Истер ас, 2016 Издательство Генеза

• Название: Истер ас, 2016 Издательство Генеза
• Дата: 18.06.2022
• Размер: 5.1 Mb.
• Имя файла: 1953-geometriya.-8-klass_ister-o.s_2016-213s-ukraina.pdf
• Тип: Учебник; #601613
• страница: 15 из 17

838. AK и BM – высоты остроугольного треугольника. Используя подобие треугольников, докажите, что ? BC ? AC ? BM.
839. В трапецию вписана окружность. Найдите среднюю линию этой трапеции, если ее периметр равен P см

161
??????????????. ??????? ???????????????
?????? ? ????????????? ? ???????? ?????? ?????????
840. Найдите площадь прямоугольника со сторонами) 5 см и 9 см 2) 2,1 дм и 0,8 дм) 7 см и 1 дм 4) 4,1 дм им. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна) 7 см 2) 29 мм 3) 4,5 мм 4) м ??????? ??? ?????????
842. Национальная олимпиада Бразилии, 1983 г. Докажите, что все точки окружности можно разбить на два множества так,
что среди вершин любого вписанного в окружность прямоугольного треугольника найдутся точки из обоих множеств. Любой многоугольник ограничивает некоторую часть плоскости. Эту часть плоскости называют внутренней областью
много угольника. На рисунке 226 внутренняя область многоугольника закрашена. Будем рассматривать многоугольник вместе сего внутренней областью.
Каждому многоугольнику можно поставить в соответствие значение его площади,
считая, что площадь многоугольника это та часть плоскости, которую занимает многоугольник. Понятие площади нам известно из повседневной жизни (площадь комнаты,
площадь огорода, площадь страницы).
С понятием площади вы также знакомились на уроках математики в х классах.
Сформулируем основные свойства площади) ??????? ??????? ????? ????? ???? ???????? ??????-
??????? ??????;
2) ?????? ?????????????? ????? ?????? ???????;
3) ???? ????? ????? ??? ?????? ?? ????????? ???????????????,
?? ??? ??????? ????? ????? ???????? ???? ???????????????;
4) ???????? ????????? ??????? ???????? ??????? ????-
???? ?? ????????, ?????? ??????? ????????? ?????
(????? ???? ??? ??? ???????? ????????? ???? ?????).
??????? ??????? ????? ????? ????.
??????? ????? ????? Рис. 226

162
????? Например, если за единицу измерения длины взять 1 см, то соответствующей единицей измерения площади будет площадь квадрата со стороной 1 см. Такой квадрат имеет площадь см
2
(читается: один квадратный сантиметр. Другими единицами измерения площади являются 1 мм 1 дм 1 мкм. Для площадей участков земли используют единицы измерения ар и гектарам га ? 100 а ? 10 000 м
2
Площадь фигуры принято обозначать буквой Задача 1. Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке 227, если сторона клетки равна 1 см.
Р е ш е ни е. Внутренняя область многоугольника состоит из шестнадцати клеток со стороной 1 см, площадь каждой из которых – 1 см, и четырех треугольников, площадь каждого из которых равна половине площади клетки. Следовательно, площадь фигуры (см
2
).
О т в е т. 18 см
2
Площади некоторых фигур можно находить по формулам. Например, из курса математики предыдущих классов нам известны формулы для вычисления площадей прямоугольника, квадрата, круга.
Т е орем а (о площади прямоугольника. Площадь прямоугольника со сторонами a и b вычисляется по формуле ?? a ? Доказательство этой теоремы достаточно громоздко,
ознакомиться с ним можно в Приложении 2 (с. Если стороны прямоугольника дм и b ? 6 см, тогда
S ? 10 ? 6 ? 60 (см, а если a ?
мим, то
4 (м
2
).
С лед ст в и е. Площадь S квадрата со стороной a вычисляется по формуле S ?? Задача 2. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади.
Сторона квадрата равна 6 см, а одна из сторон прямоугольника в 4 раза больше другой. Найдите периметр прямо уголь ника.
Р е ш е ни е. Пусть к – площадь квадрата, п – площадь прямоугольника периметр прямо уголь ника.
Рис. 227

163
??????????????. ??????? ???????????????
1) к п 6 2
? 36 (см) Пусть одна из сторон прямоугольника равна x см, тогда вторая равна 4x см. По формуле площади прямоугольника имеем уравнение ? 4x ? 36, то есть 4x
2
? 36, откуда x
2
? 9. Учитывая, что x > 0, имеем x ? 3. Следовательно, стороны прямоугольника равны 3 см и 4 ? 3 ? 12 (см) P ? 2(3 + 12) ? 30 (см).
О т в е т. 30 см ??????, ????????? ? ?????????? ???????, ?????
???? ?????? ? ??????? ???????????.
??? ?? 2–3 ?????? ??? ?? ?. ?. ?????????? ????? ?????????? ???????
?????????????? ? ???????? ? ?????????? ????????. ???????? ??? ????-
????? ???????? ?? ?????? ??????? ?? ????????, ?????? ??????? ?????.
??????? ???????? 4000 ??? ????? ??? ????????? ??????? ?????-
?????????, ???????????? ? ???????? ??? ???????????? ???? ?? ?????-
????, ??? ? ?? ??????.
? ????? «???????» ?????? ?? ?????????? ????? «???????», ??? ???
?? ??? ??? ????? ?????? «??????» ??????? ????? ?????????, ??????-
?????? ??? ??? ???? ????????? ?????, ?. ?. ???????. ?????? ?? ????-
??? ????????? ????????? ??????? ??????, ? ????????? ??????? ???-
??? ????? ????? ?????, ?????????? ????? «????????????». ???,
????????, ? ?????? 16 ?? ?????? ????? «?????»: «???????????????,
??????????? ?? ?????? ?????????? ? ????? ???? ?? ?????????????,
????? ????? ?????, ?. ?. ???????????. ????????!».
??? ? ?????? ?????? ?????????, ?????? ????????? ????????? ???-
???????? ????? ????? ? ??????, ?? ????????????. ???, ? «???????»
???????? ?????? ? ?????????? ????????, ????????????? ?????? ?????-
?? ??????????????.
1. Объясните, что такое площадь многоугольника. Сформулируйте основные свойства площади. Сформулируйте теорему о площади прямоугольника и следствия из нее ???????
843. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна) 2 см 2) 4 дм 3) 12 см 4) 3 м Найдите площадь квадрата, сторона которого равна) 5 см 2) 7 дм 3) 9 см 4) 6 м

