Истер ас, 2016 Издательство Генеза
 Скачать 5.1 Mb.
|
|
= ? sin ? B = ? cos ? ?. 2. ?????????? ????? ??????, ????????? ?? ????? ???????- ???????? ??? ???? ??? ?? ??????? ???????????: . 3. ?????, ?????????????? ???? ?, ????? ???????????? ??????? ?????? ?? ??????? ????? ????: = b tg ?. 4. ?????, ?????????? ? ???? ?, ????? ???????? ?? ??????? ??????? ?????? ?? ??????? ????? ????: . 136 ????? Значения sin A, cosA, tgA можно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора sin, сои (на некоторых калькуляторах tan). Последовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к каль- кулятору. Задача 1. В треугольнике ABC ?C ? 90?, AC ? 12 см, Найдите Решение (рис. 190). (см). О т в е т. 16 см. Задача 2. В треугольнике ABC ?C ? 90?, AB ? 10 см A ? 17?. Найдите BC с точностью до десятых сантиметра). Р е ш е ни е. BC ? AB sin A рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим sin 17? ? 0,2924. Следовательно ? 10 ? 0,2924 ? 2,9 (см). О т в е т. ? 2,9 см. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно поданному значению sin A, cosA или tg А находить угол А. Для вычислений используем клавиши калькулятора sin –1 , cos –1 и Задача 3. В треугольнике ABC ?C ? 90?, AC ? 4 см, BC ? 5 см. Найдите острые углы тре уголь ника. Р е ш е ни е. (рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла А в градусах 51,34019. А Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши ? 51?20‘. Тогда ?B ? 90? – ?A ? 90? – 51?20‘ ? Ответ Найдем синус, косинус и тангенс углов 30? и Рассмотрим {ABC, у которого ?C ? 90?, ?A ? 30?, ? B ? 60?, BC ? a (рис. 192). Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30?, AB ? По теореме Пифагора: Рис. 192 137 ??????? ????????????? Тогда то есть sin 30? ? то есть cos 30? ? то есть tg 30? ? то есть sin 60? ? то есть cos 60? ? то есть tg 60? Найдем синус, косинус и тангенс угла Рассмотрим {ABC, у которого ?C ? 90?, А ? ?B ? 45?, BC ? a (рис. 193). Тогда AC ? BC ? a. По теореме Пифагора: Тогда то есть sin 45? то есть cos то есть Систематизируем полученные данные в таблицу A cos A tg Задача 4. Найдите высоту равнобедренного тре уголь ника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен Рис. 193 138 ????? Решение. Пусть ABC – данный треугольник см, ?ABC ? 120? (рис. Проведем к основанию AC высоту, являющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда (см KBC ? ?ABC : 2 ? 120? : 2 ? Из {BKC (? K ? 90?): , отсюда (см). О т в е т см. Что называют синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника. Каковы соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Дано {ABC, ?C ? 90? (рис. 195). Найдите) sinA; 2) cosB; 3) tgA; 4) cosA; 5) sin B; 6) tgB. Рис. 195 Рис. Дано {MNK, ?K ? 90? (рис. 196). Найдите) cosM; 2) sinN; 3) tgM; 4) sinM; 5) cosN; 6) tgN. 713. Найдите с помощью таблиц, калькулятора или компьютера Рис. 194 139 ??????? ????????????? Найдите с помощью таблиц, калькулятора или компьютера. Вычислите) sin 30? + tg 45?; 2) cos 30? ? sin Вычислите) tg 45? – cos 60?; 2) sin 45? : cos 45?. ??????? ??????? 717. Дано {ABC, ?C ? 90?, AC ? 5 см, BC ? 12 см. Найти: sin А, cosА. 718. Дано: {ABC, ?C ? 90?, AC ? 7 см, BC ? 24 см. Найти: sin B, cosB. 719. В {ABC ?C ? 90?. Найдите) AC, если BC ? a, ?B ? ?; 2) AB, если AC ? b, ?A ? В {ABC ?C ? 90?. Найдите) BC, если AC ? b, ?A ? ?; 2) AB, если BC ? a, ?B ? ?. 721. В {ABC ?C ? 90?. Найдите) AB, если AC ? 5 см) AB, если BC ? 3 см, sinA ? 0,6; 3) AC, если AB ? 8 см, 4) BC, если AB ? 20 см) AC, если BC ? 10 см, tgB ? В {ABC ?C ? 90?. Найдите) AB, если BC ? 8 см) AB, если AC ? 10 см, sin B ? 0,25; 3) BC, если AB ? 6 см, 4) AC, если AB ? 