пересекаются в точке M. AM ? 2 см, CM ? 4 см. Найдите радиус окружности Диаметр MN и хорда AB окружности – взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. PB ? 12 см ? 18 см. Найдите диаметр окружности ??????? 580. Перпендикуляр, проведенный из точки окружности к ее радиусу, равен 24 см и делит радиус в отношении 5 : считая от центра. Найдите радиус окружности Найдите биссектрису AL треугольника, если ? 15 см, AB ? 12 см, BC ? 18 см. Постройте треугольник по двум углами биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла. Постройте треугольник по двум углами высоте, проведенной из вершины третьего угла. Постройте треугольник поданному углу C, отношению сторон AC : CB ? 3 : 2 и медиане CM. ?????????? ??? ?????????? 585. PL – биссектриса треугольника см ? 10 см. Больший из двух отрезков, на которые биссектриса разделила сторону MN, равен 5 см. Найдите меньший из этих отрезков. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 52 см 110 ????? 2 587. Основания равнобокой трапеции равны a см и b см (a > b). Найдите квадрат высоты трапеции, если ее боковая сторона перпендикулярна диагонали ??????? ??? ????????? 588. На продолжении наибольшей стороны AC треугольника отложен отрезок CM ? BC. Может ли угол быть 1) острым 2) прямым? Домашняя самостоятельная работа ? Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А–Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. Дано AB || CD (рис. 164), OA ? 3 см, OB ? 4 см, BD ? 12 см. Найдите А 8 см Б 9 см; В. 10 см Г 16 см. {ABC V {DEF; AB : DE ? 2 : 3. Найдите отношение EF : А 5 : 2; Б 3 : 5; В 2 : 3; Г 3 : 2. 3. Укажите условия, при которых {ABC V А. ?A ? ?A 1 ? 30?; Б. ?A ? ?A 1 ; ?B ? 40?; ?B 1 ? 50?; В. ?B ? ?B 1 ; ?C ? 47?; ?C 1 ? 47?; Г. ?A ? ?A 1 ; ?B ? 150?; ?C 1 ? 150?. 4. На рисунке 165 ABC – разносторонний треугольник. Укажите верное утверждение. А. {ABC V {ADL; Б. {ABC V В. {ABC V {DAL; Г. {ABC V {DLA. 5. CL – биссектриса треугольника см BC ? 9 см. Больший из отрезков, на которые биссектриса CL делит сторону, равен 3 см. Найдите А 7,5 см Б 6 см В 5 см Г 6,5 см. Рис. Рис. 165 111 ??????? ????????????? 6. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу – 8 см. Найдите гипотенузу тре уголь ника. А. 15 см Б 18 см В 16 см Г 24 см. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите наименьшую сторону подобного ему треугольника, если сумма его средней по величине и наибольшей сторон равна см. А. 18 см Б 27 см В 30 6 7 см Г 24 см. ABCD – трапеция, AB и CD – ее основания, O – точка пересечения диагоналей. AB – CD ? 4 см AO ? 8 см OC ? ? 6 см. Найдите А 12 см Б 16 см В 14 см Г 18 см. Прямая KL параллельна стороне BC треугольника (рис. 166). BC ? 9 см KL ? 6 см KB ? 4 см. Найдите длину стороны А 12 см Б 8 см В 16 см Г 10 см. Периметр параллелограмма равен 30 см, а его высоты – 4 см и 6 см. Найдите большую сторону параллелограмма. А. 6 см Б 8 см В 9 см Г 12 см. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне. Высота трапеции равна 6 см и делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен 3 см. Найдите меньшее основание трапеции. А. 6 см Б 8 см В 9 см Г 12 см. В треугольнике, стороны которого равны 8 см, 12 см и см, проведена полуокружность так, что центр ее лежит на большей стороне треугольника, иона касается двух других сторон треугольника. На какие отрезки центр полуокружности делит большую сторону треугольника А 6 см и 9 см Б 8 см и 7 см; В. 7,5 см и 7,5 см Г 5 см и 10 см. Задания для проверки знаний к § 12–17 1. {ABC V {LMN, . Найдите отношение 2. Докажите, что {ABC V { A 1 B 1 C 1 , если AB ? 3 см, BC ? 4 см ? 5 см, A 1 B 1 ? 6 см, B 1 C 1 ? 8 см, A 1 C 1 ? 10 см. Рис. 166 112 ????? 2 Рис. 167 Рис. 168 3. Дано KL || MN (рис. 167), OL ? 3 см, LN ? 6 см, OK ? 2 см. Найдите KM. 4. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его проекция на гипотенузу равна 4 см, а гипотенуза – 25 см. AL – биссектриса треугольника см, AC ? 10 см. Меньший из отрезков, на которые биссектриса AL делит сторону BC, равен 4 см. Найдите BC. 6. На рисунке 168 найдите подобные треугольники и докажите их подобие. Стороны треугольника относятся как 5 : 6 : 7. Найдите неизвестные стороны подобного ему треугольника, у которого сумма большей и меньшей сторон равна 24 см. O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB (( || CD), AO ? 6 см, OC ? 4 см. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 20 см. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Дополнительные задания. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершине равны. Периметр одного из треугольников равен см. Найдите его стороны, если две стороны второго треугольника относятся как 2 : 3. 11. На стороне AC треугольника отметили точку K так, что ?ABK ? С AB ? 8 см, AK ? 4 см. Найдите KC. 113 ??????? ????????????? ?????????? ??? ?????????? ????? На рисунке 169 MN || KL. 1) OM : ON ? 2 : 3. Найдите MK : NL. 2) OL : ON ? 7 : 5. Найдите OK : Параллельные прямые MN и KL пересекают стороны угла с вершиной O (рис. 169). OM ? 4, NL ? 9, ON ? MK. Найдите длину отрезка ON. Рис. 169 Рис. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок. На рисунке 170 AE : EC ? 2 : 1, BD : DC ? 3 : 2. Найдите BK : KE. 593 . {ABC V {KLM. Заполните пустые ячейки 2) 594 . {ABC V { A 1 B 1 C 1 , AB ? 8 см, BC ? 6 см, A 1 B 1 ? 12 см 18 см. Найдите неизвестные стороны обоих тре- уголь ников. |