164
????? 4
845. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 1) 5 см и 9 см 2) 12 дм и 4 дм Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 1) 7 см и 6 см 2) 10 дм и 5 дм. Площадь прямоугольника равна 12 см, а одна из его сторон – 4 см. Найдите другую сторону прямоугольника Одна из сторон прямоугольника равна 5 см, а его площадь см. Найдите другую сторону прямоугольника (Устно) Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунках 228 и 229, если сторона клетки равна
1 см.
Рис. Рис. 229
850. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна) 4 см 2) 25 дм
2
851.
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна) 9 дм 2) 100 см Размеры футбольного поля 110 ??70 (в метрах. Больше или меньше гектара его площадь. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади.
Сторона квадрата см, а одна из сторон прямоугольника см. Найдите другую сторону прямоугольника Прямоугольники квадрат имеют равные площади. Одна из сторон прямоугольника см, а сторона квадрата см. Найдите другую сторону прямоугольника Найдите площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна 12 см, а диагональ – 13 см

165
??????????????. ??????? ???????????????
856.
Диагональ прямоугольника равна 17 см, а одна из его сторон – 8 см. Найдите площадь прямоугольника Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна) 8 см 2) d см.
858.
Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна см Периметр прямоугольника см, а одна из его сторон на см больше другой. Найдите сторону квадрата, который имеет такую же площадь, как и прямоугольник Прямоугольники квадрат имеют равные площади.
Периметр прямоугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 15 см больше другой. Найдите сторону квадрата. Как изменится площадь прямоугольника, если) одну из его сторон увеличить вдвое) одну из его сторон уменьшить втрое) каждую из сторон увеличить в 4 раза) одну сторону увеличить вдвое, а другую – враз) одну из сторон увеличить враз, а другую – уменьшить вдвое. Как изменится площадь квадрата, если каждую из его сторон) увеличить враз) уменьшить втрое (Устно) Могут ли два неравных между собой квадрата иметь равные площади 1) Могут ли два неравных между собой прямоугольника иметь равные площади) Два прямоугольника имеют равные площади. Можно ли утверждать, что они равны) Два прямоугольника имеют равные площади. Можно ли утверждать, что они равны, в случае, когда одна из сторон первого прямоугольника равна стороне второго?
865.
Стороны квадратов см и 17 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов Стороны квадратов дм и 6 дм. Чему равна сторона квадрата, площадь которого равна сумме площадей данных квадратов. Прямоугольник, стороны которого 8 мим, разрезали на квадраты со стороной 0,5 м. Сколько образовалось квадратов Найдите площадь квадрата, описанного около окружности, радиус которой r.
869. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 3 : 4, а площадь прямоугольника равна 108 см Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 24 см, а одна из сторон в 1,5 раза больше другой. Биссектриса AM угла прямоугольника делит сторону на отрезки BM ? 3 см и MC ? 5 см. Найдите площадь прямоугольника Биссектриса BK угла прямоугольника делит сторону на отрезки AK ? 7 см и KD ? 5 см. Найдите площадь прямоугольника Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой,
а диагональ прямоугольника равна 15 см. Найдите площадь прямо уголь ника.
874.
Одна из сторон прямоугольника равна 7 см, а его диагональна см больше другой стороны. Найдите площадь прямоугольника На рисунке 230 ABCD – прямоугольник середина отрезка
AK. Докажите, что S
ABCD
S
= S
AKD
S
876. Отношение площадей двух квадратов равно 5. Найдите отношение их периметров Отношение периметров двух квадратов равно 3. Найдите отношение их площадей ??? ??????????
878. Сумма углов одного выпуклого многоугольника равна сумме углов другого выпуклого много уголь ника.
Можно ли утверждать, что многоугольники имеют равное количество сторон. Докажите, что около параллелограмма, не имеющего прямых углов, нельзя описать окружность.
Рис. 230