20 см) BC, если AC ? 12 см 140 ????? 3 723. В {ABC ?C ? 90?. Найдите) AB, если см, ?A ? 30?; 2) AC, если AB ? см, ?B ? 45?. 724. В {ABC ?C ? 90?. Найдите) AB, если см, ?B ? 30?; 2) BC, если см, А ? 45?. 725. Найдите (с помощью таблиц, калькулятора или компьютера) острый угол ?, если) sin? ? 0,4226; 2) cos? ? 0,8192; 3) tg? ? 0,2679; 4) sin? ? 0,8231; 5) cos ? ? 0,9373; 6) tg? ? Найдите (с помощью таблиц, калькулятора или компьютера) острый угол ?, если) cos? ? 0,1908; 2) sin? ? 0,8387; 3) tg? ? 0,7265; 4) cos? ? 0,5493; 5) sin? ? 0,3518; 6) tg? ? 1,1792. 727. В {ABC ?C ? 90?. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера найдите с точностью до сотых сантиметра) AB, если BC ? 5 см, ?A ? 42?; 2) BC, если AB ? 10 см, ?B ? 37?; 3) BC, если AC ? 4 см, ?A ? В {ABC ?C ? 90?. С помощью таблиц, калькулятора или компьютера найдите с точностью до сотых сантиметра) AC, если AB ? 8 см, ?A ? 15?; 2) AB, если BC ? 9 см, ?A ? 43?; 3) BC, если AC ? 5 см, ?B ? 29?. ??????????? ??????? 729. Постройте угол 1) тангенс которого равен 2) синус которого равен 3) косинус которого равен 730. Постройте угол 1) тангенс которого равен 2) синус которого равен ; 3) косинус которого равен . 141 ??????? ????????????? ????????????? 731. Диагональ прямоугольника образует сего стороной, длина которой a, угол ?. Найдите периметр прямоугольника. Одна сторона прямоугольника равна b. Его диагональ образует с другой его стороной угол ?. Найдите площадь прямоугольника. Угол ромба равен 42?, а диагональ, противолежащая этому углу, – 6 см. Найдите вторую диагональ ромба (с точностью до сотых сантиметра. Сторона ромба равна 8 см, а один из его углов – Найдите (с точностью до сотых сантиметра) диагональ ромба, выходящую из этого угла. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов – ?. Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна h. Найдите гипотенузу тре уголь ника, если один из его острых углов равен ?. 737. Гипотенуза прямоугольного треугольника относится к его катету как 8 : 5. Найдите (с точностью до градуса) острые углы этого тре уголь ника. 738. Отношение катетов прямоугольного треугольника равно : 5. Найдите (с точностью до градуса) острые углы этого треугольника. Дано {ABC ?C ? 90?. Найдите: а) AB и BC, если AC ? 6 см, cos B ? б) AC и BC, если AB ? 13 см, 740. Дано: {ABC ?C ? 90?. Найдите: а) AB и BC, если AC ? 4 см, sin A ? б) AC и BC, если AB ? 34 см. Основания равнобокой трапеции равны и 2b (a > b), а острый угол – ?. Найдите боковую сторону трапеции. На рисунке 197 ?ACB ? ?K ? 90?, AC ? b, ?ABC ? ?, ?BCK ? ?. Найдите BC, CK, На рисунке 197 ?ACB ? ?K ? 90?, BK ? a, ?ABC ? ?, ?BCK ? ?. Найдите BC, AC, Рис. 197 142 ????? 3 ??????? ??????? 744. Стороны прямоугольника равны 19 см и 50 см. Найдите острый угол между диагоналями (с точностью до минуты. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите углы ромба (с точностью до минуты. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна m, а угол при основании – ?. Найдите радиус окружности, вписанной в этот тре уголь ник. 747. Угол при основании равнобедренного треугольника равен ?, а радиус вписанной окружности – r. Найдите боковую сторону треугольника. Острый угол параллелограмма равен 45?. Диагональ делит тупой угол в отношении 1 : 2. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 20 см. 749. Острый угол параллелограмма равен 60?. Диагональ делит тупой угол в отношении 1 : 3. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 24 см. 750. В треугольнике одна из сторон равна 10 см, а прилежащие к ней углы – 135? и 30?. Найдите высоту треугольника, проведенную к данной стороне. В треугольнике одна из сторон равна 8 см, а прилежащие к ней углы – 60? и 45?. Найдите высоту тре уголь ника, проведенную к этой стороне ??? ?????????? 