167
??????????????. ??????? ???????????????
?????? ? ????????????? ? ???????? ?????? ?????????
880. Начертите любой параллелограмму которого одна из сторон равна 5 см, а высота, к ней проведенная, – 3 см ??????? ??? ?????????
881. Центры трех равных окружностей являются вершинами равностороннего треугольника. Эти окружности не имеют общих точек. Сколько существует окружностей, имеющих внешнее либо внутреннее касание стремя данными окружностями. Теорема (о площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – произвольный параллелограмм его высота (рис. 231). Докажем, что площадь
M
параллелограмма ABCD можно вычислить по формуле AD ? BM.
1) Проведем высоту CN к прямой, содержащей сторону AD параллелограмма (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей. Поэтому
{BAM ? {CDN (по гипотенузе и острому углу) Параллелограмм ABCD состоит из трапеции MBCD и треугольника, а прямоугольник из трапеции MBCD и треугольника. Так как треугольники и DCN равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма ABCD и прямоугольника. Но AM ? DN, и поэтому MN ? Следовательно, S
ABCD
S
? AD ? BM. Заметим, что если основание высоты BM – точка M совпадает сточкой или лежит на продолжении стороны AD, то доказательство теоремы будет аналогичным.
???????
???????????????
Рис. 231

168
????? В общем виде формулу площади S параллелограмма можно записать так ?? ah
a
, где a – сторона параллелограмма высота, к ней проведенная.
Задача 1. Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.
Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – данный ромб, BM и BN – его высоты (рис. 232). Ромб является параллелограммом,
по этому S
ABCD
S
? AD ? BM ? DC ? Но AD ? DC, а значит BM ? Задача 2. Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты – 4 см и см. Найдите площадь параллелограмма.
Р е ш е ни е. 1) Пусть ABCD – данный параллелограмм, и BN – его высоты (рис. 232), BM ? 4 см, BN ? 5 см) P
ABCD
P
? 2(AD
((
+ DC). По условию 2(AD
((
+ DC) ? 36, поэтому (см) Пусть AD ? x см, тогда DC ? (18 – x) см) Так как по формуле площади параллелограмма AD ? BM или S
ABCD
S
? DC ? BN, имеем уравнение
x ? 4 ? (18 – x) ? 5. То есть 4x ? 90 – 5x, откуда x ? 10 (см.
5) Тогда S ? 10 ? 4 ? 40 (см
2
).
О т в е т. 40 см
2
?
Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма. Сторона параллелограмма равна a, h – высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь параллелограмма, если) a ? 5 см, h ? 7 см 2) a ? 8 дм, h ? 4 дм Сторона параллелограмма равна a, h – высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь параллелограмма, если) a ? 6 см, h ? 3 см 2) a ? 5 дм, h ? 9 дм Площадь параллелограмма равна 24 см, а одна из его сторон – 6 см. Найдите высоту параллелограмма, проведенную к этой стороне.
Рис. 232

169
??????????????. ??????? ???????????????
885. Площадь параллелограмма – 18 дм, а одна из его высот равна 3 дм. Найдите длину стороны, к которой проведена эта высота ???????
886. Диагональ параллелограмма длиной 5 см перпендикулярна стороне параллелограмма, которая равна 6 см.
Найдите площадь параллелограмма Сторона параллелограмма длиной 8 см перпендикулярна диагонали параллелограмма, которая равна 5 см. Найдите площадь параллелограмма Найдите площади фигур, изображенных на рисунках и 234, если сторона клетки равна 0,5 см Найдите площади фигур, изображенных на рисунках и 236, если сторона клетки равна 0,5 см.
Рис. Рис. Рис. Рис. 236
890. Одна из сторон параллелограмма равна 6 см, а высота,
проведенная к другой стороне, – 4 см. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 36 см
2
891.
Площадь параллелограмма равна 48 см. Одна из его сторон – 8 см, а одна из высот – 4 см. Найдите периметр параллелограмма

170
????? 4
??????????? ???????
892. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см. Высота,
проведенная к меньшей из них, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к большей стороне Одна из сторон параллелограмма равна 8 см, а высота,
к ней проведенная, – 6 см. Найдите другую сторону параллелограмма, если высота, к ней проведенная, равна 4,8 см. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол – 30?. Найдите площадь параллелограмма Сторона ромба равна 4 см, а один из его углов – 150?. Найдите площадь ромба. Высота параллелограмма втрое больше стороны, к которой она проведена. Найдите эту высоту, если площадь параллелограмма равна 12 см. Сторона параллелограмма враз больше высоты, к ней проведенной. Найдите эту сторону, если площадь параллелограмма равна 45 см. Периметр ромба равен P см. Найдите его площадь, если одна из диагоналей ромба образует со стороной угол 75?.
??????? Две стороны параллелограмма равны 8 см и 12 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины,
равна 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
900.
Две высоты параллелограмма равны 2 см и 3 см, а сумма двух его смежных сторон – 10 см. Найдите площадь параллелограмма Высоты параллелограмма равны 8 см и 6 см, а угол между ними – 30?. Найдите площадь параллелограмма. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 5 см. Может ли его площадь равняться) 41 см 2) 40 см 3) 39 см Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а одна из его высот – 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача

171
??????????????. ??????? ???????????????
?????????? ??? ??????????
904. Сумма углов одного многоугольника на 540? больше суммы углов другого многоугольника. Насколько больше вершину первого многоугольника, чему второго. Середины сторон ромба последовательно соединены отрезками. Вычислите площадь получившегося четырехугольника, если диагонали ромба равны 6 см и 10 см ? ????????????? ? ???????? ?????? ?????????
906. Начертите два неравных между собой треугольника, у каждого из которых одна из сторон равна 4 см, а высота,
к ней проведенная, – 2,5 см ??????? ??? ?????????
907. Задача ал-Кораджи.) Найдите площадь прямо уголь ника,
основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру 25. Теорема (о площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.
Д ока за тел ь ст во. Пусть ABC – произвольный треугольник его высота (рис. 237). Докажем, что) Проведем через вершину B прямую, параллельную AC, а через вершину
C – прямую, параллельную AB. Получим параллелограмм ABDC.
2) {ABC ? {DCB (потрем сторонам. Поэтому 2S
ABC
S
, откуда Основанием и высотой ал-Кораджи называл две стороны прямоугольника Рис. 237

172
????? 4 3) Так как S
ABCD
S
? AC ? BH, то
?
В общем виде формулу площади S треугольника можно записать так где a – сторона треугольника высота, проведенная к ней.
С лед ст в и е 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
С лед ст в и е 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся каких высоты, проведенные к этим сторонам.
С лед ст в и е 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.
Задача 1. Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.
Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим {ABC и {A
1
B
1
C
1
, у которых. Проведем высоты BH ирис) Имеем) {ABH
{
{
V
{A
{
{
1
B
1
H
1
(по острому углу, поэтому) Имеем:
?
Задача 2. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна a.

173
??????????????. ??????? Решение. Пусть {ABC – равносторонний со стороной Тогда
. В равностороннем треугольнике, где m
a
– медиана. Но (§ 18, задача 4), поэтому. Следова тельно,
О т в е т. Задача 3. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.
Р е ш е ни е. Так как 17 2
? 8 2
+ 15 2
те, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.
Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольнику которого c ? 17 см – гипотенуза, a ? 15 см и b ? 8 см – катеты,
h
c
– высота. Найдем Площадь этого треугольника можно найти по формулам или Тогда, то есть ab ? ch
c
, откуда
Таким образом, имеем:
(см).
О т в е т. см. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. Сформулируйте следствия из теоремы о площади треугольника Сторона треугольника равна a, h – высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь треугольника, если) a ? 10 см, h ? 5 см 2) a ? 3 дм, h ? 5 дм Пусть a – сторона треугольника высота, проведенная к этой стороне. Найдите площадь треугольника, если) a ? 6 дм, h ? 4 дм 2) a ? 7 см, h ? 1 см.
Рис. 239

174
????? 4
910. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны) 4 см и 3 см 2) 9 дм и 5 дм.
911.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны) 6 см и 5 см 2) 7 дм и 3 дм ???????
912. Площадь треугольника равна 36 дм, а одна из его высот – 8 дм. Найдите длину стороны, к которой проведена эта высота.
913.
Площадь треугольника равна 20 см, а одна из его сторон см. Найдите высоту треугольника, проведенную к этой стороне Найдите площади фигур, изображенных на рисунках и 241, если сторона клетки равна 0,5 см.
Рис. Рис. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках и 243, если сторона клетки равна 0,5 см.
Рис. Рис. 243

175
??????????????. ??????? ???????????????
916. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна см, а высота, проведенная к основанию, – 3 см. Найдите площадь треугольника. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7 см,
а гипотенуза – 25 см. Найдите площадь треугольника Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите площадь треугольника Высота равнобедренного прямоугольного тре уголь ника,
проведенная к гипотенузе, равна 6 см. Найдите площадь треугольника) Диагонали ромба – 8 см и 10 см. Найдите его площадь) Используя формулу площади прямоугольного треугольника, выведите формулу площади ромба через его диагонали d
1
и d
2
921.
Найдите площадь ромба с диагоналями 12 см и 6 см В прямоугольнике вершина B удалена от прямой на 3 см. Найдите площади треугольника и прямоугольника, если BD ? 10 см Сторона треугольника вдвое больше высоты, проведенной к ней. Найдите эту сторону, если площадь треугольника равна 16 см Высота треугольника в 4 раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите эту высоту, если площадь треугольника равна 18 см На стороне AC треугольника, площадь которого равна см, отмечена точка D так, что AD : DC ? 1 : 2. Найдите площади треугольников и DBC.
926.
На стороне AB треугольника, площадь которого равна см, отмечена точка K так, что AK : KB ? 1 : Найдите площади треугольников и CKB.
927. ABCD – трапеция, AD || BC. Докажите, что S
ACD
S
? S
ABD
S
928. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 4 см и 1 см, считая от вершины угла между боковыми сторонами. Найдите площадь тре уголь ника.
929.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки 4 см и 6 см, считая от вершины при основании. Найдите площадь треугольника. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе ???????
932. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 9 см и 6 см. Найдите площадь треугольника В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит катет на отрезки 3 см и 5 см. Найдите площадь треугольника Две стороны треугольника равны 4 см и 6 см. Может ли площадь треугольника равняться) 11 см 2) 12 см 3) 13 см Отрезки AB и С пересекаются в точке O – середине отрезка AB. Найдите отношение площадей треугольников и BOD, если CO ? 3 см, DO ? 6 см. MN – средняя линия треугольника. Найдите отношение площадей треугольников и ABC.
?????????? ??? ??????????
937. Около окружности радиуса 3 см описан квадрат. Найдите периметр и площадь квадрата. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 2. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 48 см ? ????????????? ? ???????? ?????? ?????????
939. Начертите трапецию, основания которой равны 5 см и
3 см, а высота – 4 см ??????? ??? ?????????
940. Стена высотой 3,5 м отбрасывает тень длиной 5 м. Александр Семенович, рост которого 1 м 75 см, стоит на расстоянии 10 м до границы тени. Какое наименьшее количество шагов он должен сделать, чтобы полностью попасть в тень, если длина его шагам. Теорема (о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Д ока за тел ь ст во. Пусть ABCD – трапеция с основаниями и BC, BK – ее высота (рис. 244). Докажем, что площадь S трапеции можно найти по формуле) Диагональ BD разбивает трапецию на два треугольника и BDC. Поэтому) BK – высота треугольника, поэтому) Проведем в трапеции высоту DN, она является и высотой треугольника, поэтому) DN ? BK (как высоты трапеции. Следовательно,
?
В общем виде формулу площади S трапеции можно записать так:
где a и b – основания трапеции, h – ее высота.
С лед ст в и е. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.
Задача 1. В трапеции ABCD (AD
((
|| BC), AD ? 8 см, BC ? 5 см ? 12 см, ?A ? 30?. Найдите площадь трапеции.
Р е ш е ни е. 1) Проведем в трапеции ABCD высоту BK рис. 245). В {ABK (?K ? 90?)
(по свойству катета,
противолежащего углу 30?). Следовательно (см).
???????
????????
Рис. 244