752. Наклонная, проведенная из точки к прямой, в два раза больше, чем перпендикуляр, проведенный из этой же точки к этой же прямой. Найдите угол между наклонной и перпендикуляром. Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу – 7,2 см. Найдите периметр треугольника. Постройте ромб по высоте и меньшей диагонали ??????? ??? ????????? 755. Задача Архимеда) Если в окружности хорды AB и пересекаются в точке E под прямым углом, то сумма квадратов отрезков AE, BE, CE и DE равна квадрату диаметра. Докажите это 143 ??????? ????????????? ????????????? 21. Решить треугольник значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонами углам. Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов тре уголь ника. Используя в прямоугольном треугольнике) обозначение AB ? c, BC ? a, AC ? b, ?A, ?B, ?C (рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами A + ?B ? 90?; a 2 + b 2 ? c 2 (теорема Пифагора ? c sinA ? c cosB ? btgA ? b ? с B ? с ? atgB можно решить любой прямоугольный тре уголь ник. Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных тре уголь ников. Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Задача 1. Дано гипотенузу c и острый угол А прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты. Решение в общем виде Пример Д ан о c, Найти, Решение Дано Найти, Решение cos 29? ? Ответ Рис. 198 144 ????? 3 2. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Задача 2. Дано катет a и острый угол A прямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол тре уголь ника, второй катет и гипотенузу. Решение в общем виде Пример Д ан о a, Найти, Решение или b ? Дано Найти, Решение Ответ. Решение прямоугольных треугольников по двум кате- там. Задача 3. Дано катеты a и b прямоугольного тре уголь ника. Найдите гипотенузу и острые углы тре уголь ника. Решение в общем виде Пример Д ан о a, Найти, Решение. Далее ?A находим с помощью калькулятора или таблиц. ?B ? 90? – Дано Найти, Решение Ответ. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе. Задача 4. Дано катет a и гипотенуза c прямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника Решение в общем виде Пример Д ан о a, Найти, Решение. Дальше ?A находим с помощью калькулятора или таблиц. ?B ? 90? – Дано Найти, Решение Ответ, Решение прямоугольных треугольников используют при решении прикладных задач. Задача 5. Найдите высоту дерева, основание N которого является недоступным (рис. Решение. Обозначим на прямой, проходящей через точку N – основание дерева, точки A и B и измеряем отрезок AB и ? MAN ? ? и ? ?. 1) В {MAN: 2) В {MBN: 3) Так как AB ? BN – AN, имеем , откуда О т в е т. Что значит решить треугольник. Какие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике используют для решения треугольников. Как решить прямоугольный треугольник) по гипотенузе и острому углу 2) по катету и острому углу 3) по двум катетам 4) по катету и гипотенузе? Рис. 199 146 ????? 3 ??????? ??????? 756. По гипотенузе AB прямоугольного треугольника и острому углу найдите другие его стороны и второй острый угол (стороны треугольника в задачах 3) и 4) найдите с точностью до сотых) AB ? 10 см ?A ? 30?; 2) AB ? 8 дм ?B ? 45?; 3) AB ? 15 см ?A ? 18?; 4) AB ? 12 дм ?B ? По гипотенузе AB прямоугольного треугольника и острому углу найдите другие его стороны и второй острый угол (стороны треугольника в задачах 3) и 4) найдите с точностью до сотых) AB ? 6 дм ?A ? 45?; 2) AB ? 14 см ?B ? 60?; 3) AB ? 8 дм ?A ? 82?; 4) AB ? 