178
????? 4 2)
(см
2
).
О т в е т. 39 см
2
Рис. Рис. Задача 2. Периметр трапеции 60 см, а одна из боковых сторон точкой касания вписанной окружности делится на отрезки 9 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.
Р е ш е ни е. 1) Так как трапеция является описанной около окружности (рис. 246), то (см) Центр вписанной окружности – точка O – является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, следовательно, и углов BAD и ABC. Поэтому ?AOB ? 90? (задача 214, с. 43).
3) Точка K – точка касания окружности со стороной AB, поэтому OK ? AB. Следовательно, OK – радиус окружности и высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем
OK
2
? А ? В ? 9 ? 4 ? 36, откуда OK ? 6 (см) MN – диаметр окружности, а также высота трапеции, поэтому MN ? 2 ? OK ? 2 ? 6 ? 12 (см) Следовательно,
(см
2
).
О т в е т. 180 см 1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции. Сформулируйте следствие из этой теоремы ???????
941. Пусть a и b – основания трапеции, h – ее высота.
Найдите площадь трапеции, если) a ? 5 см, b ? 7 см, h ? 4 см) a ? 9 дм, b ? 1 дм, h ? 5 дм

179
??????????????. ??????? ???????????????
942.
Пусть a и b – основания трапеции, h – ее высота.
Найдите площадь трапеции, если) a ? 9 см, b ? 3 см, h ? 2 см
2) a ? 3 дм, b ? 7 дм, h ? 6 дм Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 4 см, а высота – 5 см Высота трапеции равна 3 см, а средняя линия – 6 см.
Найдите площадь трапеции ???????
945. Основания трапеции равны 7 см и 13 см, а ее площадь –
40 см. Найдите высоту трапеции Площадь трапеции равна 36 см, а ее основания – 8 см и 10 см. Найдите высоту трапеции Высота трапеции равна 6 см, а ее площадь – 24 см
2
Найдите сумму оснований трапеции Высота трапеции равна 8 см, а площадь – 40 см
2
Найдите среднюю линию трапеции. Площадь трапеции равна 63 см, одно из ее оснований –
5 см, а высота – 7 см. Найдите другое основание трапеции Одно из оснований трапеции равно 17 см, а ее высота –
3 см. Найдите другое основание трапеции, если ее площадь равна 33 см. ABCD (AD
((
|| BC) – равнобокая трапеция с тупым углом B,
BK – ее высота, AK ? 3 см, BC ? 5 см, BK ? 4 см. Найдите площадь трапеции (AB
((
|| CD) – прямоугольная трапеция с тупым углом D, DK – высота трапеции, AK = 4 см, CD ? 7 см ? 5 см. Найдите площадь трапеции ???????
953. Площадь прямоугольной трапеции равна 30 см, ее периметр см, а меньшая боковая сторона – 3 см. Найдите большую боковую сторону. Периметр равнобокой трапеции равен 32 см, ее боковая сторона – 5 см, а площадь – 44 см. Найдите высоту трапеции В трапеции ABCD меньшее основание AB равно 6 см, а высота трапеции – 8 см. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника равна 40 см

180
????? 4
956. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно см и 8 см. Площадь треугольника равна
25 см. Найдите площадь трапеции Площадь трапеции равна 36 см, а ее высота – 6 см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 1 : 3.
958. Основания трапеции относятся как 1 : 4. Найдите их,
если высота трапеции равна 4 см, а площадь – 50 см. Найдите площадь трапеции, основания которой равны см и b см, а боковая сторона длиной c см образует с меньшим основанием угол 150?.
960. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно см и образует с меньшей диагональю угол 45?. Найдите площадь трапеции, если ее тупой угол равен 135?.
961.
В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна см и образует с меньшей диагональю угол 45?. Острый угол трапеции также равен 45?. Найдите площадь трапеции Большая диагональ прямоугольной трапеции равна см, а большее основание – 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 4 см.
963.
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна см, а высота – 8 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 5 см. Основания равнобокой трапеции равны 38 см и 52 см, а боковая сторона – 25 см. Найдите площадь трапеции Большее основание равнобокой трапеции равно 18 см,
боковая сторона – 13 см, а высота – 12 см. Найдите площадь трапеции.
966.
Меньшее основание равнобокой трапеции равно 6 см,
боковая сторона – 5 см, а высота – 3 см. Найдите площадь трапеции ???????
967. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 10 см.
Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на
2 см и 3 см. Найдите площадь трапеции.
968.
Большее основание равнобокой трапеции равно 18 см.
Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на
5 см и 6 см. Найдите площадь трапеции Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, а высота равна h см. Найдите площадь трапеции.
970.
Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, а основания равны 10 см и 4 см

181
??????????????. ??????? ???????????????
971. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки см и 4 см. Найдите площадь трапеции ??? ??????????
972. Вычислите сумму углов выпуклого угольника. Сколько плиток квадратной формы со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить ими пол в комнате прямоугольной формы, размеры которой 4,6 мим. Один из углов ромба на 120? больше другого, а сторона ромба равна 6 см. Найдите площадь ромба ??????? ??? ?????????
975. Из трех квадратов, длина стороны каждого из которых является целым числом сантиметров, составлен прямоугольник, площадь которого 150 см. Найдите периметр прямо уголь ника.
Домашняя самостоятельная работа ? Для каждого задания предлагается четыре варианта
ответа (А–Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. На каком из рисунков 247–250 изображен описанный пятиугольник?
А. рис. 247; Б. рис. 248; В рис. 249; Г рис. 250.
Рис. 247 Рис. 248 Рис. 249 Рис. 250
2. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 7 см и 4 см.
А. 28 см Б. 22 см В 28 см Г 11 см. Найдите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 8 см, а высота, проведенная к ней, – 5 см.
А. 40 см Б. 26 см В 20 см Г 13 см

182
????? 4
4. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого
10-угольника.
А. 360?; Б. 1800?; В 1620?; Г 1440?.
5. Найдите сторону треугольника, если его площадь равна см, а высота, к ней проведенная, – 6 см.
А. 4 см Б. 18 см В 8 см Г 12 см. Одно из оснований трапеции равно 5 см, а ее высота – 4 см.
Найдите другое основание, если площадь трапеции равна 28 см
2
А. 11 см Б. 2 см В 7 см Г 9 см. Прямоугольник, стороны которого равны 16 дм и
9,5 дм, разрезали на квадраты со стороной 0,5 дм. Сколько получили квадратов А 612; Б. 608; В 51; Г 618.
8. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см,
а высота – 5 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см.
А. 50 см Б. 52,5 см В 100 см Г 62,5 см. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 10 см.
А. 80 см Б. 20 см В 40 см Г 36 см. В прямоугольном треугольнике гипотенуза точкой касания вписанного круга делится на отрезки 3 см и 10 см.
Найдите площадь тре уголь ника.
А. 60 см Б. 50 см В 40 см Г 30 см. Большее основание равнобокой трапеции равно 12 см.
Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь трапеции.
А. 75 см Б. 50 см В 100 см Г 150 см. Стороны параллелограмма равны 12 см и 9 см, а сумма двух его высот, проведенных из одной вершины, – 7 см. Найдите площадь параллелограмма.
А. 108 см Б. 48 см В 36 см Г 27 см
2
Задания для проверки знаний к § 22–26
1. Начертите окружность, впишите в нее пятиугольники опишите около нее семиугольник. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны 6 см и 9 см. Найдите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 7 см, а высота, проведенная к ней, – 4 см

183
??????????????. ??????? ???????????????
4. Вычислите сумму углов выпуклого угольника. Площадь треугольника равна 30 см, а одна из его сторон –
12 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к этой стороне. Площадь трапеции равна 35 см, одно из ее оснований –
8 см, а высота – 7 см. Найдите другое основание трапеции. Прямоугольник, стороны которого 12 дм и 7,5 дм, разрезали на квадраты со стороной 0,5 дм. Сколько получилось квадратов. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 12 см. Меньшее основание трапеции равно 12 см. Точка пересечения диагоналей удалена от оснований на 3 см и 5 см.
Найдите площадь трапеции.
Дополнительные задания. Отношение площадей двух квадратов равно 7. Найдите отношение их периметров. Высоты параллелограмма равны 5 см и 6 см, а сумма двух его соседних сторон – 22 см. Найдите площадь параллелограмма. Начертите выпуклый пятиугольники невыпук лый шестиугольник B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
. Проведите все диагонали в пятиугольнике, вычислите их количество. Начертите окружность. Впишите в нее и опишите около нее любые многоугольники с равным количеством сторон. У пятиугольника все внешние углы равны. Чему равны внутренние углы этого пятиугольника. Найдите количество диагоналей у восьмиугольника. Все внутренние углы угольника равны по Найдите n.
981. Как изменится сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, если количество его сторон увеличится на две. Сумма углов выпуклого угольника враз больше суммы углов выпуклого (n – угольника. Найдите k, где – натуральное.
К § 22