3 см ?B ? По катету треугольника) и его острому углу найдите другие стороны и второй острый угол треугольника (стороны треугольника в задачах 2) и 3) найдите с точностью до сотых) AC ? 8 см ?B ? 30?; 2) AC ? 13 см ?A ? 24?; 3) BC ? 6 дм ?A ? 42?; 4) BC ? 5 см ?B ? По катету треугольника) и его острому углу найдите другие стороны и второй острый угол треугольника (стороны треугольника в задачах 2) и 3) найдите с точностью до сотых) AC ? 15 см ?A ? 60?; 2) AC ? 6 дм ?B ? 12?; 3) BC ? 8 см ?B ? 71?; 4) BC ? 10 дм ?A ? 45?. 760. Диагональ прямоугольника равна 6 см и образует угол 25? сего стороной. Найдите угол, который образует диагональ прямоугольника с другой его стороной, и стороны прямоугольника (с точностью до сотых сантиметра Из точки, находящейся на расстоянии 6 см от прямой, проведена наклонная, образующая с прямой угол 52?. Найдите угол, который образует наклонная с перпендикуляром, проведенным из той же точки, длину перпендикуляра и проекцию наклонной (с точностью до сотых сантиметра Найдите высоту дерева AC (рис. 200), если BC ? 40 м, ? B ? 27?. 763. По рисунку 201 найдите расстояние от объекта B к недоступному объекту A, если ?C ? 90?, BC ? 80 м, ?B ? 57?. 147 ??????? ????????????? Рис. Рис. 201 ??????????? ??????? 764. По двум катетам треугольника) найдите его гипотенузу и острые углы с точностью до минуты) AC ? 4 см см 2) AC ? 8 дм BC ? 15 дм) AC ? 3 см BC ? 9 см 4) AC ? 7m дм BC ? 24m дм. 765. По двум катетам треугольника) найдите его гипотенузу и острые углы с точностью до минуты) AC ? см BC ? 2 см 2) AC ? 8 см BC ? 6 см) AC ? 2 дм BC ? 5 дм 4) AC ? 9k дм BC ? 40k дм По катету и гипотенузе треугольника) найдите его второй катет и острые углы с точностью до минуты) AB ? 6 см см 2) AB ? 65 дм BC ? 16 дм) AB ? 7 дм AC ? 4 см 4) AB ? 13a см BC ? 5a см По катету и гипотенузе треугольника (С ? найдите его второй катет и острые углы с точностью до минуты) AB ? 8 см см 2) AB ? 37 дм BC ? 12 дм) AB ? 10 см AC ? 7 см 4) AB ? 61b дм BC ? 60b дм Тень от антенны мобильной связи, высота которой 5 м, равна 2,6 м (рис. 202). Найдите с точностью до минуты высоту солнца над горизонтом (угол ?). 769. Найдите укос дороги (значение тангенса угла ?) по рисунку 203. Найдите меру угла ?. 770. Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равно- бокой трапеции (рис. 204). Нижнее основание трапеции равном, высота насыпи – 2 м, а ее укос – 35?. Найдите ширину верхней части насыпи (верхнее основание трапеции Рис. Рис. Рис. 204 ??????? ??????? 771. На горе находится башня, высота которой l м (рис. 205). За некоторым объектом A, находящимся у подножия горы, наблюдают сначала из вершины M башни под углом 60? к горизонту, а затем от основания башни под углом 30?. Найдите высоту х горы ??? ?????????? 772. Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Найдите периметр ромба. В {ABC ?C ? 90?, BC ? 12 см, Найдите периметр тре уголь ника. Рис. 205 149 ??????? ????????????? ????????????? 774. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 30 см и 40 см. Найдите наименьшую сторону треугольника. Лист бумаги сложили вчетверо так, что получили прямоугольник со сторонами вдвое меньшими, чем стороны листа. Затем полученный прямоугольник прокололи в двух местах, развернули и через каждые две из полученных точек (проколы) провели прямую. Какое наименьшее и какое наибольшее количество прямых при этом можно получить? Домашняя самостоятельная работа ? Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А–Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. Найдите гипотенузу прямоугольного тре уголь ника, катеты которого равны 7 см и 24 см. |