184
????? 4
983. Сравните площадь квадрата со стороной 6 см с площадью прямоугольника со сторонами 4 см и 9 см. 1) Начертите произвольный прямоугольник, площадь которого 12 см 2) Начертите квадрат, площадь которого 9 см. На продолжении стороны AD квадрата за его вершину отметили точку P. Найдите площадь квад рата,
если CP ? 10 см, ?CPD ? 30?.
986. 1) Периметр квадрата равен P см. Найдите его площадь) Площадь квадрата равна S см. Найдите его периметр) Площадь квадрата численно равна его периметру.
Найдите сторону квадрата. На рисунке 251 изображено геометрическое доказательство формулы
(a + b)
2
? a
2
+ 2ab + b
2
. Поясните его. Сколько нужно плиток прямоугольной формы со сторонами 30 см и 20 см, чтобы выложить ими часть стены, имеющей форму прямоугольника со сторонами мим. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на отрезки 4 см и 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника. Сколько решений имеет задача. В прямоугольный треугольник) вписан квадрат так, что точки N и K лежат на гипотенузе (причем N лежит между A и K), M ? AC, L ? BC,
AN ? m, KB ? n. Найдите площадь квадрата. Начертите параллелограмм, одна из сторон которого равна 4 см, а высота, к ней проведенная, – 2 см. Найдите площадь параллелограмма. Найдите площадь ромба ABCD, если AB ? 4 см, а высота, проведенная к стороне BC, равна 3 см. В параллелограмме ABCD ?B – тупой, CE – высота параллелограмма, ?DCE ? 60?, AD ? 5 см, AB ? 4 см. Найдите площадь параллелограмма.
К § Рис. К § 24

185
??????????????. ??????? ???????????????
994. Существует ли параллелограмму которого) стороны равны 6 см и 8 см, а высоты – 3 см и 4 см) стороны равны 9 см и 6 см, а высоты – 4 см и 2 см. Сторона квадрата равна стороне ромба, а тупой угол ромба равен 150?. Какая изданных фигур имеет большую площадь Во сколько раз. В параллелограмме ABCD острый угол равен 30?, а биссектриса этого угла делит сторону параллелограмма пополам. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 24 см. В ромб ABCD вписана окружность радиуса 8 см. K – точка касания со стороной AB. Найдите площадь ромба,
если AK : KB ? 1 : 4.
998. Начертите три разных треугольника (остроугольный, прямоугольный и тупоугольный, у каждого из которых одна сторона равна 3 см, а высота, проведенная к ней, – 4 см. Найдите площадь каждого из треугольников. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а высота, проведенная к большей из них, – 4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из них. В треугольнике см, BD – высота треугольника см. Найдите площадь треугольника. В треугольнике проведены все средние линии.
Докажите, что площадь каждого из четырех образовавшихся треугольников равна четверти площади начального треугольника медиана равнобедренного треугольника с основанием. На этой медиане выбрана некоторая точка Докажите, что S
AMC
S
= S
BMC
1003. Начертите трапецию, основания которой 4 см и см, а высота – 3 см. Найдите площадь этой трапеции. Площадь трапеции равна 32 см, а ее средняя линия – 8 см. Найдите высоту трапеции.
К § К § 26

186
????? 4
1005. Найдите площади трапеций, изображенных на рисунках, если длина стороны клетки равна 0,5 см Рис. 252 Рис. 253 Рис. 254
1006. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания равнобокой трапеции, делят большее основание натри отрезка, сумма двух из которых равна третьему.
Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание и высота равны по a см. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны по b см, а острый угол – 45?.
1008. EF – средняя линия треугольника. Во сколько раз площадь треугольника меньше площади трапеции AEFB?
1009. В равнобокую трапецию вписана окружность, точка касания которой делит боковую сторону на отрезки длиной см и 8 см. Найдите площадь трапеции

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА. Найдите периметр параллелограмма, стороны которого равны 4 см и 9 см. Один из углов ромба равен 46?. Найдите остальные углы ромба. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого равна 8 см, а высота, проведенная к этой стороне, – 5 см. Средняя линия трапеции равна 12 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 4 см больше другого. { ABC
V
{ A
1
B
1
C
1
; AB ? 4 см AC ? 6 см A
1
C
1
? 9 см 12 см. Найдите A
1
B
1
и BC.
6. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 10 см.
Найдите длину медианы, проведенной к меньшему катету. В треугольнике см, AB ? 10 см.
Решите этот треугольник (углы треугольника найдите с точностью до градуса. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как : 3, а площадь прямоугольника равна 96 см. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит большую боковую сторону на отрезки 2 см и 8 см. Найдите площадь трапеции

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Глава Четырехугольники. На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD вне его построены два равносторонних треугольника и CDL. Докажите, что отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма На основании AB равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка K. Через эту точку параллельно и С проведены прямые, которые пересекают стороны треугольника. Докажите, что периметр получившегося при этом параллелограмма не зависит от положения точки K.
1012. Точки A, B и C лежат на окружности с центром O.
ABCO – параллелограмм. Найдите его углы Постройте параллелограмм по двум диагоналями высоте Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника, периметры которых равны.
Определите вид четырех уголь ника.
1015.
Окружность с диаметром AC проходит через середину стороны AB ромба ABCD. Найдите тупой угол ромба Вне прямоугольника выбрана точка K так, что
? AKC ? 90?. Найдите ?DKB.
1017. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника построены квадраты и BCKL. Прямые ED и пересекаются в точке P. Под каким углом пересекаются прямые PC и AB?
1018. Стороны прямоугольника равны a и b (a > b). Биссектрисы четырех углов прямоугольника, пересекаясь, образуют четырехугольник. Найдите его диагонали.
1019.
Докажите, что биссектриса угла параллелограмма делит пополам угол между высотами, проведенными из вершины этого угла Внутри квадрата взята точка P и на отрезке AP, как на стороне, построен квадрат, сторона которого пересекает сторону AD квадрата. Сравните длины отрезков BP и DM.
1021. Докажите, что в любой трапеции сумма боковых сторон больше разности большего и меньшего оснований

189
?????? ?????????? ?????????
1022. Известно, что существует точка, равноудаленная от всех прямых, содержащих стороны трапеции. Найдите периметр трапеции, если ее средняя линия равна 10 см. Известно, что существует точка, равноудаленная от всех вершин трапеции, один из углов которой равен Найдите остальные углы трапеции. Основания трапеции равны a и b (a > b), а сумма углов, прилежащих к большему основанию, равна 90?. Найдите расстояние между серединами оснований трапеции. Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точке M. Известно, что ABC ? 73?, ?BCD ? 103?, ?AMD ? 110?. Найдите ?ACD.
1026. В остроугольном треугольнике проведены высоты, BH
2
и CH
3
. H – точка их пересечения. Среди семи точек A, B, C, H
1
, H
2
, H
3
и H укажите все такие их четверки, через которые можно провести окружность.
Глава 2 Подобие треугольников В пятиугольнике ABCDE все углы равны и все стороны равны. Диагонали AD и BE пересекаются в точке Докажите, что {AED
V
{ AOE.
1028. Через вершину A параллелограмма
A
ABCD проведена прямая, пересекающая продолжения сторон CB и CD соответственно в точках N и. Докажите, что произведение ? DM не зависит оттого, как проходит эта прямая Диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника. Определите длину этой диагонали, если основания трапеции равны a и b.
1030. Через середину наибольшей стороны треугольника проведена прямая, отсекающая от него подобный ему треугольник. Найдите наименьшую сторону отсеченного треугольника, если стороны данного треугольника равны) 42 см, 49 см, 56 см
2) 42 см, 49 см, 63 см) 42 см, 49 см, 70 см.
Сколько решений имеет задача в каждом из случаев В треугольнике угол B – тупой. Отметьте на стороне такую точку D, чтобы выполнялось равенство AD ? AC.

190
1032. AD и BC – основания трапеции ABCD, диагонали которой взаимно перпендикулярны. AC ? 15 см, CE – высота трапеции, AE ? 9 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Глава 3 Решение прямоугольных треугольников. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что AD
2
+ BC
2
? AB
2
+ CD
2
1034. Точка M лежит внутри угла, который равен 60?. Расстояния от точки M до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки M до вершины угла. Две окружности разных радиусов имеют внешнее касание их общая внешняя касательная, M и N – точки касания. Докажите, что длина отрезка MN является средним геометрическим диаметров окружностей 1) В остроугольном треугольнике высота.
Докажите, что BC
2
? AB
2
+ AC
2
– 2AC
22
? AH.
2) В треугольнике тупой, BH – высота. Докажите, что BC
2
? AB
2
+ AC
2
+ 2AC ? AH.
1037. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите периметр треугольника, если центр вписанной окружности находится на расстоянии от вершины прямого угла.
1038.
Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника его гипотенуза, h – высота, проведенная к гипотенузе.
Докажите, что треугольник со сторонами h, c + h и a + b прямоугольный прямоугольная трапеция, ?A ? ?B ? 90?,
AB ? a, CD ? b, BC ? c, BC < DA. Найдите расстояние от точки B до прямой, содержащей сторону CD.
1040. Вычислите 1) sin 15?; 2) sin Глава Многоугольники. Площади многоугольников. Существует ли многоугольнику которого) 20 диагоналей 2) 21 диагональ. В выпуклом угольнике пять углов имеют градусную меру 140? каждый, остальные его углы – острые. Найдите n.
1043. Докажите, что расстояния от любой точки диагонали параллелограмма до непараллельных сторон обратно пропорциональны длинам этих сторон

191
?????? ?????????? ?????????
1044. Внутри прямоугольного треугольника) отмечена точка M так, что площади треугольников и CMA равны. Докажите, что MA
2
+ MB
2
? 5MC
2
1045. Во сколько раз площадь треугольника больше площади треугольника, где M – точка пересечения медиан треугольника В треугольнике высоты, проведенные к сторонами соответственно, а d
1
, d
2
, d
3
– расстояния от произвольной точки P, находящейся внутри этого треугольника, до сторон AB, BC и CA соответственно. Докажите, что Точка пересечения биссектрис треугольника на 3 см удалена от прямой, содержащей одну из сторон треугольника. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 36 см На сторонах AB, BC, AC треугольника отмечены точки M, K, P так, что AM : MB ? BK : KC ? CP : PA ?
? 2 : 1. Площадь треугольника равна S. Найдите площадь четырехугольника Биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в точке, находящейся на расстоянии d от большей стороны трапеции. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны m и n.
1050. AD и BC – основания трапеции ABCD, CD ? c. Точка – середина боковой стороны AB. Расстояние от точки до прямой, содержащей сторону CD, равно d. Найдите площадь трапеции В трапеции ABCD точка M – середина большего основания. Точка пересечения диагоналей трапеции совпадает сточкой пересечения высот треугольника. Найдите площадь трапеции

ПРИЛОЖЕНИЕ ГОТОВИМСЯ К ВНО
Решите задачи, которые предлагались на внешнем независимом оценивании (ВНО) по математике прошлых лети охватывают курс геометрии го класса. В скобках указано, в каком году задача предлагалась на ВНО.
К каждому из заданий 1, 2, 4, 6, 9 выберите один правильный вариант ответа из пяти предложенных вариантов (АД. К каждому из
заданий 3, 5, 7, 8, 10–13 ответ запишите.